FERMA SUUR TEOREEM – Pierre Fermat' (prantsuse jurist ja osalise tööajaga matemaatik) väide, et Diofantiuse võrrandil X n + Y n = Z n , eksponendiga n>2, kus n = täisarv, pole positiivsete täisarvude puhul lahendeid. Autori tekst: "On võimatu lagundada kuupi kaheks kuubikuks või bikvadraati kaheks bikvadraadiks või üldiselt kahest suuremat võimsust kaheks sama eksponendiga astmeks."
"Fermat ja tema teoreem", Amadeo Modigliani, 1920
Pierre tuli selle teoreemiga välja 29. märtsil 1636. aastal. Ja umbes 29 aastat hiljem ta suri. Aga sealt see kõik alguse saigi. Lõppude lõpuks pärandas jõukas saksa matemaatikasõber Wolfskehl sada tuhat marka sellele, kes esitab Fermat' teoreemi täieliku tõestuse! Kuid põnevus teoreemi ümber ei olnud seotud mitte ainult selle, vaid ka professionaalse matemaatilise kirega. Fermat ise vihjas matemaatikaringkondadele, et ta teadis tõestust – vahetult enne oma surma, aastal 1665, jättis ta Aleksandria Diophantose “Aritmeetika” servadele järgmise märkuse: “Mul on väga rabav tõestus, kuid see on liiga suur, et seda teha. asetatakse põldudele."
Just see vihje (pluss muidugi rahaline boonus) sundis matemaatikuid veetma oma parimad aastad edutult tõendit otsides (Ameerika teadlaste sõnul kulutasid ainuüksi professionaalsed matemaatikud sellele kokku 543 aastat).
Mingil hetkel (aastal 1901) omandas töö Fermat' teoreemi kallal kahtlase maine kui "igavese liikumismasina otsimisega sarnanev töö" (ilmus isegi halvustav termin - "Fermatistid"). Ja järsku, 23. juunil 1993, Cambridge'is toimunud arvuteooria matemaatikakonverentsil teatas Princetoni ülikooli (New Jersey, USA) inglise matemaatikaprofessor Andrew Wiles, et Fermat on seda lõpuks tõestanud!
Tõestus polnud aga mitte ainult keeruline, vaid ka ilmselgelt ekslik, nagu Wilesile tema kolleegid tähelepanu juhtisid. Kuid professor Wiles unistas kogu oma elu teoreemi tõestamisest, mistõttu pole üllatav, et 1994. aasta mais esitas ta teadusringkondadele tõestuse uue, muudetud versiooni. Selles polnud harmooniat ega ilu ja see oli ikkagi väga keeruline – fakt, et matemaatikud kulutasid terve aasta (!) seda tõendit analüüsides, et aru saada, kas see oli ekslik, räägib enda eest!
Kuid lõpuks leiti, et Wilesi tõestus oli õige. Kuid matemaatikud ei andestanud Pierre Fermat'le tema vihjet "Aritmeetikale" ja hakkasid teda tegelikult valetajaks pidama. Tegelikult oli esimene inimene, kes seadis kahtluse alla Fermat' moraalse aususe, Andrew Wiles ise, kes märkis, et "Fermatil ei saanud olla selliseid tõendeid. Need on kahekümnenda sajandi tõendid." Siis muutus teiste teadlaste seas tugevamaks arvamus, et Fermat "ei suutnud oma teoreemi teistmoodi tõestada ja Fermat ei suutnud seda tõestada nii, nagu Wiles objektiivsetel põhjustel arvas".
Tegelikult võiks Fermat seda muidugi tõestada ja veidi hiljem loovad selle tõestuse New Analytical Encyclopedia analüütikud uuesti. Aga mis on need "objektiivsed põhjused"?
Sellist põhjust on tegelikult ainult üks: neil aastatel, mil Fermat elas, ei saanud ilmuda Taniyama oletus, millele Andrew Wiles oma tõestuse tugines, sest modulaarsed funktsioonid, millega Taniyama oletus toimib, avastati alles 19. sajandil.
Kuidas Wiles ise teoreemi tõestas? Küsimus ei ole tühine – see on oluline selleks, et mõista, kuidas Fermat ise saaks oma teoreemi tõestada. Wiles rajas oma tõestuse Taniyama oletuse tõestusele, mille esitas 1955. aastal 28-aastane Jaapani matemaatik Yutaka Taniyama.
Hüpotees kõlab järgmiselt: "iga elliptiline kõver vastab teatud modulaarsele vormile." Pikka aega tuntud elliptilised kõverad on kahemõõtmelise kujuga (asuvad tasapinnal), modulaarsetel funktsioonidel aga neljamõõtmeline vorm. See tähendab, et Taniyama hüpotees ühendas täiesti erinevad mõisted – lihtsad lamedad kõverad ja kujuteldamatud neljamõõtmelised kujundid. Juba fakt erimõõtmeliste kujundite kombineerimisest hüpoteesis tundus teadlastele absurdne, mistõttu 1955. aastal ei omistatud sellele mingit tähtsust.
Ent 1984. aasta sügisel meenus “Taniyama oletus” äkitselt taas ja mitte ainult ei jäänud meelde, vaid selle võimalik tõestus ühendati Fermat’ teoreemi tõestusega! Seda tegi Saarbrückeni matemaatik Gerhard Frey, kes teatas teadusringkondadele, et "kui kellelgi õnnestub Taniyama oletus tõestada, siis tõestatakse ka Fermat' viimane teoreem".
Mida Frey tegi? Ta muutis Fermat' võrrandi kuupkujuliseks ja märkas seejärel, et kuupkujuliseks teisendatud Fermat' võrrandi abil saadud elliptiline kõver ei saa olla modulaarne. Taniyama oletus väitis aga, et iga elliptiline kõver võib olla modulaarne! Seega ei saa Fermat' võrrandist koostatud elliptilist kõverat eksisteerida, mis tähendab, et ei saa olla täislahendusi ja Fermat' teoreemi, mis tähendab, et see on tõsi. Noh, aastal 1993 tõestas Andrew Wiles lihtsalt Taniyama oletuse ja seega ka Fermat' teoreemi.
Fermat’ teoreemi saab aga tõestada palju lihtsamalt, sama mitmemõõtmelisuse alusel, millega opereerisid nii Taniyama kui Frey.
Alustuseks pöörame tähelepanu Pierre Fermat’ enda poolt täpsustatud seisundile - n>2. Miks seda tingimust vaja oli? Jah, ainult selle eest, et n=2 korral muutub Fermat’ teoreemi erijuhtum tavaliseks Pythagorase teoreemiks X 2 +Y 2 =Z 2, millel on lõpmatu arv täisarvulisi lahendeid - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 ja nii edasi. Seega on Pythagorase teoreem erand Fermat' teoreemist.
Miks aga tekib selline erand juhul, kui n=2? Kõik loksub paika, kui näed seost astme (n=2) ja kujundi enda mõõtme vahel. Pythagorase kolmnurk on kahemõõtmeline kujund. Pole üllatav, et Z (see tähendab hüpotenuus) saab väljendada jalgadena (X ja Y), mis võivad olla täisarvud. Nurga suurus (90) võimaldab vaadelda hüpotenuusi kui vektorit ja jalad on vektorid, mis asuvad telgedel ja tulevad algpunktist. Vastavalt sellele on võimalik väljendada kahemõõtmelist vektorit, mis ei asu ühelgi teljel, nendel asuvate vektorite järgi.
Nüüd, kui liigume kolmemõõtmelise vektori väljendamiseks kolmandasse dimensiooni ja seega n=3-sse, ei ole kahe vektori kohta piisavalt teavet ja seetõttu on võimalik väljendada Z-d Fermat' võrrandis. läbi vähemalt kolme liikme (kolm vektorit, mis asuvad vastavalt koordinaatsüsteemi kolmel teljel).
Kui n=4, siis peaks olema 4 liiget, kui n=5, siis peaks olema 5 liiget jne. Sel juhul on lahendusi enam kui küll. Näiteks 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 ja nii edasi (saate ise valida muid näiteid n=3, n=4 ja nii edasi).
Mis sellest kõigest järeldub? Sellest järeldub, et Fermat' teoreemil pole n>2 jaoks täisarvulisi lahendeid, kuid ainult seetõttu, et võrrand ise on vale! Sama eduga võiks proovida väljendada rööptahuka ruumala selle kahe serva pikkuste kaudu – see on muidugi võimatu (terviklikke lahendusi ei leita kunagi), aga ainult sellepärast, et leida rööptahuka ruumala peate teadma selle kõigi kolme serva pikkust.
Kui kuulsalt matemaatikult David Gilbertilt küsiti, mis on praegu teaduse jaoks kõige olulisem probleem, vastas ta: "Kärbse püüdmine Kuu kaugemal küljel". Mõistlikule küsimusele "Kellele seda vaja on?" ta vastas: "Seda pole kellelegi vaja, aga mõelge, kui palju olulisi ja keerulisi probleeme tuleb selle elluviimiseks lahendada."
Teisisõnu, Fermat (jurist ennekõike!) mängis ülesande ebakorrektsel sõnastusel põhinevat teravmeelset juriidilist nalja kogu matemaatilise maailma üle. Ta õigupoolest soovitas matemaatikutel leida vastus küsimusele, miks kärbes teisel pool Kuud elada ei saa ja “Aritmeetika” veeristele tahtis ta kirjutada vaid selle, et Kuul õhku lihtsalt pole, s.t. Tema teoreemil ei saa olla täislahendusi n>2 korral ainult seetõttu, et iga n väärtus peab vastama teatud arvule võrrandi vasakul poolel olevatele liikmetele.
