"Това, което знаем, е ограничено, а това, което не знаем, е безкрайно"

Пиер-Симон Лаплас (1749-1827), френски учен

Безгранична любов, безгранично щастие, необятно пространство, вечна замръзване, безграничен океан и дори безкраен урок. В ежедневието често наричаме нещата и явленията безкрайни, но често дори не се замисляме за истинското значение на това понятие. Междувременно от най-древни времена теолози, философи и други най-велики умове на човечеството са се опитвали да разберат значението му. И само математиците са напреднали най-далеч в познанието за това, което се нарича безкрайност.

Какво е безкрайност?

Голяма част от това, което виждаме около нас, се възприема от нас като безкрайност, но в действителност те се оказват доста крайни неща. Ето как понякога обясняват на децата колко голяма е безкрайността: „Ако събирате по едно зрънце пясък на всеки сто години на огромен плаж, тогава ще отнеме цяла вечност, за да съберете целия пясък на плажа. Но всъщност броят на песъчинките не е безкраен. Физически е невъзможно да ги преброим, но можем да кажем с увереност, че техният брой не надвишава стойност, равна на съотношението на масата на Земята към масата на едно пясъчно зърно.

Или друг пример. Много хора смятат, че ако стоите между две огледала, тогава отражението ще се повтори и в двете огледала, отивайки в далечината, ставайки все по-малко и по-малко, така че е невъзможно да се определи къде свършва. Уви, това не е безкрайност. Какво всъщност се случва? Никое огледало не отразява 100% от светлината, падаща върху него. Много висококачествено огледало ще отразява 99% от светлината, но след 70 отражения ще останат само 50% от светлината, след 140 отражения ще останат само 25% от светлината и така нататък, докато светлината е твърде малко. Освен това повечето огледала са извити, така че многото отражения, които виждате, се озовават зад ъгъла.

Нека видим как математиката третира безкрайността. Това е много различно от концепцията за безкрайност, която сте срещали преди и изисква малко въображение.

Безкрайност в математиката

В математиката се прави разлика потенциали актуалнаБезкрайност.

Когато казват, че определена стойност е безкрайно потенциална, те имат предвид, че тя може да се увеличава неограничено, тоест винаги има потенциална възможност за нейното увеличаване.

Концепцията за действителна безкрайност означава безкрайно количество, което вече реално съществува "тук и сега". Нека обясним това с примера на обичайната ДИРЕКТНА линия.

Пример 1

Потенциалната безкрайност означава, че има права линия и тя може да бъде непрекъснато удължена (например чрез прилагане на сегменти към нея). Моля, обърнете внимание, че тук акцентът не е върху факта, че линията е безкрайна, а върху факта, че тя може да бъде продължена безкрайно.

Действителната безкрайност означава, че цялата безкрайна линия вече съществува в настоящето време. Но проблемът е, че нито един жив човек не е виждал безкрайна права линия и физически не е в състояние да го направи! Едно е да можете да удължавате права линия за неопределено време и съвсем друго е да създадете безкрайна права линия. Това е много фина разлика и отличава потенциалната безкрайност от действителната безкрайност. фу! Справянето с тези безкрайности изисква много въображение! Нека разгледаме още един пример.

Пример 2

Да предположим, че решите да изградите серия от естествени числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

В един момент сте достигнали много голямо число n и смятате, че това е най-голямото число. В този момент вашият приятел казва, че не му струва нищо да добави 1 (едно) към вашето число n и да получите още по-голямо число k = n + 1. Тогава вие, леко ранени, разбирате, че нищо не може да ви спре да добавите към номер k едно и получаваме числото k+1. Ограничен ли е броят на такива стъпки предварително? Не. Разбира се, вие и вашият приятел може да нямате достатъчно сила, време на някаква стъпка m, за да направите следващата стъпка m + 1, но потенциално вие или някой друг можете да изградите тази серия по-нататък. В този случай получаваме концепцията за потенциална безкрайност.

Ако вие и вашият приятел успеете да изградите безкрайна серия от естествени числа, чиито елементи присъстват наведнъж, това ще бъде действителна безкрайност. Но факт е, че никой не може да запише всички числа - това е неоспорим факт!

Съгласете се, че потенциалната безкрайност е по-разбираема за нас, защото е по-лесно да си представим. Следователно древните философи и математици признавали само потенциалната безкрайност, като решително отхвърляли възможността за опериране с действителната безкрайност.

