В однородной среде свет распространяется прямолинейно. В неоднородной среде световые лучи искривляются. Путь, по которому распространяется свет в неоднородной среде, может быть найден с помощью принципа, установленного французским математиком Ферма в 1679 г. Принцип Ферма гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.
Для прохождения участка пути dS (рис. 1.3) свету нужно время dt = dS/v, где v - скорость света в данной точке среды.
DS Рис. 1.3. К выводу принципа Ферма.
Заменив v через с и п по формуле (1.3), получим, что . Следовательно, времяt , затрачиваемое светом на прохождение пути от точки1 доточки 2, можно вычислить по формуле
Согласно принципу Ферма t должно быть минимальным. Поскольку с - константа, должна быть минимальна величина
которую называют оптической длиной пути . В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути S на показатель преломления среды п:
L = nS. (1.5)
Принцип Ферма можно сформулировать следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.
Основные законы оптики. Полное отражение
Еще до установления природы света были известны следующие основные законы оптики: закон прямолинейного распространения света в оптически однородной среде; закон независимости световых пучков (справедлив только в линейной оптике); закон отражения света; закон преломления света.
Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.
Доказательством этого закона является наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света (источники, размеры которых значительно меньше освещаемого предмета и расстояния до него). Тщательные эксперименты показали, однако, что этот закон нарушается, если свет проходит сквозь очень малые отверстия, причем отклонение от прямолинейности распространения тем больше, чем меньше отверстия.
Закон независимости световых пучков : эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.
Если свет падает на границу раздела двух сред (двух прозрачных веществ), то падающий луч I (рис. 1.4) разделяется на два - отраженный II и преломленный III, направления которых задаются законами отражения и преломления.
Рис. 1.4. К законам отражения и преломления света.
Закон отражения: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; угол i ` 1 отражения равен углу i 1 падения:
Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред:
где n 12 - относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Индексы в обозначениях углов i 1 , i ` 1 , i 2 указывают, в какой среде (первой или второй) идет луч.
Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:
Абсолютным показателем преломления среды называется величина “n”, равная отношению скорости “с” электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости “v” в среде:
Напомним ещё раз, что , где e и m - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.
Учитывая (1.6), закон преломления (1.2) можно записать в виде
откуда можно получить уравнение, которое не только описывает поведение светового пучка на границе раздела слоистых сред, но и может быть поименовано как закон обратимости луча:
n 1 ×sini 1 = n 2 ×sini 2 = n 3 ×sini 3 =… (1.7)
Обратимость световых лучей вытекает из симметрии выражения (1.7). Если обратить луч III (рис. 1.4), заставив его падать на границу раздела под углом i 2 , то преломленный луч в первой среде будет распространяться под углом i 1 , т. е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I.
Фундаментальным следствием закона преломления света является закон полного внутреннего отражения.
Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n 1 (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n 2 (оптически менее плотную) (n 1 >n 2), например, из стекла в воду, то, согласно (31.7),
Отсюда следует, что преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления i 2 больше, чем угол падения i 1 (рис. 31.5, a). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления (рис. 31.5,б,в) до тех пор, пока при некотором угле падения (i = i пр) угол преломления не окажется равным p /2. Угол i пр называется предельным углом. При углах падения i > i пр весь падающий свет полностью отражается (рис. 31.5, г).
 |
Рис. 1.5. Наблюдение явления полного внутреннего отражения.
По мере приближения угла падения к предельному интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного - растет (рис. 1.5, а-в). Если i = i пр, то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего (рис. 1.5, г). Таким образом, при углах падения в пределах от i пр, до p /2 луч не преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление и называется полным отражением.
Предельный угол i пр определим из формулы (1.7) при подстановке в нее i 2 = p /2.
Тогда
(1.8)
Уравнение (1.8) удовлетворяет значениям угла i пр при n 2 £n 1 . Следовательно, явление полного отражения имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.
Явление полного отражения используется в световодах (светопроводах), представляющих собой тонкие, произвольным образом изогнутые нити (волокна) из оптически прозрачного материала. В волоконных деталях применяют стеклянное волокно, световедущая жила (сердцевина) которого окружается стеклом - оболочкой из другого стекла с меньшим показателем преломления. Свет, падающий на торец световода под углами, большими предельного, претерпевает на поверхности раздела сердцевины и оболочки полное отражение и распространяется только по световедущей жиле.
Таким образом, с помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Диаметр световедущих жил лежит в пределах от нескольких микрометров до нескольких миллиметров. Для передачи изображений, как правило, применяются многожильные световоды. Вопросы передачи световых волн и изображений изучаются в специальном разделе оптики - волоконной оптике, возникшей в 50-е годы XX столетия. Световоды используются в электронно-лучевых трубках, в электронно-счетных машинах, для кодирования информации, в медицине (например, диагностика внутренних органов), для защиты средств связи от воздействия сверхмощного электромагнитного импульса, возникающего при взрыве атомных и термоядерных боеприпасов и т. д.
