Nachdem wir die Translations- und Rotationsbewegungen betrachtet haben, können wir eine Analogie zwischen ihnen herstellen. Die Kinematik der translatorischen Bewegung verwendet einen Pfad S, Geschwindigkeit
und Beschleunigung A. Ihre Rolle bei der Drehbewegung spielen der Drehwinkel , die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung ε. In der Dynamik der translatorischen Bewegung werden die Konzepte Kraft und Masse verwendet T und Impuls 
Bei der Rotationsbewegung spielt das Moment die Rolle der Kraft 
Kräfte, die Rolle der Masse - Trägheitsmoment ICH z und die Rolle des Impulses – Drehimpuls 
Wenn man die Formeln für die Translationsbewegung kennt, ist es einfach, die Formeln für die Rotationsbewegung aufzuschreiben. Bei einer gleichförmigen Bewegung wird die zurückgelegte Strecke beispielsweise nach folgender Formel berechnet: S =
T, und mit einem Rotationsdrehwinkel - nach der Formel = T. Newtons zweites Gesetz 
Und 
und das Grundgesetz der Dynamik der Rotationsbewegung ist 
Und 
Bei der Translationsbewegung ist der Impuls des Körpers gleich 
und während der Rotationsbewegung beträgt der Drehimpuls 
Diese Analogie lässt sich weiter fortsetzen.
Kraftarbeit bei translatorischer Bewegung. Leistung
Lassen Sie einen Körper (materiellen Punkt) unter der Wirkung einer konstanten Kraft stehen 
, einen konstanten Winkel mit der Bewegungsrichtung bildend, bewegt sich geradlinig in einem bestimmten Bezugssystem und passiert den Pfad l. Dann folgt, wie aus dem Schulphysikkurs bekannt, die Arbeit A Diese Kraft ergibt sich aus der Formel:
A= Fl· weil = F l l, (1)
Betrachten wir nun den allgemeinen Fall der Berechnung der Arbeit, wenn sich ein Körper unter dem Einfluss einer variablen Kraft translatorisch entlang einer gekrümmten Bahn bewegt. Auf einem Weg l Wählen Sie einen elementaren Abschnitt aus dl, innerhalb dessen die Kraft betrachtet werden kann 
und Winkel sind konstante Werte und der Abschnitt selbst ist geradlinig. Dann arbeiten dA In diesem Abschnitt finden wir mithilfe der Formel (1): dA
=
F·
dl·
cos. Arbeit A entlang des gesamten Weges entspricht der Summe der Arbeit dA, d.h.
(2)
Symbol l mit Integral bedeutet, dass die Integration entlang des gesamten Pfades erfolgt l.
Formel (2) kann eine andere Form erhalten, wenn wir das Skalarprodukt von Vektoren verwenden. Dann der Integrand dA wird in der Form geschrieben: dA
=
F·
dl·
cos= 
Wo 
ist der Vektor der Elementarverschiebung und
(3)
Aus Formel (1) geht hervor, dass Arbeit eine algebraische Größe ist. Das Vorzeichen der Arbeit hängt vom Winkel ab. Wenn der Winkel spitz ist, dann ist cos > 0 und die Arbeit ist positiv, wenn der Winkel jedoch stumpf ist, ist die Arbeit negativ.
Die SI-Arbeitseinheit ist das Joule (J). Es wird aus Formel (1) eingeführt, in der cos = 1 J angenommen wird die Arbeit, die eine Kraft von 1 N auf einer Strecke von 1 m verrichtet, sofern Kraft- und Wegrichtung übereinstimmen.
Um die Arbeitsgeschwindigkeit zu charakterisieren, wird der Begriff der Leistung eingeführt, der der pro Zeiteinheit geleisteten Arbeit entspricht. Wenn eine elementare Zeitspanne dt Die Grundarbeit ist erledigt dA, dann die Macht R gleich
(4)
In SI-Einheiten wird die Leistung in Watt (W) gemessen. Wie aus (4) folgt, ist 1 W = 1 J / 1 s, d.h. 1 W- Dies ist die Leistung, mit der 1 J Arbeit in 1 s verrichtet wird.
