Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:
Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.
Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich steigen oder fallen wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts bewegen (entlang der x-Achse), relativ zum Meeresspiegel (entlang der y-Achse) um eine unterschiedliche Anzahl von Metern.
Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).
Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Mengenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.
Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben! Das ist zum Beispiel .
Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Funktionsgraphen vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.
Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.
Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:
Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.
Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhenlage nahezu gleich ist.
Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Schon auf einer Strecke von mehreren Kilometern kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Beurteilung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn ein Mast mitten auf der Straße steht, können wir einfach daran vorbeifahren. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!
Im wirklichen Leben reicht es völlig aus, Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.
Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie die größtmögliche Zahl erhalten, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten eine noch größere Zahl. Und die Unendlichkeit ist noch größer als das, was passiert. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.
Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen unendlich kleinen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:
Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht gleich Null bedeutet. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.
Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.
Konzept der Ableitung
Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.
Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet. Es wird aufgerufen, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.
Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:
Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.
Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:
da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.
Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:
Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.
Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung
Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.
Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher muss zwischen negativen und positiven Werten liegen. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.
Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):
Etwas mehr über Inkremente.
Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.
Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:
Üben Sie das Finden von Inkrementen:
- Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
- Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.
Lösungen:
An verschiedenen Punkten mit demselben Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:
Power-Funktion.
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.
Darüber hinaus – in jedem Umfang: .
Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:
Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:
Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?
Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:
Die Ableitung ist gleich:
Die Ableitung von ist gleich:
b) Betrachten Sie nun die quadratische Funktion (): .
Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:
Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:
c) Wir setzen die logische Reihe fort: .
Dieser Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.
Also, ich habe folgendes bekommen:
Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:
Wir bekommen: .
d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:
e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:
| (2) |
Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“
Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:
- (auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);
Trigonometrische Funktionen.
Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:
Mit Ausdruck.
Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:
Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion daran. Das ist es, was „strebt“.
Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.
Lass es uns versuchen: ;
Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!
usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher liegt der Wert des Verhältnisses.
a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:
Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .
Nun die Ableitung:
Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:
Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?
Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:
Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:
Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.
Üben:
- Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
- Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Lösungen:
Exponent und natürlicher Logarithmus.
In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion
Die Basis dieser Funktion – eine Konstante – ist ein unendlicher Dezimalbruch, also eine irrationale Zahl (wie z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.
Also die Regel:
Sehr leicht zu merken.
Nun, gehen wir nicht zu weit, betrachten wir gleich die Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:
In unserem Fall ist die Basis die Zahl:
Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.
Was ist es gleich? Natürlich, .
Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:
Beispiele:
- Finden Sie die Ableitung der Funktion.
- Was ist die Ableitung der Funktion?
Antworten: Der Exponential- und der natürliche Logarithmus sind aus abgeleiteter Sicht einzigartig einfache Funktionen. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.
Differenzierungsregeln
Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...
Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.
Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.
Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:
Insgesamt gibt es 5 Regeln.
Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.
Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.
Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .
Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.
Beispiele.
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:
- an einem Punkt;
- an einem Punkt;
- an einem Punkt;
- am Punkt.
Lösungen:
Derivat des Produkts
Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:
Derivat:
Beispiele:
- Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
- Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.
Lösungen:
Ableitung einer Exponentialfunktion
Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).
Also, wo ist eine Zahl?
Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:
Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:
Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.
Passiert?
Hier prüfen Sie selbst:
Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.
Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:
Antworten:
Ableitung einer logarithmischen Funktion
Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:
Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:
Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:
Erst jetzt schreiben wir stattdessen:
Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:
Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.
Ableitung einer komplexen Funktion.
Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.
Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.
Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.
Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.
Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .
Für das erste Beispiel: .
Zweites Beispiel: (das Gleiche). .
Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).
Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:
Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion
Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.
Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:
Ein anderes Beispiel:
Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:
Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:
Es scheint einfach, oder?
Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:
DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE
Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:
Grundlegende Derivate:
Differenzierungsregeln:
Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:
Ableitung der Summe:
Derivat des Produkts:
Ableitung des Quotienten:
Ableitung einer komplexen Funktion:
Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:
- Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
- Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
- Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.
Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.
Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!
Jetzt das Wichtigste.
Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.
Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...
Wofür?
Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Studieneintritt mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.
Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...
Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die diese nicht erhalten haben. Das ist Statistik.
Aber das ist nicht die Hauptsache.
Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...