В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине 17 столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.
Пусть луч распространяется из точки
1 в точку пространства 2 (рис.1.7). Разобьем
траекторию распространения света на
прямолинейные участки, на которых
показатель преломления будет константой,
тогда чтобы свету пройти путь
требуется
время
,
Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно
Величина
имеет размерность длины и эту величину
называют оптическим ходом луча или
оптической длиной пути света
(1,9)
В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна
(1.10)
Пропорциональность времени tпрохождения оптической длине пути лучаLдает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.
С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.
Доказательство закона преломления света с помощью принципа Ферма
Траектория по которой луч света из точки А, нкаходящейся в среде с показателем преломления n 1 , попадает в точку В, расположенную в среде с показателем преломленияn 2, может быть разной, но нам нужно показать, что луч будет распространяться по такому пути, на который он затратит минимальное время.
Опустим из точек А и В перпендикуляры на границу раздела двух сред и расстояния от точек до границы раздела обозначим соответственно а 1 и а 2 .
Так как точка перехода луча из одной среды в другую зависит от того по какой траектории будет распространяться луч света, то расстояние от первого перпедикуляра до точки падения (см.рис 1.8) обозначим x. Расстояние между опущенными перпендикулярами обозначимb.
Рис.1.8
Оптический путь луча будет состоять из двух частей, так как он распространяется в двух разныз средах:
Так как время распространения света из точки А в точку Bдолжно быть минимально, то оптический путь должен быть экстремален, т.е. первая производная оптического пути по времени должна быть равна нулю:
(1.11)
,
а
Поэтому из условия (1,11) получаем
(1.12)
Т.е. закон преломления света доказан.
Полное внутреннее отражение, световоды (эндоскопы) .
Из формулы
(1.12) видно, что при переходе света из
оптически более плотной среды в оптически
менее плотную луч удаляется от нормали
к поверхности раздела сред. Увеличение
угла падения
сопровождается более быстрым ростом
угла преломления ¦
и при некотором ¦ значении угла
,
котором преломленный луч пойдет по
границе раздела двух сред, т.е. угол
достигает
значения равного
,
В этом случае угол падения
называется предельным углом падения и
определяется
(1.13)
Энергия,
которую несет с собой падающий луч,
распределяется между отраженным и
преломленным лучами. По мере увеличения
угла падения интенсивность отраженного
луча растет, интенсивность же преломленного
луча убывает, обращаясь в нуль при
предельном угле. При углах падения,
заключенных в пределах от предельного
угла падения
до
,
световая волна проникает во вторую
среду на расстояние порядка длины волныи затем возвращается
в первую среду. Это явление называется
полным внутренним отражением (см.рис.1.9).
Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов , которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей. Проверьте на опыте будет ли свет от красной лампочки распространяться по изогнутой струе воды.
Явление полного внутреннего отражения лежит в основе волоконной оптики. Свет, попадая внутрь прозрачного волокна, окруженного веществом с меньшим показателем преломления, многократно отражается и распространяется вдоль этого волокна. Диаметр этих тонких стеклянных или пластиковых волокон может быть доведен до нескольких микрометров. Для передачи больших световых потоков и сохранения гибкости светопроводящей системы отдельные волокна собираются в пучки (жгуты) – световоды, свет по световоду может передаваться почти без потерь. Рис1.10 демонстрирует, как распространяется свет по тонкому волокну, испытывая только скользящие отражения от стенок, т.е. претерпевая полное внутреннее отражение.
Если световоду придать сложную форму, то угол падения обычно превышает предельный, и свет будет передан от одного торца световода до другого практически без ослабления. Этот эффект используется в декоративных светильниках и при подсветке струй в фонтане. Волоконная оптика широко используется в медицине. Например, для визуального исследования внутренних полых органов используются гибкие гастроскопы, эндоскопы. С помощью световодов осуществляется передача лазерного излучения во внутренние ткани и органы с целью лечебного воздействия. На рис. 1.12 показаны различные способы подведения лазерного излучения к ткани: 1 - лазерный луч нацелен на ткань через систему диафрагм и линз; 2 - луч подводится через систему подвижных зеркал; 3 - луч проводится по гибкому пустотелому световоду с внутренней зеркальной поверхностью;
4 - луч проводится через гибкий кварцевый световод и дистанционно нацелен на ткань.
Рис. 1.12. Способы подведения лазерного излучения к ткани
Примером природной волоконнооптической системы является сетчатка человеческого глаза. Попадая на сетчатку, свет воспринимается светочувствительными элементами (волокнами двух типов: палочками и колбочками). Этот слой подобен волоконнооптическому устройству. У травянистых растений стебель играет роль световода, подводящего свет в подземную часть растения. Клетки стебля образуют параллельные колонки, напоминая этим конструкцию промышленных световодов. Если освещать такую колонку,рассматривая ее через микроскоп, то видно, что ее стенки при этом остаются темными, а внутренность каждой клетки ярко освещена. Глубина, на которую доставляется таким способом свет, не превышает 4-5 см. Но и такого короткого световода достаточно, чтобы обеспечить светом подземную часть травянистого растения.
