Der Abstand zwischen den Punkten auf der Koordinatenlinie beträgt Grad 6.
Die Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen Punkten auf einer Koordinatenlinie
Algorithmus zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes - der Mitte eines Segments
Danke an die Kollegen im Internet, deren Material ich in dieser Präsentation verwendet habe!
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Folienbeschriftungen:
Abstand zwischen Punkten auf der Koordinatenlinie x 0 1 A B AB = ρ (A, B)
Abstand zwischen Punkten auf der Koordinatenlinie Zweck der Lektion: - Finden Sie einen Weg (Formel, Regel), um den Abstand zwischen Punkten auf der Koordinatenlinie zu ermitteln. - Erfahren Sie, wie Sie den Abstand zwischen Punkten auf einer Koordinatenlinie mithilfe der gefundenen Regel ermitteln.
1. Verbale Anzahl 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14
2. Lösen Sie das Problem mündlich anhand der Koordinatenlinie: Wie viele ganze Zahlen sind zwischen den Zahlen eingeschlossen: a) - 8,9 und 2 b) - 10,4 und - 3,7 c) - 1,2 und 4,6? a) 10 b) 8 c) 6
0 1 2 7 positive Zahlen -1 -5 negative Zahlen Entfernung vom Wohnort zum Stadion 6 Entfernung vom Wohnort zur Schule 6 Koordinatenlinie
0 1 2 7 -1 -5 Entfernung vom Stadion zum Wohnort 6 Entfernung von der Schule zum Wohnort 6 Ermitteln des Abstands zwischen Punkten auf der Koordinatenlinie ρ (-5; 1) = 6 ρ (7; 1) = 6 Der Abstand zwischen Punkte werden mit einem Buchstaben ρ (ro) gekennzeichnet
0 1 2 7 -1 -5 Entfernung vom Stadion zum Wohnort 6 Entfernung von der Schule zum Wohnort 6 Ermitteln des Abstands zwischen Punkten auf der Koordinatenlinie ρ (-5; 1) = 6 ρ (7; 1) = 6 ρ (a ;b) =? | a-b |
Der Abstand zwischen den Punkten a und b ist gleich dem Modul der Differenz zwischen den Koordinaten dieser Punkte. (a; b) = | a-b | Abstand zwischen Punkten auf einer Koordinatenlinie
Die geometrische Bedeutung des Moduls einer reellen Zahl a b a a = b b x x x Abstand zwischen zwei Punkten
0 1 2 7 -1 -5 Ermitteln des Abstands zwischen Punkten auf der Koordinatenlinie - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6; 2) = ρ (6; 3) = ρ (0; 7) = ρ (1; -4) = 8 3 7 5
0 1 2 7 -1 -5 Ermitteln der Abstände zwischen Punkten auf der Koordinatenlinie - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2; -6) = ρ (3; 6) = ρ (7; 0) = ρ (-4; 1) = 8 3 7 5
Fazit: Ausdruckswerte | a - b | und | b - a | sind für alle Werte von a und b gleich =
–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ (–3; 8) = 11; | (–3) - (+8) | = 11; | (+8) - (–3) | = 11. ρ (–16; –2) = 14; | (–16) – (–2) | = 14; | (–2) - (–16) | = 14. ρ (4; 17) = 13; | (+4) - (+17) | = 13; | (+17) - (+4) | = 13. Abstand zwischen Punkten der Koordinatenlinie
Finde ρ (x; y) wenn: 1) x = – 14, y = – 23; (x; y) = | x - y | = | –14 – (– 23) | = | –14 + 23 | = | 9 | = 9 2) x = 5,9, y = –6,8; ρ (x; y) = | 5, 9 - (- 6,8) | = | 5,9 + 6,8 | = | 12,7 | = 12,7
Setze Satz 1 fort. Die Koordinatenlinie ist eine Gerade mit der darauf angegebenen ... 2. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist ... 3. Entgegengesetzte Zahlen sind Zahlen, ... 4. Der Betrag der Zahl X heißt .. 5. - Vergleiche die Werte der Ausdrücke a - b V b - a ziehe eine Schlussfolgerung ... - Vergleiche die Werte der Ausdrücke | a - b | V | b - a | c ziehe dein Fazit ...