Aga kas see oli lihtsalt nali? Üldse mitte. Fermat’ geniaalsus seisneb just selles, et ta oli tegelikult esimene, kes nägi matemaatilise kujundi astme ja mõõtme vahelist seost – see tähendab absoluutselt samaväärset võrrandi vasakul poolel olevate liikmete arvu. Tema kuulsa teoreemi eesmärk oli mitte ainult suruda matemaatilist maailma selle seose idee juurde, vaid ka algatada selle seose olemasolu tõestus - intuitiivselt mõistetav, kuid mitte veel matemaatiliselt põhjendatud.
Fermat, nagu keegi teine, mõistis, et suhete loomine näiliselt erinevate objektide vahel on äärmiselt viljakas mitte ainult matemaatikas, vaid igas teaduses. See suhe viitab mõnele sügavale põhimõttele, mis on mõlema objekti aluseks ja võimaldab neid sügavamalt mõista.
Näiteks füüsikud pidasid elektrit ja magnetismi alguses täiesti mitteseotud nähtusteks, kuid 19. sajandil mõistsid teoreetikud ja eksperimenteerijad, et elekter ja magnetism on omavahel tihedalt seotud. Selle tulemusena saavutati parem arusaam nii elektrist kui ka magnetismist. Elektrivoolud tekitavad magnetvälju ja magnetid võivad magnetite läheduses olevates juhtmetes elektrit esile kutsuda. See viis dünamo ja elektrimootorite leiutamiseni. Lõpuks avastati, et valgus on magnet- ja elektriväljade koordineeritud harmooniliste võnkumiste tulemus.
Fermat’ aja matemaatika koosnes teadmiste saartest teadmatuse meres. Ühel saarel elasid geomeetrid, kes uurisid kujundeid, teisel saarel uurisid tõenäosusteooria matemaatikud riske ja juhuslikkust. Geomeetria keel erines oluliselt tõenäosusteooria keelest ja algebraline terminoloogia oli võõras neile, kes rääkisid ainult statistikast. Kahjuks koosneb meie aja matemaatika ligikaudu samadest saartest.
Fermat sai esimesena aru, et kõik need saared on omavahel seotud. Ja tema kuulus teoreem – Fermat’ viimane teoreem – on selle suurepäraseks kinnituseks.
Et 2016. aasta Abeli auhind läheb Andrew Wilesile pooldatavate elliptiliste kõverate Taniyama-Shimura oletuse ja sellest oletusest tuleneva Fermat' viimase teoreemi tõestuse eest. Praegu on lisatasu 6 miljonit Norra krooni, see tähendab ligikaudu 50 miljonit rubla. Wilesi sõnul tuli auhind talle "täieliku üllatusena".
Enam kui 20 aastat tagasi tõestatud Fermat’ teoreem köidab siiani matemaatikute tähelepanu. Osaliselt on see tingitud selle sõnastusest, mis on arusaadav ka koolilapsele: tõesta, et naturaalse n>2 korral pole nullist erineva täisarvu kolmikuid, mille puhul a n + b n = c n . Pierre Fermat kirjutas selle väljendi Diophantuse Aritmeetika veeristele, lisades tähelepanuväärse allkirja: "Ma leidsin [selle väite] tõeliselt suurepärase tõestuse, kuid raamatu veerised on selle jaoks liiga kitsad." Erinevalt enamikust matemaatikalugudest on see tõeline.
Auhinna üleandmine on suurepärane võimalus meenutada kümmet lõbusat Fermat' teoreemiga seotud lugu.
1.
Enne kui Andrew Wiles Fermat' teoreemi tõestas, nimetati seda õigemini hüpoteesiks, see tähendab Fermat' oletuseks. Fakt on see, et teoreem on definitsiooni järgi juba tõestatud väide. Kuid millegipärast oli see konkreetne nimi sellele avaldusele lisatud.
2.
Kui seame Fermat' teoreemis n = 2, siis on sellisel võrrandil lõpmatult palju lahendeid. Neid lahendusi nimetatakse "Pythagorase kolmikuteks". Nad said selle nime, kuna need vastavad täisnurksetele kolmnurkadele, mille külgi väljendavad täpselt sellised arvukomplektid. Nende kolme valemiga (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2) saate genereerida Pythagorase kolmikuid. Peame nendesse valemitesse asendama m ja n erinevad väärtused ning tulemuseks on kolmikud, mida vajame. Siin on aga peamine jälgida, et saadud arvud oleksid suuremad kui null – pikkusi ei saa väljendada negatiivsete arvudena.
Muide, on hästi näha, et kui kõik Pythagorase kolmiku arvud korrutada mõne nullist erineva arvuga, saadakse uus Pythagorase kolmik. Seetõttu on mõistlik uurida kolmikuid, milles kolmel arvul koos ühistegurit pole. Kirjeldatud skeem võimaldab meil saada kõik sellised kolmikud - see pole enam lihtne tulemus.
3.
1. märtsil 1847 teatasid Pariisi Teaduste Akadeemia koosolekul kaks matemaatikut – Gabriel Lamé ja Augustin Cauchy, et nad on ühe tähelepanuväärse teoreemi tõestamise äärel. Nad võistlesid tõendite avaldamisega. Enamik akadeemikuid oli Lame'i juured, kuna Cauchy oli ülemeelik, sallimatu usufanaatik (ja loomulikult osalise tööajaga täiesti geniaalne matemaatik). Matšile polnud aga määratud lõppeda – oma sõbra Joseph Liouville’i vahendusel teatas saksa matemaatik Ernst Kummer akadeemikutele, et Cauchy ja Lame’i tõestuses on sama viga.
Koolis on tõestatud, et arvu lagunemine algteguriteks on ainulaadne. Mõlemad matemaatikud uskusid, et kui vaatame täisarvude laienemist keerulisel juhul, siis see omadus - ainulaadsus - säilib. Siiski ei ole.
Tähelepanuväärne on see, et kui arvestada ainult m + i n, siis on laienemine ainulaadne. Selliseid arve nimetatakse Gaussi numbriteks. Kuid Lamé ja Cauchy töö nõudis tsüklotoomiliste väljade faktoriseerimist. Need on näiteks arvud, milles m ja n on ratsionaalsed ning i rahuldab omaduse i^k = 1.
4.
Fermat' teoreemil n = 3 on selge geomeetriline tähendus. Kujutagem ette, et meil on palju väikseid kuubikuid. Paneme neist kokku kaks suurt kuubikut. Sel juhul on küljed loomulikult täisarvud. Kas on võimalik leida kaks nii suurt kuubikut, et nendest väikesteks kuubikuteks lahti monteerides saaksime neist ühe suure kuubi kokku panna? Fermat' teoreem ütleb, et seda ei saa kunagi teha. Naljakas on see, et kui esitada sama küsimus kolme kuubi kohta, on vastus jaatav. Näiteks on see numbrikvartett, mille avastas imeline matemaatik Srinivas Ramanujan:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
Fermat’ teoreemi ajaloos märgiti ära Leonard Euler. Tal ei õnnestunud väidet tegelikult tõestada (või isegi tõestusele läheneda), kuid ta sõnastas hüpoteesi, et võrrand
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
ei sisalda lahendust täisarvudes. Kõik katsed sellisele võrrandile lahendust leida olid ebaõnnestunud. Alles 1988. aastal õnnestus Nahum Elkiesil Harvardist leida vastunäide. See näeb välja selline:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Tavaliselt meenub see valem numbrilise katse kontekstis. Reeglina näeb matemaatikas välja selline: mingi valem on olemas. Matemaatik kontrollib seda valemit lihtsatel juhtudel, veendub selle tõesuses ja sõnastab mõne hüpoteesi. Seejärel kirjutab ta (kuigi sagedamini mõni tema magistrant või bakalaureuseõppe üliõpilane) programmi, et kontrollida, kas valem on õige piisavalt suurte arvude puhul, mida ei saa käsitsi lugeda (räägime ühest sellisest katsest algarvudega). See pole muidugi tõend, vaid suurepärane põhjus hüpoteesi püstitamiseks. Kõik need konstruktsioonid põhinevad mõistlikul eeldusel, et kui mõnele mõistlikule valemile on vastunäide, siis leiame selle piisavalt kiiresti.
Euleri hüpotees tuletab meile meelde, et elu on palju mitmekesisem kui meie fantaasiad: esimene vastunäide võib olla nii suur, kui soovitakse.
6.
Tegelikult ei püüdnud Andrew Wiles muidugi Fermat’ teoreemi tõestada – ta lahendas raskemat ülesannet, mida nimetatakse Taniyama-Shimura oletuseks. Matemaatikas on kaks suurepärast objektide klassi. Esimest nimetatakse modulaarseteks vormideks ja need on sisuliselt funktsioonid Lobatševski ruumis. Need funktsioonid ei muutu selle tasapinna liikumisega. Teist nimetatakse elliptilisteks kõverateks ja see kujutab kõveraid, mis on määratletud komplekstasandil kolmanda astme võrrandiga. Mõlemad objektid on arvuteoorias väga populaarsed.
Eelmise sajandi 50ndatel kohtusid Tokyo ülikooli raamatukogus kaks andekat matemaatikut Yutaka Taniyama ja Goro Shimura. Sel ajal ülikoolis erilist matemaatikat ei olnud: pärast sõda polnud sellel lihtsalt aega taastuda. Selle tulemusena õppisid teadlased vanu õpikuid kasutades ja arutasid seminarides probleeme, mida Euroopas ja USA-s peeti lahendatuks ja mitte eriti oluliseks. Taniyama ja Shimura avastasid, et modulaarsete vormide ja elliptiliste funktsioonide vahel on teatav vastavus.
