Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:
Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета модно записать
D (p) = a o p n + a 1 p n - 1 + a 2 p n - 2 +. + a n = a o (p - p 1) (p - p 2). (p - p n), (4)
где p 1 , p2,., p n - корни полинома D (p). Аналогично
K (p) = b o pm + b 1 p m - 1 +. + bm = b o (p - p ~ 1) (p - p ~ 2). (p - p ~ m), (5)
где p ~ 1 , p ~ 2 ,., p ~ m - корни полинома K (p). То есть
Корни любого полинома могут быть либо вещественными p i = a i , либо комплексными попарно сопряженными p i = a i ± j i . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель (p - a i). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как
(p - a i + j i) (p - a i - j i) = (p - ai) 2 + i 2 = p 2 - 2pa i + (a i 2 + i 2). (7)
Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.
В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть
W (p) = 1/p, W (p) = p, W (p) = Tp+ 1, W (p) = k (9) (11)
Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.
Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем. Рассмотрим возможные способы преобразований:
1) Последовательное соединение - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего
Рисунок 4.1 - Последовательное соединение звеньев
2) Параллельно - согласное соединение - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются. Тогда:
y = y1 + y2 +. + yn = (W1 + W2 +. + W3) yo = Wэкв yo, (12)
Рисунок 4.2 - Параллельно-согласное соединение звеньев
3) Параллельно - встречное соединение - звено охвачено положительной или отрицательной обратной связью. Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется цепью обратной связи с передаточной функцией W ос. При этом для отрицательной ОС:
y = W п u; y 1 = W ос y; u = y o - y 1 , (13)
W экв = W п / (1 ± W п). (14)
Рисунок 4.3 - Параллельно-встречное соединение звеньев
Замкнутую систему называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой либо точке получают цепочку из последовательно соединенных элементов. Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называется прямой цепью. Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют разомкнутой цепью. Исходя из приведенных выше способов эквивалентного преобразования структурных схем, одноконтурная система может быть представлена одним звеном с передаточной функцией: Wэкв = Wп/ (1 ± Wp) - передаточная функция одноконтурной замкнутой системы с отрицательной ОС равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи. Для положительной ОС в знаменателе знак минус. Если сменить точку снятия выходного сигнала, то меняется вид прямой цепи. Так, если считать выходным сигнал y1 на выходе звена W1, то Wp = Wo W1. Выражение для передаточной функции разомкнутой цепи не зависит от точки снятия выходного сигнала. Замкнутые системы бывают одноконтурными и многоконтурной. Чтобы найти эквивалентную передаточную функцию для данной схемы нужно сначала осуществить преобразование отдельных участков.
ОТП БИСН (КСН)
Цель работ – приобретение студентами практических навыков использования методов проектирования бортовых интегрированных (комплексных) систем наблюдения.
Лабораторные работы выполняются в компьютерном классе.
Среда программирования: МАТЛАБ.
Бортовые интегрированные (комплексные) системы наблюдения предназначены для решения задач поиска, обнаружения, распознавания, определения координат объектов поиска и пр.
Одним из главных направлений повышения эффективности решения поставленных целевых задач является рациональное управление поисковыми ресурсами.
В частности, если носителями КСН являются беспилотные летательные аппараты (БЛА), то управление поисковыми ресурсами состоит в планировании траекторий и управлении полетом БЛА, а также управлении линией визирования КСН и т.д.
Решение этих задач базируются на теории автоматического управления.
Лабораторная работа 1
Типовые звенья системы автоматического управления (САУ)
Передаточная функция
В теории автоматического управления (ТАУ) часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператораp = d/dt так, что, dy/dt = py , а p n = d n /dt n . Это лишь другое обозначение операции дифференцирования.
Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как 1/p . В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:
a o p (n) y + a 1 p (n-1) y + ... + a n y = (a o p (n) + a 1 p (n-1) + ... + a n)y = (b o p (m) + b 1 p (m-1) + ... + bm)u
Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением хотя бы потому, что здесь используются непосредственно функции времени y(t), u(t) (оригиналы ), а не их изображения Y(p), U(p) , получаемые из оригиналов по формуле преобразования Лапласа. Вместе с тем при нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно очень похожи. Это сходство лежит в природе дифференциальных уравнений. Поэтому некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так оператор p можно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то есть py yp . Его можно выносить за скобки и т.п.
Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде:
Дифференциальный оператор W(p) называют передаточной функцией . Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени: W(p) = y(t)/u(t) , поэтому ее еще называют динамическим коэффициентом усиления .
В установившемся режиме d/dt = 0 , то есть p = 0 , поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена K = b m /a n .
Знаменатель передаточной функции D(p) = a o p n + a 1 p n - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n называют характеристическим полиномом . Его корни, то есть значения p, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а W(p) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функции .
Числитель K(p) = b o p m + b 1 p m - 1 + ... + b m называют операторным коэффициентом передачи . Его корни, при которых K(p) = 0 и W(p) = 0 , называются нулями передаточной функции .
Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном . Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция W и (p) = 1/p . Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется структурной .
Дифференцирующее звено
Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Уравнение динамики идеального звена:
y(t) = k(du/dt), или y = kpu .
Здесь выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины. Передаточная функция: W(p) = kp . При k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование W(p) = p . Переходная характеристика:h(t) = k 1’(t) = d(t) .
Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала.
Его уравнение: Tpy + y = kTpu .
Передаточная функция: W(p) = k(Tp/Tp + 1).
При подаче на вход единичного ступенчатого воздействия выходная величина оказывается ограничена по величине и растянута во времени (рис.5).
По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты, можно определить передаточный коэффициентk и постоянную времени Т . Примерами таких звеньев могут являться четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности, демпфер и т.п. Дифференцирующие звенья являются главным средством, применяемым для улучшения динамических свойств САУ.
Кроме рассмотренных имеется еще ряд звеньев, на которых подробно останавливаться не будем. К ним можно отнести идеальное форсирующее звено (W(p) = Tp + 1 , практически не реализуемо), реальное форсирующее звено (W(p) = (T 1 p + 1)/(T 2 p + 1) , при T 1 >> T 2 ), запаздывающее звено (W(p) = e - pT ), воспроизводящее входное воздействие с запаздыванием по времени и другие.
Безынерционное звено
Передаточная функция:
АФЧХ: W(j ) = k.
Вещественная частотная характеристика (ВЧХ): P() = k.
Мнимая частотная характеристика (МЧХ): Q() = 0.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ): A() = k.
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ): () = 0.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ): L() = 20lgk.
Некоторые ЧХ показаны на рис.7.
Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.
Интегрирующее звено
Передаточная функция:
Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть
АФЧХ: W(j ) = 
.
ВЧХ: P() = 0.
МЧХ: Q() = - 1/ .
АЧХ: A() = 1/ .
ФЧХ: () = - /2.
ЛАЧХ: L() = 20lg(1/ ) = - 20lg().
ЧХ показаны на рис.8.
Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90 о. Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и уменьшается до нуля при росте частоты (звено "заваливает" высокие частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L() = 0 при = 1. При увеличении частоты на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен - 20 дб/дек (децибел на декаду).
Апериодическое звено
При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:
W(p) = 1/(Tp + 1);
;
;
;
() = 1 - 2 = - arctg( T);
;
L() = 20lg(A()) = - 10lg(1 + ( T)2).
Здесь A1 и A2 - амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ; 1 и 2 - аргументы числителя и знаменателя. ЛФЧХ:
ЧХ показаны на рис.9.
АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при < 1 = 1/T можно пренебречь ( T) 2 выражении для L(), то есть L() - 10lg1 = 0.. При > 1 пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть L(ω) - 20lg(ω T). Поэтому ЛАЧХ проходит вдоль оси абсцисс до сопрягающей частоты, затем - под наклоном - 20 дб/дек. Частота ω 1 называется сопрягающей частотой. Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дб при = 1 .
ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении ω до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к - /2 при возрастании до бесконечности. Перегиб в точке = 1 при () = - /4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.
Форма отчетности
В электронном отчете должны быть указаны:
1. Группа, Ф.И.О. студента;
2. Наименование лабораторной работы, тема, вариант задания;
3. Схемы типовых звеньев;
4. Результаты расчетов: переходные процессы, ЛАФЧХ, для различных параметров звеньев, графики;
5. Выводы по результатам расчетов.
Лабораторная работа 2.
Принцип компенсации
Если возмущающий фактор искажает выходную величину до недопустимых пределов, то применяют принцип компенсации (рис.6, КУ - корректирующее устройство ).
Пусть y о - значение выходной величины, которое требуется обеспечить согласно программе. На самом деле из-за возмущения f на выходе регистрируется значение y . Величина e = y о - y называется отклонением от заданной величины . Если каким-то образом удается измерить величину f , то можно откорректировать управляющее воздействие u на входе ОУ, суммируя сигнал УУ с корректирующим воздействием, пропорциональным возмущению f и компенсирующим его влияние.
Примеры систем компенсации: биметаллический маятник в часах, компенсационная обмотка машины постоянного тока и т.п. На рис.4 в цепи нагревательного элемента (НЭ) стоит термосопротивление R t , величина которого меняется в зависимости от колебаний температуры окружающей среды, корректируя напряжение на НЭ.
Достоинство принципа компенсации : быстрота реакции на возмущения. Он более точен, чем принцип разомкнутого управления. Недостаток : невозможность учета подобным образом всех возможных возмущений.
Принцип обратной связи
Наибольшее распространение в технике получил принцип обратной связи (рис.5).
Здесь управляющее воздействие корректируется в зависимости от выходной величины y(t) . И уже не важно, какие возмущения действуют на ОУ. Если значение y(t) отклоняется от требуемого, то происходит корректировка сигнала u(t) с целью уменьшения данного отклонения. Связь выхода ОУ с его входом называется главной обратной связью (ОС) .
В частном случае (рис.6) ЗУ формирует требуемое значение выходной величины y о (t) , которое сравнивается с действительным значением на выходе САУ y(t) .
Отклонение e = y о -y с выхода сравнивающего устройства подается на вход регулятора Р, объединяющего в себе УУ, УО, ЧЭ.
Если e 0 , то регулятор формирует управляющее воздействие u(t) , действующее до тех пор, пока не обеспечится равенство e = 0 , или y = y о . Так как на регулятор подается разность сигналов, то такая обратная связь называется отрицательной , в отличие от положительной обратной связи , когда сигналы складываются.
Такое управление в функции отклонения называется регулированием , а подобную САУ называют системой автоматического регулирования (САР).
Недостатком принципа обратной связи является инерционность системы. Поэтому часто применяют комбинацию данного принципа с принципом компенсации , что позволяет объединить достоинства обоих принципов: быстроту реакции на возмущение принципа компенсации и точность регулирования независимо от природы возмущений принципа обратной связи.
Основные виды САУ
В зависимости от принципа и закона функционирования ЗУ, задающего программу изменения выходной величины, различают основные виды САУ: системы стабилизации, программные, следящие и самонастраивающиеся системы, среди которых можно выделить экстремальные, оптимальные и адаптивные системы.
В системах стабилизации обеспечивается неизменное значение управляемой величины при всех видах возмущений, т.е. y(t) = const. ЗУ формирует эталонный сигнал, с которым сравнивается выходная величина. ЗУ, как правило, допускает настройку эталонного сигнала, что позволяет менять по желанию значение выходной величины.
В программных системах обеспечивается изменение управляемой величины в соответствии с программой, формируемой ЗУ. В качестве ЗУ может использоваться кулачковый механизм, устройство считывания с перфоленты или магнитной ленты и т.п. К этому виду САУ можно отнести заводные игрушки, магнитофоны, проигрыватели и т.п. Различают системы с временной программой , обеспечивающие y = f(t) , и системы с пространственной программой , в которых y = f(x) , применяемые там, где на выходе САУ важно получить требуемую траекторию в пространстве, например, в копировальном станке (рис.7), закон движения во времени здесь роли не играет.
Следящие системы отличаются от программных лишь тем, что программа y = f(t) или y = f(x) заранее неизвестна. В качестве ЗУ выступает устройство, следящее за изменением какого-либо внешнего параметра. Эти изменения и будут определять изменения выходной величины САУ. Например, рука робота, повторяющая движения руки человека.
Все три рассмотренные вида САУ могут быть построены по любому из трех фундаментальных принципов управления. Для них характерно требование совпадения выходной величины с некоторым предписанным значением на входе САУ, которое само может меняться. То есть в любой момент времени требуемое значение выходной величины определено однозначно.
В самонастраивающихся системах ЗУ ищет такое значение управляемой величины, которое в каком-то смысле является оптимальным.
Так в экстремальных системах (рис.8) требуется, чтобы выходная величина всегда принимала экстремальное значение из всех возможных, которое заранее не определено и может непредсказуемо изменяться.
Для его поиска система выполняет небольшие пробные движения и анализирует реакцию выходной величины на эти пробы. После этого вырабатывается управляющее воздействие, приближающее выходную величину к экстремальному значению. Процесс повторяется непрерывно. Так как в данных САУ происходит непрерывная оценка выходного параметра, то они выполняются только в соответствии с третьим принципом управления: принципом обратной связи.
Оптимальные системы являются более сложным вариантом экстремальных систем. Здесь происходит, как правило, сложная обработка информации о характере изменения выходных величин и возмущений, о характере влияния управляющих воздействий на выходные величины, может быть задействована теоретическая информация, информация эвристического характера и т.п. Поэтому основным отличием экстремальных систем является наличие ЭВМ. Эти системы могут работать в соответствии с любым из трех фундаментальных принципов управления.
В адаптивных системах предусмотрена возможность автоматической перенастройки параметров или изменения принципиальной схемы САУ с целью приспособления к изменяющимся внешним условиям. В соответствии с этим различают самонастраивающиеся и самоорганизующиеся адаптивные системы.