Парадоксът на Галилей

През 1638 г. великият Галилей задава въпроса: „Безкрайно много – винаги ли е едно и също безкрайно много? Или може да има по-големи и по-малки безкрайности?"

Той формулира постулат, който по-късно стана известен като Галилеев парадокс: има толкова естествени числа, колкото има квадрати от естествени числа, тоест в множеството 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... има толкова елементи, колкото в набора са 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

Същността на парадокса е следната.

Някои числа са точни квадрати (тоест квадрати от други числа), например: 1, 4, 9 ... Други числа не са точни квадрати, например 2, 3, 5 ... Значи трябва да има по-точни квадрати и обикновени числа заедно, отколкото просто перфектни квадрати. нали така? правилно.

Но от друга страна: за всяко число си има точен квадрат и обратно – за всеки точен квадрат има цял квадратен корен, така че трябва да има еднакъв брой точни квадрати и естествени числа. нали така? правилно.

Разсъжденията на Галилей влизат в противоречие с неоспоримата аксиома, че цялото е по-голямо от всяка своя част. Не можа да отговори коя безкрайност е по-голяма – първата или втората. Галилей вярваше, че или се е объркал в нещо, или подобни сравнения не са приложими за безкрайностите. В последното той беше прав, защото три века по-късно Георг Кантор доказа, че „аритметиката на безкрайното е различна от аритметиката на крайното“.

Изброими безкрайности: частта е равна на цялото

Георг Кантор(1845-1918), основателят на теорията на множествата, започва да използва действителната безкрайност в математиката. Той призна, че безкрайността съществува наведнъж. И тъй като има безкрайни множества и всички наведнъж, тогава можете да извършвате математически манипулации с тях и дори да ги сравнявате. Тъй като думите "число" и "количество" са неподходящи в случай на безкрайност, той въвежда термина "мощност". Кантор взе безкрайни естествени числа като еталон, който е достатъчен за преизчисляване на каквото и да било, нарече това множество преброимо, а неговата сила - силата на изброимо множество и започна да го сравнява със степените на други множества.

Той доказа, че множеството от естествени числа има толкова елементи, колкото множеството от четни числа! Всъщност пишем един под друг:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

На пръв поглед изглежда очевидно, че в първия комплект има два пъти повече числа, отколкото във втория. Но от друга страна е ясно, че втората последователност също е изчислима, тъй като всяко число от нея ВИНАГИ отговаря точно на едно число от първата поредица. И обратно! Така че втората последователност не може да бъде изчерпана преди първата. Следователно тези комплекти са еквивалентни! По същия начин се доказва, че множеството от квадрати от естествени числа (от парадокса на Галилей) е изброимо и еквивалентно на множеството от естествени числа. От това следва, че всички изброими безкрайности са еквивалентни.

Оказва се много интересно: Множеството от четни числа и множеството от квадрати от естествени числа (от парадокса на Галилей) са част от множеството естествени числа. Те обаче са еднакво мощни. Следователно ЧАСТ Е РАВНА НА ЦЯЛОТО!

Безброй безкрайности

Но не всяка безкрайност може да бъде преброена по начина, по който го направихме с четни числа и квадрати от естествени числа. Оказва се, че е невъзможно да се броят точки на отсечка, реални числа (изразени с всички крайни и безкрайни десетични дроби), дори всички реални числа от 0 до 1. В математиката казват, че броят им е неизброим.

Помислете за това на примера на поредица от дробни числа. Дробните числа имат свойство, което нямат целите числа. Няма други цели числа между две последователни цели числа. Например, никое друго цяло число няма да се побере между 8 и 9. Но ако добавим дробни числа към набора от цели числа, това правило вече няма да важи. Да, номерът

ще бъде между 8 и 9. По същия начин можете да намерите число, разположено между произволни две числа A и B:

Тъй като това действие може да се повтаря неограничено, може да се твърди, че между всякакви две реални числа винаги ще има безкрайно много други реални числа.

По този начин безкрайността на реалните числа е неизброима, а безкрайността на естествените числа е изброима. Тези безкрайности не са еквивалентни, но от неизброим набор от реални числа винаги може да се избере броима част, например естествени или четни числа. Следователно неизброимата безкрайност е по-мощна от изброимата безкрайност.

