Bei der Fortsetzung des Themas "Entscheidung von Gleichungen" stellt Ihnen das Material dieses Artikels Ihnen quadratische Gleichungen vor.

Betrachten Sie alles im Detail: Die Essenz und die Aufzeichnung der quadratischen Gleichung, setzen die begleitenden Bedingungen fest, wir werden das Programm für die Lösung unvollständiger und vollständiger Gleichungen analysieren, sich mit der Formel von Wurzeln und Diskriminierenden kennenlernen, Verbindungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten etablieren, Und natürlich geben wir eine visuelle Lösung von praktischen Beispielen an.

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Quadratische Gleichung, seine Typen

Definition 1.

Quadratische Gleichung - Dies ist die Gleichung, die als aufgenommen wurde A · x 2 + B · x + c \u003d 0wo X. - Variable, A, B und C. - einige Zahlen, während eIN.kein Null.

Oft werden eckige Gleichungen auch Name der zweiten Grad-Gleichungen bezeichnet, da die eckige Gleichung im Wesentlichen die algebraische Gleichung des zweiten Grades ist.

Wir geben ein Beispiel, um eine bestimmte Definition zu veranschaulichen: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 usw. - Dies sind quadratische Gleichungen.

Definition 2.

Zahlen A, B und C. - Dies sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung A · x 2 + B · x + c \u003d 0mit dem Koeffizienten EIN. Es wird als erster oder älter oder der Koeffizienten bei X 2, B - dem zweiten Koeffizienten oder dem Koeffizienten, wenn X., aber C. Rufen Sie ein kostenloses Mitglied an.

Zum Beispiel in einer quadratischen Gleichung 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Der leitende Koeffizient ist 6, der zweite Koeffizient ist − 2 und freies Mitglied ist gleich − 11 . Achten Sie darauf, dass bei den Koeffizienten B.und / oder c sind negativ, dann wird eine kurze Form einer Ansichtaufzeichnung verwendet. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, und nicht 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Wir klären auch diesen Aspekt: \u200b\u200bWenn die Koeffizienten EIN. und / oder B. gleich 1 oder − 1 , dann explizite Teilnahme an der Aufzeichnung der quadratischen Gleichung, dürfen sie nicht ergriffen werden, was durch die Merkmale der Aufzeichnung dieser numerischen Koeffizienten erläutert wird. Zum Beispiel in einer quadratischen Gleichung Y 2 - y + 7 \u003d 0 Der leitende Koeffizient ist 1 und der zweite Koeffizient ist − 1 .

Spezifizierte und unverheiratete eckige Gleichungen

Durch den Wert des ersten Koeffizienten sind die quadratischen Gleichungen in das obige und unbezahlte.

Definition 3.

Die reduzierte quadratische Gleichung - Dies ist eine quadratische Gleichung, bei der der ältere Koeffizient gleich 1 ist. Bei anderen Werten des älteren Koeffizienten ist die quadratische Gleichung nicht ungültig.

Wir geben Beispiele: eckige Gleichungen x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 sind in jedem von denen der ältere Koeffizient 1 dargestellt ist.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - eine integrierte quadratische Gleichung, in der sich der erste Koeffizient unterscheidet sich von 1 .

Jede unpassende quadratische Gleichung ist möglich, um in eine gegebene Gleichung umzuwandeln, wenn sie von beiden Teilen auf den ersten Koeffizienten (äquivalente Transformation) unterteilt ist. Die transformierte Gleichung hat die gleichen Wurzeln wie die angegebene intelligente Gleichung oder nicht, um Wurzeln überhaupt nicht zu haben.

Die Berücksichtigung eines bestimmten Beispiels ermöglicht es uns, den Übergang eindeutig von einer integrierten quadratischen Gleichung bis zum angegebenen zu demonstrieren.

Beispiel 1.

Die Gleichung ist eingestellt 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Es ist notwendig, die anfängliche Gleichung in das obige Formular umzuwandeln.

Entscheidung

Das oben angegebene Schema der oben angegebenen Teile ist durch beide Teile der anfänglichen Gleichung auf dem leitenden Koeffizienten 6 getrennt. Dann bekommen wir: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3Und das ist das Gleiche wie: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 Und weiter: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. Von hier: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. Somit wird eine Gleichung als angegeben angesehen.

Antworten: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Wenden Sie sich an die Definition der eckigen Gleichung. Darin haben wir das geklärt A ≠ 0.. Eine solche Bedingung ist zur Gleichung notwendig A · x 2 + B · x + c \u003d 0 Es war genau quadratisch, weil a \u003d 0 Es ist im Wesentlichen in lineare Gleichung umgewandelt B · X + C \u003d 0.

In dem Fall, wenn die Koeffizienten B. und C.gleich Null (was sowohl einzeln als auch zusammen möglich ist), wird die quadratische Gleichung unvollständig bezeichnet.

Definition 4.

Unvollständige quadratische Gleichung. - Eine solche quadratische Gleichung a · x 2 + b · x + c \u003d 0,wo mindestens einer der Koeffizienten B.und C.(oder beides) ist Null.

Volle quadratische Gleichung. - eine quadratische Gleichung, in der alle numerischen Koeffizienten nicht Null sind.

Wir gönnen sich, warum die Arten von eckigen Gleichungen genau die Namen erhalten werden.

Für B \u003d 0 quadratische Gleichung nimmt die Form an A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0dass dasselbe das ist a · x 2 + c \u003d 0. Zum C \u003d 0. Die eckige Gleichung wird als aufgezeichnet A · x 2 + B · x + 0 \u003d 0Das ist äquivalent. A · x 2 + B · x \u003d 0. Zum B \u003d 0. und C \u003d 0. Die Gleichung ergreift die Ansicht A · x 2 \u003d 0. Die von uns erhaltenen Gleichungen unterscheiden sich von der vollen quadratischen Gleichung, dass ihre linken Teile nicht entweder entweder mit einem Bauteil von der X-Variablen oder einem freien Mitglied oder beides enthalten sind. Tatsächlich wurde diese Tatsache den Namen einer solchen Art von Gleichungen erstellt - unvollständig.

Beispielsweise sind x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 und - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 vollständige quadratische Gleichungen; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - unvollständige quadratische Gleichungen.

Entscheidung der unvollständigen quadratischen Gleichungen

Die obige Definition ermöglicht es, die folgenden Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen zu unterscheiden:

• A · x 2 \u003d 0Diese Gleichung entspricht den Koeffizienten B \u003d 0. und c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 für b \u003d 0;
• a · X 2 + B · x \u003d 0 bei c \u003d 0.

Betrachten Sie die Entscheidung jeder Art von unvollständiger eckiger Gleichung.