Cog und Shpuntik folgen dem Koordinatenstrahl. Das Zahnrad befindet sich am Punkt B (236), Shpuntik befindet sich am Punkt W (193) Wie weit sind Cog und Shpuntik voneinander entfernt? (B, W) = 43
Finden Sie den Abstand zwischen den Punkten A (0), B (1) A (2), B (5) A (0), B (- 3) A (- 10), B (1) AB = 1 AB = 3 AB = 3 AB = 11
Finden Sie die Entfernung zwischen den Punkten A (-3.5), B (1.4) K (1.8), B (4.3) A (- 10), C (3)
Prüfung AB = KV = AC =
С (- 5) С (- 3) Finden Sie die Koordinate des Punktes - die Mitte des Segments BA
Auf der Koordinatenlinie sind die Punkte A (–3,25) und B (2,65) markiert. Finden Sie die Koordinate des Punktes O - die Mitte des Segments AB. Lösung: 1) ρ (A; B) = | –3,25 - 2,65 | = | –5,9 | = 5,9 2) 5,9: 2 = 2,95 3) –3,25 + 2,95 = - 0,3 oder 2,65 - 2,95 = - 0,3 Antwort: O (–0, 3)
Auf der Koordinatenlinie sind die Punkte C (- 5.17) und D (2.33) markiert. Finden Sie die Koordinate von Punkt A - dem Mittelpunkt des Segments CD. Lösung: 1) ρ (C; D) = | - 5, 17 - 2, 33 | = | - 7, 5 | = 7, 5 2) 7, 5: 2 = 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 = - 1, 42 oder 2, 33 - 3, 7 5 = - 1, 42 Antwort: A ( - 1, 42)
Schlussfolgerung: Algorithmus zum Ermitteln der Koordinate eines Punktes - der Mitte eines bestimmten Segments: 1. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Punkten - die Enden eines bestimmten Segments = 2. Teilen Sie das Ergebnis-1 durch 2 (halber Wert) = c 3. Addiere Ergebnis-2 zur Koordinate a oder subtrahiere Ergebnis-2 von Koordinate a + c oder - c 4. Ergebnis-3 ist die Koordinate des Punktes - die Mitte des gegebenen Segments
Arbeiten mit dem Lehrbuch: §19, S. 112, A. Nr. 573, 575 V. Nr. 578, 580 Hausaufgaben: §19, S. 112, A. Nr. 574, 576, V. Nr. 579, 581 Vorbereitung auf die CD "Addition und Subtraktion rationaler Zahlen. Abstand zwischen Punkten auf einer Koordinatenlinie "
Heute habe ich es herausgefunden ... es war interessant ... mir wurde klar, dass ... jetzt kann ich ... ich habe es gelernt ... es ist mir gelungen ... ich werde es versuchen ... ich war überrascht ... ich wollte es ...
§ 1 Regel zum Ermitteln des Abstands zwischen den Punkten der Koordinatenlinie
In dieser Lektion werden wir die Regel zum Ermitteln des Abstands zwischen den Punkten der Koordinatenlinie herleiten und lernen, wie man mit dieser Regel die Länge eines Segments ermittelt.
Vervollständigen wir die Aufgabe:
Ausdrücke vergleichen
1.a = 9, b = 5;
2. a = 9, b = -5;
3. a = -9, b = 5;
4.a = -9, b = -5.
Setzen Sie die Werte in die Ausdrücke ein und finden Sie das Ergebnis:
Der Modul der Differenz zwischen 9 und 5 ist gleich dem Modul 4, der Modul von 4 ist 4. Der Modul der Differenz von 5 und 9 ist gleich dem Modul minus 4, der Modul -4 ist gleich 4.