Теорията на относителността разглежда пространството и времето като единна формация, т. нар. "пространство - време", в която времевата координата играе също толкова важна роля, колкото и пространствените. Следователно, в най-общия случай, от гледна точка на теорията на относителността, можем да говорим само за крайността или безкрайността на това конкретно обединено „пространство-време“. Но след това навлизаме в така наречения четириизмерен свят, който има много специални геометрични свойства, които се различават по най-съществен начин от геометричните свойства на триизмерния свят, в който живеем.

А безкрайността или крайността на четириизмерното „пространство – време“ все още не казва нищо или почти нищо за пространствената безкрайност на Вселената, която ни интересува.

От друга страна, четириизмерното "пространство-време" на теорията на относителността не е просто удобен математически апарат. Той отразява добре дефинирани свойства, зависимости и закономерности на реалната Вселена. И следователно, когато решаваме проблема за безкрайността на пространството от гледна точка на теорията на относителността, ние сме принудени да вземем предвид свойствата на "пространството-време". Още през двадесетте години на настоящия век А. Фридман показа, че в рамките на теорията на относителността отделно постановяване на въпроса за пространствената и времева безкрайност на Вселената не винаги е възможно, а само при определени условия. Тези условия са: хомогенност, т.е. равномерно разпределение на материята във Вселената, и изотропност, т.е. еднакви свойства във всяка посока. Само в случай на хомогенност и изотропия единичното "пространство-време" се разделя на "хомогенно пространство" и универсално "световно време".

Но, както вече отбелязахме, истинската Вселена е много по-сложна от хомогенните и изотропни модели. А това означава, че четириизмерният свят на теорията на относителността, съответстващ на реалния свят, в който живеем, в общия случай не се разделя на „пространство” и „време”. Следователно, дори ако с увеличаване на точността на наблюденията можем да изчислим средната плътност (а оттам и локалната кривина) за нашата Галактика, за куп от галактики, за регион от Вселената, достъпен за наблюдения, това все още няма да бъде решение на въпроса за пространствения обхват на Вселената като цяло.

Интересно е, между другото, да се отбележи, че някои области на пространството може действително да се окажат крайни в смисъл на затваряне. И не само пространството на Метагалактиката, но и всяка област, в която има достатъчно мощни маси, които причиняват силна кривина, например пространството на квазарите. Но, повтаряме, това все още не говори нищо за крайността или безкрайността на Вселената като цяло. Освен това крайността или безкрайността на пространството зависи не само от неговата кривина, но и от някои други свойства.

Така при сегашното състояние на общата теория на относителността и астрономическите наблюдения не можем да получим достатъчно пълен отговор на въпроса за пространствената безкрайност на Вселената.

Казват, че известният композитор и пианист Ф. Лист е предоставил едно от своите произведения за пиано с такива инструкции за изпълнителя: „бързо“, „още по-бързо“, „възможно най-бързо“, „още по-бързо“ ...

Тази история неволно идва на ум във връзка с изучаването на въпроса за безкрайността на Вселената. Вече от казаното по-горе е съвсем очевидно, че този проблем е изключително сложен.

И все пак е все още неизмеримо по-трудно...

Да обясниш означава да сведеш до известното. Тази техника се използва в почти всяко научно изследване. И когато се опитваме да решим проблема с геометричните свойства на Вселената, ние също се стремим да сведем тези свойства до познати понятия.

Свойствата на Вселената са сякаш "пробване" на съществуващите в момента абстрактни математически концепции за безкрайност. Но дали тези представи са достатъчни, за да опишат Вселената като цяло? Проблемът е, че те са разработени до голяма степен независимо, а понякога и напълно независимо от проблемите на изучаването на Вселената и във всеки случай въз основа на изследването на ограничен регион от пространството.

Така решението на въпроса за реалната безкрайност на Вселената се превръща в вид лотария, в която вероятността за печалба, т.е. случайно съвпадение на поне доста голям брой свойства на реалната Вселена с едно от формално получени стандарти за безкрайност, е много малък.