Nad kontrollisid oma hüpoteesi mõne lihtsa kõvera klassiga. Selgus, et see töötab. Seega eeldasid nad, et see seos on alati olemas. Nii tekkis Taniyama-Shimura hüpotees ja kolm aastat hiljem sooritas Taniyama enesetapu. 1984. aastal näitas saksa matemaatik Gerhard Frey, et kui Fermat' teoreem on vale, siis Taniyama-Shimura oletus on seega vale. Sellest järeldub, et kes selle hüpoteesi tõestab, tõestab ka teoreemi. See on täpselt see, mida Wiles tegi – kuigi mitte päris üldiselt.
7.
Wiles veetis hüpoteesi tõestamiseks kaheksa aastat. Ja ülevaatamise ajal leidsid retsensentid selles vea, mis "tappis" enamiku tõenditest, muutes kõik tööaastad. Üks arvustajatest, nimega Richard Taylor, võttis selle augu Wilesiga lappima. Nende töötamise ajal ilmus teade, et Elkies, seesama, kes oli leidnud vastunäite Euleri oletustele, on leidnud ka vastunäite Fermat' teoreemile (hiljem selgus, et see oli aprillinali). Wiles langes masendusse ega tahtnud jätkata – auk tõendites ei sulgunud. Taylor veenis Wilesi veel kuu aega võitlema.
Juhtus ime ja suve lõpuks õnnestus matemaatikutel läbimurre teha - nii ilmusid Andrew Wilesi tööd "Modulaarsed elliptilised kõverad ja Fermat' viimane teoreem" (pdf) ja Richard Richard "Mõnede Hecke algebra ringteoreetilised omadused". Taylor ja Andrew Wiles sündisid. See oli juba õige tõend. See ilmus 1995. aastal.
8.
1908. aastal suri Darmstadtis matemaatik Paul Wolfskehl. Ta jättis maha testamendi, milles ta andis matemaatilisele kogukonnale 99 aastat aega, et leida tõestus Fermat' viimase teoreemi kohta. Tõestuse autor oleks pidanud saama 100 tuhat marka (vastunäite autor, muide, poleks midagi saanud). Laialt levinud legendi järgi ajendas Wolfskehli matemaatikutele sellist kingitust tegema armastus. Simon Singh kirjeldab legendi oma raamatus Fermat's Last Theorem:
Lugu algab sellega, et Wolfskehl armub ilusasse naisesse, kelle identiteeti pole kunagi kindlaks tehtud. Wolfskeli õnnetuseks lükkas salapärane naine ta tagasi. Ta langes nii sügavasse meeleheitesse, et otsustas sooritada enesetapu. Wolfskel oli kirglik mees, kuid mitte impulsiivne ja hakkas seetõttu oma surma igas detailis välja töötama. Ta määras enesetapu kuupäeva ja otsustas keskööl endale pähe tulistada. Ülejäänud päevadel otsustas Wolfskel oma suurepäraselt kulgenud asjaajamised korda teha ning viimasel päeval tegi ta testamendi ning kirjutas lähisõpradele ja sugulastele kirju.
Wolfskel töötas nii usinalt, et lõpetas kõik tööd enne südaööd ja et järelejäänud tunde kuidagi täita, läks raamatukokku, kus hakkas matemaatilisi päevikuid sirvima. Peagi jõudis ta Kummeri klassikalise artiklini, milles ta selgitas, miks Cauchy ja Lamé ebaõnnestusid. Kummeri töö oli selle sajandi üks olulisemaid matemaatilisi väljaandeid ja oli parim lugemine enesetapu kaaluva matemaatiku jaoks. Wolfskel jälgis hoolikalt, rida-realt Kummeri arvutusi. Ühtäkki tundus Wolfskehlile, et ta on avastanud lünga: autor oli teinud oletuse ega olnud seda sammu oma arutluskäigus õigustanud. Wolfskehl mõtles, kas ta oli tegelikult avastanud tõsise lünga või oli Kummeri oletus mõistlik. Kui lünk avastati, oli võimalus, et Fermat' viimast teoreemi saab tõestada palju lihtsamalt, kui paljud uskusid.
Wolfskehl istus laua taha, analüüsis hoolikalt Kummeri arutluskäigu „vigast“ osa ja hakkas visandama minitõestust, mis pidi kas toetama Kummeri tööd või demonstreerima tema oletuse ekslikkust ja selle tulemusena kummutada kõik tema väited. argumendid. Koiduks oli Wolfskel oma arvutused lõpetanud. Halb (matemaatilisest aspektist vaadatuna) uudis oli see, et Kummeri tõestus oli parandatud ja Fermat' viimane teoreem jäi kättesaamatuks. Kuid oli häid uudiseid: enesetapuks määratud aeg oli möödas ja Wolfskehl oli nii uhke, et oli suutnud avastada ja täita tühimiku suure Ernest Kummeri töös, et tema meeleheide ja kurbus hajusid iseenesest. Matemaatika andis talle elurõõmu tagasi.
Siiski on alternatiivne versioon. Tema sõnul asus Wolfskehl matemaatikasse (ja tegelikult ka Fermat’ teoreemi) progresseeruva hulgiskleroosi tõttu, mis takistas tal teha seda, mida ta armastas – olla arst. Ja raha jättis ta matemaatikutele, et mitte jätta seda oma naisele, keda ta elu lõpuks lihtsalt vihkas.
9.
Katsed tõestada Fermat' teoreemi elementaarsete meetoditega viisid terve klassi kummaliste inimeste esilekerkimiseni, mida kutsuti "fermatistideks". Nad tegelesid tohutu hulga tõendite kogumisega ega heitnud üldse meelt, kui leidsid neis tõendites vea.
Moskva Riikliku Ülikooli mehaanika-matemaatikateaduskonnas elas legendaarne tegelane Dobretsov. Ta kogus erinevatelt osakondadelt tunnistusi ja astus neid kasutades mehaanika-matemaatikateaduskonda. Seda tehti ainult ohvri leidmiseks. Kuidagi sattus ta kokku noore magistrandiga (tulevane akadeemik Novikov). Ta hakkas oma naiivsuses hoolikalt uurima paberivirna, mille Dobretsov talle sõnadega ulatas, nende sõnul on siin tõend. Pärast järjekordset "siin on viga..." võttis Dobretsov virna ja toppis selle oma portfelli. Teisest portfellist (jah, ta kõndis mehaanika-matemaatikateaduskonnas kahe portfelliga ringi) võttis ta välja teise virna, ohkas ja ütles: "Noh, vaatame siis varianti 7 B."
Muide, enamik neist tõestustest algab fraasiga "Viime ühe termini võrdsuse paremale poolele ja faktoriseerime selle."
10.
Lugu teoreemi kohta oleks puudulik ilma imelise filmita “Matemaatik ja kurat”.
Muudatus
Selle artikli 7. jaotis väitis algselt, et Nahum Elkies oli leidnud Fermat' teoreemile vastunäite, mis hiljem osutus valeks. See on vale: vastunäitearuanne oli aprillinali. Vabandame ebatäpsuse pärast.
Andrei Konjajev
Pierre Fermat’l, lugedes Aleksandria Diophantose “Aritmeetikat” ja mõtiskledes selle probleemide üle, oli kombeks oma mõtiskluste tulemused lühikommentaaridena raamatu servadele kirja panna. Diophantuse kaheksanda probleemi vastu raamatu servadel kirjutas Fermat: " Vastupidi, on võimatu lagundada kuupi kaheks kuubikuks või bikvadraati kaheks bikvadraadiks ja üldiselt ei saa ruudust suuremat võimsust kaheks sama astendajaga astmeks. Olen avastanud selle kohta tõeliselt imelise tõestuse, kuid need väljad on selleks liiga kitsad» / E.T Bell "Matemaatika loojad". M., 1979, lk 69/. Juhin teie tähelepanu Fermat’ teoreemi elementaarsele tõestusele, millest saab aru iga matemaatikahuviline keskkooliõpilane.
Võrrelgem Fermat’ kommentaari Diophantuse probleemile Fermat’ viimase teoreemi tänapäevase sõnastusega, millel on võrrandi kuju.
« Võrrand
x n + y n = z n(kus n on täisarv, mis on suurem kui kaks)
ei sisalda positiivsete täisarvudega lahendeid»
Kommentaar on loogilises seoses ülesandega, sarnaselt predikaadi loogilisele seosele subjektiga. Seda, mida väidab Diophantuse probleem, väidab vastupidiselt Fermat' kommentaar.
Fermat' kommentaari saab tõlgendada järgmiselt: kui kolme tundmatuga ruutvõrrandil on Pythagorase arvude kõigi kolmikute hulgal lõpmatu arv lahendeid, siis vastupidi, võrrandil kolme tundmatuga ruudust suurema astmega.
Võrrandis pole isegi vihjet selle seosele Diophantuse probleemiga. Tema väide nõuab tõestust, kuid pole tingimust, millest järeldub, et sellel pole positiivsete täisarvudega lahendeid.
Minule teadaolevad võrrandi tõestamise võimalused taanduvad järgmisele algoritmile.
- Selle järelduseks võetakse Fermat' teoreemi võrrand, mille kehtivust kontrollitakse tõestuse kaudu.
- Seda sama võrrandit nimetatakse originaal võrrand, millest selle tõestus peab lähtuma.
Selle tulemusena moodustus tautoloogia: " Kui võrrandil pole positiivsete täisarvude lahendeid, siis pole sellel ka positiivsete täisarvude lahendeid"Tautoloogia tõestus on ilmselgelt vale ja sellel puudub igasugune tähendus. Kuid seda tõestab vastuolu.
- Tehakse eeldus, mis on vastupidine tõestamist vajava võrrandiga väidetule. See ei tohiks olla vastuolus algse võrrandiga, kuid see on. Pole mõtet tõestada seda, mis on aktsepteeritud ilma tõenditeta, ja ilma tõestuseta aktsepteerida seda, mida on vaja tõestada.