Kraftarbeit bei Drehbewegung
Stellen Sie sich einen starren Körper vor, der unter der Einwirkung einer variablen Kraft steht 
dreht sich um eine Achse z in einem bestimmten Winkel. Diese Kraft erzeugt ein Drehmoment M z, den Körper drehen. Die Kraft ist tangential zu dem Kreis gerichtet, auf dem sich der Angriffspunkt der Kraft bewegt. Daher ist Winkel = 0. Unter Berücksichtigung dessen finden wir in Analogie zur Formel für mechanische Arbeit (siehe (2)) den Ausdruck, nach dem die Arbeit während der Rotationsbewegung berechnet wird:
(5)
Die Arbeit ist positiv, wenn die Richtung der Tangentialkomponente der Kraft mit der Drehrichtung übereinstimmt, und negativ, wenn sie in die entgegengesetzte Richtung verläuft.
4.6 Rotationsbewegung eines starren Körpers. Moment der Macht.
Natürlich beschreibt die Position eines, selbst eines „besonderen“ Punktes nicht vollständig die Bewegung des gesamten betrachteten Körpersystems, aber dennoch ist es besser, die Position mindestens eines Punktes zu kennen, als nichts zu wissen. Betrachten wir jedoch die Anwendung der Newtonschen Gesetze auf die Beschreibung der Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse.
Beginnen wir mit dem einfachsten Fall: Lassen Sie den materiellen Punkt Masse haben M befestigt mit einer schwerelosen starren Stablänge R zur festen Achse OO'(Abb. 46). Ein materieller Punkt kann sich um eine Achse bewegen und dabei in einem konstanten Abstand von dieser bleiben. Daher ist seine Flugbahn ein Kreis mit einem Mittelpunkt auf der Rotationsachse.
Natürlich gehorcht die Bewegung eines Punktes der Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes \(~m \vec a = \vec F_0\). Die direkte Anwendung dieser Gleichung ist jedoch nicht gerechtfertigt: Erstens hat der Punkt einen Freiheitsgrad, daher ist es zweckmäßig, den Drehwinkel als einzige Koordinate anstelle von zwei kartesischen Koordinaten zu verwenden; Zweitens wirken auf das betrachtete System Reaktionskräfte in der Rotationsachse und direkt auf den Materialpunkt die Zugkraft des Stabes. Das Finden dieser Kräfte ist ein separates Problem, dessen Lösung zur Beschreibung der Rotation nicht erforderlich ist. Daher ist es sinnvoll, auf der Grundlage der Newtonschen Gesetze eine spezielle Gleichung zu erhalten, die die Rotationsbewegung direkt beschreibt.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt soll eine bestimmte Kraft \(~\vec F\) auf einen materiellen Punkt wirken, der in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse liegt (Abb. 47). Bei der kinematischen Beschreibung der krummlinigen Bewegung wird der Gesamtbeschleunigungsvektor \(~\vec a\) zweckmäßigerweise in zwei Komponenten zerlegt: die Normale \(~\vec a_n\), die auf die Rotationsachse gerichtet ist, und die Tangentialkomponente \(~\ vec a_(\tau)\ ) parallel zum Geschwindigkeitsvektor gerichtet. Wir benötigen den Wert der Normalbeschleunigung nicht, um das Bewegungsgesetz zu bestimmen. Natürlich ist diese Beschleunigung auch auf wirkende Kräfte zurückzuführen, zu denen auch die unbekannte Zugkraft der Stange gehört.