Заключение
Итак, свет обладает свойствами электромагнитной волны и потока фотонов, свойства неразделимы и в одних явлениях преобладает одно свойство, а в других другое, что связано с длиной световой волны.
В анизотропной среде абсолютный показатель преломления зависит от направления распространения световой волны.
В законах геометрической оптике используются чисто математические представления о лучах, не рассматривается природа света, законы работают при .
Принцип Ферма является наиболее общим законом геометрической оптике, из этого закона могут быть выведены законы отражения и преломления света. Принцип Ферма определяет оптический путь луча и обратимость хода лучей.
Закон полного внутреннего отражения позволяет понять принципы работы световодов (эндоскопов)
Ст. преподаватель кафедры___________________________
(наименование кафедры)
_______________________ ________________________
(ученая степень, ученое звание, подпись) (И.О.Ф.)
1. Пьер Ферма (1601--1675) выдвинул принцип, согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. Ферма руководствовался телеологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно: она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшей затратой средств. Подобные соображения, конечно, чужды науке и не могут служить обоснованием принципа Ферма. Но сам принцип (после введения некоторых уточнений) верен и может оказаться полезным при решении отдельных вопросов геометрической оптики. Это было продемонстрировано уже самим Ферма, который с помощью своего принципа вывел закон преломления Снеллиуса и получил такое же выражение для показателя преломления, что и в волновой теории света. В частности, он пришел к заключению, что скорость света в более преломляющей среде меньше, чем в менее преломляющей.
2. Для доказательства принципа Ферма допустим сначала, что показатель преломления среды меняется в пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что условия применимости геометрической оптики выполнены. Пусть в среде распространяется волна вида
(где а(r) , Ф(r) - вещественные функции координат.
Волновое число
например порожденная точечным источником. Ей соответствует система лучей, представленная на рис. 2.
Если эйконал Ф - однозначная функция координат, то из уравнения gradФ=ns (где s - единичный вектор нормали к фронту волны) следует, что циркуляция вектора ns по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.
где dl -- вектор элементарного смещения вдоль этого контура. Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из лучей. Соединим их произвольной линией ADB. В силу (3)
На луче АСВ векторы s и dl направлены одинаково, следовательно, (sdl)=dl. На линии же ADB (sdl)=dl cos (s,dl) Знак равенства относится только к случаю, когда кривая ADB сама является лучом. Таким образом, если показатель преломления меняется в пространстве непрерывно, то оптическая длина луча между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки. Но это есть другая формулировка принципа Ферма, так как оптическая длина луча пропорциональна времени распространения света вдоль него. Приведенная формулировка принципа Ферма нуждается в уточнении. В некоторых случаях она может оказаться неверной. Рассмотрим например, среду с сферически симметричным распределением показателя преломления вокруг центра О (рис. 3). Примером такой среды может служить планетная атмосфера. Предположим, что показатель преломления меняется в пространстве так, что световой луч, выйдя из какой-либо точки перпендикулярно к радиусу, описывает окружность с центром в точке О. Пусть свет попадает из точки А в точку В по большой дуге АСВ этой окружности. Но он может пройти из А в В и по дуге ADB той же окружности, затрачивая на распространение меньшее время. Меньшее время потребовалось бы и в том случае, если бы свет избрал какой-либо другой путь, бесконечно близкий к дуге ADB. Все это противоречит принципу Ферма в приведенной выше формулировке. Причина противоречия состоит в том, что в приведенном примере эйконал Ф не есть однозначная функция координат, как это предполагалось при выводе. Действительно, если луч описывает окружность вокруг центра О, то он вернется в исходную точку с новым значением эйконала: эйконал Ф получит приращение nl , где l -- длина описанной окружности. Если окружность описывается т раз, то приращение эйконала будет 2mп1. Это и значит, что функция Ф неоднозначна. Для справедливости принципа Ферма необходимо наложить на выбор воображаемых путей распространения света такие ограничения, чтобы эйконал Ф вел себя как однозначная функция координат. В приведенном примере этого можно достигнуть, поставив перегородку вдоль меридиональной полуплоскости ODE и ограничиваясь только такими путями, которые не пересекают эту перегородку. Подобным приемом можно воспользоваться и во всех остальных случаях, в которых эйконал Ф оказывается неоднозначным. Впрочем, в применениях принципа Ферма достаточно ограничиться только такими путями, которые проходят бесконечно близко от действительного пути света. В этом случае надобность во введении перегородок отпадает. 