- Aktsepteeritud eeldusele tuginedes tehakse absoluutselt õigeid matemaatilisi tehteid ja toiminguid tõestamaks, et see on vastuolus algse võrrandiga ja on vale.
Seetõttu on Fermat’ viimase teoreemi võrrandi tõestamine jäänud spetsialistide ja matemaatikahuviliste unistuseks juba 370 aastat.
Teoreemi järelduseks võtsin võrrandi ja teoreemi tingimuseks Diophantuse kaheksanda ülesande ja selle võrrandi.
"Kui võrrand x 2 + y 2 = z 2
(1) on Pythagorase arvude kõigi kolmikute hulgal lõpmatu arv lahendeid, siis võrrand, vastupidi x n + y n = z n
, Kus n > 2
(2) ei sisalda positiivsete täisarvude hulgal lahendusi.
Tõestus.
A) Kõik teavad, et võrrandil (1) on Pythagorase arvude kõigi kolmikute hulgal lõpmatu arv lahendeid. Tõestame, et mitte ükski Pythagorase arvu kolmik, mis on võrrandi (1) lahend, ei ole võrrandi (2) lahend.
Võrdsuse pöörduvuse seadusest lähtudes vahetame võrrandi (1) pooled. Pythagorase arvud (z, x, y) võib tõlgendada täisnurkse kolmnurga külgede ja ruutude pikkustena (x 2, y 2, z 2) võib tõlgendada selle hüpotenuusile ja jalgadele ehitatud ruutude pindalana.
Korrutame võrrandi (1) ruutude pindalad suvalise kõrgusega h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Võrrandit (3) võib tõlgendada kui rööptahuka ruumala võrdsust kahe rööptahuka ruumalade summaga.
Olgu kolme rööptahuka kõrgus h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Kuubi ruumala jaguneb kahe rööptahuka ruumalaks. Jätame kuubi mahu muutmata ja vähendame esimese rööptahuka kõrgust x ja vähendage teise rööptahuka kõrgust y . Kuubi maht on suurem kui kahe kuubi ruumalade summa:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Pythagorase arvude kolmikute komplektil ( x, y, z ) kell n = 3 võrrandile (2) ei saa olla lahendust. Järelikult on kõigi Pythagorase arvude kolmikute hulgal võimatu kuupi kaheks kuubiks jagada.
Sisestage võrrand (3) kolme rööptahuka kõrgus h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Rööptahuka ruumala jaotatakse kahe rööptahuka ruumalade summaks.
Jätame võrrandi (6) vasaku poole muutmata. Selle paremal küljel kõrgus z 2
vähendada kuni X
esimesel ametiajal ja enne seda kell 2
teisel ametiajal.
Võrrand (6) muutus ebavõrdsuseks:
Rööptahuka maht jaguneb kahe rööptahuka ruumalaks.
Jätame võrrandi (8) vasaku poole muutmata.
Paremal küljel kõrgus zn-2
vähendada kuni xn-2
esimesel ametiajal ja vähendada kuni y n-2
teisel ametiajal. Võrrand (8) muutub ebavõrdseks:
| z n > x n + y n | (9) |
Pythagorase arvude kolmikute hulgal ei saa olla võrrandile (2) ühte lahendust.
Järelikult kõigi Pythagorase arvude kolmikute hulgal kõigi jaoks n > 2 võrrandil (2) pole lahendeid.
"Tõeliselt imeline tõestus" on saadud, kuid ainult kolmikute jaoks Pythagorase arvud. See on tõendite puudumine ja põhjus, miks P. Fermat keeldus temast.
B) Tõestame, et võrrandil (2) pole mitte Pythagorase arvude kolmikute hulgal lahendeid, mis esindab Pythagorase arvude suvalise kolmiku perekonda z = 13, x = 12, y = 5 ja suvalise positiivsete täisarvude kolmiku perekond z = 21, x = 19, y = 16
Mõlemad numbrikolmikud on oma pereliikmed:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Pereliikmete arv (10) ja (11) võrdub poolega 13 ja 12 ja 21 korrutisest 20, st 78 ja 210.
Iga pereliige (10) sisaldab z = 13 ja muutujad X Ja juures 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Iga pereliige (11) sisaldab z = 21 ja muutujad X Ja juures , mis võtavad täisarvud 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Muutujad vähenevad järjest 1 .
Jada (10) ja (11) arvude kolmikuid saab esitada kolmanda astme võrratuste jadana:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
ja neljanda astme ebavõrdsuse kujul:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Iga ebavõrdsuse õigsust kontrollitakse arvude tõstmisega kolmanda ja neljanda astmeni.
Suurema arvuga kuupi ei saa lagundada kaheks väiksema arvuga kuubiks. See on kas väiksem või suurem kui kahe väiksema arvu kuubikute summa.
Suurema arvu bikvadraati ei saa lagundada kaheks väiksemate arvude bikvadraadiks. See on väiksem või suurem kui väiksemate arvude bisruutude summa.
Eksponent suurenedes on kõigil ebavõrdsustel, välja arvatud vasakpoolne äärmine ebavõrdsus, sama tähendus:
Neil kõigil on sama tähendus: suurema arvu võimsus on suurem kui kahe sama astendajaga väiksema arvu astmete summa:
| 13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Jadade (12) (13) vasakpoolne äärmusliige esindab kõige nõrgemat ebavõrdsust. Selle õigsus määrab kõigi järgnevate jada (12) võrratuste õigsuse n > 8 ja järjestus (13) kl n > 14 .
Nende vahel ei saa olla võrdsust. Positiivsete täisarvude (21,19,16) suvaline kolmik ei ole Fermat' viimase teoreemi võrrandi (2) lahendus. Kui suvaline positiivsete täisarvude kolmik ei ole võrrandi lahendus, siis pole võrrandil positiivsete täisarvude hulgal lahendeid, mida oli vaja tõestada.
KOOS) Fermat' kommentaar Diophantuse probleemi kohta väidab, et lagunemine on võimatu " üldiselt ei ole ükski võimsus suurem kui ruut, kaks astet sama astendajaga».
Suudlus ruudust suuremat kraadi ei saa tegelikult sama astendajaga kaheks kraadiks lagundada. Ei mingeid suudlusi ruudust suurema kraadi saab lagundada kaheks sama astendajaga astmeks.
Suvaline positiivsete täisarvude kolmik (z, x, y) võib kuuluda perekonda, mille iga liige koosneb konstantsest arvust z ja kaks numbrit väiksem z . Iga perekonna liiget saab esitada ebavõrdsuse kujul ja kõiki sellest tulenevaid ebavõrdsusi saab esitada ebavõrdsuse jada kujul:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Võrratuste jada (14) algab ebavõrdsustega, mille vasak pool on väiksem kui parem külg, ja lõpeb ebavõrdsustega, mille parem külg on väiksem kui vasak pool. Kasvava eksponendiga n > 2 suureneb võrratuste arv järjestuse (14) paremal küljel. Eksponentiga n = k kõik jada vasakul poolel olevad ebavõrdsused muudavad oma tähendust ja omandavad jada võrratuste (14) paremal poolel olevate võrratuste tähenduse. Kõigi ebavõrduste eksponendi suurendamise tulemusena osutub vasak pool suuremaks kui parem külg:
| z k > (z-1) k + (z-1) k; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
Eksponenti edasise suurenemisega n>k ükski ebavõrdsus ei muuda oma tähendust ega muutu võrdsuseks. Selle põhjal võib väita, et mis tahes meelevaldselt valitud positiivsete täisarvude kolmik (z, x, y) juures n > 2 , z > x , z > y
Suvaliselt valitud positiivsete täisarvude kolmikus z võib olla meelevaldselt suur naturaalarv. Kõigile naturaalarvudele, mis ei ole suuremad kui z , Fermat' viimane teoreem on tõestatud.
D)Ükskõik kui suur on see number z , naturaalses arvureas on enne seda suur, kuid lõplik täisarvude hulk ja pärast seda on lõpmatu hulk täisarvusid.
Tõestame, et kogu naturaalarvude lõpmatu hulk on suur z , moodustavad arvude kolmikud, mis ei ole Fermat' viimase teoreemi võrrandi lahendid, näiteks suvaline positiivsete täisarvude kolmik (z + 1, x ,y) , kus z + 1 > x Ja z + 1 > y kõigi eksponendi väärtuste jaoks n > 2 ei ole Fermat' viimase teoreemi võrrandi lahendus.
Juhuslikult valitud positiivsete täisarvude kolmik (z + 1, x, y) võib kuuluda kolmekordsete arvude perekonda, mille iga liige koosneb konstantsest arvust z+1 ja kaks numbrit X Ja juures , võttes erinevaid väärtusi, väiksemaid z+1 . Pereliikmeid saab kujutada ebavõrdsuse kujul, milles konstantne vasak pool on väiksem või suurem kui parem pool. Ebavõrdusi saab järjestada võrratuste jada kujul:
Eksponenti edasise suurenemisega n>k lõpmatuseni ei muuda ükski jada (17) ebavõrdsus oma tähendust ega muutu võrdsuseks. Jadas (16) moodustub ebavõrdsus suvaliselt valitud positiivsete täisarvude kolmikust (z + 1, x, y) , võib asuda vormis selle paremal küljel (z + 1) n > x n + y n või olla vormis selle vasakul küljel (z+1)n< x n + y n .
Igal juhul positiivsete täisarvude kolmik (z + 1, x, y) juures n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y järjestuses (16) tähistab ebavõrdsust ja ei saa esitada võrdsust, st ei saa esitada Fermat' viimase teoreemi võrrandi lahendit.