Schreiben wir die Gleichung des zweiten Hauptsatzes in Projektion auf die Tangentialrichtung:
\(~m a_(\tau) = F_(\tau)\) , (1)
Beachten Sie, dass die Reaktionskraft der Stange nicht in dieser Gleichung enthalten ist, da sie entlang der Stange und senkrecht zur ausgewählten Projektion gerichtet ist. Ändern des Drehwinkels φ wird direkt durch die Winkelgeschwindigkeit \(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t)\ bestimmt, deren Änderung wiederum durch die Winkelbeschleunigung \(~\varepsilon = \frac( \Delta \omega)(\Delta t)\) . Die Winkelbeschleunigung hängt durch die Beziehung mit der Tangentialkomponente der Beschleunigung zusammen A τ = rε. Wenn wir diesen Ausdruck in Gleichung (9) einsetzen, erhalten wir eine Gleichung, die zur Bestimmung der Winkelbeschleunigung geeignet ist. Es ist zweckmäßig, eine neue physikalische Größe einzuführen, die die Wechselwirkung von Körpern bei ihrer Rotation bestimmt. Multiplizieren Sie dazu beide Seiten der Gleichung (1) mit R
\(~m r^2 \varepsilon = F_(\tau) r\) . (2)
und betrachten Sie den Ausdruck auf der rechten Seite F τ R, was die Bedeutung des Produkts aus der Tangentialkomponente der Kraft und dem Abstand von der Drehachse zum Angriffspunkt der Kraft hat. Das gleiche Werk kann in etwas anderer Form präsentiert werden (siehe Abb. 48)
M = F τ R = Fr cos α = Fd, Hier D- der Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft, der auch genannt wird Schulter der Stärke. Diese physikalische Größe Produkt aus Kraftmodul und Abstand der Wirkungslinie der Kraft zur Rotationsachse (Kraftarm) M = Fd Kraftmoment genannt. Durch Krafteinwirkung kann es zu einer Drehung sowohl im Uhrzeigersinn als auch gegen den Uhrzeigersinn kommen. Entsprechend der gewählten positiven Drehrichtung ist das Vorzeichen des Kraftmoments zu bestimmen. Beachten Sie, dass das Kraftmoment durch die Komponente der Kraft bestimmt wird, die senkrecht zum Radiusvektor des Angriffspunkts steht. Die Komponente des Kraftvektors, die entlang des Verbindungsabschnitts zwischen Angriffspunkt und Drehachse gerichtet ist, führt nicht zu einer Aufdrehung des Körpers. Bei feststehender Achse wird diese Komponente durch die Reaktionskraft in der Achse kompensiert, sodass sie die Drehung des Körpers nicht beeinflusst.
Schreiben wir einen weiteren nützlichen Ausdruck für das Kraftmoment auf. Auf den Punkt sei die Kraft \(~\vec F\) ausgeübt A , deren kartesische Koordinaten gleich sind X,j(Abb. 49). Zerlegen wir die Kraft \(~\vec F\) in zwei Komponenten \(~\vec F_x, \vec F_y\) parallel zu den entsprechenden Koordinatenachsen. Das Kraftmoment \(~\vec F\) relativ zur Achse, die durch den Koordinatenursprung verläuft, ist offensichtlich gleich der Summe der Momente der Komponenten \(~\vec F_x, \vec F_y\), d. h. M = xF y- yF X.
Auf die gleiche Weise, wie wir das Konzept des Winkelgeschwindigkeitsvektors eingeführt haben, können wir auch das Konzept des Drehmomentvektors definieren. Der Betrag dieses Vektors entspricht der oben angegebenen Definition und ist senkrecht zu der Ebene gerichtet, die den Kraftvektor und das Segment enthält, das den Angriffspunkt der Kraft mit der Rotationsachse verbindet. Der Kraftmomentenvektor kann auch als Vektorprodukt aus dem Radiusvektor des Kraftangriffspunkts und dem Kraftvektor definiert werden
\(~\vec M = \vec r \times \vec F\) .
Beachten Sie, dass sich das Kraftmoment nicht ändert, wenn der Angriffspunkt einer Kraft entlang ihrer Wirkungslinie verschoben wird.
Bezeichnen wir das Produkt aus der Masse eines materiellen Punktes und dem Quadrat des Abstands zur Rotationsachse Herr 2 = ICH(Diese Größe heißt Trägheitsmoment eines materiellen Punktes relativ zur Achse). Unter Verwendung dieser Notationen nimmt Gleichung (2) eine Form an, die formal mit der Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes für die Translationsbewegung übereinstimmt
\(~I \varepsilon = M\) . (3)
Diese Gleichung wird als Grundgleichung der Rotationsbewegungsdynamik bezeichnet. Das Kraftmoment bei der Rotationsbewegung spielt also die gleiche Rolle wie die Kraft bei der Translationsbewegung; es bestimmt die Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Es stellt sich heraus (und dies wird durch unsere Alltagserfahrung bestätigt), dass der Einfluss der Kraft auf die Rotationsgeschwindigkeit nicht nur durch die Größe der Kraft, sondern auch durch den Punkt ihrer Anwendung bestimmt wird. Das Trägheitsmoment bestimmt die Trägheitseigenschaften des Körpers in Bezug auf die Rotation (vereinfacht ausgedrückt zeigt es, ob es leicht ist, den Körper zu drehen) – je weiter ein materieller Punkt von der Rotationsachse entfernt ist, desto schwieriger ist dies Bringen Sie es in Rotation.