Der Modul der Differenz 9 und -5 ist gleich dem Modul 14, der Modul 14 ist 14. Der Modul der Differenz minus 5 und 9 ist gleich dem Modul -14, der Modul -14 = 14.
Der Modul der Differenz minus 9 und 5 ist gleich dem Modul von minus 14, der Modul von minus 14 ist 14. Der Modul der Differenz 5 und minus 9 ist gleich dem Modul 14, der Modul von 14 ist 14
Der Modul der Differenz minus 9 und minus 5 ist gleich dem Modul von minus 4, der Modul -4 ist 4. Der Modul der Differenz minus 5 und minus 9 ist gleich dem Modul 4, der Modul 4 ist (l-9 - (-5) l = l-4l = 4 l -5 - (-9) l = l4l = 4)
In jedem Fall waren die Ergebnisse gleich, daher können wir schlussfolgern:
Die Werte der Ausdrücke Differenzmodul a und b und Differenzmodul b und a sind für alle Werte von a und b gleich.
Noch eine Aufgabe:
Finden Sie den Abstand zwischen den Punkten der Koordinatenlinie
1.A (9) und B (5)
2.A (9) und B (-5)
Markieren Sie auf der Koordinatenlinie die Punkte A (9) und B (5).
Zählen wir die Anzahl der Einheitssegmente zwischen diesen Punkten. Es gibt 4 davon, also beträgt der Abstand zwischen den Punkten A und B 4. Ebenso finden wir den Abstand zwischen zwei anderen Punkten. Markieren wir die Punkte A (9) und B (-5) auf der Koordinatenlinie, bestimmen Sie den Abstand zwischen diesen Punkten entlang der Koordinatenlinie, der Abstand beträgt 14.
Vergleichen wir die Ergebnisse mit den vorherigen Aufgaben.
Der Modul der Differenz 9 und 5 beträgt 4, und der Abstand zwischen den Punkten mit den Koordinaten 9 und 5 beträgt ebenfalls 4. Der Modul der Differenz 9 und minus 5 beträgt 14, der Abstand zwischen den Punkten mit den Koordinaten 9 und minus 5 beträgt 14.
Das Fazit liegt nahe:
Der Abstand zwischen den Punkten A (a) und B (b) der Koordinatenlinie ist gleich dem Modul der Differenz zwischen den Koordinaten dieser Punkte l a - b l.
Darüber hinaus kann der Abstand auch als Modul der Differenz zwischen b und a gefunden werden, da sich die Anzahl der Einheitssegmente ab dem Punkt, von dem aus wir sie zählen, nicht ändert.
§ 2 Die Regel zum Ermitteln der Länge eines Segments durch die Koordinaten zweier Punkte
Lassen Sie uns die Länge des Segments CD finden, wenn es auf der Koordinatenlinie C (16), D (8) liegt.
Wir wissen, dass die Länge eines Segments gleich dem Abstand von einem Ende des Segments zum anderen ist, d.h. von Punkt C zu Punkt D auf der Koordinatenlinie.
Verwenden wir die Regel:
und bestimme den Modul der Koordinatendifferenz mit und d
Die Länge des Segments CD beträgt also 8.
Betrachten Sie einen anderen Fall:
Finden wir die Länge des Segments MN, dessen Koordinaten verschiedene Vorzeichen M (20), N (-23) haben.
Ersetzen Sie die Werte
wir wissen, dass - (- 23) = +23
daher ist der Modul der Differenz 20 und minus 23 gleich dem Modul der Summe von 20 und 23
Lassen Sie uns die Summe der Module der Koordinaten dieses Segments ermitteln:
Der Wert des Moduls der Koordinatendifferenz und die Summe der Moduli der Koordinaten stellte sich in diesem Fall als gleich heraus.