Основата на съвременните физически представи за Вселената е така наречената специална теория на относителността. Според тази теория пространствените и времеви връзки между различни реални обекти около нас не са абсолютни. Характерът им изцяло зависи от състоянието на движение на дадена система. Така че в движеща се система скоростта на времевия поток се забавя и всички скали на дължината, т.е. размерите на разширените обекти са намалени. И това намаление е толкова по-силно, колкото по-висока е скоростта на движение. При приближаване на скоростта на светлината, която е най-високата възможна скорост в природата, всички линейни мащаби намаляват неограничено.

Но ако поне някои от геометричните свойства на пространството зависят от естеството на движението на референтната система, т.е. са относителни, имаме право да повдигнем въпроса: не са ли относителни понятията за крайност и безкрайност? В крайна сметка те са тясно свързани с геометрията.

През последните години известният съветски космолог А. Л. Зелмапов изучава този любопитен проблем. Той успя да открие факт, на пръв поглед доста удивителен. Оказа се, че пространството, което е крайно във фиксирана референтна система, може в същото време да бъде безкрайно по отношение на движеща се референтна система.

Може би това заключение няма да изглежда толкова изненадващо, ако си припомним намаляването на мащаба в движещите се системи.

Популярното представяне на сложните проблеми на съвременната теоретична физика е много трудно, тъй като в повечето случаи не позволяват визуални обяснения и аналогии. Въпреки това сега ще се опитаме да дадем една аналогия, но използвайки я, ще се опитаме да не забравяме, че тя е много приблизителна.

Представете си, че космически кораб минава покрай Земята със скорост, равна, да речем, на две трети от скоростта на светлината – 200 000 км/сек. Тогава, според формулите на теорията на относителността, трябва да се наблюдава намаляване наполовина на всички скали. Това означава, че от гледна точка на астронавтите, които са на кораба, всички сегменти на Земята ще станат наполовина по-дълги.

Сега нека си представим, че имаме права линия, макар и много дълга, но все пак крайна, и я измерваме с помощта на някаква единица за дължина, например метър. За наблюдател в космически кораб, движещ се със скорост, близка до скоростта на светлината, нашият референтен метър ще се свие до точка. И тъй като има безкраен брой точки дори на крайна права, за наблюдател в кораб нашата линия ще стане безкрайно дълга. Приблизително същото ще се случи по отношение на мащаба на площите и обемите. Следователно, ограничените области на пространството могат да станат безкрайни в движеща се референтна система.

Повтаряме още веднъж - това в никакъв случай не е доказателство, а само доста груба и далеч от пълна аналогия. Но това дава известна представа за физическата същност на интересуващия ни феномен.

Нека сега припомним, че в движещите се системи не само се намаляват мащабите, но и протичането на времето се забавя. От това следва, че продължителността на съществуването на някакъв обект, който е краен по отношение на фиксирана (статична) координатна система, може да се окаже безкрайно Дълга в движеща се референтна система.

Така от произведенията на Зелманов следва, че свойствата на „крайност” и „безкрайност” на пространството и времето са относителни.

Разбира се, всички тези, на пръв поглед, доста "екстравагантни" резултати не могат да се считат за установяване на някакви общи геометрични свойства на реалната Вселена.

Но благодарение на тях може да се направи изключително важен извод. Дори от гледна точка на теорията на относителността, концепцията за безкрайността на Вселената е много по-сложна, отколкото изглеждаше преди.

Сега има всички основания да се очаква, че ако някога бъде създадена теория, по-обща от теорията на относителността, тогава в рамките на тази теория въпросът за безкрайността на Вселената ще се окаже още по-сложен.

Една от основните положения на съвременната физика, нейният крайъгълен камък е изискването за така наречената инвариантност на физическите твърдения по отношение на трансформациите на референтната рамка.

Инвариантно означава "не се променя". За да разберем по-добре какво означава това, нека вземем за пример някои геометрични инварианти. Така кръгове с центрове в началото на правоъгълната координатна система са ротационни инварианти. При всяко завъртане на координатните оси спрямо началото, такива кръгове се превръщат в себе си. Правите линии, перпендикулярни на оста "OY" са инварианти на трансформациите на прехвърлянето на координатната система по CRS "OX".

Но в нашия случай говорим за инвариантност в по-широк смисъл на думата: всяко твърдение има физическо значение само когато не зависи от избора на референтна рамка. В този случай референтната система трябва да се разбира не само като координатна система, но и като начин на описание. Независимо как се променя методът на описание, физическото съдържание на изследваните явления трябва да остане непроменено, инвариантно.