Gleichung (3) kann auf den Fall der Rotation eines beliebigen Körpers verallgemeinert werden. Wenn sich ein Körper um eine feste Achse dreht, sind die Winkelbeschleunigungen an allen Punkten des Körpers gleich. Daher können wir, ähnlich wie wir es bei der Ableitung der Newtonschen Gleichung für die translatorische Bewegung eines Körpers getan haben, Gleichungen (3) für alle Punkte eines rotierenden Körpers schreiben und diese dann zusammenfassen. Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung, die äußerlich mit (3) übereinstimmt, in der ICH- Trägheitsmoment des gesamten Körpers, gleich der Summe der Momente seiner konstituierenden materiellen Punkte, M- die Summe der Momente äußerer Kräfte, die auf den Körper einwirken.
Lassen Sie uns zeigen, wie das Trägheitsmoment eines Körpers berechnet wird. Es ist wichtig zu betonen, dass das Trägheitsmoment eines Körpers nicht nur von der Masse, Form und Größe des Körpers abhängt, sondern auch von der Position und Ausrichtung der Rotationsachse. Formal besteht das Berechnungsverfahren darin, den Körper in kleine Teile zu unterteilen, die als materielle Punkte betrachtet werden können (Abb. 51), und die Trägheitsmomente dieser materiellen Punkte zu summieren, die gleich dem Produkt aus Masse und Masse sind Quadrat des Abstands zur Drehachse
\(~I = m_1 r^2_1 + m_2 r^2_2 + m_3 r^2_3 + \ldots\) .
Für Körper einfacher Form sind solche Beträge schon lange berechnet, daher reicht es oft aus, sich die entsprechende Formel für das erforderliche Trägheitsmoment zu merken (oder in einem Nachschlagewerk zu finden). Als Beispiel: das Trägheitsmoment eines kreisförmigen homogenen Massenzylinders M und Radius R denn die Rotationsachse, die mit der Achse des Zylinders zusammenfällt, ist gleich \(~I = \frac(1)(2) m R^2\) .
Dieses Thema widmet sich der Betrachtung einer besonderen Kraftart – der Trägheitskräfte. Die Besonderheit dieser Kräfte ist folgende. Alle mechanischen Kräfte – seien es Gravitations-, elastische oder Reibungskräfte – entstehen, wenn ein Körper durch andere Körper beeinflusst wird. Bei Trägheitskräften ist die Situation anders.
Erinnern wir uns zunächst daran, was Trägheit ist. Trägheit ist ein physikalisches Phänomen, das darin besteht, dass ein Körper stets danach strebt, seine ursprüngliche Geschwindigkeit beizubehalten. Und Trägheitskräfte entstehen, wenn sich die Geschwindigkeit des Körpers ändert – also Beschleunigung erscheint. Abhängig von der Bewegung, an der der Körper teilnimmt, erfährt er die eine oder andere Beschleunigung und erzeugt die eine oder andere Trägheitskraft. Doch alle diese Kräfte eint das gleiche Muster: Die Trägheitskraft ist immer entgegengesetzt zur Beschleunigung gerichtet, die sie erzeugt hat.
Trägheitskräfte unterscheiden sich naturgemäß von anderen mechanischen Kräften. Alle anderen mechanischen Kräfte entstehen durch die Einwirkung eines Körpers auf einen anderen. Trägheitskräfte hingegen werden durch die Eigenschaften der mechanischen Bewegung des Körpers verursacht. Je nachdem, an welcher Bewegung der Körper beteiligt ist, entsteht übrigens die eine oder andere Trägheitskraft:
Die Bewegung kann unkompliziert sein, und dann beginnt das Gespräch über die Trägheitskraft der translatorischen Bewegung;
Die Bewegung kann krummlinig sein, und dann wird sie es auch sein über die Zentrifugalkraft der Trägheit;
Schließlich kann die Bewegung sowohl geradlinig als auch krummlinig sein (wenn sich der Körper in einem rotierenden System bewegt oder sich während der Rotation bewegt), und dann werden wir reden über die Corioliskraft.
Betrachten wir die Arten von Trägheitskräften und die Bedingungen für ihr Auftreten genauer.