Lösung der Gleichung A · x 2 \u003d 0

Wie oben erwähnt, entspricht die Gleichung den Koeffizienten B. und C.gleich Null Die gleichung A · x 2 \u003d 0 Es ist möglich, Gleichung umzuwandeln, um sie entsprechen x 2 \u003d 0was wir bekommen, teilen Sie beide Teile der Quellgleichung für die Anzahl EIN.nicht gleich Null Offensichtliche Tatsache, dass die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d 0 das ist null da 0 2 = 0 . Andere Wurzeln, diese Gleichung hat nein, was durch die Eigenschaften des Grads erläutert wird: für eine beliebige Anzahl p,nicht gleich Null, treue Ungleichheit P 2\u003e 0Was folgt das, wann P ≠ 0. Gleichberechtigung P 2 \u003d 0wird niemals erreicht werden.

Definition 5.

Somit ist für eine unvollständige quadratische Gleichung A · x 2 \u003d 0 die einzige Wurzel x \u003d 0..

Beispiel 2.

Zum Beispiel lösen wir eine unvollständige quadratische Gleichung - 3 · x 2 \u003d 0. Es entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0, seine einzige Wurzel ist x \u003d 0., Dann hat die anfängliche Gleichung den einzigen Wurzel - Null.

Kurz gesagt, die Entscheidung besteht so:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Lösung der Gleichung A · x 2 + C \u003d 0

Auf der Warteschlange - die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, wobei B \u003d 0, c ≠ 0, dh die Gleichungen des Formulars a · x 2 + c \u003d 0. Wir transformieren diese Gleichung, die den Begriff von einem Teil der Gleichung in einen anderen durchgeführt hat, wobei das Schild auf das Gegenteil geändert wird und beide Teile der Gleichung auf die Anzahl unterteilt, nicht gleich Null:

• transfer C. im rechten Teil, der die Gleichung ergibt A · x 2 \u003d - c;
• wir teilen beide Teile der Gleichung auf EIN.Ich komme am Ende x \u003d - c a.

Unsere Transformationen sind jeweils gleichwertig, die resultierende Gleichung entspricht auch der Quelle, und diese Tatsache ermöglicht es, die Wurzeln der Gleichung abzuschließen. Von was sind die Bedeutungen EIN. und C.der Wert des Ausdrucks ist abhängig - C A: Es kann ein Minuszeichen haben (sagen wir, wenn a \u003d 1. und C \u003d 2., dann - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) oder ein Pluszeichen (z. B. wenn A \u003d - 2 und C \u003d 6.dann - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); Es ist nicht , weil C ≠ 0.. Lassen Sie uns in Situationen detaillierter wohnen, wenn - c a< 0 и - c a > 0 .

In dem Fall, wann - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Gleichheit P 2 \u003d - C A kann nicht wahr sein.

Alles andere, wenn - C A\u003e 0: Erinnern Sie sich an die Quadratwurzel, und es ist offensichtlich, dass die Gleichung x 2 \u003d - C a die Zahl - C a ist, da - c a 2 \u003d - c a ist. Es ist nicht schwer zu verstehen, dass die Zahl ist - C a ist auch die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d - c a: in der Tat, - - c a 2 \u003d - c a.

Andere Wurzelgleichung wird nicht haben. Wir können es mit der bösen Methode demonstrieren. Stellen Sie zunächst die Bezeichnungen, die über den Wurzeln gefunden wurden x 1 und - X 1.. Ich werde vorschlagen, dass Gleichung x 2 \u003d - c a auch root ist x 2.das unterscheidet sich von den Wurzeln x 1 und - X 1.. Wir wissen das, und ersetzt stattdessen in die Gleichung X. Seine Wurzeln verwandeln wir die Gleichung in eine faire numerische Gleichheit.

Zum x 1 und - X 1. Wir schreiben: x 1 2 \u003d - C a und für x 2. - X 2 2 \u003d - C a. Um sich auf die Eigenschaften numerischer Gleichungen zu verlassen, befeuchten Sie eine rechte Gleichheit von einem anderen, was uns gibt: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Verwenden Sie die Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen, um die neueste Gleichheit als neu zu schreiben (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Es ist bekannt, dass die Arbeit zweier Nummern Null ist und nur dann, wenn mindestens eine der Zahlen Null ist. Von gesagt, dass es folgt x 1 - x 2 \u003d 0 und / oder x 1 + x 2 \u003d 0dasselbe das gleiche x 2 \u003d x 1 und / oder x 2 \u003d - x 1. Es gab einen offensichtlichen Widerspruch, denn zunächst wurde der Wurzel der Gleichung vereinbart x 2. unterscheidet sich von x 1 und - X 1.. Also haben wir bewiesen, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln hat, außer x \u003d - c a und x \u003d - c a.

Wir fassen alle Begründung darüber zusammen.

Definition 6.

Unvollständige quadratische Gleichung. a · x 2 + c \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d - ca, was:

• wird keine Wurzeln haben, wenn - c a< 0 ;
• es gibt zwei Wurzeln x \u003d - C A und X \u003d - C A mit - C A\u003e 0.

Wir geben Beispiele, um Gleichungen zu lösen a · x 2 + c \u003d 0.

Beispiel 3.

Die quadratische Gleichung ist angegeben 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Es ist notwendig, seine Entscheidung zu finden.

Entscheidung

Wir übertragen ein freies Mitglied mit dem rechten Teil der Gleichung, dann wird die Gleichung das Formular annehmen 9 · x 2 \u003d - 7.
Wir teilen beide Teile der erhaltenen Gleichung auf 9 , komm zu x 2 \u003d - 7 9. Im rechten Teil sehen wir eine Zahl mit einem Minuszeichen, was bedeutet: Die angegebene Gleichung hat keine Wurzeln. Dann die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Wird keine Wurzeln haben.

Antworten: Die gleichung 9 · x 2 + 7 \u003d 0es hat keine Wurzeln.

Beispiel 4.

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen - x 2 + 36 \u003d 0.

Entscheidung

Wir bewegen uns 36 auf die rechte Seite: - x 2 \u003d - 36.
Wir teilen beide Teile auf − 1 , erhalten x 2 \u003d 36. Im rechten Teil - eine positive Zahl, von hier aus können wir das abschließen x \u003d 36 oder X \u003d - 36.
Entfernen Sie die Wurzel und notieren Sie das Endergebnis: eine unvollständige quadratische Gleichung - x 2 + 36 \u003d 0 Es hat zwei Wurzeln x \u003d 6. oder x \u003d - 6.

Antworten: x \u003d 6. oder x \u003d - 6.