Лесно е да се види, че това състояние има не само чисто физическо, но и фундаментално, философско значение. Той отразява стремежа на науката да изясни истинския, истински ход на явленията и изключването на всички изкривявания, които могат да бъдат въведени в този курс от самия процес на научно изследване.

Както видяхме, от трудовете на А. Л. Зелманов следва, че както безкрайността в пространството, така и безкрайността във времето не удовлетворяват изискването за инвариантност. Това означава, че понятията за времева и пространствена безкрайност, които използваме в момента, не отразяват напълно реалните свойства на света около нас. Следователно, очевидно, самата постановка на въпроса за безкрайността на Вселената като цяло (в пространството и времето), със съвременното разбиране за безкрайността, е лишена от физически смисъл.

Получихме още едно убедително доказателство, че „теоретичните“ концепции за безкрайността, които досега са били използвани от науката за Вселената, са много, много ограничени. Най-общо казано, това можеше да се предполага и преди, тъй като реалният свят винаги е много по-сложен от всеки „модел“ и можем да говорим само за повече или по-малко точно приближаване към реалността. Но в този случай беше особено трудно да се прецени, така да се каже, на око колко значимо е постигнатото приближение.

Сега поне пътят, по който трябва да вървите, се очертава. Очевидно задачата е преди всичко да се разработи самата концепция за безкрайност (математическа и физическа) въз основа на изследването на реалните свойства на Вселената. С други думи: „пробване“ не на Вселената към теоретични идеи за безкрайността, а обратно, тези теоретични идеи към реалния свят. Само такъв метод на изследване може да доведе науката до значителен успех в тази област. Никакви абстрактни логически разсъждения и теоретични заключения не могат да заменят фактите, получени от наблюденията.

Вероятно е необходимо, на първо място, на базата на изследване на реалните свойства на Вселената, да се разработи инвариантна концепция за безкрайността.

И като цяло, очевидно, няма такъв универсален математически или физически стандарт за безкрайност, който да отразява всички свойства на реалната Вселена. С развитието на знанието броят на известните ни видове безкрайност ще нараства безкрайно. Следователно е вероятно на въпроса дали Вселената е безкрайна никога да не се отговори с просто да или не.

На пръв поглед може да изглежда, че във връзка с това изследването на проблема за безкрайността на Вселената изобщо губи смисъл. Но, първо, този проблем под една или друга форма се сблъсква с науката на определени етапи и той трябва да бъде решен, и второ, опитите за решаването му водят до редица ползотворни открития по пътя.

Накрая трябва да се подчертае, че проблемът за безкрайността на Вселената е много по-широк от въпроса само за нейния пространствен обхват. На първо място, можем да говорим не само за безкрайността „в ширина“, но, така да се каже, и „в дълбочина“. С други думи, необходимо е да се получи отговор на въпроса дали пространството е безкрайно делимо, непрекъснато или има някакви минимални елементи в него.

В момента този проблем вече е възникнал пред физиците. Сериозно се обсъжда въпросът за възможността за т. нар. квантуване на пространството (както и на времето), тоест подбора в него на определени „елементарни” клетки, които са изключително малки.

Също така не трябва да забравяме за безкрайното разнообразие от свойства на Вселената. В крайна сметка Вселената е преди всичко процес, чиито характерни черти са непрекъснатото движение и непрестанните преходи на материята от едно състояние в друго. Следователно безкрайността на Вселената е също безкрайно разнообразие от форми на движение, видове материя, физически процеси, взаимоотношения и взаимодействия и дори свойства на конкретни обекти.

Съществува ли безкрайност?

Във връзка с проблема за безкрайността на Вселената възниква на пръв поглед неочакван въпрос. Самото понятие за безкрайност има ли някакво истинско значение? Не е ли просто условна математическа конструкция, на която изобщо нищо не отговаря в реалния свят? Подобна гледна точка са поддържали някои изследователи в миналото, а тя има привърженици и в момента.

Но данните на науката свидетелстват, че при изучаването на свойствата на реалния свят във всеки случай се сблъскваме с това, което може да се нарече физическа, или практическа, безкрайност. Например, срещаме количества, толкова големи (или толкова малки), че от определена гледна точка те не се различават от безкрайността. Тези количества са извън количествената граница, отвъд която всякакви по-нататъшни промени в тях вече нямат забележимо въздействие върху същността на разглеждания процес.