1. Trägheitskraft der VorwärtsbewegungF i . Es entsteht, wenn sich ein Körper auf einer geraden Bahn bewegt. Der Wirkung dieser Kraft begegnen wir ständig bei Fahrzeugen, die sich auf gerader Straße bewegen, beim Bremsen und beim Beschleunigen. Beim Bremsen werden wir nach vorne geschleudert, weil... Die Bewegungsgeschwindigkeit nimmt stark ab und unser Körper versucht, die Geschwindigkeit beizubehalten, die er hatte. Beim Beschleunigen werden wir aus dem gleichen Grund in die Sitzlehne gedrückt. In Abb. 2.1
Dargestellt sind die Richtungen der Beschleunigung und der Trägheitskraft der translatorischen Bewegung bei Geschwindigkeitsabnahme: Die Beschleunigung ist der Bewegung entgegengesetzt und die Trägheitskraft ist der Beschleunigung entgegengesetzt. Die Formel für die Trägheitskraft ergibt sich aus dem zweiten Newtonschen Gesetz: . Das Minuszeichen ist darauf zurückzuführen, dass die Vektoren und entgegengesetzte Richtungen haben. Der Zahlenwert (Modul) dieser Kraft berechnet sich dementsprechend nach der Formel:
F = ma (3.1)
2. ZENTRIFUGALKRAFT DER TRÄGHEIT i . Um zu verstehen, wie diese Kraft entsteht, betrachten Sie Abb. In Abb. 3.2 zeigt eine in einer horizontalen Ebene rotierende Scheibe mit einer Kugel, die mittels einer Zugverbindung (z. B. einem elastischen Band) in der Mitte der Scheibe befestigt ist. Wenn die Scheibe zu rotieren beginnt, neigt die Kugel dazu, sich von ihr zu entfernen
Mitte und strafft das Gummiband. Außerdem gilt: Je schneller sich die Scheibe dreht, desto weiter entfernt sich die Kugel vom Mittelpunkt der Scheibe. Diese Bewegung der Kugel entlang der Scheibenebene wird durch die Wirkung einer Kraft namens verursacht Zentrifugalkraft der Trägheit (F cb) . Auf diese Weise, Die Zentrifugalkraft tritt während der Rotation auf und ist entlang des Radius vom Rotationszentrum F cb gerichtet ist eine Trägheitskraft, was bedeutet, dass ihr Auftreten auf das Vorhandensein einer Beschleunigung zurückzuführen ist, die dieser Kraft entgegengesetzt sein muss. Wenn die Zentrifugalkraft vom Zentrum aus gerichtet ist, ist es offensichtlich, dass die Ursache dieser Kraft die normale (Zentripetal-)Beschleunigung ist ein , denn genau dieser ist auf das Rotationszentrum gerichtet (siehe Thema 1, §1.2, Absatz 3). Auf dieser Grundlage erhalten wir die Formel für die Zentrifugalkraft. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz F=ma , Wo M - Körpermasse. Dann gilt für die Zentrifugalkraft der Trägheit die Beziehung:
F cb = ma n.
Unter Berücksichtigung von (1.18) und (1.19) erhalten wir:
(3.2) und F cb = mω 2 r (3.3).
3. CORIOLIS FORCE F K . Wenn zwei Bewegungsarten kombiniert werden: Rotation und Translation, entsteht eine andere Kraft, die Coriolis-Kraft (oder Coriolis-Kraft) genannt wird. benannt nach dem französischen Mechaniker Gustav Gaspard Coriolis (1792-1843), der diese Kraft berechnete.
Das Auftreten der Corioliskraft lässt sich am Beispiel des in Abb. dargestellten Experiments erkennen. 3.3. Es zeigt eine horizontal rotierende Scheibe
Reis. 3.3 Draufsicht
Flugzeug. Zeichnen wir eine radiale Linie OA auf der Scheibe und werfen wir einen Ball in Richtung von O nach A mit der Geschwindigkeit v. Wenn sich die Scheibe nicht dreht, rollt der Ball entlang der geraden Linie, die wir gezeichnet haben. Wird die Scheibe in Pfeilrichtung in Rotation versetzt, rollt die Kugel entlang der durch die gestrichelte Linie dargestellten Kurve OB und ändert mit ihrer Geschwindigkeit υ ihre Richtung (siehe Abb. 3.3 (b)). Folglich verhält sich die Kugel gegenüber dem rotierenden Bezugssystem (und in diesem Fall handelt es sich um eine Scheibe) so, als ob auf sie eine bestimmte Kraft senkrecht zur Geschwindigkeit v einwirken würde. Das ist die Corioliskraft F K . Dies führt dazu, dass der Ball von der geraden Flugbahn OA abweicht. Die Formel, die diese Kraft beschreibt, wird erneut durch das zweite Newtonsche Gesetz bestimmt, nur dass diesmal die sogenannte Beschleunigung wirkt Coriolis-Beschleunigung K : ,F K =2mυω (3.5).