3. При наличии поверхностей раздела сред, на которых лучи могут испытывать отражение или преломление, в формулировку и доказательство принципа Ферма надо ввести дополнения. Пусть луч, выйдя из точки А (рис. 4), после отражений или преломлений в точках С, D,Е, попадает в точку В. Назовем виртуальным путем света любую линию AC"D"E"B между крайними точками А и В, которая получается из ACDEB в результате бесконечно малого бокового смещения ее и отличается от нее бесконечно мало по направлению. Принцип Ферма утверждает, что оптическая длина действительного светового пути (или пропорциональное ей время распространения) стационарна. Это значит, что разность оптических длин действительного и виртуального путей света есть величина более высокого порядка малости, чем боковое смещение виртуального пути относительно действительного. Только эта стационарность, а не минимальность оптической длины луча и существенна в приложениях. При доказательстве достаточно ограничиться преломлением на одной границе. Случай отражения исследуется так же. Пусть MN -- граница раздела сред 1 и 2, а АСВ -- действительный луч, соединяющий течку А с точкой В (рис. 5). Вообразим два бесконечно узких пучка лучей: один в первой среде, исходящий из точки А, другой во второй среде, сходящийся в точке В. За положительные направления лучей примем направления от А к В. Выберем в этих пучках два луча АС" и C"В, пересекающихся на границе раздела в точке С". Кривую АС"В можно рассматривать как виртуальный путь света, так как луч С"В в общем случае отнюдь не возникает в результате преломления луча АС" . Обозначим через и эйконалы рассматриваемых пучков лучей, отсчитываемые от точек А и В соответственно. Тогда Вариация интеграла при смещении точки С в произвольную бесконечно близкою точку С" границы раздела будет Если -- вектор смещения, то и аналогично, так что В силу закона преломления Снеллиуса вектор перпендикулярен к границе раздела сред в точке падения, а потому и к бесконечно малому смещению вдоль границы Таким образом, в первом порядке по вариация оптической длины луча АСВ обращается в нуль. При доказательстве предполагалось, что виртуальный путь состоит из отрезков лучей АС" и СВ". Однако результат отрезки заменить произвольными бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же точки A и С", С" и В, В самом деле, поскольку АС" и С" В -- действительные лучи в первой и второй средах, их оптические длины по доказанному выше минимальны. По этой причине замена действительных лучей АС" и С"В бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же крайние точки, не меняет в первом порядке оптические длины соответствующих путей. Следовательно, вариация оптической длины луча АСВ останется равной нулю, каков бы ни был виртуальный путь света. А к этому в рассматриваемом случае и сводится содержание принципа Ферма. 4. В применениях иногда удобна следующая теорема, являющая- ся непосредственным следствием принципа Ферма. Пусть А и В -- произвольные точки луча АСВ (рис.6). Проведем через точку В произвольную гладкую поверхность BE, ортогональную к лучу АСВ в точке В. Пусть BD -- бесконечно малое смещение вдоль этой поверхности. Соединим начальную точку луча А с точкой D произвольной линией AHD, бесконечно мало отличающейся по направлению от луча АСВ. Тогда вариация оптической длины при переходе от истинного пути света АСВ к виртуальному AHD будет равна нулю. Для доказательства возьмем пучок лучей, исходящих из точки А. Все А эти лучи ортогональны к волновому фронту BF, а их оптические длины от точки А до волнового фронта одинаковы. В частности, (АСВ) = (АМК). Но по принципу Ферма с точностью до бесконечно малых высшего порядка (АМК) = (AHK). Далее, поскольку поверхности BDE и BKF касаются друг друга в точке В, длина луча KD будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению с BD. Поэтому оптическая длина AHD будет отличаться от оптической длины АСВ также на величину высшего порядка малости по сравнению с боковым смещением BD. Это и требовалось доказать. 5. Если между собой, то в каждой среде путь света будет прямолинеен. В этом случае задача сводится только к нахождению точек на поверхностях раздела сред, в которых происходит отражение и преломление светового луча. Поэтому нет необходимости вводить криволинейные виртуальные пути света. Достаточно ограничиться ломаными виртуальными путями, состоящими из отрезков прямых линий, причем изломы таких путей должны происходить на границах раздела рассматриваемых сред. Даже при таких ограничениях оптическая длина действительного светового пути может быть не только минимальной, но и максимальной или стационарной. Чтобы показать это в случае отражения света, возьмем эллипсоидальное зеркало, получающееся от вращения эллипса вокруг его большой оси (рис. 7). Пусть и - фокусы эллипсоида Если А --точка на его поверхности, то где 2а -- длина большой оси эллипсоида. Поверхность зеркала делит все пространство на две части: внутреннюю, сумма расстояний каждой точки которой от фокусов и меньше 2а, и внешнюю, для которой эта сумма больше 2а, Пусть световой луч выходит из фокуса Тогда после отражения от эллипсоидального зеркала в точке А он пройдет через второй фокус F 2, так как по известному свойству эллипса прямые A и F 2 A образуют