Така безкрайността безспорно съществува обективно. Освен това, както във физиката, така и в математиката, почти на всяка крачка срещаме концепцията за безкрайност. Това не е инцидент. И двете науки, особено физиката, въпреки привидната абстрактност на много положения, в крайна сметка винаги тръгват от реалността. Това означава, че природата, Вселената всъщност има някои свойства, които са отразени в концепцията за безкрайност.

Съвкупността от тези свойства може да се нарече истинска безкрайност на Вселената.

Безкрайността е абстрактно понятие, използвано за описване или обозначаване на нещо безкрайно или неограничено. Това понятие е важно за математиката, астрофизика, физика, философия, логика и изкуство.

Ето някои невероятни факти за тази сложна концепция, която може да взриви ума на всеки, който не е много запознат с математиката.

Символ за безкрайност

Безкрайността има свой специален символ: ∞. Символът, или лемниската, е въведен от духовника и математик Джон Уолис през 1655 г. Думата "lemniscate" идва от латинската дума lemniscus, което означава "лента".

Уолис може да е основал символа за безкрайност на римската цифра 1000, до която римляните са обозначавали "безброй", в допълнение към числото. Възможно е също символът да се основава на омега (Ω или ω), последната буква от гръцката азбука.

Интересен факт е, че понятието за безкрайност се появява и е използвано много преди Уолис да го награди със символа, който използваме и до днес.

През четвърти век пр. н. е. джайнският математически текст, наречен Сура Праджнапти Сутра, разделя всички числа на три категории, всяка от които от своя страна е разделена на три подкатегории. В тези категории бяха посочени изброими, неизброими и безкрайни числа.

Апория Зенон

Зенон от Елея, роден около пети век пр.н.е. д., е бил известен с парадокси или апории, включително концепцията за безкрайността.

От всички парадокси на Зенон, Ахил и костенурката е най-известният. В апория костенурката предизвиква гръцкия герой Ахил, като го кани на състезание. Костенурката твърди, че ще спечели състезанието, ако Ахил му даде преднина с хиляда крачки. Според парадокса, за времето, когато Ахил избяга цялото разстояние, костенурката ще направи още сто крачки в същата посока. Докато Ахил тича още сто крачки, костенурката има време да направи още десет и така в низходящ ред.

По-просто парадоксът се разглежда по следния начин: опитайте се да прекосите стаята, ако всяка следваща стъпка е наполовина от предишната. Въпреки че всяка стъпка ви приближава до ръба на стаята, всъщност никога няма да стигнете до нея или ще го направите, но ще отнеме безкраен брой стъпки.

Според една от съвременните интерпретации този парадокс се основава на фалшива представа за безкрайната делимост на времето и пространството.

Числото пи е пример за безкрайност

Пи е чудесен пример за безкрайност. Математиците използват символ за пи, защото е невъзможно да се запише цялото число. Пи се състои от безкраен брой числа. Често се закръгля до 3,14 или дори 3,14159, но без значение колко цифри са записани след десетичната запетая, е невъзможно да се стигне до края на числото.

Теорема за безкрайната маймуна

Друг начин да мислим за безкрайността е да разгледаме теоремата за безкрайната маймуна. Според теоремата, ако дадете на маймуна пишеща машина и безкрайно много време, в крайна сметка маймуната ще може да отпечата Хамлет или каквото и да е друго произведение.

Докато много хора приемат теоремата като демонстрация на убеждението, че няма нищо невъзможно, математиците я виждат като доказателство, че определено събитие е невъзможно.

Фрактали и безкрайност

Фракталът е абстрактен математически обект, използван в математиката и изкуството, най-често моделира природни явления. Фракталът се записва като математическо уравнение. Разглеждайки фрактала, можете да забележите неговата сложна структура във всякакъв мащаб. С други думи, фракталът се увеличава безкрайно.

Снежинката на Кох е интересен пример за фрактал. Снежинката изглежда като равностранен триъгълник, образуващ затворена крива с безкрайна дължина. С увеличаване на кривата върху нея могат да се видят все повече и повече детайли. Процесът на увеличаване на кривата може да продължи безкраен брой пъти. Въпреки че снежинката на Кох има ограничена площ, тя е ограничена от безкрайно дълга линия.

