Лавочный мост, Krämerbrücke
Зеленый мост, GrüneBrücke
Потроховый (Рабочий) мост, Koettel brücke
Кузнечный мост, Schmitderbrüke
Деревянный мост, Holzbrücke
Высокий мост, Hohebrücke
Медовый мост, Honigbrücke
С давних времен жители Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам Кенигсберга, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках - проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.
В 1736 году известный математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер взялся решить задачу о семи мостах. В том же году он написал об этом инженеру и математику Мариони. Эйлер писал, что нашел правило, по которому нетрудно вычислить, можно ли пройти по всем мостам и при этом ни по одному не пройти дважды. На семи мостах Кенигсберга сделать это невозможно.
Именно благодаря этой задаче о мостах на карте старого Кенигсберга появился еще один мост, с помощью которого соединялся остров Ломзе с южной стороной. Это произошло таким образом. Император (кайзер) Вильгельм был известен простотой мышления, быстрой реакцией и солдатской «недалекостью». На одном из приемов, где присутствовал кайзер, приглашенные ученые умы вздумали сыграть с ним шутку: Вильгельму показали карту Кенигсберга, предложив разрешить задачу о мостах. Задача же заведомо была нерешаемой. Вильгельм, к общему удивлению, потребовал перо и бумагу, заявив, что задача разрешима и он решит ее за считанные минуты. Бумагу и чернила нашли, хотя никто не мог поверить, что кайзер Вильгельм обладает решением этой задачи. На поданном листке бумаги кайзер написал: «приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Новый мост назвали Императорским мостом или Kaiser-brucke.
Этот восьмой мост сделал задачу о мостах легкой забавой даже для ребенка....
Уважаемые HRы, кадровики...
Есть известный математик, член академий, наверняка профессор или даже академик Эйлер, а есть просто кайзер Вильгельм. Эйлер решил что задачу решить невозможно, Вильгельм же доступным образом показал, что это не так. Мне иногда споры с вами напоминают вышеуказанный хрестоматийный пример.
Ну не хочу я что бы у меня работал вот этот эта гражданка больше.
Потому что она оказался плохим работником.
Но мы не можем её уволить...
Это еще почему?
Так ведь...статья такая то, раздел, пункт, абзац...
Мне работник нужен, а не статьи!
Читайте трудовое законодательство...
Читаю. Сам вызываю и сам увольняю. И понимаю, что большинство из вас так и останется на уровне "статья такая то, раздел, пункт, абзац..."
Нетрадиционные решения задачи
«Решение» Кайзера
На карте старого Кёнигсберга был ещё один мост, появившийся чуть позже и соединявший остров Ломзе с южной стороной. Своим появлением этот мост обязан самой задаче Эйлера-Канта. Произошло это при следующих обстоятельствах.
Император Вильгельм был известен своей прямотой, простотой мышления и солдатской «недалёкостью». Однажды, находясь на светском рауте, он чуть не стал жертвой шутки, которую с ним решили сыграть учёные умы, присутствующие на приёме. Они показали Кайзеру карту Кёнигсберга, и попросили попробовать решить эту знаменитую задачу, которая по определению была нерешаемой. Ко всеобщему удивлению, Кайзер попросил перо и лист бумаги, сказав, что решит задачу за полторы минуты. Ошеломлённый немецкий истеблишмент не мог поверить своим ушам, но бумагу и чернила быстро нашли.
Кайзер положил листок на стол, взял перо и написал следующее: «Приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Так в Кёнигсберге и появился новый мост, который назвали «мостом Кайзера». А задачу с восемью мостами теперь мог решить даже ребёнок.
См. также
Литература
Wikimedia Foundation . 2010 .
7 мостов города Калининграда(Кенингсберга) обусловили создание Леонардом Эйлером так называемой теории графов.
Граф – это определенное число узлов (вершин), которые соединены рёбрами. Два острова и берега на реке Прегель, где и стоял, были соединены 7 мостами. Известный философ и ученый И. Кант, прогуливаясь по мостам Кенигсберга, придумал задачу, которая известна всем в мире как задача " о 7 кенигсбергских мостах": можно ли пройти по всем данным мостам и при этом вернуться в исходную точку маршрута так, чтобы пройти по каждому мосту только один раз?
Многие пробовали решить эту задачу как практически, так и теоретически. Но ни у кого это не получалось. Потому считается, что в 17-м веке у жителей пошла особенная традиция: прогуливаясь по городу, пройти по всем мостам только по одному разу. Но, естественно, ни у кого это не получалось.
В 1736 году эта задача заинтересовала ученого Леонарда Эйлера, который был выдающимся и знаменитым математиком и членом Петербургской академии наук.Он смог найти правило, благодаря которому можно было решить эту загадку. В ходе своих суждений Эйлер сделал такие выводы: 1. количество нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётным. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин. 2. Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине. 3. Граф с более чем 2 нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Отсюда следует вывод,что невозможно пройти по всем семи мостам, не проходя ни по одному из них два раза. Впоследствии эта теория графов стала основой проектирования коммуникационных и транспортных систем, стала широко использоваться в программировании,информатике, физике, химии и многих других науках и сферах.
Примечательно, что историки считают, что есть человек, который решил данную задачу, что он смог пройти через все мосты лишь единожды, правда теоретически….
А было это так. Кайзер (то есть император) Вильгельм был знаменит своей простотой мышления, прямотой и «недалёкостью». Как-то раз он чуть не стал жертвой шутки, которую с ним сыграли учёные умы- шутники показали кайзеру карту города Кёнигсберга и попросили его попробовать решить эту знаменитую задачу, которая по определению была нерешаемой. Но Кайзер только попросил лист и перо, при этом уточнив, что решит ее всего за 1,5 минуты. Ученые были поражены - Вильгельм написал: «Приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Вот и все, задача решена... Так в Калининграде и появился новый восьмой мост через реку, названный в честь Кайзера. А задачу с восемью мостами может решить и ребёнок...