Lösung der Gleichung A · x 2 + B · x \u003d 0

Wir werden die dritte Art von unvollständigen quadratischen Gleichungen untersuchen, wenn C \u003d 0.. Eine Entscheidung einer unvollständigen quadratischen Gleichung zu finden A · x 2 + B · x \u003d 0, Verwenden wir die Methode der Zersetzung auf Multiplikatoren. Verbreiten Sie auf Multiplizierern des Polynoms, das sich im linken Teil der Gleichung befindet, indem er einen allgemeinen Multiplizierer für Klammern erstellt X.. Dieser Schritt bietet die Möglichkeit, die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung in das Äquivalent umzuwandeln x · (a · x + b) \u003d 0. Und diese Gleichung entspricht wiederum der Gesamtheit der Gleichungen x \u003d 0. und A · x + b \u003d 0. Die gleichung A · x + b \u003d 0 Linear und seine Wurzel: x \u003d - B a.

Definition 7.

Somit eine unvollständige quadratische Gleichung A · x 2 + B · x \u003d 0 wird zwei Wurzeln haben x \u003d 0. und x \u003d - B a.

Befestigen Sie das Material mit einem Beispiel.

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Lösung der Gleichung 2 3 × 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 zu finden.

Entscheidung

Lass uns führen X. Für Klammern und Gleichsetzung x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Diese Gleichung entspricht den Gleichungen x \u003d 0. und 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Nun ist es notwendig, die resultierende lineare Gleichung zu lösen: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Lösen Sie kurz die Gleichung, um diese Weise zu schreiben:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 oder 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 oder x \u003d 3 3 7

Antworten: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminierende, die Wurzelformel der quadratischen Gleichung

Um eine Lösung von quadratischen Gleichungen zu finden, gibt es eine Formel für Wurzeln:

Definition 8.

x \u003d - B ± D 2 · A wo D \u003d b 2 - 4 · a · c - die sogenannte Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Aufnahme x \u003d - B ± D 2 · A im Wesentlichen bedeutet, dass x 1 \u003d - B + D 2 · a, x 2 \u003d - B - D 2 · a.

Es ist nützlich, zu verstehen, wie die angegebene Formel abgeleitet wurde und wie Sie es anwenden.

Die Ausgabe der Wurzeln der quadratischen Gleichung

Lassen Sie uns herausgefordert werden, die quadratische Gleichung zu lösen A · x 2 + B · x + c \u003d 0. Führen Sie eine Anzahl äquivalenter Transformationen durch:

• wir teilen beide Teile der Gleichung für die Nummer auf eIN.Anders als Null erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung: x 2 + B a · x + c a \u003d 0;
• wir markieren den vollen Platz auf der linken Seite der empfangenen Gleichung:
  X 2 + BA · X + CA \u003d X 2 + 2 · B 2 · A · X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA \u003d X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA .
  Danach wird die Gleichung das Formular annehmen: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C a \u003d 0;
• nun ist es möglich, die Übertragung der letzten beiden Begriffe in die rechte Seite vorzunehmen, wodurch das Zeichen auf das Gegenteil wechselt, wonach wir erhalten: X + B 2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
• schließlich transformieren wir den auf der rechten Seite der letzten Gleichstellung aufgezeichneten Ausdrucks:
  B 2 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Somit kamen wir zur Gleichung X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, äquivalente Quellengleichung A · x 2 + B · x + c \u003d 0.

Wir haben die Lösung solcher Gleichungen in den vorhergehenden Absätzen verstanden (Entscheidung unvollständiger eckiger Gleichungen). Die gewonnenen Erfahrungen ermöglichen es, um die Wurzeln der Gleichung X + B 2 · a 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:

• bei B 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• für B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0 hat die Gleichung das Formular X + B 2 · a 2 \u003d 0, dann x + b 2 · a \u003d 0.

Daher ist der einzige Wurzel X \u003d - B 2 · A offensichtlich;

• für B 2 - 4 · A · C 4 · A 2\u003e 0 ist es korrekt: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 oder X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, das gleich ist wie x + - B 2 · a \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 oder X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, d. H. Die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Es ist möglich zu schließen, dass das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der Gleichung X + B 2 · a 2 \u003d B 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (und damit die anfängliche Gleichung) von dem Zeichen des Ausdrucks B abhängt 2 - 4 · A · C 4 · A 2, auf der rechten Seite aufgezeichnet. Und das Zeichen dieses Ausdrucks wird von der Nummer des Zählers (Nenner 4 · A 2 wird immer positiv sein), das heißt, ein Zeichen des Ausdrucks B 2 - 4 · A · c. Dieser Ausdruck B 2 - 4 · A · c Der Name ist die Diskriminante einer quadratischen Evakuierung und ist als ihre Bezeichnung des Buchstabens D definiert. Hier können Sie die Essenz der Diskrimination aufzeichnen - um seinen Wert aufnehmen, und das Zeichen wird abgeschlossen, ob die quadratische Gleichung gültige Wurzeln hat, und wenn dies der Fall ist, was ist die Anzahl der Wurzeln - ein oder zwei.

Rückkehr in die Gleichung X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2. Ich schreibe es mit der diskriminanten Bezeichnung um: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Wir werden wieder Schlussfolgerungen formulieren:

Definition 9.

• zum D.< 0 Die Gleichung hat keine gültigen Wurzeln;
• zum D \u003d 0. Die Gleichung hat den einzigen Wurzel x \u003d - b 2 · a;
• zum D\u003e 0. Die Gleichung hat zwei Wurzeln: x \u003d - B 2 · A + D 4 · A 2 oder X \u003d - B 2 · A - D 4 · A 2. Diese Wurzeln basierend auf den Eigenschaften der Radikale können in das Formular geschrieben werden: x \u003d - B 2 · A + D 2 · A oder - B 2 · A - D 2 · a. Und wenn wir die Module offenbaren und den Fraktionen dem gemeinsamen Nenner geben, erhalten wir: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · a.

Somit war das Ergebnis unserer Argumentation die Entfernung der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, Diskriminiermittel D. Berechnet durch Formel. D \u003d b 2 - 4 · a · c.

Diese Formeln ermöglichen es, wenn diskriminiert ist, um beide gültigen Wurzeln zu ermitteln. Wenn das Diskriminant Null ist, ergibt die Verwendung beider Formeln die gleiche Wurzel wie die alleinige Lösung der quadratischen Gleichung. Wenn das Diskriminierungsmittel negativ ist, versucht, die Wurzelformel der quadratischen Gleichung zu verwenden, stehen wir der Notwendigkeit, die Quadratwurzel von der negativen Zahl zu entfernen, die uns über die tatsächlichen Zahlen hinaus führt. Mit einem negativen Diskriminierungsmittels ist die quadratische Gleichung nicht gültige Wurzeln, sondern ein Paar umfassend konjugierender Wurzeln, die von den gleichen Wurzelformeln bestimmt werden, die von uns erhalten werden, sind möglich.