Infinity в различни размери

Безкрайността е безгранична, но е измерима, макар и сравнителна. Положителните числа (по-големи от 0) и отрицателните числа (по-малко от 0) могат да се похвалят с безкрайни набори от числа с еднакъв размер. Какво се случва, когато комбинирате двата комплекта? Ще получите два пъти по-голям размер от комплекта. Или друг пример - всички четни числа (има безкраен брой). И все пак това е само половината от безкрайния брой на всички цели числа. Друг пример, просто добавете едно към безкрайността. Научете числото 1, по-голямо от безкрайността.

Космология и безкрайност

Космолозите изучават Вселената, не е изненадващо, че концепцията за безкрайността играе важна роля за тях. Вселената има ли граници или е безкрайна?

Този въпрос все още остава без отговор. Нашата вселена се разширява, но къде? И къде е границата на това разширение? Дори физическата вселена да има граници, ние все още имаме теория за мултивселената, която разглежда съществуването на безкраен брой вселени, които може да имат различни закони на физиката от нашите.

Деление на нула

Деление на нула не съществува. Невъзможно е, поне не в обикновената математика. В математиката, с която сме свикнали, не може да се определи единица, разделена на нула. Това е грешка. Това обаче не винаги е така. В разширената теория на комплексните числа разделянето на едно на нула не води до неизбежен срив и се определя от някаква форма на безкрайност. С други думи, математиката е различна и не всичко е ограничено до правилата от учебниците.

В ежедневието на човек най-често му се налага да се справя с крайни количества. Следователно е много трудно да се визуализира неограничена безкрайност. Тази концепция е обвита в ореол на мистерия и необичайност, която е примесена с благоговение към Вселената, чиито граници са почти невъзможни за определяне.

Пространствената безкрайност на света принадлежи към най-сложните и противоречиви научни проблеми. Древните философи и астрономи се опитаха да разрешат този въпрос чрез най-простите логически конструкции. За да направите това, беше достатъчно да се предположи, че е възможно да се стигне до предполагаемия край на Вселената. Но ако протегнете ръката си в този момент, тогава границата се премества на определено разстояние. Тази операция може да се повтори безброй пъти, което доказва безкрайността на Вселената.

Трудно е да си представим безкрайността на Вселената, но не по-малко трудно е как може да изглежда един ограничен свят. Дори за тези, които не са много напреднали в изучаването на космологията, в този случай възниква естествен въпрос: какво е отвъд границата на Вселената? Подобни разсъждения обаче, изградени върху здравия разум и светския опит, не могат да служат като солидна основа за строги научни заключения.

Съвременни идеи за безкрайността на Вселената

Съвременните учени, изследвайки множество космологични парадокси, стигнаха до заключението, че съществуването на крайна вселена по принцип противоречи на законите на физиката. Светът извън планетата Земя, очевидно, няма граници нито в пространството, нито във времето. В този смисъл безкрайността предполага, че нито количеството материя във Вселената, нито нейните геометрични размери могат да бъдат изразени дори с най-голямото число („Еволюция на Вселената”, И.Д. Новиков, 1983).

Дори ако вземем предвид хипотезата, че Вселената се е образувала преди около 14 милиарда години в резултат на т. нар. Голям взрив, това може да означава само, че в онези изключително далечни времена светът е преминал през друг етап на естествена трансформация. Като цяло, безкрайната Вселена никога не се е появявала по време на първоначалния тласък или необяснимо развитие на някакъв нематериален обект. Предположението за безкрайна Вселена слага край на хипотезата за Божественото сътворение на света.

През 2014 г. американски астрономи публикуваха резултатите от най-новото изследване, което потвърждава хипотезата за съществуването на безкрайна и плоска Вселена. С висока точност учените са измервали разстоянието между галактиките, разположени на разстояние от няколко милиарда светлинни години една от друга. Оказа се, че тези колосални космически звездни купове са разположени в кръгове с постоянен радиус. Изграденият от изследователите космологичен модел косвено доказва, че Вселената е безкрайна както в пространството, така и във времето.