Wir können schlussfolgern:
Wenn die Koordinaten zweier Punkte unterschiedliche Vorzeichen haben, ist der Abstand zwischen den Punkten gleich der Summe der Koordinatenmodule.
In der Lektion haben wir die Regel zum Ermitteln des Abstands zwischen zwei Punkten der Koordinatenlinie kennengelernt und gelernt, wie man mit dieser Regel die Länge eines Segments ermittelt.
Liste der verwendeten Literatur:
- Mathe. Klasse 6: Unterrichtspläne für das Lehrbuch I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // Zusammengestellt von L.A. Topilin. - M.: Mnemosina 2009.
- Mathe. Klasse 6: ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen. I.I. Zubareva, A.G. Mordkowitsch. - M.: Mnemosina, 2013.
- Mathe. Klasse 6: ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen. / N. Ya. Wilenkin und V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Schwarzburd. - M.: Mnemosina, 2013.
- Mathematik-Referenz - http://lyudmilanik.com.ua
- Handbuch für Gymnasiasten http://shkolo.ru
Lektion 3
THEMA: Abstand zwischen Punkten der Koordinatenlinie
Das Ziel des Lehrers: Bedingungen für die Beherrschung der Fähigkeiten schaffen, den Abstand zwischen den Punkten auf der Koordinatenlinie zu finden, den Modul der Differenz, die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments zu berechnen.
Geplante Ergebnisse des Studiums des Themas:
Persönlich: ein kognitives Interesse am Studium des Themas zeigen.
Gegenstand: wissen, wie man den Abstand zwischen Punkten auf der Koordinatenlinie ermittelt, den Modul der Differenz und die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments berechnet.
Metasubjektergebnisse des Studiums des Themas (universelle Bildungsaktionen):
kognitiv: sich auf eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Lösung von Problemen konzentrieren; wissen, wie man Informationen verallgemeinert und organisiert;
Regulierung: die Regel bei der Planung und Kontrolle der Lösungsmethode berücksichtigen;
gesprächig: rechnen mit unterschiedlichen Meinungen und versuchen, verschiedene Positionen in der Zusammenarbeit abzustimmen.
Unterrichtsskript.
ich
.Org-Moment.
Hallo Leute. Heute bei unserem Gast Wir begrüßen sie!
Hinsetzen.
Wir haben eine ungewöhnliche Lektion. Lektion in der Verallgemeinerung von Wissen. Wir müssen zeigen, was wir gelernt haben, was wir gelernt haben.
An welchem Thema arbeiten wir in letzter Zeit? (Vergleich, Addition rationaler Zahlen)
Als Inschrift der Lektion habe ich diese Worte genommen : Wir werden heute auf die Wissenschaft gehen
Lass uns eine Fantasie nehmen, um zu helfen
Wir werden keine gerade Linie von der Straße nehmen
Und damit wir unsere Ziele schneller erreichen
Wir müssen die Treppe hochsteigen!
2. Wissen aktualisieren .
Aufgabe "Leiter".
Optionsarbeit, Validierung und Selbsteinschätzung
3 Gut gemacht, wir bewegen uns weiter nach oben, um Wissen zu erhalten.Lassen Sie uns unsere Hausaufgaben überprüfen.
1. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Punkten der Koordinatenlinie: Д / З
a) A (-4) und B (-6); b) A (5) und B (-7); c) A (3) und B (-18).