Damit sich die Corioliskraft manifestieren kann, ist es also, wie bereits erwähnt, notwendig, zwei Bewegungsarten zu kombinieren. Und hier gibt es zwei Möglichkeiten: 1). Der Körper bewegt sich relativ zu einem rotierenden Bezugssystem. Dieser Fall ist in Abb. 3.3 dargestellt. 2). Ein rotierender Körper führt als Beispiel die sogenannten „Curve“-Bälle aus – eine Technik, die beim Fußball verwendet wird – wenn der Ball so geschlagen wird, dass er sich während seines Fluges dreht.
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Winkelbeschleunigung.
Zuvor haben wir eine Formel erhalten, die die Lineargeschwindigkeit υ, die Winkelgeschwindigkeit ω und den Radius R des Kreises verbindet, entlang dem sich das ausgewählte Element (materieller Punkt) eines absolut starren Körpers bewegt, der sich um eine feste Achse dreht:
Wir wissen das linear Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Punkten eines starren Körpers sind unterschiedlich. Gleichzeitig Winkelgeschwindigkeit ist für alle Punkte eines starren Körpers gleich.
Die Winkelgeschwindigkeit ist eine Vektorgröße. Die Richtung der Winkelgeschwindigkeit wird durch die Gimlet-Regel bestimmt. Wenn die Drehrichtung des Bohrergriffs mit der Drehrichtung des Körpers übereinstimmt, dann gibt die translatorische Bewegung des Bohrers die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors an (Abb. 6.1).
Eine gleichmäßige Rotationsbewegung ist jedoch recht selten. Viel häufiger haben wir es mit Bewegungen zu tun, bei denen sich die Winkelgeschwindigkeit ändert, offensichtlich geschieht dies am Anfang und am Ende der Bewegung.
Der Grund für die Änderung der Drehwinkelgeschwindigkeit ist die Einwirkung von Kräften auf den Körper. Die Änderung der Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit bestimmt Winkelbeschleunigung.
Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist ein Gleitvektor. Unabhängig vom Angriffspunkt gibt seine Richtung die Drehrichtung des Körpers an und das Modul bestimmt die Drehgeschwindigkeit.
Die durchschnittliche Winkelbeschleunigung ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Winkelgeschwindigkeit zum Zeitraum, in dem diese Änderung auftrat:
Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist die Winkelbeschleunigung konstant und charakterisiert bei stationärer Drehachse die Änderung der Winkelgeschwindigkeit im Absolutwert. Wenn die Winkelgeschwindigkeit der Rotation eines Körpers zunimmt, ist die Winkelbeschleunigung in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit gerichtet (Abb. 6.2, a), und wenn sie abnimmt, in die entgegengesetzte Richtung (Abb. 6.2, b).
Da die Winkelgeschwindigkeit durch die Beziehung υ = ωR mit der Lineargeschwindigkeit zusammenhängt, ist die Änderung der Lineargeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum Δt gleich Δυ =ΔωR. Wenn wir die linke und rechte Seite der Gleichung durch Δt dividieren, erhalten wir entweder a = εR, wobei a - Tangente(linear) Beschleunigung, tangential zur Bewegungsbahn (Kreis) gerichtet.
Wenn die Zeit in Sekunden und die Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß pro Sekunde gemessen wird, entspricht eine Einheit der Winkelbeschleunigung 1 rad/s 2 , d. h. die Winkelbeschleunigung wird im Bogenmaß pro Sekunde im Quadrat ausgedrückt.
Alle rotierenden Körper, zum Beispiel ein Rotor in einem Elektromotor, eine Drehscheibe, ein Autorad beim Beschleunigen usw., bewegen sich beim Starten und Stoppen ungleichmäßig.
Moment der Macht.
Um eine Rotationsbewegung zu erzeugen, kommt es nicht nur auf die Größe der Kraft an, sondern auch auf den Punkt ihrer Anwendung. Es ist sehr schwierig, die Tür durch Druck in der Nähe der Scharniere zu öffnen, aber gleichzeitig kann man sie leicht öffnen, indem man möglichst weit von der Drehachse entfernt auf die Tür drückt, beispielsweise auf den Griff. Für eine Rotationsbewegung ist daher nicht nur der Wert der Kraft wichtig, sondern auch der Abstand von der Rotationsachse zum Angriffspunkt der Kraft. Darüber hinaus ist auch die Richtung der ausgeübten Kraft wichtig. Man kann mit sehr großer Kraft am Rad ziehen, es aber trotzdem nicht in Drehung versetzen.