одинаковые углы с нормалью к поверхности зеркала. При смещении вдоль поверхности зеркала сумма А+ F 2 A, а с ней и время распространения света из в F 2 не изменяются. Вариация времени распространения при таком смещении равна нулю. Однако это время ни минимально, ни максимально -- оно постоянно. Именно по этой причине любой луч, вышедший из F l, обязательно пройдет через F 2 , в какой бы точке зеркала он ни отразился. Убедиться в этом можно с помощью таких же рассуждений, какие были приведены в пункте 3. Вообразим теперь зеркало S, касающееся эллипсоида в точке А, обращенное вогнутостью в ту же сторону, что и эллипсоид, но имеющее большую кривизну. Световой луч A после отражения от этого зеркала снова попадает в точку F 2 . Однако при смещении точки А по поверхности зеркала S длина ломаной AF 2 уменьшается. Следовательно, время распространения света из в F 2 вдоль действительного пути максимально. Наоборот, если взять зеркало S" имеющее в точке касания меньшую кривизну, чем эллипсоид, или обращенное вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения света вдоль действительного пути будет минимально. В частности, оно минимально при отражении от плоского зеркала. Допустим, наконец, что зеркало SAS" имеет в А точку перегиба. Тогда при смещении точки падения луча по поверхности этого зеркала время распространения либо увеличится, либо уменьшится, либо останется неизменным, в зависимости от направления смещения. 6. Чтобы разобрать случай преломления, введем понятие анаберрационной поверхности. Пусть точка Р находится в однородной среде с показателем преломления n, а точка Р" -- в однородной среде с показателем преломления n" (рис. 8). Поверхность АА", вдоль которой среды граничат друг с другом, называется анаберрационной, если любая точка А этой поверхности удовлетворяет условию n*РА + n"* АР" = С = const. (9) Для случая преломления анаберрационная поверхность имеет форму так называемого картезианского овала. Он обращен вогнутостью в сторону более преломляющей среды (n" > n). Анаберрационная поверхность делит пространство на две части, обладающие следующим свойством. Если точка М расположена в менее преломляющей среде, то сумма n*РМ + n"*MP" больше С; если же она лежит в более преломляющей среде, то эта сумма меньше С. Докажем следующую теорему. Луч света, вышедший из точки Р, после преломления на анаберрационной поверхности обязательно пройдет через точку Р". Действительно, пусть РА -- падающий луч, as -- единичный вектор, направленный вдоль него. Соединим точку А с точкой Р" и обозначим через s" единичный вектор, направленный вдоль прямой АР". По определению анаберрационной поверхности вариация оптической длины ломаной РAР" при смещении точки А по анаберрационной поверхности будет равна нулю. Поэтому, применяя такие же рассуждения, какие были проведены в пункте 2, найдем, что вектор ns -- n"s" перпендикулярен к анаберрационной поверхности в точке А. Отсюда следует, что АР" дает направление преломленного луча. Доказанной теореме можно дать также следующую формулировку. Если АА" -- анаберрационная поверхность относительно пары точек Р и Р", то каждая из этих точек будет оптическим изображением другой при преломлении лучей на этой анаберрационной поверхности. При этом на угловую ширину пучка лучей не накладывается никаких ограничений. Вернемся к исследованию характера экстремума оптической длины луча при преломлении. Наши рассуждения ничем не будут отличаться от рассуждений, проведенных выше для эллипсоидального зеркала. Допустим, например, что среды граничат друг с другом вдоль поверхности S (рис. 8), касающейся анаберрационной поверхности в точке A. Тогда падающий луч после преломления в точке А опять пройдет через точку Р". Пусть поверхность S обращена вогнутостью в ту же сторону, что и анаберрационная поверхность, и имеет в точке касания большую кривизну. Тогда при смещении точки падения вдоль S она окажется в менее преломляющей среде. Следовательно, смещенный путь будет иметь меньшую оптическую длину, чем действительный: время распространения света вдоль действительного пути максимально. Напротив, когда кривизна поверхности S в точке касания А меньше кривизны анаберрационной поверхности, а также тогда, когда поверхность S обращена вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения вдоль действительного пути минимально. В частности, оно Минимально при преломлении на плоской поверхности. Свет
- это электромагнитное излучение в диапазоне длин волн от до (ф 0,4-0,79 мкм кр).
Видимый свет
– это излучение в интервале длин волн: Принцип Ферма (первая формулировка):
свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время. Пусть свет распространяется из точки 1 в точку 2 .Для прохождения элементарного участка dS свету потребуется время. Абсолютный показатель преломления среды , где с – скорость света, – скорость света в среде, то Оптические свойства вещества характеризуются величиной, называемой абсолютным показателем преломления n. Абсолютный показатель преломления показывает во сколько раз скорость света в вакууме с больше скорости света в веществе v
n 21 = n 2 /n 1 ; n 21 = v 1 /v 2 . 2. Основные законы геометрической оптики.