Algorithmus zum Lösen von quadratischen Gleichungen auf Wurzelformeln

Es ist möglich, die quadratische Gleichung zu lösen, die sofort die Formel der Wurzeln radeln, aber im Grunde tun sie ggf. komplexe Wurzeln.

In der Hauptmasse der Fälle wird es normalerweise für die Suche nach nicht komplexen, aber gültigen Wurzeln der eckigen Gleichung impliziert. Dann bestimmen Sie dann optimal, bevor Sie die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden, zunächst das Diskriminiermittel ermitteln und nicht negativ sein (andernfalls schließen wir, dass die Gleichung keine gültigen Wurzeln hat) und dann den Wurzelwert berechnen.

Die obigen Argumente bieten die Fähigkeit, einen Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung zu formulieren.

Definition 10.

Um eine quadratische Gleichung zu lösen A · x 2 + B · x + c \u003d 0, es ist notwendig:

• nach der Formel D \u003d b 2 - 4 · a · c Finden Sie den Wert des Diskriminanten;
• mit D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• bei d \u003d 0 finden Sie die einzige Wurzel der Gleichung gemäß der Formel x \u003d - B 2 · a;
• für d\u003e 0 bestimmen Sie die zwei gültigen Wurzeln der eckigen Gleichung gemäß der Formel X \u003d - B ± D 2 · a.

Beachten Sie, dass Sie, wenn die Diskriminanz Null ist, die Formel X \u003d - B ± D 2 · A verwenden können, ergibt sich das gleiche Ergebnis wie die Formel X \u003d - B 2 · a.

Beispiele in Betracht ziehen.

Beispiele für Lösungen von quadratischen Gleichungen

Wir präsentieren die Lösung von Beispielen mit unterschiedlichen Werten des Diskriminierungsmittels.

Beispiel 6.

Es ist notwendig, die Wurzeln der Gleichung zu finden x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Entscheidung

Wir schreiben die Zahlenkoeffizienten der eckigen Gleichung: a \u003d 1, b \u003d 2 und C \u003d - 6. Als nächstes handeln wir auf den Algorithmus, d. H. Wir werden die Diskriminanz berechnen, für die wir die Koeffizienten A, B ersetzen werden und C. In der Formel des Diskriminanten: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Also haben wir d\u003e 0 erhalten, was bedeutet, dass die anfängliche Gleichung zwei gültige Wurzeln aufweist.
Um sie zu finden, verwenden wir die Wurzelformel x \u003d - B ± D 2 · A und ersetzt die entsprechenden Werte, wir erhalten: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Wir vereinfachen den resultierenden Ausdruck und machen einen Multiplizierer für das Wurzelzeichen, gefolgt von dem Schneiden der Fraktion:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 oder x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 oder x \u003d - 1 - 7

Antworten: X \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Beispiel 7.

Es ist notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Entscheidung

Bestimmen Sie die Diskriminante: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Mit diesem diskriminanten Wert hat die anfängliche Gleichung nur eine von der Formel X \u003d B 2 · a definierte Wurzel.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Antworten: x \u003d 3, 5.

Beispiel 8.

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0

Entscheidung

Die numerischen Koeffizienten dieser Gleichung beträgt: a \u003d 5, b \u003d 6 und c \u003d 2. Wir verwenden diese Werte, um ein Diskriminiermittel zu finden: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Das berechnete Diskriminierungsmittel ist negativ, somit hat die anfängliche quadratische Gleichung keine gültigen Wurzeln.

Wenn die Aufgabe darin besteht, komplexe Wurzeln anzugeben, wenden Sie die Root-Formel an, indem Sie Aktionen mit komplexen Zahlen durchführen:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 oder x \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i oder x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Antworten: Es gibt keine gültigen Wurzeln; Komplexe Wurzeln sind wie folgt: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

IM schulprogramm Standardmäßig ist es nicht erforderlich, nach komplexen Wurzeln zu suchen, also, wenn während der Lösung das Diskriminierungsmittel als negativ definiert ist, wird die Antwort sofort aufgezeichnet, dass es keine gültigen Wurzeln gibt.

Formelwurzeln für sogar zweite Koeffizienten

Die Formel der Wurzeln x \u003d - B ± D 2 · A (d \u003d B 2 - 4 · A · c) ermöglicht es, eine andere Formel, kompakter, kompakter, ermöglicht, Lösungen von quadratischen Gleichungen mit einem gleichmäßigen Koeffizienten bei x zu finden (oder mit einem Typ-2-Koeffizienten · N, beispielsweise 2 · 3 oder 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Wir zeigen, wie diese Formel angezeigt wird.

Lassen Sie uns die Aufgabe sein, die Lösung der quadratischen Gleichung A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0 zu finden. Wir handeln auf dem Algorithmus: Bestimmen Sie die Diskriminante d \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c) und verwenden dann die Wurzelformel:

x \u003d - 2 · n ± d 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - N ± N 2 - A · ca.

Lassen Sie den Expression n 2 - a · c als d 1 (manchmal d ") angezeigt. Dann wird die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung unter Berücksichtigung mit dem zweiten Koeffizienten 2 · n das Formular annehmen:

x \u003d - N ± D 1 A, wobei D 1 \u003d N 2 - A · c.

Es ist leicht zu sehen, dass das d \u003d 4 · d 1 oder d 1 \u003d D 4 ist. Mit anderen Worten, d 1 ist ein Viertel der Diskrimination. Es ist offensichtlich, dass das Zeichen D 1 derselbe ist wie das Zeichen d, dh das Zeichen D 1 kann auch als Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der quadratischen Gleichung dienen.

Definition 11.

Um die Lösung der quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 · n zu finden, ist es daher erforderlich:

• finden d 1 \u003d n 2 - a · c;
• mit d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• bestimmen Sie für d 1 \u003d 0 die einzige Wurzel der Gleichung gemäß der Formel x \u003d - n a;
• für D 1\u003e 0 bestimmen Sie die beiden gültigen Wurzeln gemäß der Formel X \u003d - N ± D 1 A.

Beispiel 9.

Es ist notwendig, die quadratische Gleichung 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0 zu lösen.

Entscheidung

Der zweite Koeffizient der angegebenen Gleichung kann als 2 · (3) dargestellt werden. Schreiben Sie dann die angegebene quadratische Gleichung als 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, wobei a \u003d 5, n \u003d - 3 und c \u003d - 32.