Das Kraftmoment ist eine physikalische Größe, die dem Produkt der Kraft pro Arm entspricht:
M = Fd,
wobei d der Kraftarm ist, der dem kürzesten Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft entspricht (Abb. 6.3).
Offensichtlich ist das Kraftmoment maximal, wenn die Kraft senkrecht zum Radiusvektor steht, der von der Drehachse zum Angriffspunkt dieser Kraft gezogen wird.
Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper, so ist das Gesamtmoment gleich der algebraischen Summe der Momente jeder Kraft relativ zu einer gegebenen Rotationsachse.
In diesem Fall werden die Kraftmomente berücksichtigt, die die Drehung des Körpers gegen den Uhrzeigersinn bewirken positiv(Kraft 2) und die Momente der Kräfte, die eine Drehung im Uhrzeigersinn verursachen, sind Negativ(Kräfte 1 und 3) (Abb. 6.4).
Grundgleichung für die Dynamik der Rotationsbewegung. So wie experimentell gezeigt wurde, dass die Beschleunigung eines Körpers direkt proportional zur auf ihn wirkenden Kraft ist, wurde festgestellt, dass die Winkelbeschleunigung direkt proportional zum Kraftmoment ist:
Lassen Sie eine Kraft auf einen materiellen Punkt einwirken, der sich im Kreis bewegt (Abb. 6.5). Gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt in der Projektion auf die Tangentenrichtung ma k = F k. Wenn wir die linke und rechte Seite der Gleichung mit r multiplizieren, erhalten wir ma k r = F k r, oder
mr 2 ε = M. (6.1)
Beachten Sie, dass in diesem Fall r der kürzeste Abstand von der Drehachse zum Materialpunkt und damit der Kraftangriffspunkt ist.
Man nennt das Produkt aus der Masse eines materiellen Punktes und dem Quadrat des Abstands zur Rotationsachse Trägheitsmoment eines materiellen Punktes und wird mit dem Buchstaben I bezeichnet.
Somit kann Gleichung (6.1) in der Form I ε = M geschrieben werden, woraus folgt
Gleichung (6.2) wird aufgerufen die Grundgleichung der Dynamik der Rotationsbewegung.
Gleichung (6.2) gilt auch für Rotationsbewegungen solide, mit einer festen Rotationsachse, wobei I das Trägheitsmoment des Festkörpers und M das Gesamtmoment der auf den Körper wirkenden Kräfte ist. In diesem Kapitel berücksichtigen wir bei der Berechnung des Gesamtmoments der Kräfte nur Kräfte oder deren Projektionen, die zu einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse gehören.
Die Winkelbeschleunigung, mit der sich ein Körper dreht, ist direkt proportional zur Summe der auf ihn einwirkenden Kraftmomente und umgekehrt proportional zum Trägheitsmoment des Körpers relativ zu einer bestimmten Drehachse.
Wenn das System aus einer Menge materieller Punkte besteht (Abb. 6.6), dann ist das Trägheitsmoment dieses Systems relativ zu einer gegebenen Rotationsachse OO" gleich der Summe der Trägheitsmomente jedes materiellen Punktes relativ zu dieser Drehachse: I = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + ... .
Das Trägheitsmoment eines starren Körpers kann berechnet werden, indem man den Körper in kleine Volumina aufteilt, die als materielle Punkte betrachtet werden können, und deren Trägheitsmomente relativ zur Rotationsachse aufsummiert. Offensichtlich hängt das Trägheitsmoment von der Lage der Drehachse ab.
Aus der Definition des Trägheitsmoments folgt, dass das Trägheitsmoment die Massenverteilung relativ zur Rotationsachse charakterisiert.
Stellen wir die Werte der Trägheitsmomente für einige absolut starre homogene Körper der Masse m dar.
1. Trägheitsmoment von dünn gerader Stab Länge l relativ zur Achse senkrecht zum Stab und durch seine Mitte (Abb. 6.7) ist gleich:
2. Trägheitsmoment gerader Zylinder(Abb. 6.8) oder die Scheibe relativ zur Achse OO", die mit der geometrischen Achse des Zylinders oder der Scheibe zusammenfällt:
3. Trägheitsmoment Ball
4. Trägheitsmoment dünner Reifen Radius R relativ zur Achse, die durch seinen Mittelpunkt verläuft:
Im physikalischen Sinne spielt das Trägheitsmoment bei Rotationsbewegungen die Rolle der Masse, d. h. es charakterisiert die Trägheit des Körpers gegenüber der Rotationsbewegung. Je größer das Trägheitsmoment, desto schwieriger ist es, einen Körper in Drehung zu versetzen oder umgekehrt einen rotierenden Körper anzuhalten.