1) З-н прямолинейного распространения света: в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно. 2) З-н обратимости хода светового луча.(закон независимости световых лучей;) 3) З-н отражения света: а)луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр восстановленный в точку падения луча на границе раздела 2 сред, лежат в одной пл-ти. б)угол падения= углу отражения. 4) закон независимости световых пучков. · (эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того
, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены.
Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.) 5) З-н преломления света: а)луч падающий, луч преломляющий и перпендикуляр восстановленный в точку падения луча на границе раздела 2 сред, лежат в одной плоскости. б)отношение sin угла падения к sin угла преломления есть величина постоянная, равная относительному показателю двух сред Закон отражения
(рис. 7.3): · отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром
, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения
; · угол падения
α равен углу отражения
γ:
α = γ Для вывода закона отражения
воспользуемся принципом Гюйгенса. Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ
с
, падает на границу раздела двух сред
(рис. 7.4). Когда фронт волны АВ
достигнет отражающей поверхности в точке А
,
эта точка начнет излучать вторичную волну
. · Для прохождения волной расстояния ВС
требуется время Δt
= BC/υ.
За это же время фронт вторичной волны достигнет точек полусферы, радиус AD
которой равен: υ
Δt = ВС.
Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC,
а направление распространения этой волны – лучом II. Из равенства треугольников ABC
и ADC
вытекает закон отражения
: угол падения
α равен углу отражения
γ.
Закон преломления
(закон Снелиуса
)
(рис. 7.5): · луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости;
· отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред.
Вывод закона преломления.
Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ
), распространяющаяся в вакууме вдоль направления I со скоростью с
, падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна u
(рис. 7.6). Пусть время, затрачиваемое волной для прохождения пути ВС
, равно Dt
. Тогда ВС = с
Dt.
За это же время фронт волны, возбуждаемой точкой А
в среде со скоростью u,
достигнет точек полусферы, радиус которой AD = u
Dt.
Положение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC,
а направление ее распространения – лучом III.
Из рис. 7.6 видно, что Отсюда следует закон Снелиуса
:
3. Применение принципа Ферма к доказательству законов отражения и преломления.
Принцип Ферма
– основной принцип геометрической оптики
. Простейшая форма принципа Ферма – утверждение, что луч света
всегда распространяется в пространстве
между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех других путей, соединяющих эти точки. Время
прохождения светом расстояния
l, заполненного средой с показателем преломления n
, пропорционально оптической длине пути
S
; S = l n
для однородной среды, а при переменном n
S = ∫ndl,
Поэтому можно сказать, что принцип Ферма есть принцип наименьшей оптической длины пути
. В первоначальной формулировке самого П. Ферма (около 1660) принцип имел смысл наиболее общего закона распространения света
, из которого следовали все (к тому времени уже известные) законы геометрической оптики
: для однородной среды он приводит к закону прямолинейности светового луча
(в соответствии с геометрическим положением о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками), а для случая падения луча на границу различных сред
из принципа Ферма можно получить законы отражения света и преломления света
. В более строгой формулировке принцип Ферма представляет собой вариационный принцип
, утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, по которой время его прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения по всем другим линиям, соединяющим эти точки. Это означает, что оптическая длина пути луча может быть не только минимальной, но и максимальной либо равной всем остальным возможным путям, соединяющим указанные точки. Примерами минимального пути служат упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение светом границы двух сред с разными показателями преломления n
. Все три случая (минимальности, максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, анализируя отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.1). Действительный путь света соответствует экстремальному времени распространения
где А и В – точки, между которыми распространяется свет. Это выражение и представляет собой математическую формулировку принципа Ферма. В волновой теории света принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса – Френеля
и применим, когда можно пренебречь дифракцией света (когда длина световой волны достаточно мала по сравнению с характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света оптической длины их путей будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать дифракцию
, принцип Ферма перестаёт быть применимым.
4.Преломоение света на плоской границе раздела 2-х сред. Полное внутреннее отражение
Если световой пучок падает на поверхность, разделяющую две прозрачные среды разной оптической плотности, например воздух и воду, то часть света отражается от этой поверхности, а другая часть - проникает во вторую среду. При переходе из одной среды в другую луч света изменяет направление на границе этих сред. Это явление называется преломлением света. Законы преломления света. Из всего сказанного заключаем: Пусть MN
-граница раздела двух про зрачных сред, например, воздуха и воды, АО
-падающий луч, ОВ
- преломленный луч, -угол падения, -угол преломления, -скорость распространения света в первой среде, - скорость распространения света во второй среде. Первый закон преломления звучит так: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является постоянной величиной для данных двух сред:
Второй закон преломления света очень напоминает второй закон отражения света: падающий луч, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный в точку падения луча, лежит в одной плоскости.