Все виды САУ обеспечивают совпадение выходной величины с требуемым значением. Отличие лишь в программе изменения требуемого значения. Поэтому основы ТАУ строятся на анализе самых простых систем: систем стабилизации. Научившись анализировать динамические свойства САУ, мы учтем все особенности более сложных видов САУ.
Статические характеристики
Режим работы САУ, в котором управляемая величина и все промежуточные величины не изменяются во времени, называется установившимся , или статическим режимом . Любое звено и САУ в целом в данном режиме описывается уравнениями статики вида y = F(u,f) , в которых отсутствует время t . Соответствующие им графики называются статическими характеристиками . Статическая характеристика звена с одним входом u может быть представлена кривой y = F(u) (рис.9). Если звено имеет второй вход по возмущениюf , то статическая характеристика задается семейством кривых y = F(u) при различных значенияхf , или y = F(f) при различных u .
Так примером одного из функциональных звеньев системы регулирования является обычный рычаг (рис.10). Уравнение статики для него имеет вид y = Ku . Его можно изобразить звеном, функцией которого является усиление (или ослабление) входного сигнала в K раз. КоэффициентK = y/u , равный отношению выходной величины к входной называется коэффициентом усиления звена. Когда входная и выходная величины имеют разную природу, его называют коэффициентом передачи .
Статическая характеристика данного звена имеет вид отрезка прямой линии с наклоном a = arctg(L 2 /L 1) = arctg(K) (рис.11). Звенья с линейными статическими характеристиками называются линейными . Статические характеристики реальных звеньев, как правило, нелинейны. Такие звенья называются нелинейными . Для них характерна зависимость коэффициента передачи от величины входного сигнала:K = y/ u const .
Например, статическая характеристика насыщенного генератора постоянного тока представлена на рис.12. Обычно нелинейная характеристика не может быть выражена какой-либо математической зависимостью и ее приходится задавать таблично или графически.
Зная статические характеристики отдельных звеньев, можно построить статическую характеристику САУ (рис.13, 14). Если все звенья САУ линейные, то САУ имеет линейную статическую характеристику и называется линейной . Если хотя бы одно звено нелинейное, то САУ нелинейная .
Звенья, для которых можно задать статическую характеристику в виде жесткой функциональной зависимости выходной величины от входной, называются статическими . Если такая связь отсутствует и каждому значению входной величины соответствует множество значений выходной величины, то такое звено называется астатическим . Изображать его статическую характеристику бессмысленно. Примером астатического звена может служить двигатель, входной величиной которого является
напряжение U , а выходной - угол поворота вала , величина которого при U = const может принимать любые значения.
Выходная величина астатического звена даже в установившемся режиме является функцией времени.
Лабораторная работа 3
Динамический режим САУ
Уравнение динамики
Установившийся режим не является характерным для САУ. Обычно на управляемый процесс действуют различные возмущения, отклоняющие управляемый параметр от заданной величины. Процесс установления требуемого значения управляемой величины называется регулированием . Ввиду инерционности звеньев регулирование не может осуществляться мгновенно.
Рассмотрим САР, находящуюся в установившемся режиме, характеризующемся значением выходной величины y = y o . Пусть в момент t = 0 на объект воздействовал какой - либо возмущающий фактор, отклонив значение регулируемой величины. Через некоторое время регулятор вернет САР к первоначальному состоянию (с учетом статической точности) (рис.1).
Если регулируемая величина изменяется во времени по апериодическому закону, то процесс регулирования называется апериодическим .
При резких возмущениях возможен колебательный затухающий процесс (рис.2а). Существует и такая вероятность, что после некоторого времени Т р в системе установятся незатухающие колебания регулируемой величины - незатухающий колебательный процесс (рис.2б). Последний вид - расходящийся колебательный процесс (рис.2в).
Таким образом, основным режимом работы САУ считается динамический режим , характеризующийся протеканием в ней переходных процессов . Поэтому второй основной задачей при разработке САУ является анализ динамических режимов работы САУ .
Поведение САУ или любого ее звена в динамических режимах описывается уравнением динамики y(t) = F(u,f,t) , описывающее изменение величин во времени. Как правило, это дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. Поэтому основным методом исследования САУ в динамических режимах является метод решения дифференциальных уравнений . Порядок дифференциальных уравнений может быть довольно высоким, то есть зависимостью связаны как сами входные и выходные величины u(t), f(t), y(t) , так и скорости их изменения, ускорения и т.д. Поэтому уравнение динамики в общем виде можно записать так:
F(y, y’, y”,..., y (n) , u, u’, u”,..., u (m) , f, f ’, f ”,..., f (k)) = 0 .
К линеаризованной САУ можно применить принцип суперпозиции : реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет звено с двумя входами u и f разложить на два звена, каждое из которых имеет один вход и один выход (рис.3).
Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением поведения систем и звеньев с одним входом, уравнение динамики которых имеет вид:
a o y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n - 1 y’ + a n y = b o u (m) + ... + b m - 1u’ + b m u.
Это уравнение описывает САУ в динамическом режиме лишь приближенно с той точностью, которую дает линеаризация. Однако следует помнить, что линеаризация возможна только при достаточно малых отклонениях величин и при отсутствии разрывов в функции F в окрестностях интересующей нас точки, которые могут быть созданы различными выключателями, реле и т.п.
Обычно n m , так как при n < m САУ технически нереализуемы.
Структурные схемы САУ
Эквивалентные преобразования структурных схем
Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем. Рассмотрим возможные способы преобразований.
1. Последовательное соединение (рис.4) - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего. При этом можно записать:
y 1 = W 1 y o ; y 2 = W 2 y 1 ; ...; y n = W n y n - 1 = >
y n = W 1 W 2 .....W n .y o = W экв y o ,
где 
.
То есть цепочка последовательно соединенных звеньев преобразуется в эквивалентное звено с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев.
2. Параллельно - согласное соединение (рис.5) - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются. Тогда:
y = y 1 + y 2 + ... + y n = (W 1 + W 2 + ... + W3)y o = W экв y o ,
где 
.
То есть цепочка звеньев, соединенных параллельно - согласно, преобразуется в звено с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций отдельных звеньев.
3. Прараллельно - встречное соединение (рис. 6а) - звено охвачено положительной или отрицательной обратной связью. Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется цепью обратной связи с передаточной функцией W ос . При этом для отрицательной ОС:
y = W п u; y 1 = W ос y; u = y o - y 1 ,
следовательно
y = W п y o - W п y 1 = W п y o - W п W oc y = >
y(1 + W п W oc) = W п y o = > y = W экв y o ,
где 
.
Аналогично: 
- для положительной ОС.
Если W oc = 1 , то обратная связь называется единичной (рис.6б), тогда W экв = W п /(1 ± W п).
Замкнутую систему называют одноконтурной , если при ее размыкании в какой либо точке получают цепочку из последовательно соединенных элементов (рис.7а).
Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называется прямой цепью (рис.7б, передаточная функция прямой цепи W п = Wo W 1 W 2) . Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют разомкнутой цепью (рис.7в, передаточная функция разомкнутой цепи W p = W 1 W 2 W 3 W 4 ). Исходя из приведенных выше способов эквивалентного преобразования структурных схем, одноконтурная система может быть представлена одним звеном с передаточной функцией: W экв = W п /(1 ± W p) - передаточная функция одноконтурной замкнутой системы с отрицательной ОС равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи. Для положительной ОС в знаменателе знак минус. Если сменить точку снятия выходного сигнала, то меняется вид прямой цепи. Так, если считать выходным сигналy 1 на выходе звена W 1 , то W p = Wo W 1 . Выражение для передаточной функции разомкнутой цепи не зависит от точки снятия выходного сигнала.
Замкнутые системы бывают одноконтурными и многоконтурной (рис.8).Чтобы найти эквивалентную передаточную функцию для данной схемы нужно сначала осуществить преобразование отдельных участков.
Если многоконтурная система имеет перекрещивающиеся связи (рис.9), то для вычисления эквивалентной передаточной функции нужны дополнительные правила:
4. При переносе сумматора через звено по ходу сигнала необходимо добавить звено с передаточной функцией того звена, через которое переносится сумматор. Если сумматор переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое переносим сумматор (рис.10).
Так с выхода системы на рис.10а снимается сигнал
y 2 = (f + y o W 1)W 2 .
Такой же сигнал должен сниматься с выходов систем на рис.10б:
y 2 = fW 2 + y o W 1 W 2 = (f + y o W 1)W 2 ,
и на рис.10в:
y 2 = (f(1/W 1) + y o)W 1 W 2 = (f + y o W 1)W 2 .
При подобных преобразованиях могут возникать неэквивалентные участки линии связи (на рисунках они заштрихованы).
5. При переносе узла через звено по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое переносим узел. Если узел переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией звена, через которое переносится узел (рис.11). Так с выхода системы на рис.11а снимается сигнал
y 1 = y o W 1 .
Такой же сигнал снимается с выходов рис.11б:
y 1 = y o W 1 W 2 /W 2 = y o W 1
y 1 = y o W 1 .
6. Возможны взаимные перестановки узлов и сумматоров: узлы можно менять местами (рис. 12а); сумматоры тоже можно менять местами (рис.12б); при переносе узла через сумматор необходимо добавить сравнивающий элемент (рис.12в: y = y 1 + f 1 = > y 1 = y - f 1 ) или сумматор (рис.12г: y = y 1 + f 1 ).
Во всех случаях переноса элементов структурной схемы возникают неэквивалентные участки линии связи, поэтому надо быть осторожным в местах съема выходного сигнала.
При эквивалентных преобразованиях одной и той же структурной схемы могут быть получены различные передаточные функции системы по разным входам и выходам.
Лабораторная работа 4
Законы регулирования
Пусть задана какая-то САР (рис.3).
Законом регулирования называется математическая зависимость, в соответствии с которой управляющее воздействие на объект вырабатывалось бы безынерционным регулятором.
Простейшим из них является пропорциональный закон регулирования , при котором
u(t) = Ke(t) (рис.4а),
где u(t) - это управляющее воздействие, формируемое регулятором, e(t) - отклонение регулируемой величины от требуемого значения, K - коэффициент пропорциональности регулятора Р.
То есть для создания управляющего воздействия необходимо наличие ошибки регулирования и чтобы величина этой ошибки была пропорциональна возмущающему воздействию f(t) . Другими словами САУ в целом должна быть статической.
Такие регуляторы называют П-регуляторами .
Так как при воздействии возмущения на объект управления отклонение регулируемой величины от требуемого значения происходит с конечной скоростью (рис.4б), то в начальный момент на вход регулятора подается очень малая величина e , вызывая при этом слабые управляющие воздействия u . Для повышения быстродействия системы желательно форсировать процесс управления.
Для этого в регулятор вводят звенья, формирующие на выходе сигнал, пропорциональный производной от входной величины, то есть дифференцирующие или форсирующие звенья.
Такой закон регулирования называется про
Что такое динамическое звено? На предыдущих занятиях мы рассматривали отдельные части системы автоматического управления и называли их элементами системы автоматического управления. Элементы могут иметь различный физический вид и конструктивное оформление. Главное, что на такие элементы подается некоторый входной сигнал х( t ) , и как отклик на этот входной сигнал, элемент системы управления формирует некоторый выходной сигнал у( t ) . Далее мы установили, что связь между выходным и входным сигналами определяется динамическими свойствами элемента управления, которые можно представить в виде передаточной функции W(s). Так вот, динамическим звеном называется любой элемент системы автоматического управления, имеющий определенное математическое описание, т.е. для которого известна передаточная функция.
Рис. 3.4. Элемент (а) и динамическое звено (б) САУ.
Типовые динамические звенья – это минимально необходимый набор звеньев для описания системы управления произвольного вида. К типовым звеньям относятся:
пропорциональное звено;
апериодическое звено I-ого порядка;
апериодическое звено II-ого порядка;
колебательное звено;
интегрирующее звено;
идеальное дифференцирующее звено;
форсирующее звено I-ого порядка;
форсирующее звено II-ого порядка;
звено с чистым запаздыванием.
Пропорциональное звено
Пропорциональное звено иначе еще называется безынерционным .
1. Передаточная функция.
Передаточная функция пропорционального звена имеет вид:
W (s ) = K где К – коэффициент усиления.
Пропорциональное звено описывается алгебраическим уравнением:
у(t ) = K · х(t )
Примерами таких пропорциональных звеньев могут служить, рычажный механизм, жесткая механическая передача, редуктор, электронный усилитель сигналов на низких частотах, делитель напряжения и др.
4. Переходная функция .
Переходная функция пропорциональное звена имеет вид:
h(t) = L -1 = L -1 = K · 1(t)
5. Весовая функция.
Весовая функция пропорционального звена равна:
w(t) = L -1 = K ·δ(t)
Рис. 3.5. Переходная функция, весовая функция, АФЧХ и АЧХ пропорционального звена.
6. Частотные характеристики .
Найдем АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ пропорционального звена:
W(j ω ) = K = K +0 ·j
A(ω
)
=
=
K
φ(ω) = arctg(0/K) = 0
L(ω) = 20·lg = 20·lg(K)
Как следует из представленных результатов, амплитуда выходного сигнала не зависит от частоты. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ¥, как правило на высоких частотах, коэффициент усиления становится меньше и стремиться к нулю при ω → ∞. Таким образом, математическая модель пропорционального звена является некоторой идеализацией реальных звеньев .
Апериодическое звено I -ого порядка
Апериодические звенья иначе еще называются инерционными .
1. Передаточная функция.
Передаточная функция апериодического звена I-ого порядка имеет вид:
W (s ) = K /(T · s + 1)
где K – коэффициент усиления; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. Поскольку постоянная времени характеризует некоторый временной интервал , то ее величина должна быть всегда положительной, т.е. (T > 0).
2. Математическое описание звена.
Апериодическое звено I-ого порядка описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
T · d у(t )/ dt + у(t ) = K ·х(t )
3. Физическая реализация звена.