Wir berechnen den vierten Teil des Diskriminierungsmittels: D 1 \u003d N 2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Der positiv erhaltene Wert bedeutet dies, dass die Gleichung zwei gültige Wurzeln aufweist. Wir definieren sie entsprechend der entsprechenden Wurzelformel:

x \u003d - N ± D 1 A, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 oder x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 oder x \u003d - 2

Es wäre möglich, Berechnungen und durch die übliche Formel der Wurzeln der eckigen Gleichung vorzunehmen, aber in diesem Fall wäre die Lösung umständlicher.

Antworten: x \u003d 3 1 5 oder x \u003d - 2.

Vereinfachung der Arten von quadratischen Gleichungen

Manchmal ist es möglich, die Art der Quellgleichung zu optimieren, was den Prozess der Berechnung der Wurzeln vereinfacht.

Beispielsweise ist eine quadratische Gleichung 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 eindeutig bequemer für die Lösung von als 1200 × 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Häufiger wird die Vereinfachung der Spezies der quadratischen Gleichung durch die Multiplikation oder Abteilung seiner beiden Teile in eine Art Anzahl durchgeführt. Zum Beispiel zeigten wir eine vereinfachte Aufzeichnung der Gleichung 1200 · x 2 bis 400 · x - 700 \u003d 0, erhalten durch Teilen beider Teilen um 100.

Eine solche Umwandlung ist möglich, wenn die Koeffizienten der quadratischen Gleichung nicht miteinander einfache Zahlen sind. Dann teilen sich in der Regel beide Teile der Gleichung auf den größten gemeinsamen Divisor von absoluten Werten seiner Koeffizienten.

Verwenden Sie als Beispiel eine quadratische Gleichung 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Wir definieren den Knoten der absoluten Werte seiner Koeffizienten: Knoten (12, 42, 48) \u003d Knoten (Knoten (12, 42), 48) \u003d Knoten (6, 48) \u003d 6. Wir teilen die beiden Teile der ursprünglichen quadratischen Gleichung auf 6 und wir erhalten die äquivalente quadratische Gleichung 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Die Multiplikation beider Teile der quadratischen Gleichung erfolgt in der Regel fraktionierte Koeffizienten. Gleichzeitig mit dem kleinsten allgemeinen allgemeinen nennor seiner Koeffizienten multipliziert. Wenn zum Beispiel jeder Teil der quadratischen Gleichung 1 6 × 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 ist, multiplizieren Sie vom NOC (6, 3, 1) \u003d 6, dann wird es in einem einfacheren Form X 2 aufgezeichnet + 4 · x - 18 \u003d 0.

Schließlich beachten wir, dass das Minus fast immer mit dem ersten Koeffizienten der quadratischen Gleichung beseitigt wird, wodurch die Anzeichen jedes Mitglieds der Gleichung geändert werden, das durch Multiplizieren (oder Abteilungen) beider Teile von 1 erreicht wird. Beispielsweise können Sie von einer quadratischen Gleichung - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0 in seine vereinfachte Version 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0 gehen.

Kommunikation zwischen Wurzeln und Koeffizienten

Die Formel der Wurzeln von quadratischen Gleichungen X \u003d - B ± D 2 · A, das uns bereits bekannt ist, drückt die Wurzeln der Gleichung durch seine numerischen Koeffizienten aus. Wir haben uns auf diese Formel, wir haben die Möglichkeit, andere Abhängigkeiten zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten einzustellen.

Die berühmtesten und anwendbaren sind die Formeln des Vieta-Satzes:

x 1 + x 2 \u003d - B A und X 2 \u003d C a.

Insbesondere für die reduzierte quadratische Gleichung ist die Menge der Wurzeln der zweite Koeffizient mit dem gegenüberliegenden Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist kostenlos. Zum Beispiel ist es beispielsweise gemäß der Spezies der quadratischen Gleichung 3 · x 2 bis 7 · x + 22 \u003d 0 möglich, sofort zu bestimmen, dass die Summe seiner Wurzeln 7 3 beträgt, und das Produkt der Wurzeln ist 22 3.

Sie können auch eine Reihe anderer Verbindungen zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten der eckigen Gleichung finden. Zum Beispiel kann die Summe der Quadrate der Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Koeffizienten ausgedrückt werden:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - BA 2 - 2 · ca \u003d B 2 A 2 - 2 · ca \u003d B 2 - 2 · A · ca 2

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, wählen Sie es aus und drücken Sie STRG + ENTER

Mit diesem mathematischen Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwortaufgabe an, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- Mit Hilfe von diskriminierenden
- Verwenden des Vieta-Satzes (falls möglich).

Darüber hinaus wird die Antwort genau ausgegeben, nicht ungefähr.
Zum Beispiel für die Gleichung \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) wird die Antwort in diesem Formular ausgegeben:

$$ X_1 \u003d \\ frac (81 \\ sqrt (145)) (81), \\ Quad x_2 \u003d \\ frac (8-1 \\ sqrt (145)) (81) $$ und nicht dabei: \\ (x_1 \u003d 0,247 ; \\ Quad x_2 \u003d -05 \\)

Dieses Programm kann für Studierende von High Schools of General Education Schools nützlich sein, wenn Sie auf Tests und Prüfungen vorbereiten, wenn Sie das Wissen vor der Prüfung überprüfen, Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu überwachen. Oder vielleicht sind Sie zu teuer, um einen Tutor einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie nur Ihre Hausaufgaben in Mathematik oder Algebra wie möglich machen? In diesem Fall können Sie unsere Programme auch mit einer detaillierten Lösung verwenden.

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Wenn Sie mit den Regeln der Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich mit ihnen vertraut zu machen.

Square Polynom-Eingangsregeln

Als Variable kann ein beliebiger lateinischer Brief sein.
Zum Beispiel: \\ (X, Y, Z, A, B, C, O, P, Q \\) usw.

Zahlen können ganz oder fraktioniert betreten.
Darüber hinaus können fraktionale Zahlen nicht nur in Form einer Dezimalstelle verabreicht werden, sondern auch in Form einer gewöhnlichen Fraktion.

Die Regeln für die Eingabe von Dezimalfraktionen.
In Dezimalfraktionen kann der fraktionierte Teil des Ganzen als Punkt und Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalfraktionen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regeln für die Eingabe von gewöhnlichen Fraktionen.
Nur eine Ganzzahl kann als Zähler, Nenner und ein ganzer Teil der Fraktion dienen.

Der Nenner kann nicht negativ sein.