Полное внутреннее отражение
Наблюдается для электромагнитных или звуковых волн на границе раздела двух сред, когда волна падает из среды с меньшей скоростью распространения (в случае световых лучей это соответствует бо́льшему показателю преломления). С увеличением угла падения , угол преломления также возрастает, при этом интенсивность отражённого луча растет, а преломленного - падает (их сумма равна интенсивности падающего луча). При некотором критическом значении интенсивность преломленного луча становится равной нулю и происходит полное отражение света. Значение критического угла падения можно найти, положив в законе преломления угол преломления равным 90°: 5. Призмы
Призма
- оптический элемент из прозрачного материала (например, оптического стекла) в форме геометрического тела - призмы, имеющий плоские полированные грани, через которые входит и выходит свет. Свет в призме преломляется. Важнейшей характеристикой призмы является показатель преломления материала, из которого она изготовлена. Виды призм:
Дисперсионные призмы. Отражательные призмы. Поляризационные призмы.
Дисперсионные призмы
Дисперсионные призмы используют в спектральных приборах для пространственного разделения излучений различных длин волн.
Отражательные призмы
Отражательные призмы используют для изменения хода лучей, изменения направления оптической оси, изменения направления линии визирования, для уменьшения габаритных размеров приборов. Классифицируются отражательные призмы по нескольким признакам:
6. Тонкие линзы. Формула тонкой линзы
Линзой
называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой
. Линзы входят в состав практически всех оптических приборов. Линзы бывают собирающими
и рассеивающими
. Собирающая линза в середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней части тоньше Линзы входят в состав практически всех оптических устройств
. Линзы (Рис.3) делятся на собирающие и рассеивающие
Схема тонкой линзы Рис.3,Собирающие (a) и рассеивающие (b) линзы и их условные обозначения. Главной оптической осью
линзы считается ось, прожодящая через центры кривизны её поверхностей. В тонкой линзе точки пересечения главной оптической оси с обеими поверхностями линзы сливаются в одну точку О.(Т.к. очень большие радиусы кривизны приближаются к плоскостям, то сферические поверхности теоретически сливаються в одну плоскость). Эта точка называется оптическим центром линзы. Тонкая линза имеет одну главную плоскость, которая общая для двух сферических поверхностей и проходит через центр призмы и перпендикулярна к главной оптической оси. Все прямые, проходящие через оптический центр линзы, называются побочными оптическими осями линзы. Важным является то, что все лучи, идущие через оптический центр линзы, не преломляются.
Поток монохроматических параллельных лучей или пучков лучей с осями их узких конусов, нормалльных к сферической границе раздела (к главной плоскости, называют парксиальными (приосевыми) пучками. При этом, пройдя через неё сходятся в главном фокусе линзы F 2 . Главные фокусы линзы лежат на главной оптической оси линзы. Точки, расположенные на главной оптической оси линзы с двух сторон оптического центра на равных расстояниях f
2
.
, называются главными фокусами линзы
. Плоскости, проходящие через главные фокусы f
2
линзы и перпендикулярные к её главной оптической оси
, называются фокальными плоскостями линзы
. Формула тонкой линзы. Формула тонкой линзы связывает между; собой три величины: расстояние от предмета до линзы d, расстояние
от линзы до изображения f
и фокус ное расстояние линзы F
: В формуле тонкой линзы фокусное расстояние ОF
обозначается буквой F.
Если линза собирающая, то > 0, если линза рассеивающая, то перед ставится знак «минус». Если изображение действительное, то > 0; если изображение воображаемое, то перед ставиться знак «минус». Все величины в формулу линзы подставляются в метрах. 7. Построение изображений в линзах
Опыт показывает, что параксиальные лучи света, выходящие из одной светящейся точки, после прохождения через линзу сходятся также в одной точке, которая является изображением
светящейся точки. Поэтому для построения изображения точки достаточно взять два любых луча, но лучше те, ход которых после преломления заранее известен: 1 - луч, идущий через оптический центр; 2 - луч, параллельный главной оптической оси; 3 - луч, проходящий через передний фокус собирающей линзы (или продолжение луча 3 проходит через задний фокус рассеивающей линзы) (рис. 16.41). Положение изображения действительного предмета и егоразмеры зависят от положения предмета относительно линзы. Пусть d
- расстояние от предмета до линзы, f
- расстояние от линзы до изображения. Построим изображение плоского предмета АВ
, расположенного на различных расстояниях d
от линзы. Если линза собирающая, то при d>2F
(рис. 16.42) изображение действительное, перевернутое, уменьшенное,F При F (рис. 16.43) изображение действительное, перевернутое, увеличенное, f>2F.
При d (рис. 16.44) изображение мнимое, прямое, увеличенное, находится с той же стороны от линзы, что и сам предмет, но дальше предмета (f>d).