LÖSUNG: a) AB = | -6 - (- 4) | = | -2 | = 2
b) AB = |-7-5 | = 12
c) AB = | -18-3 | = 21
2. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, die vom Punkt entfernt sind:
a) A (-8) mal 5; b) B (6) um -2,7; c) C (4) um -3,2
Lösung: a) -8 + 5 = -3 EIN 1 (-3) und -8-5 = -13 EIN 2 (-13)
b) 6 + (- 2,7) = 3,3 V 1 (3,3) und 6 - (- 2,7) = 8,7 V 2 (8,7)
c) 4 + (- 3,2) = 0,8 MIT 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 MIT 2 (7,2)
3) Finden Sie die Koordinate von Punkt C, dem Mittelpunkt des Segments, wenn:
a) A (-12) B (1) b) A (-7) und B (9) c) A (16) und B (-8)
LÖSUNG:
12 + 1 = -11 B) -7 + 9 = 2 C) 16 + (- 8) = 8
11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4
M (-5,5) s (1) M (4)
Sie haben einen Benchmark auf Ihren Tischen Hausaufgaben... Prüfen und markieren Sie den Selbstauskunftsbogen.
4 ... Blitz - Umfrage :
1. Was ist eine Koordinatenlinie?
2. Welche Regeln zum Vergleichen rationaler Zahlen kennen Sie?
3.Was ist der Modul einer Zahl?
4.Wie füge ich zwei Zahlen mit demselben Vorzeichen hinzu?
5.Wie füge ich zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen hinzu?
6. Wie bestimme ich den Abstand zwischen den Punkten der Koordinatenlinie?
Nun zeigen wir, wie wir unser Wissen in der Praxis anwenden können.
5 Fehler beheben
12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5
16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2
6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9
11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22
Führen Sie einen Selbsttest durch.
12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5
16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8
26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5
11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4
6. Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Punkten: und finden Sie den Mittelpunkt des Segments (nach Optionen)
(Austausch von Notebooks und gegenseitige Prüfung.)
7. Nun, jetzt werden wir uns ausruhen. Unsere Augen müssen ruhen
8. Selbständiges Arbeiten (in einem Notizbuch) Markierung.
Option 1 Option 2
1,5-4,6 0,8 -1,2
-2,8 +3,8 4-9,4
0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (Folie 9)
Ziel: die Fähigkeit testen, die Additionsgesetze auf Transformationsausdrücke anzuwenden; kognitives Interesse, Unabhängigkeit entwickeln; kultivieren Sie Ausdauer und Ausdauer, um das Ziel zu erreichen.
Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks und färben Sie den Gnom entsprechend dem erhaltenen Ergebnis gemäß der Tabelle. (die Karte mit dem Gnom bleibt als Talisman bei den Schülern)
Gut gemacht, Jungs!
Sie haben die Aufgaben erledigt
Und sie blitzten vor Wissen.
Und der magische Schlüssel zum Lernen ist
Ihre Ausdauer und Geduld!
Punkt-zu-Punkt-Abstand ist die Länge des Liniensegments, das diese Punkte bei einem gegebenen Maßstab verbindet. Daher müssen Sie bei der Entfernungsmessung wissen, in welchem Maßstab (Längeneinheit) gemessen wird. Daher wird das Problem der Entfernung von Punkt zu Punkt normalerweise entweder auf einer Koordinatenlinie oder in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum betrachtet. Mit anderen Worten, meistens ist es notwendig, den Abstand zwischen den Punkten anhand ihrer Koordinaten zu berechnen.
In diesem Artikel erinnern wir uns zunächst daran, wie der Abstand von Punkt zu Punkt auf der Koordinatenlinie bestimmt wird. Als nächstes erhalten wir Formeln zur Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten einer Ebene oder eines Raums bei gegebenen Koordinaten. Betrachten wir abschließend die Lösungen typischer Beispiele und Probleme im Detail.
Seitennavigation.
Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenlinie.
Definieren wir zunächst die Bezeichnungen. Die Entfernung von Punkt A zu Punkt B wird als bezeichnet.
Daraus können wir schließen, dass der Abstand von Punkt A mit Koordinate zu Punkt B mit Koordinate ist gleich dem Modul der Koordinatendifferenz, also, 
an einer beliebigen Stelle von Punkten auf der Koordinatenlinie.
Entfernung von Punkt zu Punkt auf einer Ebene, Formel.