Beim Eintritt in eine numerische Fraktion trennt sich der Numerator vom Nenner an das Spaltzeichen: /
Das gesamte Teil ist vom Frarat-Ampersandzeichen getrennt: &
Eingabe: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1/7z ^ 2
Ergebnis: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

Beim Betreten des Ausdrucks sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen der quadratischen Gleichung der eingegebene Expression zuerst vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2 (y - 1) (y + 1) - (5Y-10 & 1/2)

=0

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Ein bisschen Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen.

Jede der Gleichungen
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ Quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ Quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
Hat Aussehen
\\ (AX ^ 2 + BX + C \u003d 0, \\)
wobei x Variable, A, B- und C-Zahlen ist.
In der ersten Gleichung A \u003d -1, B \u003d 6 und C \u003d 1,4, in der zweiten A \u003d 8, B \u003d -7 und C \u003d 0, in der dritten a \u003d 1, b \u003d 0 und c \u003d 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen..

Definition.
Quadratische Gleichung. Die Gleichung der Form AX 2 + BX + C \u003d 0, wobei X die Variable, A, B und C einige Zahlen sind, und \\ (A \\ neq 0 \\).

Die Zahlen A, B und C sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl A wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl B ist der zweite Koeffizient und die Zahl C - ein freies Element.

In jedem der Gleichungen der Form AX 2 + BX + C \u003d 0, wobei \\ (a \\ neq 0 \\) der größte Grad des variablen X-Quadrats ist. Daher der Name: Square Gleichung.

Beachten Sie, dass die quadratische Gleichung auch als Gleichung des zweiten Grades bezeichnet wird, da sein linkes Teil ein Polynom der zweiten Grad hat.

Quadratische Gleichung, in dem der Koeffizient bei X 2 1 ist, genannt gegebene quadratische Gleichung. Beispielsweise sind gegebene quadratische Gleichungen Gleichungen
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ Quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ Quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Wenn in der quadratischen Gleichung Axt 2 + BX + C \u003d 0, mindestens einer der Koeffizienten B oder C Null ist, wird eine solche Gleichung genannt unvollständige quadratische Gleichung.. So sind die Gleichungen -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 unvollständige quadratische Gleichungen. In dem ersten von ihnen b \u003d 0, in der zweiten c \u003d 0, im dritten b \u003d 0 und c \u003d 0.

Unvollständige quadratische Gleichungen sind drei Arten:
1) AX 2 + C \u003d 0, wobei \\ (c \\ neq 0 \\);
2) AX 2 + BX \u003d 0, wobei \\ (b \\ neq 0 \\);
3) AX 2 \u003d 0.

Betrachten Sie die Lösung der Gleichungen jeder dieser Spezies.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form Axt 2 + C \u003d 0 zu lösen, wird es mit \\ (c \\ neq 0 \\) mit \\ (c \\ neq 0 \\) in das freie Element in die rechte Seite übertragen und werden beide Teile der Gleichung auf A:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ rightarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Seit \\ (c \\ neq 0 \\), dann \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Wenn \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn \\ (- \\ frac (c) (a), um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form AX 2 + BX \u003d 0 zu lösen, mit \\ (b \\ neq 0 \\), die ihren linken Teil an Multiplikatoren ablehnen und die Gleichung erhalten
\\ (X (AX + B) \u003d 0 \\ Rightsarrow \\ Links \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ AX + B \u003d 0 \\ END (ARRAY) \\ RECHTS. \\ RightArrow \\ Links \\ (\\ Beginnen (Array) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (array) \\ RECHTS. \\)

So hat eine unvollständige quadratische Gleichung der Form AX 2 + BX \u003d 0 mit \\ (b \\ neq 0 \\) immer zwei Wurzeln.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form AX 2 \u003d 0 ist der Gleichung x 2 \u003d 0 äquivalent und hat daher den einzigen Wurzel 0.

Quadratgleichungswurzelformel

Berücksichtigen Sie nun, wie die quadratischen Gleichungen lösen, in denen beide Koeffizienten mit unbekanntem und freiem Mitglied von Null abweichen.

SPUMMEN-Square-Gleichung in allgemeines Und als Ergebnis erhalten wir die Wurzelformel. Dann kann diese Formel beim Lösen einer beliebigen quadratischen Gleichung verwendet werden.

RESSTER SQUARE EQUATION AX 2 + BX + C \u003d 0

Trennen Sie beide Teile davon auf A, erzielen wir das Äquivalent der dargestellten quadratischen Gleichung
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Wir transformieren diese Gleichung, wodurch das Quadrat des Aufpralls hervorhebt:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ links (\\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2- \\ links (\\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ rightarrow \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ links (\\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 \u003d \\ links (\\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 - \\ frac (c) (a) \\ rightarrow \\) \\ (\\ Links (x + \\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \\ frac (c) (a) \\ RightArrow \\ Left (x + \\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \\ rightarrow \\) \\ (x + \\ Frac (b) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \\ rightarrow x \u003d - \\ frac (b) (2a) + \\ frac (\\ pm \\ sqrt ( B ^ 2 -4AC)) (2a) \\ Rightarrow \\) \\ (x \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (B ^ 2-4AC)) (2a) \\)

Der geführte Ausdruck wird aufgerufen diskriminante quadratische Gleichung. AX 2 + BX + C \u003d 0 ("diskriminierend" in Latein ist ein Bescheider). Es ist vom Buchstaben D bezeichnet, d. H.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Umschreiben Sie nun mit der Bezeichnung des Diskriminanten die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung:
\\ (X_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (d)) (2a) \\), wobei \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)

Es ist klar, dass:
1) Wenn d\u003e 0, hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn d \u003d 0 ist, weist die quadratische Gleichung eine Wurzel \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\) auf.
3) Wenn d dadurch ist, je nach dem diskriminanten Wert, kann die quadratische Gleichung zwei Wurzeln (mit d\u003e 0), eine Wurzel (bei d \u003d 0) aufweisen oder nicht, um Wurzeln (mit d, bei der Lösung der quadratischen Gleichung für Diese Formel ist ratsam, auf folgende Weise anzuwenden:
1) Berechnen Sie das Diskriminant und vergleichen Sie es mit Null;
2) Wenn das Diskriminierungsmittel positiv oder gleich Null ist, dann verwenden Sie die Wurzelformel, wenn das Diskriminierungsmittel negativ ist, dann die Wurzeln aufschreiben.

Vieta Theorem.

Die dargestellte quadratische Gleichung Axt 2 -7x + 10 \u003d 0 hat Wurzeln 2 und 5. Die Menge der Wurzeln beträgt 7, und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Menge der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, der mit dem Gegenteil entnommen wird Zeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich einem kostenlosen Mitglied. Eine solche Eigenschaft hat eine gegebene quadratische Gleichung mit einer Wurzel.