Примерами апериодического звена I-ого порядка могут служить: электрический RC-фильтр; термоэлектрический преобразователь; резервуар с сжатым газом и т.п.
4. Переходная функция .
Переходная функция апериодического звена I-ого порядка имеет вид:
h(t) = L -1 = L -1 = K – K·e -t/T = K·(1 – e -t/T )
Рис. 3.6. Переходная характеристика апериодического звена I-го порядка.
Переходный процесс апериодического звена I-ого порядка имеет экспоненциальный вид. Установившееся значение равно: h уст = K. Касательная в точке t = 0 пересекает линию установившегося значения в точке t = T. В момент времени t = T переходная функция принимает значение: h(T) ≈ 0.632·K, т.е. за время T переходная характеристика набирает только около 63% от установившегося значения.
Определим время регулирования T у для апериодического звена I-ого порядка. Как известно из предыдущей лекции, время регулирования – это время, после которого разница между текущим и установившимся значениями не будет превышать некоторой заданной малой величины Δ. (Как правило, Δ задается как 5 % от установившегося значения).
h(T у) = (1 – Δ)·h уст = (1 – Δ)·K = K·(1 – e - T у/ T), отсюда е - T у/ T = Δ, тогда T у /T = -ln(Δ), В итоге получаем T у = [-ln(Δ)]·T.
При Δ = 0,05 T у = - ln(0.05)·T ≈ 3·T.
Другими словами, время переходного процесса апериодического звена I-ого порядка приблизительно в 3 раза превышает постоянную времени.
Введение
Теория автоматического управления является технической наукой общего применения. Она дает теоретическую базу для исследования, разработки и проектирования автоматических и автоматизированных систем.
1. Основные понятия и определения
Существует чрезвычайно большое разнообразие систем, автоматически выполняющих те или иные функции по управлению различными физическими процессами во всех областях техники.
Автоматическая система способна в течение длительного времени нужным образом изменять какие-либо физические величины в том или ином управляемом процессе.
Автоматизированная система – система, в качестве одного из узлов которой используется человек-оператор.
Операция управления – действия, направленные на правильное и высококачественное функционирование объекта управления. Они обеспечивают в нужный момент времени начало, порядок следования и прекращение отдельных действий; предусматривают выделение необходимых ресурсов и задают нужные параметры самому процессу.
Объект управления – это совокупность технических средств, выполняющих определенный процесс и подлежащих управлению.
Все системы автоматического управления (САУ) можно классифицировать следующим образом.
1. По виду структурной схемы:
– разомкнутые (автоматы, работающие по некоторым программам);
– замкнутые (с обратной связью).
2. По виду уравнений динамики процессов управления:
– линейные;
– нелинейные.
Наиболее полно изучены линейные системы.
3. По характеру передачи сигнала:
– непрерывные;
– дискретные:
– импульсные (дискретные по времени);
– цифровые (дискретные по времени и по уровню);
– релейные (сигнал изменяется скачком).
4. По характеру функционирования:
– обычные;
– адаптивные (самонастраивающиеся).
5. В зависимости от характера изменения управляющего воздействия:
– системы автоматической стабилизации;
– системы программного управления;
– системы слежения.
Типовая схема САУ выглядит следующим образом (рис. 1).
Рис. 1. Типовая схема САУ
g (t ) – задающее воздействие;
f (t ) – возмущающее воздействие (может действовать на любой блок системы);
у (t ) – выходной сигнал;
1 – задающее устройство. Устройство преобразует входное воздействие g (t ) в сигнал, пропорциональный заданному значению выходной величины у (t );
2, 5 – устройства сравнения. Вырабатывают сигнал рассогласования (ошибки) е
(t
) между входным сигналом и сигналом главной обратной
связи;
3 – преобразующее устройство;
4, 8 – корректирующие устройства. Повышают качество управления;
6 – усилительное устройство;
7 – исполнительное устройство;
9 – измерительное устройство;
10 – согласующее устройство. Вырабатывает сигнал, находящийся в определенной функциональной зависимости от регулируемой переменной;
11 – объект управления.
Таким образом, упрощенно любую САУ можно представить следующим образом (рис. 2).
 |
Рис. 2. Упрощенная схема САУ
Задачи теории САУ
Теория автоматического управления изучает общие принципы построения САУ и методы их исследования независимо от физической природы процессов.
Можно выделить две задачи.
1. Задача анализа: исследование статических и динамических свойств системы.
2. Задача синтеза: разработка новых систем, удовлетворяющих заданным техническим требованиям.
При решении этих задач исследуются следующие вопросы.
1. Формирование функциональной и структурной схем САУ.
2. Построение статических и динамических характеристик отдельных звеньев и системы в целом.
3. Определение ошибок управления и показателей точности замкнутой системы.
4. Исследование устойчивости системы.
5. Оценка качественных показателей процесса управления.
6. Синтез корректирующих устройств и оптимизация параметров системы.
3. Дифференциальные уравнения и
передаточные функции
Для анализа систем необходимо иметь их математическое описание. Обычно это дифференциальные уравнения (ДУ). Если в этом уравнении используются производные входных и выходных величин, то это уравнение динамики. Если положить нулю производные входных сигналов, – это уравнение статики (описание системы в установившемся режиме). Эти уравнения составляются на основе физических законов.
В общем случае полученные уравнения являются нелинейными. Для упрощения анализа применяют те или иные методы линеаризации, например, разложение в ряд Тейлора.
В общем виде линейное дифференциальное уравнение имеет следующий вид:
В теории автоматического управления принята стандартная форма записи дифференциальных уравнений: – производная заменяется на оператор p, коэффициент при выходной величине должен быть равен 1.
Например, для уравнения второго порядка:
Параметр K называется коэффициентом передачи (коэффициент усиления). Это отношение выходной величины к входной в установившемся режиме.
Параметр Т – постоянная времени.
Такой вид представляет первую форму описания САУ.
Кроме описания во временной области, системы описываются передаточными функциями . Чтобы получить передаточную функцию нужно использовать разложение Лапласа
,
где р = с + jd – комплексное число;
f (t ) – оригинал;
F (p ) – изображение по Лапласу.
Соответственно и дифференциальное уравнение можно преобразовать и записать относительно изображений (см. пример выше):
Это вторая форма описания САУ.
Передаточная функция – это отношение изображений выходной и входной величины, найденное из вышерассмотренного уравнения:
.
Для исследования частотных свойств САУ используется частотная передаточная функция. Для ее получения используется преобразование Фурье. При этом оператор p = j w, а частотная передаточная функция записывается в виде W (j w). Такое представление является третьей формой описания систем.
Характеристики САУ
Существуют различные методы исследования САУ или отдельных ее звеньев. Один из них заключается в анализе реакции системы или звена на внешнее воздействие.
В качестве внешних воздействий используют стандартные сигналы. В теории САУ используют три вида сигнала.