Lihtne ja lihtne on mõista võimuvõrratuste jada (16) päritolu, milles viimane vasakpoolne ebavõrdsus ja parempoolne esimene võrratus on vastupidise tähendusega ebavõrdsused. Vastupidi, koolilastel, gümnasistidel ja gümnasistidel pole lihtne ja raske mõista, kuidas ebavõrdsuse jadast (17) moodustub ebavõrdsuse jada (16), milles kõik ebavõrdsused on sama tähendusega. .
Järjekorras (16) muudab võrratuste täisarvu astme suurendamine 1 ühiku võrra vasakpoolse viimase võrratuse parema külje esimeseks vastupidises mõttes. Seega jada vasakpoolsete võrratuste arv väheneb ja parempoolsete võrratuste arv suureneb. Viimase ja esimese vastupidise tähendusega võimsuse ebavõrdsuse vahel on tingimata võimuvõrdsus. Selle aste ei saa olla täisarv, kuna kahe järjestikuse naturaalarvu vahele jäävad ainult mittetäisarvud. Mittetäisarvulise astme astmevõrdsust ei saa teoreemi tingimuste kohaselt pidada võrrandi (1) lahendiks.
Kui jadas (16) jätkame astme suurendamist 1 ühiku võrra, siis selle vasaku külje viimane võrratus muutub parema poole vastupidise tähendusega esimeseks võrratuseks. Selle tulemusena ei jää vasakpoolne ebavõrdsus vasakule ja jääb ainult parempoolne ebavõrdsus, mis on võimsuse ebavõrdsuse suurenemise jada (17). Nende täisarvu võimsuse edasine suurendamine 1 ühiku võrra ainult tugevdab selle võimsuse ebavõrdsust ja välistab kategooriliselt täisarvu võimsuse võrdsuse võimaluse.
Järelikult ei saa üldjuhul astmevõrratuste (17) naturaalarvu (z+1) täisarvu lagundada kaheks sama eksponendiga täisarvuks. Seetõttu pole võrrandil (1) lahendeid naturaalarvude lõpmatu hulga kohta, mida oli vaja tõestada.
Järelikult on Fermat' viimane teoreem täielikult tõestatud:
- jaotises A) kõigi kolmikute jaoks (z, x, y) Pythagorase arvud (Fermat' avastus on tõesti suurepärane tõend),
- jaotises B) mis tahes kolmiku kõigi pereliikmete jaoks (z, x, y) Pythagorase numbrid,
- jaotises C) kõigi arvude kolmikute jaoks (z, x, y) , mitte suured numbrid z
- jaotises D) kõigi numbrite kolmikute jaoks (z, x, y) naturaalarvude jada.
|
Muudatused tehtud 09.05.2010 |
Milliseid teoreeme saab ja milliseid ei saa tõestada vastuoluga?
Matemaatikaterminite seletav sõnastik määratleb tõestuse teoreemi vastuoluga, vastupidise teoreemi vastandiga.
„Tõestamine vastuoluga on teoreemi (lause) tõestamise meetod, mis seisneb mitte teoreemi enda, vaid selle ekvivalendi (ekvivalentse) teoreemi tõestamises. Tõestust vastuoluga kasutatakse alati, kui otsest teoreemi on raske tõestada, kuid vastupidist teoreemi on lihtsam tõestada. Vastuoluga tõestuses asendub teoreemi järeldus selle eitusega ja arutluse kaudu jõutakse tingimuste eitamiseni, s.t. vastuolule, vastupidisele (antule vastand; absurdiks taandamine tõestab teoreemi."
Matemaatikas kasutatakse väga sageli vastuoluga tõestamist. Vastuoluga tõestamine põhineb välistatud keskkoha seadusel, mis seisneb selles, et kahest väitest (väitest) A ja A (A eitus) on üks neist tõene ja teine väär./Matemaatikaterminite seletav sõnastik: käsiraamat õpetajatele/O. V. Manturov [jne]; toimetanud V. A. Ditkina.- M.: Haridus, 1965.- 539 lk.: ill.-C.112/.
Parem poleks avalikult kuulutada, et vastuoluga tõestamise meetod ei ole matemaatiline meetod, kuigi seda kasutatakse matemaatikas, et see on loogiline meetod ja kuulub loogika alla. Kas on vastuvõetav öelda, et vastuoluga tõestamist "kasutatakse alati, kui otsest teoreemi on raske tõestada", kui tegelikult kasutatakse seda siis ja ainult siis, kui asendajat pole.
Eraldi tähelepanu väärib ka otsese ja pöördteoreemi omavahelise seose iseloomustus. "Antud teoreemi (või antud teoreemi) vastupidine teoreem on teoreem, mille tingimus on järeldus ja järeldus on antud teoreemi tingimus. Seda teoreemi seoses pöördteoreemiga nimetatakse otseseks teoreemiks (originaal). Samal ajal on pöördteoreem pöördteoreem antud teoreem; seetõttu nimetatakse otsest ja vastupidist teoreemi vastastikku pöördteoreemideks. Kui otsene (antud) teoreem on tõene, siis pöördteoreem ei ole alati tõene. Näiteks kui nelinurk on romb, siis on selle diagonaalid üksteisega risti (otseteoreem). Kui nelinurgas on diagonaalid üksteisega risti, siis on nelinurk romb - see on vale, st vastupidine teoreem on väär./Matemaatikaterminite seletav sõnastik: käsiraamat õpetajatele/O. V. Manturov [jne]; toimetanud V. A. Ditkina.- M.: Haridus, 1965.- 539 lk.: ill.-C.261 /.
See otsese ja pöördteoreemi vahelise seose omadus ei võta arvesse tõsiasja, et otsese teoreemi tingimust aktsepteeritakse esitatuna, ilma tõestuseta, seega ei ole selle õigsus tagatud. Pöördteoreemi tingimust ei aktsepteerita antud kujul, kuna see on tõestatud otsese teoreemi järeldus. Selle õigsust kinnitab otsese teoreemi tõestus. See olemuslik loogiline erinevus otsese ja pöördteoreemi tingimustes osutub määravaks küsimuses, milliseid teoreeme saab ja milliseid ei saa loogilise meetodiga vastuoluliselt tõestada.
Oletame, et silmas on otsene teoreem, mida saab tõestada tavalise matemaatilise meetodi abil, kuid see on keeruline. Sõnastagem see üldiselt ja lühidalt järgmiselt: alates A peaks E . Sümbol A omab teoreemi antud tingimuse tähendust, aktsepteeritud ilma tõestuseta. Sümbol E oluline on teoreemi järeldus, mis vajab tõestamist.
Tõestame otsese teoreemi vastuoluga, loogiline meetod. Loogilist meetodit kasutatakse teoreemi tõestamiseks, millel on mitte matemaatiline seisund ja loogiline tingimus. Selle võib saada, kui teoreemi matemaatiline tingimus alates A peaks E , täiendada täpselt vastupidise tingimusega alates Aära tee seda E .
Tulemuseks oli uue teoreemi loogiline vastuoluline tingimus, mis sisaldab kahte osa: alates A peaks E Ja alates Aära tee seda E . Uue teoreemi tulemuseks olev tingimus vastab välistatud keskkoha loogilisele seadusele ja vastab teoreemi tõestusele vastuoluga.
Seaduse järgi on vastuolulise tingimuse üks osa vale, teine osa tõene ja kolmas on välistatud. Vastuoluga tõestamise ülesanne ja eesmärk on täpselt kindlaks teha, milline osa teoreemi tingimuse kahest osast on vale. Kui tingimuse vale osa on kindlaks tehtud, määratakse teine osa tõeseks osaks ja kolmas jäetakse välja.
Matemaatiliste terminite seletava sõnaraamatu järgi "tõestus on arutluskäik, mille käigus tehakse kindlaks mis tahes väite (otsus, väide, teoreem) tõesus või väär". Tõestus vastuolu tõttu on arutluskäik, mille käigus see tuvastatakse võlts(absurdsus) tuleneva järelduse vale tõestatava teoreemi tingimused.
Arvestades: alates A peaks E ja alates Aära tee seda E .
Tõesta: alates A peaks E .
Tõestus: Teoreemi loogiline tingimus sisaldab vastuolu, mis nõuab selle lahendamist. Tingimuse vastuolu peab leidma lahenduse tõestuses ja selle tulemuses. Tulemus osutub veatuks ja veatu arutluskäiguga valeks. Loogiliselt õiges arutluskäigus saab vale järelduse põhjuseks olla ainult vastuoluline tingimus: alates A peaks E Ja alates Aära tee seda E .
Pole kahtlust, et tingimuse üks osa on vale ja teine sel juhul on tõene. Mõlemad tingimuse osad on sama päritoluga, aktsepteeritud andmetena, oletatavad, võrdselt võimalikud, võrdselt lubatavad jne. Loogilise arutlemise käigus ei avastatud ühtegi loogilist tunnust, mis eristaks tingimuse üht osa teisest . Seetõttu võib see samal määral olla alates A peaks E ja võib-olla alates Aära tee seda E . avaldus alates A peaks E Võib olla vale, siis avaldus alates Aära tee seda E saab tõeks. avaldus alates Aära tee seda E võib olla vale, siis väide alates A peaks E saab tõeks.
Järelikult on otsest teoreemi võimatu tõestada vastuoluga.
Nüüd tõestame seda sama otseteoreemi tavalise matemaatilise meetodi abil.
Arvestades: A .
Tõesta: alates A peaks E .
Tõestus.
1. Alates A peaks B
2. Alates B peaks IN (vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile)).
3. Alates IN peaks G (vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile).
4. Alates G peaks D (vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile).
5. Alates D peaks E (vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile).
Lähtudes transitiivsuse seadusest, alates A peaks E . Otsene teoreem tõestatakse tavalise meetodiga.
Olgu tõestatud otseteoreemil õige pöördteoreem: alates E peaks A .
Tõestame seda tavalisega matemaatilised meetod. Pöördteoreemi tõestust saab väljendada sümboolsel kujul matemaatiliste tehete algoritmina.