Отцом теории графов (так же как и топологии) является Эйлер (1707-1782), решивший в 1736 г. широко известную в то время задачу, называвшуюся проблемой кёнигсбергских мостов. В городе Кенигсберге было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на рисунке 4.
Задача состояла в следующем : найти маршрут прохождения всех четырех частей суши, который начинался бы с любой из них, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по каждому мосту. Легко, конечно, попытаться решить эту задачу эмпирически, производя перебор всех маршрутов, но все попытки окончатся неудачей.
Рисунок 4- Задача о кёнигсбергских мостах.
Исключительный вклад Эйлера в решение этой задачи заключается в том, что он доказал невозможность такого маршрута.
Для доказательства того, что задача не имеет решения, Эйлер обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост – линией (ребром), соединяющей соответствующие точки. Получился граф. Утверждение о несуществовании положительного решения у этой задачи эквивалентно утверждению о невозможности обойти специальным образом данный граф.
Рисунок 5 – Граф.
Элементы графа. Способы задания графа. Подграфы.
Такая структура как граф в качестве (синонима используется также термин «сеть»), имеет самые различные применения в информатике.
Графом G называется система (V , U ) ,
где V ={ v } - множество элементов, называемых вершинами графа;
U =={ u } - .множество элементов, называемых ребрами графа.
Каждое ребро определяется либо парой вершин (v1,v2), либо двумя противоположными парами (v1,v2) и (v2,v1).
Если ребро из U представляется только одной парой (v1,v2), то оно называется ориентированным ребром , ведущим из v1 в v2. При этом v1 называется началом, а v2 -концом такого ребра.
Если ребро U представляется двумя парами (v1,v2) и (v2,v1), то U называется неориентированным ребром . Всякое неориентированное ребро между вершинами v1 и v2 ведет как из v1 в v 2, так и обратно. При этом вершины v1 и v2 являются как началами, так и концами этого ребра. Говорят, что ребро ведет как из v 1 в v 2, так и из v 2 в v 1.
Всякие две вершины, которые соединяются ребром, являются смежными.
По количеству элементов графы делятся на конечные и бесконечные.
Граф, все рёбра которого неориентированные, называется неориентированным графом.
Если рёбра графа определяются упорядоченными парами вершин, то такой граф называется ориентированным.
Р
исунок
6 – Ориентированный граф.
Существуют смешанные графы , состоящие как из ориентированных, так и из неориентированных рёбер.
Если две вершины соединены двумя или более рёбрами, то эти рёбра называют параллельными .
Если начало и конец ребра совпадают, то такое ребро называется петлёй .
Граф без петель и параллельных рёбер называется простым.
Если ребро определяется вершинами v1 и v2, то ребро инцидентно вершинам v1 и v2.
Вершина, не инцидентная ни одному ребру, называется изолированной .
Вершина, инцидентная ровно одному ребру, и само это ребро называются концевыми, или висячими.
Ребра, которым поставлена в соответствие одна и та же пара вершин, называются кратными, или параллельными.
Две вершины неориентированного графа v1 и v2 называются смежными, если в графе существует ребро (v1,v2).
Две вершины ориентированного графа v1 и v2 называются смежными, если они различны и существует ребро, ведущее из вершины v1 в v2.
Рассмотрим некоторые понятия для ориентированного графа.
Рисунок 7 – Ориентированный граф.
Простой путь:
Элементарный путь:
Элементарный контур:
Контур:
Для неориентированных графов понятия «простой путь», «элементарный путь», «контур», «элементарный контур» заменяют, соответственно, понятия «цепь», «простая цепь», «цикл», «простой цикл». Граф называется связным , если для любых двух вершин существует путь (цепь), соединяющий эти вершины.
Неориентированный связный граф без циклов называется деревом .
Неориентированный несвязный граф без циклов - лесом .
Рисунок 8 – Связный граф.
Рисунок 9 –Лес.
Рисунок 10 – Дерево.
Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер, рассматривая задачу о кенигсбергских мостах. Сегодня эта задача стала классической.
Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз.
Проблема семи мостов Кёнигсберга
Проблема семи мостов Кёнигсберга или Задача о кёнигсбергских мостах (нем. Königsberger Brückenproblem) - старинная математическая задача, в которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в 1736 году немецким и русским математиком Леонардом Эйлером.
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды. Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог.
В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. Ответ был «нельзя».
Решение задачи по Леонарду Эйлеру
На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города - точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:
Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Граф кёнигсбергских мостов имел четыре (синим) нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды
Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение в транспортных и коммуникационных системах (например, для изучения самих систем, составления оптимальных маршрутов доставки грузов или маршрутизации данных в Интернете).
Дальнейшая история мостов Кёнигсберга
В 1905 году был построен Императорский мост, который был впоследствии разрушен в ходе бомбардировки во время Второй мировой войны. Существует легенда о том, что этот мост был построен по приказу самого кайзера, который не смог решить задачу мостов Кёнигсберга и стал жертвой шутки, которую сыграли с ним учёные умы, присутствовавшие на светском приёме (если добавить восьмой мост, то задача становится разрешимой). На опорах Императорского моста в 2005 году был построен Юбилейный мост. На данный момент в Калининграде семь мостов, и граф, построенный на основе островов и мостов Калининграда, по-прежнему не имеет эйлерова пути.