Lassen Sie uns eine Formel zur Berechnung des Abstands zwischen Punkten und in einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem auf der Ebene erhalten.
Je nach Lage der Punkte A und B sind folgende Optionen möglich.
Wenn die Punkte A und B zusammenfallen, ist der Abstand zwischen ihnen Null.
Liegen die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur Abszissenachse, so fallen die Punkte und zusammen und der Abstand ist gleich dem Abstand. Im vorherigen Absatz haben wir herausgefunden, dass der Abstand zwischen zwei Punkten auf der Koordinatenlinie gleich dem Modul der Differenz ihrer Koordinaten ist. 
... Somit, .
Wenn die Punkte A und B auf einer geraden Linie senkrecht zur Ordinatenachse liegen, wird der Abstand von Punkt A zu Punkt B in ähnlicher Weise als gefunden.
In diesem Fall ist das Dreieck ABC rechteckig konstruiert, und 
und . Von Satz des Pythagoras wir können Gleichheit schreiben, woher.
Fassen wir alle erhaltenen Ergebnisse zusammen: der Abstand von einem Punkt zu einem Punkt auf der Ebene wird durch die Koordinaten der Punkte nach der Formel ermittelt 
.
Die resultierende Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen Punkten kann verwendet werden, wenn die Punkte A und B zusammenfallen oder auf einer Geraden senkrecht zu einer der Koordinatenachsen liegen. In der Tat, wenn A und B zusammenfallen, dann. Wenn die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur Ox-Achse liegen, dann. Wenn A und B auf einer Geraden senkrecht zur Oy-Achse liegen, dann.
Abstand zwischen Punkten im Raum, Formel.
Wir führen ein rechtwinkliges Koordinatensystem Oxyz im Raum ein. Holen wir uns die Formel zum Ermitteln der Entfernung vom Punkt 
auf den Punkt 
.
Im Allgemeinen liegen die Punkte A und B nicht in einer Ebene parallel zu einer der Koordinatenebenen. Ziehen wir durch die Punkte A und B Ebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen Ox, Oy und Oz. Die Schnittpunkte dieser Ebenen mit den Koordinatenachsen geben uns die Projektion der Punkte A und B auf diese Achsen. Wir bezeichnen die Projektionen 
.
Der gewünschte Abstand zwischen den Punkten A und B ist die Diagonale des in der Abbildung gezeigten rechteckigen Parallelepipeds. Konstruktionsbedingt sind die Abmessungen dieses Parallelepipeds 
und . Im Geometriekurs weiterführende Schule es wurde bewiesen, dass das Quadrat der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds also gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen ist. Basierend auf den Informationen im ersten Abschnitt dieses Artikels können wir daher die folgenden Gleichheiten schreiben:
woher wir kommen Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen Punkten im Raum .
Diese Formel gilt auch, wenn die Punkte A und B
- Spiel;
- gehören zu einer der Koordinatenachsen oder einer Geraden parallel zu einer der Koordinatenachsen;
- zu einer der Koordinatenebenen oder einer Ebene parallel zu einer der Koordinatenebenen gehören.
Finden der Entfernung von Punkt zu Punkt, Beispiele und Lösungen.
Wir haben also Formeln zum Ermitteln des Abstands zwischen zwei Punkten der Koordinatenlinie, der Ebene und des dreidimensionalen Raums. Es ist an der Zeit, über Lösungen für typische Beispiele nachzudenken.
Die Zahl der Probleme, bei deren Lösung die letzte Stufe darin besteht, den Abstand zwischen zwei Punkten anhand ihrer Koordinaten zu ermitteln, ist wirklich enorm. Eine vollständige Übersicht über solche Beispiele würde den Rahmen dieses Artikels sprengen. Wir beschränken uns hier auf Beispiele, bei denen die Koordinaten zweier Punkte bekannt sind und deren Abstand berechnet werden soll.