Arvestades: E
Tõesta: alates E peaks A .
Tõestus.
1. Alates E peaks D
2. Alates D peaks G (vastavalt varem tõestatud pöördteoreemile).
3. Alates G peaks IN (vastavalt varem tõestatud pöördteoreemile).
4. Alates INära tee seda B (vastupidine teoreem ei vasta tõele). Sellepärast alates Bära tee seda A .
Selles olukorras pole mõtet jätkata vastupidise teoreemi matemaatilist tõestamist. Olukorra põhjus on loogiline. Ebaõiget pöördteoreemi ei saa millegagi asendada. Seetõttu on seda pöördteoreemi võimatu tavalise matemaatilise meetodi abil tõestada. Lootus on tõestada seda pöördteoreemi vastuoluga.
Selle tõestamiseks vastuoluga on vaja selle matemaatiline tingimus asendada loogilise vastuolulise tingimusega, mis oma tähenduses sisaldab kahte osa - vale ja tõene.
Pöördeteoreemütleb: alates Eära tee seda A . Tema seisund E , millest järeldub järeldus A , on otsese teoreemi tõestamise tulemus tavalise matemaatilise meetodi abil. See tingimus tuleb säilitada ja seda avaldusega täiendada alates E peaks A . Lisamise tulemusena saame uue pöördteoreemi vastuolulise tingimuse: alates E peaks A Ja alates Eära tee seda A . Selle põhjal loogiliselt vastuolulise tingimuse korral saab vastupidise teoreemi tõestada õige abil loogiline ainult arutluskäik ja ainult loogiline meetod vastuolus. Vastuolulise tõestuse korral alluvad kõik matemaatilised toimingud ja toimingud loogilistele ja seetõttu ei lähe need arvesse.
Vastuolulise väite esimeses osas alates E peaks A tingimus E tõestati otsese teoreemi tõestusega. Teises osas alates Eära tee seda A tingimus E eeldati ja aktsepteeriti ilma tõenditeta. Üks neist on vale ja teine on tõsi. Peate tõestama, milline neist on vale.
Me tõestame seda õigesti loogiline ja avastavad, et selle tulemus on vale, absurdne järeldus. Vale loogilise järelduse põhjuseks on teoreemi vastuoluline loogiline tingimus, mis sisaldab kahte osa - vale ja tõene. Vale osa saab olla ainult väide alates Eära tee seda A , milles E võeti vastu ilma tõenditeta. See eristabki selle E avaldused alates E peaks A , mida tõestab otsese teoreemi tõestus.
Seetõttu on väide tõene: alates E peaks A , mida oli vaja tõestada.
Järeldus: loogilise meetodiga on vastuoluga tõestatud ainult pöördteoreem, millel on matemaatilise meetodiga tõestatud otsene teoreem ja mida ei saa tõestada matemaatilise meetodiga.
Saadud järeldus omandab tõendamismeetodi suhtes erakordse tähtsuse Fermat' suure teoreemi vastuolu tõttu. Valdav enamus katseid seda tõestada ei põhine mitte tavalisel matemaatilisel meetodil, vaid loogilisel vastuoluga tõestamise meetodil. Wilesi tõestus Fermat' viimase teoreemi kohta pole erand.
Dmitri Abrarov avaldas artiklis “Fermat’ teoreem: Wiles’i tõestuste fenomen” kommentaari Wilesi Fermat’ viimase teoreemi tõestuse kohta. Abrarovi sõnul tõestab Wiles Fermat' viimast teoreemi Saksa matemaatiku Gerhard Frey (s. 1944) tähelepanuväärse avastuse abil, kes seostas Fermat' võrrandi potentsiaalse lahenduse. x n + y n = z n
, Kus n > 2
, teise, täiesti erineva võrrandiga. See uus võrrand on antud spetsiaalse kõveraga (nn Frey elliptiline kõver). Frey kõver on antud väga lihtsa võrrandiga:
.
"See oli Frey, kes võrdles iga otsust (a, b, c) Fermat' võrrand, see tähendab seost rahuldavad arvud a n + b n = c n, ülaltoodud kõver. Sel juhul järgneks Fermat' viimane teoreem.(tsitaat: Abrarov D. “Fermat’ teoreem: Wiles’i tõestuste fenomen”)
Teisisõnu, Gerhard Frey pakkus välja, et Fermat' viimase teoreemi võrrand x n + y n = z n
, Kus n > 2
, sisaldab lahendusi positiivsetes täisarvudes. Need samad lahendused on Frey oletuse kohaselt tema võrrandi lahendused
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, mille annab selle elliptiline kõver.
Andrew Wiles võttis selle Frey tähelepanuväärse avastuse vastu ja selle abiga matemaatilised meetod tõestas, et seda leidu ehk Frey elliptilist kõverat ei eksisteeri. Seetõttu ei ole olemas võrrandit ja selle lahendeid, mis on antud olematu elliptilise kõveraga. Seetõttu oleks Wiles pidanud nõustuma järeldusega, et Fermat' viimase teoreemi ja Fermat' teoreemi enda võrrandit pole. Siiski nõustub ta tagasihoidlikuma järeldusega, et Fermat' viimase teoreemi võrrandil pole positiivsetes täisarvudes lahendeid.
Vaieldamatu tõsiasi võib olla see, et Wiles võttis omaks oletuse, mis on oma tähenduselt täpselt vastupidine Fermat' suure teoreemi väitele. See kohustab Wilesi tõestama Fermat' viimast teoreemi vastuoluga. Järgigem tema eeskuju ja vaadakem, mis sellest eeskujust tuleb.
Fermat' viimane teoreem väidab, et võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2 , ei sisalda positiivsete täisarvudega lahendeid.
Vastuoluga tõendamise loogilise meetodi kohaselt jäetakse see väide alles, aktsepteeritakse ilma tõestuseta esitatuna ja seejärel täiendatakse seda vastupidise väitega: võrrandiga. x n + y n = z n , Kus n > 2 , sisaldab lahendusi positiivsetes täisarvudes.
Eeldatav väide aktsepteeritakse samuti esitatuna, ilma tõestuseta. Mõlemad väited, vaadeldes loogika põhiseaduste seisukohast, on võrdselt kehtivad, võrdselt kehtivad ja võrdselt võimalikud. Õige arutluskäigu abil on vaja kindlaks teha, milline väide on vale, et seejärel teha kindlaks, kas teine väide on tõene.
Õige arutluskäik lõpeb vale, absurdse järeldusega, mille loogiliseks põhjuseks saab olla vaid tõestatava teoreemi vastuoluline tingimus, mis sisaldab kahte otseselt vastandliku tähendusega osa. Need olid absurdse järelduse loogiline põhjus, vastuolulise tõestamise tulemus.
Loogiliselt õige arutlemise käigus ei avastatud aga ainsatki märki, mille järgi oleks võimalik kindlaks teha, milline väide on vale. See võib olla väide: võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2 , sisaldab lahendusi positiivsetes täisarvudes. Samal alusel võib see olla järgmine väide: võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2 , ei sisalda positiivsete täisarvudega lahendeid.
Arutluskäigu tulemusena saab teha ainult ühe järelduse: Fermat' viimast teoreemi ei saa tõestada vastuoluga.
Oleks hoopis teine asi, kui Fermat' viimane teoreem oleks pöördteoreem, millel on tavalise matemaatilise meetodiga tõestatud otseteoreem. Sel juhul saab seda tõestada vastuoluga. Ja kuna tegemist on otsese teoreemiga, peaks selle tõestamine põhinema mitte loogilisel vastuoluga tõestamise meetodil, vaid tavalisel matemaatilisel meetodil.
D. Abrarovi sõnul reageeris kuulsaim tänapäeva vene matemaatik, akadeemik V. I. Arnold Wilesi tõestusele "aktiivselt skeptiliselt". Akadeemik väitis: "See ei ole päris matemaatika - tõeline matemaatika on geomeetriline ja sellel on tugevad seosed füüsikaga (tsitaat: Abrarov D. "Fermat' teoreem: Wiles'i tõestuste fenomen.") Akadeemiku väide väljendab selle olemust. Wilesi mittematemaatiline tõestus Fermat' viimase teoreemi kohta.
Vastupidiselt on võimatu tõestada, et Fermat' viimase teoreemi võrrandil pole lahendeid või et sellel on lahendid. Wilesi viga pole matemaatiline, vaid loogiline – tõestuse kasutamine vastuolus, kus selle kasutamine ei ole mõttekas ja Fermat’ suur teoreem ei tõesta.
Fermat' viimast teoreemi ei saa tõestada isegi tavalise matemaatilise meetodi abil, kui see annab: võrrandi x n + y n = z n , Kus n > 2 , ei sisalda positiivsete täisarvude lahendeid ja kui soovite selles tõestada, siis võrrand x n + y n = z n , Kus n > 2 , ei sisalda positiivsete täisarvudega lahendeid. Selles vormis pole teoreemi, vaid tautoloogiat, millel puudub tähendus.
Märge. Minu BTF-i tõendit arutati ühes foorumis. Üks Trotil osalejatest, arvuteooria ekspert, tegi järgmise autoriteetse avalduse pealkirjaga: "Lühike ümberjutustus Mirgorodski tegemistest." Tsiteerin seda sõna-sõnalt:
« A. Ta tõestas, et kui z 2 = x 2 + y , See z n > x n + y n . See on üldtuntud ja üsna ilmne fakt.
IN. Ta võttis kaks kolmikut - Pythagorase ja mitte Pythagorase ning näitas lihtsa otsinguga, et konkreetse, konkreetse kolmikute perekonna (78 ja 210 tükki) puhul on BTF rahul (ja ainult selle jaoks).