Aber denken Sie selbst...
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Zeigt den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Art der Monotonie der Funktion.
Bitte seien Sie bei den folgenden Punkten äußerst vorsichtig. Schauen Sie, der Zeitplan dessen, WAS Ihnen gegeben wird! Funktion oder ihre Ableitung
Wenn ein Diagramm der Ableitung gegeben ist, dann interessieren uns nur die Funktionszeichen und Nullstellen. An irgendwelchen „Hügeln“ oder „Senken“ sind wir grundsätzlich nicht interessiert!
Aufgabe 1.
Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte, an denen die Ableitung der Funktion negativ ist.
Lösung:
In der Abbildung sind die Bereiche abnehmender Funktion farblich hervorgehoben:
Diese abnehmenden Bereiche der Funktion enthalten 4 ganzzahlige Werte.
Aufgabe 2.
Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft oder mit ihr zusammenfällt.
Lösung:
Sobald die Tangente an den Graphen einer Funktion parallel zu einer Geraden (oder, was dasselbe ist) ist (oder mit ihr zusammenfällt), hat Neigung, gleich Null, dann hat die Tangente einen Winkelkoeffizienten .
Dies bedeutet wiederum, dass die Tangente parallel zur Achse verläuft, da die Steigung der Tangens des Neigungswinkels der Tangente zur Achse ist.
Daher finden wir Extrempunkte (Maximum- und Minimumpunkte) im Diagramm – an diesen Punkten verlaufen die tangentialen Funktionen zum Diagramm parallel zur Achse.
Es gibt 4 solcher Punkte.
Aufgabe 3.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft oder mit ihr zusammenfällt.
Lösung:
Da die Tangente an den Graphen einer Funktion parallel zu einer Geraden mit Steigung ist (oder mit dieser übereinstimmt), hat auch die Tangente eine Steigung.
Das bedeutet wiederum, dass an den Berührungspunkten.
Daher schauen wir uns an, wie viele Punkte im Diagramm eine Ordinate haben, die gleich ist.
Wie Sie sehen, gibt es vier solcher Punkte.
Aufgabe 4.
Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion 0 ist.
Lösung:
An Extrempunkten ist die Ableitung gleich Null. Wir haben 4 davon:
Aufgabe 5.
Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion und elf Punkte auf der x-Achse:. An wie vielen dieser Punkte ist die Ableitung der Funktion negativ?
Lösung:
In Intervallen mit abnehmender Funktion nimmt die Ableitung negative Werte an. Und die Funktion nimmt punktuell ab. Es gibt 4 solcher Punkte.
Aufgabe 6.
Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Summe der Extrempunkte der Funktion.
Lösung:
Extremumpunkte– Dies sind die Höchstpunkte (-3, -1, 1) und Mindestpunkte (-2, 0, 3).
Summe der Extrempunkte: -3-1+1-2+0+3=-2.
Aufgabe 7.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.
Lösung:
Die Abbildung hebt die Intervalle hervor, in denen die Ableitung der Funktion nicht negativ ist.
Auf dem kleinen ansteigenden Intervall gibt es keine ganzzahligen Punkte; auf dem ansteigenden Intervall gibt es vier ganzzahlige Werte: , , und .
Ihre Summe:
Aufgabe 8.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.
Lösung:
In der Abbildung sind alle Intervalle, in denen die Ableitung positiv ist, farblich hervorgehoben, was bedeutet, dass die Funktion selbst in diesen Intervallen zunimmt.
Die Länge des größten von ihnen beträgt 6.
Aufgabe 9.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. An welchem Punkt des Segments nimmt es den größten Wert an?
Lösung:
Sehen wir uns an, wie sich der Graph auf dem Segment verhält, was uns interessiert nur das Vorzeichen der Ableitung .
Das Vorzeichen der Ableitung ist negativ, da der Graph auf diesem Segment unterhalb der Achse liegt.
Die Ableitung einer Funktion $y = f(x)$ an einem gegebenen Punkt $x_0$ ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum entsprechenden Inkrement ihres Arguments, vorausgesetzt, dass letzteres gegen Null geht:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Differenzierung ist die Operation, die Ableitung zu finden.