Moment der Macht F, auf den Körper relativ zur Rotationsachse einwirken
,
Wo 
-
Kraftprojektion F auf einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse; l - Schulterkraft F(kürzester Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft).
Trägheitsmoment um die Drehachse:
a) materieller Punkt
J= Herr 2 ,
Wo T - Punktmasse; R - sein Abstand von der Rotationsachse;
b) diskreter Festkörper
Wo 
- Gewicht i-th Körperelement; R i ist der Abstand dieses Elements von der Rotationsachse; P
-
Anzahl der Körperelemente;
c) ein fester Feststoff
Wenn der Körper homogen ist, d. h. seine Dichte 
ist dann im gesamten Volumen gleich
dm=
dV Und 
Wo V- Körpervolumen.
Trägheitsmomente einiger Körper mit regelmäßiger geometrischer Form:
|
Achse, um die das Trägheitsmoment bestimmt wird |
Formel für das Trägheitsmoment |
|
|
Ein homogener dünner Massestab T und Länge l Dünner Ring, Reifen, Radiusrohr R und Masse T, Schwungradradius R und Masse T, entlang der Felge verteilt Runde homogene Scheibe (Zylinder) mit Radius R und Masse T Eine homogene Massekugel T und Radius R |
Verläuft durch den Schwerpunkt der Stange senkrecht zur Stange Geht durch das Ende der Stange senkrecht zur Stange Geht durch die Mitte senkrecht zur Ebene der Basis Geht durch die Mitte der Scheibe senkrecht zur Ebene der Basis Passiert durch die Mitte des Balls |
1/12ml 2 |
Satz von Steiner. Trägheitsmoment eines Körpers um eine beliebige Achse
J= J 0 + ma 2 ,
Wo J 0 - das Trägheitsmoment dieses Körpers relativ zu einer Achse, die durch den Schwerpunkt des Körpers parallel zu einer bestimmten Achse verläuft; A - Abstand zwischen den Achsen; M- Körpermasse.
Impuls eines rotierenden Körpers relativ zur Achse
L=
J
.
Gesetz der Drehimpulserhaltung
Wo L ich - Drehimpuls des im System enthaltenen i-ten Körpers. Gesetz der Drehimpulserhaltung für zwei wechselwirkende Körper
Wo 
- Trägheitsmomente und Winkelgeschwindigkeiten von Körpern vor der Wechselwirkung: 
- die gleichen Werte nach der Interaktion.
Das Gesetz der Drehimpulserhaltung für einen Körper, dessen Trägheitsmoment sich ändert,
Wo 
- Anfangs- und Endträgheitsmomente; 
- Anfangs- und Endwinkelgeschwindigkeiten des Körpers.
Die Grundgleichung für die Dynamik der Rotationsbewegung eines starren Körpers relativ zu einer festen Achse
M D T=d(J 
), Wo M- Kraftmoment, das im Laufe der Zeit auf einen Körper einwirkt dt;
J
-
Trägheitsmoment des Körpers;
- Winkelgeschwindigkeit; J
-
Moment des Impulses.
Wenn das Kraftmoment und das Trägheitsmoment konstant sind, wird diese Gleichung geschrieben als
M
T=J
.
Bei konstantem Trägheitsmoment ergibt sich die Grundgleichung für die Dynamik der Drehbewegung:
M=J
, Wo 
- Winkelbeschleunigung.
Arbeit eines konstanten Kraftmoments M, auf einen rotierenden Körper einwirken
wobei der Drehwinkel des Körpers ist.
Momentanleistung, die während der Körperrotation entsteht
N=
M
.
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers
T=1/2
J
.
Die kinetische Energie eines Körpers, der entlang einer Ebene rollt, ohne zu gleiten, beträgt
T== 1 / 2
mv 2
+l/2 J
,
Wo l /
2
mv 2
-
kinetische Energie der translatorischen Bewegung eines Körpers; v
-
Geschwindigkeit des Körperträgheitszentrums; l/2 J
ist die kinetische Energie der Rotationsbewegung eines Körpers um eine Achse, die durch das Trägheitszentrum verläuft.
Die bei der Rotation eines Körpers geleistete Arbeit und die Änderung seiner kinetischen Energie hängen durch die Beziehung zusammen