KOOS. Ja siis jättis autor välja fakti, et alates < hilisemal määral võib selguda = , mitte ainult > . Lihtne vastunäide – üleminek n = 1 V n = 2 Pythagorase kolmikus.
D. See punkt ei aita BTF-i tõestusele midagi olulist kaasa. Järeldus: BTF ei ole tõestatud.
Ma kaalun tema järeldust punkt-punkti haaval.
A. See tõestab kogu Pythagorase arvude kolmikute lõpmatu hulga BTF-i. Tõestatud geomeetrilise meetodiga, mida, nagu ma usun, ei avastanud mina, vaid avastasin uuesti. Ja selle avastas, nagu ma usun, P. Fermat ise. Fermat võis seda meeles pidada, kui ta kirjutas:
"Olen avastanud selle tõeliselt suurepärase tõendi, kuid need väljad on selleks liiga kitsad." See minu oletus põhineb tõsiasjal, et Diofantiuse ülesandes, mille vastu Fermat raamatu servadele kirjutas, räägime Diofantiuse võrrandi lahendustest, mis on Pythagorase arvu kolmikud.
Pythagorase arvude kolmikute lõpmatu hulk on Diofaadi võrrandi lahendid ja Fermat' teoreemi kohaselt ei saa ükski lahendus olla Fermat' teoreemi võrrandi lahendus. Ja Fermat’ tõeliselt imeline tõestus on selle faktiga otseselt seotud. Fermat võis hiljem laiendada oma teoreemi kõigi naturaalarvude hulgale. Kõigi naturaalarvude hulgas ei kuulu BTF "erakordselt ilusate teoreemide hulka". See on minu oletus, mida ei saa tõestada ega ümber lükata. Seda saab vastu võtta või tagasi lükata.
IN. Siinkohal tõestan, et nii meelevaldselt võetud Pythagorase arvude perekond kui ka suvaliselt võetud mitte-Pythagorase arvude perekond on täidetud. See on minu BTF-i tõestuses vajalik, kuid ebapiisav ja vahepealne lüli . Näited, mis ma võtsin Pythagorase arvude kolmiku perekonna ja mitte Pythagorase arvude kolmiku perekonna kohta, omavad konkreetsete näidete tähendust, mis eeldavad ega välista sarnaste teiste näidete olemasolu.
Trotili väide, et ma näitasin lihtsa otsinguga, et konkreetse, konkreetse kolmikute perekonna (78 ja 210 tükki) puhul on BTF rahul (ja ainult selle jaoks), on alusetu. Ta ei saa ümber lükata tõsiasja, et ma võin sama hästi võtta teisi näiteid Pythagorase ja mitte Pythagorase kolmikute kohta, et saada konkreetne kindel perekond ühest ja teisest kolmikust.
Ükskõik, millise kolmikute paari ma võtan, saab nende sobivust ülesande lahendamiseks kontrollida minu arvates ainult “lihtsa loendamise” meetodil. Ma ei tea ühtegi teist meetodit ega vaja seda. Kui Trotilile see ei meeldinud, siis oleks ta pidanud välja pakkuma mõne muu meetodi, mida ta ei tee. Ilma midagi vastu pakkumata on ebakorrektne hukka mõista "lihtne liialdus", mis antud juhul on asendamatu.
KOOS. Olen jätnud = vahele< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), milles aste n > 2 — terve positiivne arv. Ebavõrdsuse vahelisest võrdsusest järeldub kohustuslik võrrandi (1) arvestamine mittetäisarvulise kraadi väärtuse jaoks n > 2 . Trotil, loendab kohustuslik ebavõrdsuse vahelise võrdsuse kaalumine tegelikult kaalub vajalik BTF-i tõestuses võrrandi (1) arvestamine mitte terve kraadi väärtus n > 2 . Tegin seda enda jaoks ja leidsin selle võrrandi (1) koos mitte terve kraadi väärtus n > 2 on kolme arvu lahendus: z, (z-1), (z-1) mittetäisarvulise astendaja jaoks.
Aastaid tagasi sain Taškendist kirja, käekirja järgi otsustades, noorukieas mees Valeri Muratov, kes siis elas Kommunistitšeskaja tänaval 31. Tüüp oli kindlameelne: “Astuge asja juurde mulle Fermat' teoreemi tõestamise eest sobib vähemalt 500 rubla.
Hämmastav paradoks: vähesed teavad, kes on Fermat, millal ta elas ja mida tegi. Veelgi vähem inimesi suudab kirjeldada tema suurepärast teoreemi isegi kõige üldisemalt. Kuid kõik teavad, et on olemas mingi Fermat’ teoreem, mille tõestusega on matemaatikud üle maailma olnud hädas juba üle 300 aasta, kuid ei suuda tõestada!
Seal on palju ambitsioonikaid inimesi ja juba teadvus, et on midagi, mida teised ei saa teha, õhutab nende ambitsioone veelgi. Seetõttu on üle maailma akadeemiatesse, teadusinstituutidesse ja isegi ajalehtede toimetustesse tulnud ja tulemas tuhandeid (!) Suure Teoreemi tõestusi – see on pseudoteadusliku amatöörtegevuse pretsedenditu ja kunagi purustatud rekord. On isegi termin: "Fermatistid", st inimesed, kes on kinnisideeks Suure teoreemi tõestamisest, kes piinasid professionaalseid matemaatikuid nõudmistega oma tööd hinnata. Kuulus saksa matemaatik Edmund Landau koostas isegi standardi, mille järgi ta vastas: "Teie Fermat' teoreemi tõestuses on lehel viga..." ja tema magistrandid kirjutasid leheküljenumbri üles. Ja siis 1994. aasta suvel teatasid ajalehed üle maailma millestki täiesti sensatsioonilisest: Suur teoreem oli tõestatud!
Niisiis, kes on Fermat, mis on probleem ja kas see on tõesti lahendatud? Pierre Fermat sündis 1601. aastal päevitaja, jõuka ja lugupeetud mehe peres – ta töötas teise konsulina oma kodulinnas Beaumontis – umbes nagu linnapea abi. Pierre õppis algul frantsiskaani munkade juures, seejärel Toulouse'i õigusteaduskonnas, kus ta seejärel praktiseeris õigusteadust. Fermat' huvide ring ulatus aga kohtupraktikast palju kaugemale. Teda huvitas eelkõige klassikaline filoloogia, tema kommentaarid antiikautorite tekstidele on teada. Ja minu teine kirg on matemaatika.
17. sajandil, nagu ka palju aastaid hiljem, ei olnud sellist elukutset: matemaatik. Seetõttu olid kõik tolleaegsed suured matemaatikud “osalise tööajaga” matemaatikud: Rene Descartes teenis sõjaväes, François Viète oli jurist, Francesco Cavalieri munk. Teadusajakirju tollal ei olnud ja klassikaline teadlane Pierre Fermat ei avaldanud oma elu jooksul ühtki teadustööd. Seal oli üsna kitsas ring “amatööre”, kes lahendasid erinevaid endale huvitavaid ülesandeid ja kirjutasid selle kohta üksteisele kirju, vahel ka vaidlesid (nagu Fermat ja Descartes), kuid jäid enamasti mõttekaaslasteks. Neist said uue matemaatika rajajad, hiilgavate seemnete külvajad, millest hakkas kasvama moodsate matemaatikateadmiste võimas puu, mis kogus jõudu ja hargnes.
Niisiis, Fermat oli sama "amatöör". Toulouse'is, kus ta elas 34 aastat, tundsid kõik teda ennekõike uurimiskoja nõuniku ja kogenud advokaadina. 30-aastaselt ta abiellus, tal oli kolm poega ja kaks tütart, vahel käis komandeeringus ja ühel neist suri 63-aastaselt ootamatult. Kõik! Selle kolme musketäri kaasaegse mehe elu on üllatavalt sündmustevaene ja seiklusteta. Seiklused tulid tema Suure teoreemiga. Me ei räägi Fermat' kogu matemaatilisest pärandist ja sellest on raske rahvapäraselt rääkida. Võtke mu sõna: see pärand on suurepärane ja mitmekesine. Väide, et Suur teoreem on tema töö tipp, on väga vastuoluline. Lihtsalt Suure teoreemi saatus on üllatavalt huvitav ja matemaatika mõistatustes teadmata inimeste tohutut maailma on alati huvitanud mitte teoreem ise, vaid kõik selle ümber...
Kogu selle loo juuri tuleb otsida antiikajast, mida Fermat nii armastas. Umbes 3. sajandil elas Aleksandrias kreeka matemaatik Diophantus, algupärane teadlane, kes mõtles väljaspool kasti ja väljendas oma mõtteid väljaspool kasti. Tema Aritmeetika 13 köitest on meieni jõudnud vaid 6. Just siis, kui Fermat sai 20-aastaseks, ilmus tema teoste uus tõlge. Fermat tundis Diophantuse vastu suurt huvi ja need teosed olid tema teatmeteoseks. Selle veeristele kirjutas Fermat üles oma Suure teoreemi, mis oma lihtsaimal kaasaegsel kujul näeb välja järgmine: võrrandil Xn + Yn = Zn ei ole täisarvudes lahendust n - suurem kui 2. (N = 2 puhul on lahendus ilmne : 32 + 42 = 52). Seal, Diophantine'i köite servadel, lisab Fermat: "Olen avastanud selle tõeliselt imelise tõendi, kuid need veerised on selle jaoks liiga kitsad."