1. Единичное входное воздействие 1(t ) (рис. 3).
 |
Рис. 3. Единичное входное воздействие
2. d-импульс – сигнал нулевой ширины и бесконечной амплитуды – d(t ), причем его площадь равна 1 (рис. 4)
.
Рис. 4. Дельта-импульс
Такая функция является математической абстракцией. Практически таким сигналом считается короткий импульс большой мощности.
d-импульс математически связан с сигналом 1(t ):
.
3. А sinwt , причем для простоты А = 1.
Соответственно, на каждый из этих стандартных сигналов существует определенная реакция САУ.
1. Реакцией САУ или звена на единичное входное воздействие называется переходная характеристика или переходная функция h (t ) (рис. 5).
Рис. 6. Пример весовой функции САУ
При использовании преобразования Лапласа получим следующие соотношения:
.
Преобразованием Лапласа от весовой функции является передаточная функция.
Весовая функция и переходная характеристика связаны простым соотношением
.
Описание САУ во временной области через весовую функцию эквивалентно описанию передаточной функцией в области изображений.
Можно найти реакцию системы на произвольный входной сигнал. Для этого можно воспользоваться интегралом Дюамеля или интегралом свертки
.
3. Если используется входной сигнал вида А sinwt , то говорят о частотных характеристиках системы.
Частотные характеристики – это выражения и графические зависимости, выражающие реакцию исследуемой САУ на сигнал вида А sinwt при различных значениях частоты w.
На выходе САУ сигнал будет иметь вид
где A (t ) – амплитуда сигнала, j(t ) – сдвиг фазы.
Частотную передаточную функцию для получения частотных характеристик можно представить в следующем виде:
;
, (1)
где u (w) и v (w) – действительная и мнимая части комплексного выражения.
Вещественная часть состоит из четных степеней частоты w, а мнимая – из нечетных.
Эту функцию можно представить графически на комплексной плоскости. Такое изображение называется годографом (рис. 7) или амплитудно-фазовой характеристикой. Кривая строится путем получения точек на плоскости при задании определенных значений частоты w и расчете u (w) и n(w).
Для получения графика в случае отрицательных частот необходимо сделать зеркальное отображение имеющейся характеристики относительно действительной оси.
 |
Рис. 7. Годограф или амплитудно-фазовая характеристика системы
Аналогичным образом можно построить отдельно графики длины вектора А (w) и угла поворота j(w). Тогда получим амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.
На практике часто используют логарифмические характеристики. Логично использовать натуральный логарифм
Однако на практике используют десятичные логарифмы и получают логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ ) (рис. 8) и логарифмическую фазо-частотную (ЛФЧХ ) характеристики (рис. 9).
Рис. 9. Пример ЛФЧХ системы
При вычислении логарифмической фазочастотной характеристики используется (1).
При построении графиков по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Так как при вычислении значений ЛАЧХ в выражениях используются зависимости от степени w, то график имеет стандартный наклон, кратный 20 дБ/дек. Дек – декада, т. е. изменение частоты на порядок.
Теоретически точка w = 0 на оси частот должна быть слева в бесконечности, но для практических расчетов ось ординат сдвигают вправо.
Логарифмические характеристики имеют следующие достоинства:
– простота построения;
– легкость получения ЛАЧХ системы из ЛАЧХ звеньев путем геометрического сложения;
– простота анализа САУ.
Законы управления
Это алгоритмы или функциональные зависимости, в соответствии с которыми формируется управляющее (регулирующее) воздействие.
u (t ) = F (x (t ), g (t ), f (t )),
где x (t ) – ошибка;
g (t ) – задающее воздействие;
f (t ) – возмущающее воздействие.
u (t ) = F 1 (x ) + F 2 (g ) + F 3 (f ),
где F 1 (x ) – управление по отклонению или ошибке;
F 2 (g ) и F 3 (f ) – управление по соответствующему воздействию.
Обычно рассматриваются линейные законы относительно в ДУ.
Различают несколько типовых законов управления.
1. Пропорциональное управление.
В цепи управления находится пропорциональное (статическое)
звено.
В установившемся режиме:
,
где K – общий коэффициент усиления системы;
y УСТ – установившееся значение выходной величины;
x 0 – постоянное значение ошибки.
Для замкнутой САУ найдем установившееся значение ошибки по формуле (3):
где g 0 – постоянное входное воздействие;
x f УСТ – установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.
Анализ выражения показывает, что установившаяся ошибка уменьшилась в (1 + K ) раз, но в принципе не равна 0.
2. Интегральное управление.
В этом случае имеет место зависимость между ошибкой и скоростью изменения регулирующего (управляющего) воздействия
;
В составе САУ обязательно имеются интегрирующие звенья.
Установившееся значение ошибки находим по формуле (3).
Первое слагаемое равно 0, второе зависит от значения числителя, поэтому для него применим выражение
.
При отсутствии возмущающего воздействия общее значение установившейся ошибки равно нулю.
Система является астатической по задающему воздействию или обладает астатизмом первого порядка. Однако, если задающее воздействие переменно (скорость его изменения не равна 0), то установившаяся ошибка будет иметь ненулевое значение.
Для устранения ошибки по скорости в САУ необходимо добавить еще один интегратор.
Такой подход имеет недостаток: при наличии большого количества интеграторов процесс управления замедляется и изменяется устойчивость системы.
3. Управление по производной (дифференциальное).
Процесс управления описывается соотношениями:
;
.
Процесс управления начинает действовать, когда ошибка еще равна 0, а ее производная отлична от 0. В установившемся режиме и цепь управления разрывается, следовательно, данный закон не имеет самостоятельного значения. Используется как дополнение к другим. Он обеспечивает быструю реакцию САУ в переходном режиме.
4. Изодромное управление.
Возможно использование всех вышеперечисленных законов одновременно. Закон управления в этом случае имеет вид:
.
Такое управление сочетает достоинства всех рассмотренных законов. Например, при линейно изменяющемся входном воздействии (рис. 28) в начальный момент (участок I) действует управление по производной, затем больший вклад вносит пропорциональное управление, после момента времени t 0 (участок II) существенно интегральное управление.
 |
Рис. 28. Законы управления в САУ
9. Процесс управления и требования к нему
Процесс управления во времени определяется решением дифференциального уравнения динамики замкнутой системы. При этом можно определить требования к системе по трем основным направлениям.
1. Принципиальная оценка возможности перехода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем воздействии. Это оценка устойчивости системы.
2. Оценка качества переходного процесса.
3. Оценка точности системы в установившемся состоянии.
Рассмотрим каждый из этих пунктов.
Критерии устойчивости
Критерии устойчивости можно разбить на две большие группы.
1. Алгебраические.
2. Частотные.
Рассмотрим их подробнее.
Показатели качества
Требования к качеству процесса управления в каждом конкретном случае могут быть различными, но как правило, оценивается характер переходного процесса при единичном ступенчатом воздействии (рис. 40).
 |
Рис. 40. Показатели качества переходного процесса
Используются следующие показатели качества переходного
процесса.