Ableitungstabelle einiger Elementarfunktionen
| Funktion | Derivat |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Grundregeln der Differenzierung
1. Die Ableitung der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Finden Sie die Ableitung der Funktion $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
Die Ableitung einer Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Derivat des Produkts
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Finden Sie die Ableitung $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Ableitung des Quotienten
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Finden Sie die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion und der Ableitung der internen Funktion
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Physikalische Bedeutung der Ableitung
Wenn sich ein materieller Punkt geradlinig bewegt und sich seine Koordinate in Abhängigkeit von der Zeit gemäß dem Gesetz $x(t)$ ändert, dann ist die momentane Geschwindigkeit dieses Punktes gleich der Ableitung der Funktion.
Der Punkt bewegt sich entlang der Koordinatenlinie gemäß dem Gesetz $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, wobei $x(t)$ die Koordinate zum Zeitpunkt $t$ ist. Zu welchem Zeitpunkt wird die Geschwindigkeit des Punktes 12 $ betragen?
1. Geschwindigkeit ist die Ableitung von $x(t)$, also finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. Um herauszufinden, zu welchem Zeitpunkt $t$ die Geschwindigkeit gleich $12$ war, erstellen und lösen wir die Gleichung:
Geometrische Bedeutung der Ableitung
Denken Sie daran, dass die Gleichung einer geraden Linie, die nicht parallel zu den Koordinatenachsen ist, in der Form $y = kx + b$ geschrieben werden kann, wobei $k$ die Steigung der geraden Linie ist. Der Koeffizient $k$ ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels zwischen der Geraden und der positiven Richtung der $Ox$-Achse.
Die Ableitung der Funktion $f(x)$ am Punkt $х_0$ ist gleich der Steigung $k$ der Tangente an den Graphen an diesem Punkt:
Daher können wir eine allgemeine Gleichheit herstellen:
$f"(x_0) = k = tanα$
In der Abbildung nimmt die Tangente an die Funktion $f(x)$ zu, daher ist der Koeffizient $k > 0$. Da $k > 0$, dann ist $f"(x_0) = tanα > 0$. Der Winkel $α$ zwischen der Tangente und der positiven Richtung $Ox$ ist spitz.
In der Abbildung nimmt die Tangente an die Funktion $f(x)$ ab, daher der Koeffizient $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
In der Abbildung ist die Tangente an die Funktion $f(x)$ parallel zur $Ox$-Achse, daher ist der Koeffizient $k = 0$, daher ist $f"(x_0) = tan α = 0$. Die Punkt $x_0$, an dem $f "(x_0) = 0$, genannt Extremum.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion $y=f(x)$ und eine Tangente an diesen Graphen, die am Punkt mit der Abszisse $x_0$ gezeichnet wird. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion $f(x)$ am Punkt $x_0$.
Die Tangente an den Graphen nimmt zu, daher gilt $f"(x_0) = tan α > 0$
Um $f"(x_0)$ zu finden, ermitteln wir die Tangente des Neigungswinkels zwischen der Tangente und der positiven Richtung der $Ox$-Achse. Dazu bilden wir die Tangente an das Dreieck $ABC$.
Finden wir den Tangens des Winkels $BAC$. (Der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25
$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$
Antwort: 0,25 $
Die Ableitung wird auch verwendet, um die Anstiegs- und Abfallintervalle einer Funktion zu ermitteln:
Wenn $f"(x) > 0$ in einem Intervall ist, dann nimmt die Funktion $f(x)$ in diesem Intervall zu.
Wenn $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $y = f(x)$. Finden Sie unter den Punkten $х_1,х_2,х_3...х_7$ die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion negativ ist.
Notieren Sie als Antwort die Anzahl dieser Punkte.
Geometrische Bedeutung der Ableitung , nicht parallel zur y-Achse, dann drückt es den Winkelkoeffizienten der Tangente aus, d.h. e. Denn dann gilt die Gleichheit der Geraden
X y Wenn α 0. Wenn α > 90°, dann k 90°, dann k 90°, dann k 90°, dann k 90°, dann k title="х y Wenn α 0. Wenn α > 90°, dann k
X y Aufgabe 1. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt mit der Abszisse -1. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x =
Y x x0x Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0. Antwort: -0,25
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall (-6;6). Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an. B =...