Die Summe der Wurzeln der dargestellten quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, der mit dem gegenüberliegenden Vorzeichen aufgenommen wurde, und das Produkt der Wurzeln ist gleich einem freien Element.

Jene. Der Vieta-Theorem argumentiert, dass die Wurzeln des X 1 und X 2 der angegebenen quadratischen Gleichung x 2 + px + q \u003d 0 eine Eigenschaft haben:
\\ (\\ Links \\ (\\ Start (Anschluss) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (Array) \\ RECHTS. \\)

Yakupova M.I. 1

Smirnova yu.v. einer

1 Municipal Budgetary Educational Instituts-Sekundarschule № 11

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln platziert.
Vollversion Funktioniert in der Registerkarte "Arbeitsdateien" im PDF-Format

Die Geschichte der eckigen Gleichungen

Babylon

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur in den ersten Grad zu lösen, sondern auch die zweite in der Antike, sondern auch durch die Notwendigkeit, Probleme im Zusammenhang mit dem Bereich der Landplots, mit der Entwicklung von Astronomie und Mathematiken selbst zu lösen. Quadratische Gleichungen Buchstabiert, um ungefähr 2.000 Jahre zu lösen. e. Babylonisch. Die Regeln zur Lösung dieser in den babylonischen Texten festgelegten Gleichungen fällt im Wesentlichen mit modernem, aber in diesen Texten gibt es kein Konzept einer negativen Anzahl und allgemeinen Methoden zur Lösung von quadratischen Gleichungen.

Antike Griechenland

Die Lösung von quadratischen Gleichungen war in eingesetzt Antike Griechenland Solche Wissenschaftler mögen Diofant, Euclidean und Geron. Diophant Diofant Alexandria ist ein alter griechischer Mathematiker, der im dritten Jahrhundert unserer Ära vermutlich gelebt hat. Die Hauptarbeit von Diophanta ist in 13 Büchern "Arithmetik". Euklid. Euclidean-alter griechischer Mathematiker, der Autor der ersten theoretischen Abhandlungen der Mathematik von Geron, die zu uns kamen. Gereon - Griechischer Mathematiker und Ingenieur zum ersten Mal in Griechenland in der Republik I. Jahrhundert gibt ein rein algebraisches Verfahren zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Indien

Die Herausforderungen pro quadratischen Gleichungen befinden sich bereits in der astronomischen Abhandlung "ARIABHAHATYAM", die in 499 zusammengestellt wurde. Indischer Mathematiker und Astronom Ariahhatta. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (VII Jahrhundert), skizzierte die allgemeine Regel der Lösung der quadratischen Gleichungen, die einer einzelnen kanonischen Form gegeben wurden: AX2 + BX \u003d C, A\u003e 0 (1) in Gleichung (1) -koeffizienten kann negativ sein. Die Brahmagupta-Regel überfällt im Wesentlichen mit unserem. In Indien wurden öffentliche Wettbewerbe in der Lösung schwieriger Aufgaben verteilt. In einem der alten indischen Bücher wird es über solche Wettkämpfe wie folgt gesagt: "Da die Sonne mit seinen eigenen Überschatten glänzt, ist der Wissenschaftler mit Volkskollektionen überschattet, die algebraische Aufgaben anbieten und lösen." Die Aufgaben werden oft in einer poetischen Form genossen.

Hier ist eine der Aufgaben der berühmten indischen Mathematik XII. Jahrhundert. Bhaskara.

"Studieren Sie Strut Affen

Und zwölf auf Lianam zum schlimmsten, Spaß haben

Begann mit dem Hängen zu springen

Sie befinden sich im quadratischen Teil des achten

Wie viele Affen waren,

In der Glade wurde amüsiert

Sagst du mir in diesem Stack? "

Die Entscheidung von Bhaskara zeugt, dass der Autor über das Zwei-Tagging der Wurzeln von eckigen Gleichungen wusste. Die entsprechende Aufgabe Die Bhaskar-Gleichung schreibt unter der Guise von X2 - 64X \u003d - 768 und ergänzt die linke Seite dieser Gleichung an das Quadrat, fügt beide Teile 322 hinzu, ergänzt: X2 - B4x + 322 \u003d -768 + 1024 ( x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

Square Gleichungen in Europa XVII Jahrhundert

Die Formeln zum Lösen der quadratischen Gleichungen für den Al-Khorezmi in Europa wurden erstmals im "Buch von Abaka" festgelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci geschrieben wurde. Diese gründliche Arbeit, die den Einfluss der Mathematik, beider Länder des Islam als auch den antiken Griechenland widerspiegelt, zeichnet sich durch Vollständigkeit und Klarheit der Präsentation aus. Der Autor entwickelte unabhängig einige neue algebraische Beispiele für das Lösen von Problemen und der erste in Europa näherte sich der Einführung negativer Zahlen. Sein Buch förderte die Verbreitung algebraisches Wissen nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern. Viele Herausforderungen des "Abaka-Buches" bestanden fast alle europäischen Lehrbücher XVI-XVII-Jahrhunderte. und teilweise XVIII. Die Leistung der Formel der Lösung der quadratischen Gleichung im Allgemeinen ist in Vieta erhältlich, aber Viet erkannte nur positive Wurzeln. Italienische Mathematiker Tartalia, Kardano, Bombely unter den ersten im 13. Jahrhundert. Gegeben, zusätzlich zu positiver und negativer Wurzeln. Nur im XVII Jahrhundert. Aufgrund der Arbeit von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern nimmt die Methode der Lösen von quadratischen Gleichungen ein modernes Erscheinungsbild.

Definition einer quadratischen Gleichung

Die Gleichung der Form AX 2 + BX + C \u003d 0, wobei A, B, C Zahlen ist, genannt Quadrat.

Quadratische Gleichungskoeffizienten

Zahlen A, B, C - Quadratkoeffizienten. Und der erste Koeffizient (vor XX), ein ≠ 0; b ist der zweite Koeffizient (vor x); c ist ein freies Element (ohne x).

Welcher dieser Gleichungen ist nicht quadratisch?

1. 4xqm + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - X² - \u200b\u200b5x - 1 \u003d 0; 4. 2 / x² + 3x + 4 \u003d 0; 5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² \u003d 0;

7. 4xqm + 1 \u003d 0; 8. X² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. X² -16 \u003d 0; 11. 7xqm + 5x \u003d 0; 12. -8x² \u003d 0; 13. 5x³ + 6x -8 \u003d 0.