1. t РЕГ – время регулирования (длительность переходного процесса), время, в течение которого, начиная с момента приложения входного воздействия, отклонение выходной величины от ее установившегося значения, становится меньше наперед заданного значения ∆. Обычно выбирается ∆ = 5% от х УСТ.
2. Перерегулирование:
.
3. Колебательность – число полных колебаний выходной величины за время регулирования.
4. Установившаяся ошибка – это разность между задающим воздействием и установившимся значением выходной величины.
Метод Солодовникова
Здесь вводится понятие типовой единичной трапецеидальной вещественной характеристики. Ее высота равна 1, частота среза (частота положительности) w п =1 (рис. 41).
Рис. 41. Типовая единичная трапецеидальная вещественная характеристика
Для данной трапеции существуют таблицы связи выходной величины х (t ) от коэффициента наклона c = w а / w п.
Метод заключается в выполнении следующей последовательности действий.
1. Строится график вещественной части частотной передаточной функции замкнутой системы.
2. График разбивается на трапеции. Эта процедура представлена на рис. 42. В данном примере получилось три типовые трапеции.
 |
Рис. 42. Разбиение графика вещественной характеристики на трапеции
3. Для каждой трапеции по таблицам находятся значения выходного процесса x 1 (t ), x 2 (t ), x 3 (t ).
4. Находится результирующий график выходного сигнала путем сложения графиков x 1 (t ), x 2 (t ), x 3 (t ).
Так как таблицы разработаны для единичной трапеции, то при построении переходного процесса для каждой трапеции, необходимо использовать правила (формулы) перехода к реальному значению отсчетов выходного сигнала.
1. Получение установившегося значения P (0) = x (∞) = x УСТ.
2. Получение действительной амплитуды сигнала
3. Изменение масштаба времени 
.
Показатели качества переходного процесса можно приближенно оценить по вещественной частотной характеристике замкнутой системы, не выполняя вышерассмотренных вычислений. Все разновидности графика этой характеристики представлены на рис. 43.
 |
Рис. 43. Типовой вид графиков вещественной характеристики
1 – график характеристики имеет «горб»;
2 – «горба» нет, производная и принимает различные значения;
3 – «горба» нет, и монотонно убывает.
В случае 1 переходный процесс х (t ) имеет перерегулирование, причем его величина более 18%.
В случае 2 переходный процесс х (t ) имеет перерегулирование, причем его величина менее 18%.
В случае 3 процесс управления монотонный.
По графику можно приближенно определить и время переходного процесса
,
где w СЧ – диапазон существенных частот. Характеристика Р (w) в этом диапазоне превышает некоторый уровень e. Обычно e = 5%.
Показатель колебательности
Этот параметр используется для определения запаса устойчивости. Его можно вычислить по значению модуля частотной передаточной функции замкнутой системы
.
Показатель колебательности равен отношению 
и представлен на рис. 44.
 |
Рис. 44. Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы
Это относительная высота резонансного пика. Для упрощения расчетов считается, что М (0) = 1. При этом М К = М MAX .
Физически показатель колебательности – это отношение максимальных значений выходного и входного сигналов САУ.
Чем меньше запас устойчивости САУ, тем больше склонность системы к колебаниям, тем выше резонансный пик. Обычно показатель колебательности лежит в диапазоне 1,1 … 1,5.
M k можно определить по виду частотной характеристики разомкнутой системы, пользуясь передаточной функцией разомкнутой системы
.
Представив W (j w) через действительную U и мнимую V части, получим:
;
Данные соотношения описывают окружность, причем С – вещественная координата ее центра; R – радиус.
На комплексной плоскости можно построить семейство окружностей с этими параметрами, зависящими от М . На этот график наносится годограф разомкнутой системы (рис. 45).
Рис. 46 Построение графика модуля частотной передаточной функции
замкнутой системы
Иногда достаточно определить максимальное значение М MAX (по касанию АФХ соответствующей окружности).
Возможно решение обратной задачи: задается допустимое значение показателя М ДОП. Необходимо соответствующим образом спроектировать систему.
Для выполнения этого условия нужно обеспечить, чтобы годограф САУ не заходил в область, ограниченную окружностью с заданным значением М (рис. 47).
 |
Рис. 47. Допустимая зона параметров САУ по показателю колебательности
Синтез линейных САУ
Способы синтеза САУ
Главные цели проектирования САУ – обеспечение устойчивости системы и обеспечение требуемого качества переходного процесса.
Достичь этих целей можно двумя способами.
1. Изменение параметров системы, т. е. изменение параметров звеньев (коэффициент усиления, постоянная времени). В ряде случаев такой подход не приводит к желаемому результату.
2. Изменение структуры системы. Обычно это введение дополнительных устройств или блоков (корректирующих устройств).
Рассмотрим подробнее второй подход.
В теории САУ различают 4 вида корректирующих устройств.
1. Последовательные корректирующие устройства (корректирующие фильтры).
2. Параллельные корректирующие устройства, обычно в виде местной обратной связи.
3. Корректирующие устройства по внешнему воздействию.
4. Неединичная главная обратная связь.
Задание
Необходимо выполнить следующие действия.
1. Описать работу системы.
2. Определить передаточные функции элементов системы.
3. Составить структурную схему системы.
4. Построить логарифмические характеристики разомкнутой
системы.
5. Определить устойчивость и запас устойчивости по амплитуде и фазе.
6. С помощью критерия Гурвица определить критическое значение добротности системы без обратной связи.
7. Ввести скоростную обратную связь.
8. Найти минимальное значение коэффициента скоростной обратной связи, необходимого для устойчивости системы.
9. Найти оптимальное значение коэффициента скоростной обратной связи, необходимого для обеспечения показателей качества переходного процесса системы.
Исходная схема САУ (рис. 59):
 |
Рис. 59. Исходная схема системы
где СП – сельсинная пара;
Р – редуктор;
Д – двигатель;
ОУ – объект управления;
У – усилитель;
КО – командная ось;
ИО – исполнительная ось;
α – угол поворота сельсин-датчика – это командное воздействие;
β – угол поворота двигателя;
γ – угол поворота редуктора – это исполнительное воздействие;
U 1 – выходной сигнал СП;
U 2 – выходной сигнал У;
Параметры САУ:
U MAX – максимальное напряжение на выходе сельсин-трансформатора;
k У – коэффициент усиления У;
T У – постоянная времени У;
U У – номинальное напряжение на обмотке управления двигателя;
N XX – число оборотов в минуту при холостом ходе двигателя и при номинальном напряжении двигателя;
T Д – постоянная времени Д;
i – передаточное число редуктора;
S ТГ – крутизна выходной характеристики тахогенератора;
t РЕГ – время регулирования;
s – величина перерегулирования;
n – число полных колебаний выходного сигнала.
Исходные данные:
k У = 900;
T У = 0.01 с;
T Д = 0.052 с;
i = 1.2 × 10 3 ;
U MAX = 5 В;
U У = 30 В;
N XX = 10000 об/мин;
S ТГ = 0.001 В × с/рад;
t РЕГ £ 1 с;
n = 1,5.