Във връзка с

Съществува ли безкрайност

Дали Вселената е безкрайна и ако да, тогава „това не може да бъде“. И ако не, какво има от другата страна? И който обича приказките за ограничениколектори без ръб, като сфера - нека мисълта изпраща перпендикулярно на ръба.Какво има там? Или кой. Измислената безкрайност не е толкова пронизваща, но същонеразбираеми, на места. Георг Кантор. Безкрайно сравнение. Континуум. НаНа квадрат има толкова точки, колкото на отсечка.

Прякащото усещане за парене на пространствената вечност е шокиращо, докато проблемите на Поднебесната империя се възприемат от червата, а не от ума. След това пронизително обаждане неизчерпаемост” постепенно спира и изгаряйки се за реалността, човек се крие в измислен свят. Все още не е достатъчно добре да се крие.

В света на идеите безкрайността се появява в различна форма. В какъв смисъл съществува естествената серия? Като разгръщащ се процес или като завършен? Потенциално конструируеми ли са естествените числа или вече са налични? Проблем в началото

мирише на схоластика. Няма значение, изглежда. Няма последствия.

Последиците обаче са огромни. Като алтернатива се получават двама различни математици. Едната е градивна, не позволяваща осъзнаването на безкрайността в цялата й необятност. Другият е обикновен, всеяден.

Малките проблеми от наличието на безкрайност възникват още в елементарно

ситуации от типа, при които наличието на едно към едно съответствие n ↔ n^2 насърчава идеята, че има толкова цели числа, колкото техните квадрати. Примерът отдавна е на ръба, но в най-простата си форма отразява наличието на проблем. В крайна сметка се оказва, че ако някой взема 10 рубли от мен всеки ден и ми дава една, тогава когато процесът приключи, ще бъдем напуснати. Защото, ако сериалът вече се е състоял, n-та рубла ми беше дадена на n-ия ден. Парадоксът, разбира се, не си струва парите, защото процесът никога няма да свърши, смята петокласникът.

Какво ще кажете за p/q фракции? Всички те са "вече там" в сегмента. Те са тук, не е необходимо да се добавят един по един. Така че - " капан с краен размер за безкрайност". Малко

портфейл, където са поставени всички фракции. И коренът от две, както се държи безкрайността, поради безкрайността на десетичната дроб. Следователно теорията на множествата има всички основания да разглежда безкрайността като " дадено". Друго нещо е, че към тази даденост се налагат определени изисквания, за да няма противоречия.

Но щом си признаеш нещо, започват неприятностите. Безкрайност рояк, и с

те трябва да бъдат управлявани по някакъв начин. Това беше направено Георг Канторкойто създаде теорията на множествата. Настъпилата революция потвърждава добре известната теза „ истината се ражда като ерес и умира като баналност". Основните идеи днес са достъпни за всеки. А " тогава" невъзможен

не трябваше да обяснявам на никого. Интуицията се съпротивляваше. Сега болестта пусна корени, недоумението изсъхна.

Кантор постави инструмента на съответствието едно към едно като основа за изследване на множествата. Множествата X, Y са еквивалентни, ако може да се установи едно към едно съответствие между техните елементи.

Отношение на еквивалентност рефлексивнои преходно, което ви позволява да разбиете всичко

поставя в класове на еквивалентност. Класът на еквивалентност на множество X се нарича неговата мощност и се обозначава като |X|. Комплектите са подредени по мощност, като се използва естествен трик.

Множествата, еквивалентни на естествени числа, се наричат ​​изброими. Всяка последователност е изчислима. Разглеждането на десетичните дроби е изправено пред ново явление. Множеството от такива числа (континуумът) се оказва неизброимо.

Историческият опит да се установи, че отсечката и квадратът x имат различни мощности, беше много болезнен. Оказа се, че са еднакви. Светът не е получавал такова разтърсване от времето на Галилей, когато е открито, че всички тела падат с едно и също

ускорение.

Както и да е, безкрайността си спечели място под слънцето. Без него всичко в математиката „щеше да стои неподвижно“. Да ~ струва си - в градивната математика, където не става - обикновено. Равенствата и неравенствата на конструктивните числа най-често не се проверяват, последователностите няма къде да се събират, границите не съществуват, приемствеността е само мечта и като цяло всичко се срива. Страшна картина. Степента на бедствието дори е трудно да се оцени. Следователно, безкрайността е почти толкова полезна, колкото и "един". Другата страна на монетата, някак. Един вид вместилище за „това, което не се случва“.