Esmapilgul on see lihtne asi, kuid kui teised matemaatikud hakkasid seda "lihtsat" teoreemi tõestama, ei õnnestunud see kellelgi sada aastat. Lõpuks tõestas suur Leonhard Euler seda n = 4, siis 20 (!) aastat hiljem - n = 3. Ja jälle jäi töö paljudeks aastateks soiku. Järgmine võit kuulus sakslasele Peter Dirichlet'le (1805-1859) ja prantslasele Andrien Legendre'le (1752-1833) - nemad tunnistasid, et Fermat'l oli n = 5. Siis tegi sama prantslane Gabriel Lamé (1795-1870). n = 7. Lõpuks tõestas sakslane Ernst Kummer (1810-1893) eelmise sajandi keskel Suure teoreemi kõigi n väärtuste puhul, mis on väiksemad või võrdsed 100-ga. Lisaks tõestas ta seda meetoditega, mida Fermat ei saanud teada, mis suurendas veelgi salapära Suure teoreemi ümber.
Nii selgus, et nad tõestasid Fermat' teoreemi "tükkhaaval", kuid kellelgi ei õnnestunud "tervikuna". Uued katsed tõestada tõid vaid n väärtuste kvantitatiivse tõusu. Kõik mõistsid, et suure tööga on võimalik tõestada Suurt teoreemi meelevaldselt suure arvu n puhul, kuid Fermat rääkis mis tahes. väärtus on suurem kui 2! Just sellesse erinevusse “nii palju kui sulle meeldib” ja “ükskõik milline” koondus probleemi kogu tähendus.
Siiski tuleb märkida, et katsed tõestada Fermgi teoreemi ei olnud lihtsalt mingi matemaatiline mäng, mis lahendas keeruka rebuse. Nende tõestuste käigus avanesid uued matemaatilised horisondid, tekkisid ja lahendati probleeme, muutudes matemaatilise puu uuteks harudeks. Suur saksa matemaatik David Hilbert (1862–1943) tõi Suure teoreemi näitena "ergutavast mõjust, mida eriline ja näiliselt tähtsusetu probleem võib avaldada teadusele". Sama Kummer, kes töötas Fermat' teoreemi kallal, tõestas ise teoreeme, mis moodustasid arvuteooria, algebra ja funktsiooniteooria aluse. Nii et Suure teoreemi tõestamine pole sport, vaid tõeline teadus.
Aeg läks ja elektroonika tuli professionaalsetele “fsrmatntstidele” appi. Elektroonilised ajud ei suutnud välja pakkuda uusi meetodeid, kuid nad tegid seda kiiresti. Umbes 80. aastate alguses tõestati Fermat' teoreem arvuti abil n väärtusele 5500 või alla selle. Järk-järgult kasvas see arv 100 000-ni, kuid kõik said aru, et selline “kuhjumine” on puhta tehnoloogia küsimus, andes ei midagi mõistusele ega südamele. Nad ei suutnud Suure teoreemi kindlust otse vastu võtta ja hakkasid otsima lahendusmanöövreid.
80ndate keskel tõestas noor mittematemaatik G. Filytings nn Mordelli oletust, mis muide 61 aasta jooksul ka ühegi matemaatiku kätte ei jõudnud. Tekkis lootus, et nüüd saab Fermat’ teoreemi lahendada nii-öelda külje pealt rünnates. Siis ei juhtunud aga midagi. 1986. aastal pakkus saksa matemaatik Gerhard Frey välja uue tõestusmeetodi Essence'is. Ma ei võta ette seda rangelt seletama, aga mitte matemaatilises, vaid universaalses inimkeeles, kõlab see umbes nii: kui oleme veendunud, et mõne teise teoreemi tõestus on kaudne, mingil moel teisendatud tõestus. Seega tõestame Fermat' teoreemi Suure teoreemi. Aasta hiljem näitas ameeriklane Kenneth Ribet Berkeleyst, et Freyl oli õigus ja tõepoolest, ühe tõendi võib taandada teiseks. Seda teed järgisid paljud matemaatikud erinevates maailma riikides. Viktor Aleksandrovitš Kolyvanov on suure teoreemi tõestamiseks palju ära teinud. Immutamatu kindluse kolmsada aastat vanad müürid hakkasid värisema. Matemaatikud mõistsid, et see ei pea kaua vastu.
1993. aasta suvel kogunesid iidses Cambridge'is Isaac Newtoni matemaatikateaduste instituuti 75 maailma silmapaistvamat matemaatikut, et arutada oma probleeme. Nende hulgas oli ka Ameerika professor Andrew Wiles Princetoni ülikoolist, arvuteooria suur spetsialist. Kõik teadsid, et ta oli Suurt teoreemi palju aastaid uurinud. Wiles andis kolm aruannet ja viimases - 23. juunil 1993 - ütles ta päris lõpus, juhatusest ära pöörates, naeratades:
- Ma vist ei jätka...
Algul valitses surmvaikus, seejärel aplaus. Saalis istujad olid piisavalt kvalifitseeritud, et mõista: Fermat' viimane teoreem oli tõestatud! Igal juhul ei leidnud ükski kohalviibijatest esitatud tõendites vigu. Newtoni instituudi asedirektor Peter Goddard ütles ajakirjanikele:
"Enamik eksperte ei arvanud, et saavad vastust teada enne oma elu lõppu." See on meie sajandi üks suurimaid saavutusi matemaatikas...
Möödus mitu kuud, ühtegi kommentaari ega ümberlükkamist ei tehtud. Tõsi, Wiles ei avaldanud oma tõestust, vaid saatis oma töö nn väljatrükke ainult väga kitsale kolleegide ringile, mis loomulikult takistab matemaatikutel seda teaduslikku sensatsiooni kommenteerimast, ja ma saan aru akadeemik Ludwig Dmitrievich Faddeevit. kes ütles:
"Võin öelda, et tekkis sensatsioon, kui näen tõestust oma silmaga."
Faddeev usub, et Wilesi võidu tõenäosus on väga suur.
"Minu isa, tuntud arvuteooria spetsialist, oli näiteks kindel, et teoreem saab tõestatud, kuid mitte elementaarsete vahenditega," lisas ta.
Meie teine akadeemik Viktor Pavlovitš Maslov oli uudise suhtes skeptiline ja usub, et Suure teoreemi tõestamine pole üldsegi pakiline matemaatiline probleem. Rakendusmatemaatika nõukogu esimees Maslov on oma teaduslike huvide poolest kaugel “fermatistidest” ja kui ta ütleb, et Suure teoreemi terviklahendus pakub ainult sportlikku huvi, võib temast aru saada. Küll aga julgen märkida, et asjakohasuse mõiste on igas teaduses muutuv suurus. 90 aastat tagasi öeldi ilmselt ka Rutherfordile: "Noh, okei, radioaktiivse lagunemise teooria... Mis sellest siis kasu on?.."
Suure teoreemi tõestamise töö on matemaatikale juba palju andnud ja võib loota, et see annab rohkemgi.
"See, mida Wiles tegi, suunab matemaatikuid teistesse valdkondadesse," ütles Peter Goddard. — Pigem ei sulge see üht mõttesuunda, vaid tekitab uusi küsimusi, mis nõuavad vastust...
Moskva Riikliku Ülikooli professor Mihhail Iljitš Zelikin selgitas mulle praegust olukorda järgmiselt:
Keegi ei näe Wilesi töös vigu. Kuid selleks, et see töö muutuks teaduslikuks faktiks, peavad mitmed mainekad matemaatikud seda tõendit iseseisvalt kordama ja selle õigsust kinnitama. See on vältimatu tingimus, et matemaatika avalikkus mõistaks Wilesi tööd...
Kui kaua see aega võtab?
Esitasin selle küsimuse meie arvuteooria valdkonna ühele juhtivale eksperdile, füüsika- ja matemaatikateaduste doktorile Aleksei Nikolajevitš Paršinile.
— Andrew Wilesil on veel palju aega ees...
Fakt on see, et 13. septembril 1907 pärandas saksa matemaatik P. Wolfskel, kes erinevalt valdavast enamusest matemaatikutest oli rikas mees, 100 tuhat marka sellele, kes järgmise 100 aasta jooksul Suure teoreemi tõestab. Sajandi alguses läksid pärandatud summa intressid kuulsa Goethanghenti ülikooli kassasse. Selle raha eest kutsuti juhtivaid matemaatikuid loenguid pidama ja teadustööd läbi viima. Toona oli auhinnakomisjoni esimees juba mainitud David Gilbert. Ta tõesti ei tahtnud preemiat maksta.
"Õnneks," ütles suur matemaatik, "paistab, et meil pole peale minu matemaatikut, kes selle ülesandega hakkama saaks, aga ma ei julge kunagi tappa hane, kes meile kuldmune muneb."
Wolfskehli määratud 2007. aasta tähtajani on jäänud paar aastat ja mulle tundub, et “Hilberti kana” kohal ähvardab tõsine oht. Kuid see ei puuduta tegelikult boonust. See on mõtte uudishimu ja inimliku visaduse küsimus. Nad võitlesid rohkem kui kolmsada aastat, kuid nad tõestasid seda siiski!
Ja edasi. Minu jaoks on kogu selle loo juures kõige huvitavam: kuidas Fermat ise tõestas oma suure teoreemi? Kõik tänased matemaatilised nipid olid ju talle tundmatud. Ja kas ta seda üldse tõestas? Lõppude lõpuks on versioon, et ta näis olevat seda tõestanud, kuid ta leidis ise vea ega saatnud seetõttu tõestust teistele matemaatikutele ning unustas Diophantuse köite veeris oleva sissekande läbi kriipsutada. Seetõttu tundub mulle, et Suure teoreemi tõestamine on ilmselt toimunud, kuid Fermat' teoreemi saladus jääb alles ja on ebatõenäoline, et me seda kunagi avaldame...
Fermat võis toona eksida, kuid ta ei eksinud, kui kirjutas: „Võib-olla on järeltulijad mulle tänulikud, et näitasin neile, et iidsed ei teadnud kõike, ja see võib tungida nende teadvusesse, kes tulevad pärast mind, et läbida tõrvik oma poegadele..."