Описание работы системы
Из схемы системы, приведённой в задании видно (см. рис. 59), что задающим устройством является командная ось, вращаемая сельсин-датчиком по произвольному закону α = α(t ). Тот же самый закон угла поворота во времени α(t ) = γ(t ) должен быть автоматически воспроизведён на выходе системы, т. е. на объект управления и на исполнительную ось. Если углы поворота командной и исполнительной оси не равны, (α(t ) ¹ γ(t )), то на выходе сельсинной пары возникает напряжение рассогласования U 1 . Величина U 1 зависит от величины углов поворота командной и исполнительной осей. Напряжение U 1 поступает на вход усилителя, на выходе которого возникает напряжение U 2 , поступающее на обмотку управления двигателя. В результате этого начинает вращаться ротор двигателя в сторону уменьшения ошибки рассогласования (θ = α – γ) до согласования двух осей. То есть поворот ротора двигателя через редуктор задаёт новый закон угла поворота исполнительной оси. Ротор двигателя будет вращаться до тех пор, пока ошибка рассогласования не будет сведена к нулю, после чего он остановится. Таким образом, система охвачена отрицательной обратной связью.
Случайные процессы в САУ
Основные понятия
Выше были изучены процессы работы САУ при поступлении на ее вход детерминированных сигналов.
Во многих случаях входной сигнал может принимать случайные значения. При этом можно оценивать только вероятностные характеристики.
Пример случайного воздействия: следящая система доплеровского измерителя скорости. Спектральные характеристики процессов САУ в этом случае представлены на рис. 66.
Доплеровская частота W зависит не только от скорости движения объекта, но и от угла падения луча и вида подстилающей поверхности, поэтому носит случайный характер. При этом спектральная характеристика принимаемого сигнала имеет амплитуду S W и ширину Dw, изменяющуюся случайным образом.
 |
Рис. 66. Спектральные характеристики случайных процессов САУ
w 0 – излучаемая частота;
w П – принимаемая частота;
Dw – ширина спектра.
Расчеты по минимуму ошибки
Если на систему одновременно действует полезный сигнал и помеха, то может быть решена задача оптимального расчета системы с тем, чтобы обеспечить наименьшую результирующую ошибку системы.
Критерием является минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой сигналом и помехой. Для случайных процессов обычно ограничиваются оценкой среднеквадратической ошибки. Необходимо обеспечить минимум среднеквадратической ошибки при одновременном действии сигнала и помехи.
Критерий выглядит следующим образом:
.
Нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины.
Возможны две формулировки данной задачи.
1. Имеется САУ заданной структуры. Необходимо так выбрать ее параметры, чтобы обеспечить минимум СКО при заданных статистических параметрах сигнала и ошибки.
Решение ищется следующим образом: зная спектральную плотность ошибки, теоретически находится выражение для расчета дисперсии и СКО. Это выражение зависит от параметров системы, полезного сигнала и помехи. Ищутся условия на параметры системы для обеспечения минимума дисперсии. В простых случаях можно применить известные методы нахождения экстремума функции путем дифференцирования и приравнивания к нулю частных производных.
2. Ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры системы и параметров звеньев для получения теоретически минимальной среднеквадратической ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи.
Решение следующее: находится теоретическая передаточная функция замкнутой системы, и к ней стремятся при проектировании. Возможна ситуация, что реализация САУ с такой оптимальной передаточной функцией будет сопряжена со значительными трудностями.
Нелинейные САУ
Анализ нелинейных САУ (НСАУ) представляет собой достаточно трудную задачу. При ее решении стремятся свести такую САУ к линейной с определенными допущения и ограничениями.
К таким системам относятся те, в которых имеется хотя бы одно звено, описываемое нелинейными дифференциальными уравнениями.
Нелинейные звенья могут быть следующих видов:
Релейного типа;
С кусочно-линейной характеристикой;
С криволинейной характеристикой любого очертания;
Имеется произведение и другие комбинации переменных;
Нелинейное звено с запаздыванием;
Импульсное звено;
Логическое;
Описываемое кусочно-линейным дифференциальным уравнением.
Нелинейности могут быть статические и динамические. Статические описываются нелинейными статическими характеристиками, а динамические – нелинейными дифференциальными уравнениями.
Фазовое пространство
Для наглядного представления процессов нелинейных САУ вводится понятие «фазовое пространство», которое заключается в следующем.
Дифференциальное уравнение замкнутой системы n -го порядка заменяется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
,
где x 1 – выходная величина;
x 2 – x n – вспомогательные переменные;
f , g – входные воздействия (возмущающее и задающее);
x 10 = x 1 (t = 0), x 20 = x 2 (t = 0) … – начальные условия.
Эти дифференциальные уравнения можно представить геометрически в n -мерном пространстве. Например, при n = 3 (рис. 75).
 |
Рис. 75. Трехмерное фазовое пространство
В реальном процессе управления в каждый момент времени величины x 1 , x 2 , x 3 имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве. Точка М называется изображающей. С течением времени величины x 1 , x 2 , x 3 изменяются, точка М перемещается по определенной траектории, показывая так называемую фазовую траекторию. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения САУ в процессе управления.
Рассмотрим пример фазовых траекторий некоторых линейных САУ. Пусть они описываются уравнением 
. В зависимости от параметров ДУ возможно несколько случаев. Некоторые из них представлены на рис. 76.
Рис. 76,а соответствует комплексным корням с отрицательной вещественной частью (наличие затухающего переходного процесса), случай рис. 76,б показывает фазовую траекторию апериодического затухающего процесса при отрицательных вещественных корнях характеристического уравнения.
ДУ представляют собой выражения для проекций скорости изображающей точки М на óси координат. Поэтому по значениям правых частей уравнений в каждый момент времени можно судить о движении точки М , и, следовательно, о поведении реальной НСАУ в процессе управления.
Фазовая траектория – это качественная характеристика НСАУ. Для определения количественных значений выходных сигналов необходимо решать дифференциальные уравнения в каждой точке.
Если дифференциальные уравнения составлены для отклонений выходного сигнала от установившихся значений, то для устойчивой системы фазовая кривая будет стремиться в начало координат.
 |
а)
Рис. 76. Примеры фазовых траекторий
Устойчивость по Ляпунову
Типовые динамические звенья и их характеристики
Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.
Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:
(1)Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.
Как видно из разложения, можно выделить следующие звенья:
1. Усилительное (безынерционное).
2. Дифференцирующее.
3. Форсирующее звено 1-го порядка.
4. Форсирующее звено 2-го порядка.
5. Интегрирующее.
6. Апериодическое (инерционное).
7. Колебательное.
8. Запаздывающее.
При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.
Рассмотрим основные звенья и их характеристики.
Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:
или передаточной функцией:
(3)При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:
Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:
.
Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением
.Примеры звена:
1. Усилители, например, постоянного тока (рис. 4а).
2. Потенциометр (рис. 4б).
3. Редуктор (рис. 5).
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле
Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T ) характеристики перемещаются параллельно самим себе.
Примеры звена:
1. Апериодическое звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 9).
ÆÆ