В рассеивающей линзе (рис. 16.45) изображение действительного предмета всегда мнимое, прямое, уменьшенное, находится между линзой и ее фокусом со стороны изображаемого предмета. 8.Глаз как оптический прибор. Лупа, Микроскоп, фотоаппарат.
Глаз.
Основным источником зрения является глазное яблоко, за зрачком находится хрусталик, а сзади сетчатка. Оптическую роль в глазе выполняет элемент, имеющий форму двояковыпуклой линзы и наз-ся хрусталиком. К краям хрусталика прикреплены мышцы, которые сжимают или растягивают хрусталик, в результате меняются радиусы кривизны сферич. пов-ти хрусталика и соответственно фокусные расстояния. При изменении расстояния d до наблюдаемого объекта, расстояние f от хрусталика до сетчатки остается неизменным, а меняется фокусное расстояние. Недостатки зрения – близорукость и дальнозоркость. Лупой
называют собирающую тонкую линзу с малым фокусным расстоянием (5-10 см).увеличение лупы: Принцип Ферма
– одна из наиболее важных теорем геометрической оптики. Несмотря на то, что он не используется непосредственно при расчете оптической системы (как, например, ), этот принцип используется для получения результатов, которые будет невозможно или очень сложно получить другим образом. Этот принцип можно сформулировать следующим образом. На рисунке 1.4 показан физически возможный путь лучей от точки до точки . Пусть длины отрезков вдоль луча будут равны . Рисунок 1.4 – Оптическая длина пути.
Определим оптическую длину пути в любой среде как произведение пройденного лучом расстояния и коэффициента преломления: (1.7) где квадратные скобки использованы для того, чтобы различить оптическую длину пути от геометрического расстояния. Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, вдоль физически возможного пути луча – величина постоянная.
Например, в простом случае плоской преломляющей поверхности (рисунок 1.5). Рисунок 1
.5. Пример принципа Ферма.
У нас здесь есть луч, проходящий через две точки и . Предполагается, что преломляющая поверхность пересекается лучом в точке
. По принципу Ферма, если мы запишем выражение для оптической длины пути как функцию от
, а затем продифференцируем по относительно
, то точка где дифференциал будет равен нулю совпадет с точкой
. Это значит, что луч выбрал для своего пути кротчайшее расстояние.
Оптика
- раздел физики, который занимается изучением природы света, законов распространения и взаимодействия с веществом.
. Геометрическая оптика –
раздел физики занимающийся изучением законов распространения света и получением изображений в оптических приборах. В основу геометрической оптики положено понятие светового луча
(это линия указывающая направление распространения света) и световой пучок
(это область пространства, в пределах которой распространяется свет). Световые пучки являются независимыми: каждый световой пучок при взаимном пересечении ведет себя самостоятельно, независимо от других пучков и не оказывает никакого влияния на другие пучки света. В основу г. о. положен принцип Ферма.
. Вторая формулировка:
величина называется оптической длиной пути.Если среда однородна (n
=с
onst
), то L=nS
, т. е. оптическая длина пути равнапроизведению показателя преломления среды на геометрическое расстояние между точками. Если заменить , т. е. пр. Ферма: свет распространяется по такому пути, длина которого минимальна, где s- геометрическая длина пути.
Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления в двух средах:
где v 1 и v 2 - скорость света в первой и во второй среде соответственно.
, где – относительный показатель преломления, – абсолютный показатель света.
Если зеркало имеет форму эллипсоида вращения, а свет распространяется от одного его фокуса Р к другому Q (причём путь без отражения невозможен), то оптическая длина пути луча PO" + O"Q
по свойствам эллипсоида равна всем остальным возможным, например PO"" + О"" Q
; если на пути между теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны (MM
), реализуется минимальный путь, если же большей (зеркало NN
) – максимальный. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю вариация
от интеграла
1 . На границе раздела двух сред различной оптической плотности луч света при переходе из одной среды в другую меняет своё направление.
2. При переходе луча света в среду с большей оптической плотностью угол преломления меньше угла падения; при переходе луча света из оптически более плотной среды в среду менее плотную угол преломления больше угла падения.
Преломление света сопровождается отражением, причём с увеличением угла падения яркость отражённого пучка возрастает, а преломлённого ослабевает. Это можно увидеть проводя опыт, изображённом на рисунке. Следовательно, отражённый пучок уносит с собой тем больше световой энергии, чем больше угол падения.
, где - относительный показатель преломления (показатель преломления второй среды относительно первой).
Также, особую нишу среди отражательных призм занимают составные призмы, - состоящие из нескольких частей, разделённых воздушными промежутками. Некоторые широко распространённые призмы получили собственные имена.
количеству отражений в призме
наличию или отсутствию «крыши»
характеру конструкции призмы
углу излома оптической оси
Призма Аббе
Призма Аббе-Порро
Рис. 16.43
Рис. 16.44
, расстояние наилучшего зрения.