Arten von quadratischen Gleichungen

Name	Allgemeine Ansicht der Gleichung	Merkmal (welche Koeffizienten)	Beispiele für Gleichungen.
	aX 2 + BX + C \u003d 0	a, B, C - Zahlen außer 0	1/3x 2 + 5x - 1 \u003d 0
Unvollständig
			x 2 - 1/5x \u003d 0
Vorgestellt	x 2 + bx + c \u003d 0		x 2 - 3x + 5 \u003d 0

Die quadratische Gleichung, in der der Senior-Koeffizient einem gleich ist. Eine solche Gleichung kann erhalten werden, indem der gesamte Ausdruck auf den leitenden Koeffizienten geteilt wird eIN:

x. 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a

Vollständig eine solche quadratische Gleichung genannt, von denen alle Koeffizienten von Null unterscheiden.

Unvollständig als eine solche quadratische Gleichung genannt, in der mindestens eine der Koeffizienten zusätzlich zum älteren (oder dem zweiten Koeffizienten oder ein freies Element) Null ist.

Methoden zur Lösen von quadratischen Gleichungen

I Methode. Allgemeine Formel zur Berechnung von Wurzeln

Um die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu finden aXT. 2 + B + C \u003d 0 Im Allgemeinen sollten Sie den Algorithmus unten verwenden:

Berechnen Sie den Wert der Diskrimination der eckigen Gleichung: Dies wird als Ausdruck bezeichnet D \u003d.b. 2 - 4AC.

Die Entfernung der Formel:

Hinweis: Es ist offensichtlich, dass die Formel für die Wurzel der Multiplizität 2 ein Sonderfall einer allgemeinen Formel ist, es sich ausdrückt, wenn er darin ersetzt ist, dass die Gleichheit d \u003d 0 ist, und der Ausgang der Fehlen echter Wurzeln bei D0, A (Displayle ( Sqrt (-1)) \u003d i) \u003d i.

Die skizzierte Methode ist universell, aber es ist weit von der einzigen entfernt. Um eine Gleichung zu lösen, können Sie auf verschiedene Arten angehen, wobei die Präferenzen normalerweise von der entscheidenden abhängig sind. Darüber hinaus ist es oft, dass einige der Wege wesentlich eleganter, einfacher, einfacher zeitaufwendiger als der Standard.

II Weg. Wurzeln einer quadratischen Gleichung an einem gleichmäßigen Koeffizientenb. III. Entscheidung der unvollständigen quadratischen Gleichungen

Iv-Methode. Verwendung von privaten Koeffizientenquoten

Es gibt besondere Fälle von quadratischen Gleichungen, in denen sich die Koeffizienten in den Beziehungen zwischen sich befinden, wodurch sie viel einfacher lösen können.

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung, in der die Summe des leitenden Koeffizienten und des freien Elements gleich dem zweiten Koeffizienten ist

Wenn in der quadratischen Gleichung aXT. 2 + Bx + c \u003d 0 Die Summe des ersten Koeffizienten und des freien Elements ist gleich dem zweiten Koeffizienten: a + B \u003d C, seine Wurzeln sind -1 und die Zahl, die der Beziehung eines freien Elements gegenüber dem älteren Koeffizienten entgegengesetzt ist ( -C / A.).

Bevor Sie vor der Lösung einer quadratischen Gleichung lösen, sollten Sie die Möglichkeit überprüfen, diesen Satz daran zu verwenden: Vergleichen Sie die Summe des leitenden Koeffizienten und des freien Mitglieds mit dem zweiten Koeffizienten.

Wurzeln der quadratischen Gleichung, der Summe aller Volkskoeffizienten ist null

Wenn in der quadratischen Gleichung die Summe aller seiner Koeffizienten Null ist, dann sind die Wurzeln solcher Gleichungen 1 und das Verhältnis eines freien Elements an den älteren Koeffizienten ( c / A.).

Bevor Sie die Gleichung mit Standardmethoden lösen, ist es daher erforderlich, die Anwendbarkeit dieses Satzes zu überprüfen: Um alle Koeffizienten dieser Gleichung zu falten, und sehen Sie, ob es nicht gleich Null ist.

V. Zersetzung des quadratischen Dreifachs an lineare Multiplikatoren

Wenn die versuchte Art (DisplayStyle AX ^ (2) + BX + C (Anot \u003d 0)) AX 2 + BX + C (A ≠ 0)es ist möglich, in irgendeiner Weise als Produkt von linearen Multiplikatoren (DisplayStyle (KX + M) (LX + N) \u003d 0) (KX + M) (LX + N) vorhanden sein können, dann können Sie die Wurzeln der Gleichung finden aXT. 2 + Bx + c \u003d 0 - Sie werden in der Tat -m / k und n / l sein, weil (DisplayStyle (KX + M) (LX + N) \u003d 0LONGGEFTRIGHTARROW KX + M \u003d 0CUP LX + N \u003d 0) (KX + M) (LX + N) \u003d 0 KX + MULX +n und Lösen der angegebenen linearen Gleichungen, erhalten wir das oben beschriebene. Beachten Sie, dass das quadratische Dreifach nicht immer auf linearen Multiplizierern mit gültigen Koeffizienten angelegt ist: Dies ist möglich, wenn die Gleichung entspricht, dass dies gültige Wurzeln ist.

Einige besondere Fälle berücksichtigen

Verwendung der Summe der Summe der Summe (Differenz)

Wenn der Quadrat-Thrasser die Form hat (DisplayStyle (AX) ^ (2) + 2ABX + B ^ (2)) AX 2 + 2ABX + B 2, dann können Sie die benannte Formel anwenden, können wir ihn auf linearen Multiplikatoren abzwiebeln, und Es bedeutet, es Wurzeln zu finden:

(AX) 2 + 2ABX + B 2 \u003d (AX + B) 2

Auswahl eines vollen Quadrats (Unterschied)

Die benannte Formel wird auch verwendet, wobei die Methode verwendet wird, die den Namen "Isolierung eines vollständigen Quadrats (Differenz)" empfangen hat. Mit Bezug auf die angegebene quadratische Gleichung mit zuvor eingegebenen Bezeichnungen bedeutet dies Folgendes:

Hinweis: Wenn Sie festgestellt haben, dass diese Formel mit den in dem Abschnitt "Wurzeln einer bestimmten quadratischen Gleichung vorgeschlagenen" Wurzeln einer bestimmten quadratischen Gleichung "zusammenfällt, die wiederum von der allgemeinen Formel (1) durch Ersetzung der Gleichheit erhalten werden kann a \u003d 1. Diese Tatsache ist nicht nur ein Zufall: Das beschriebene Verfahren, das jedoch einige zusätzliche Argumente, kann auch die allgemeine Formel abheben und die Eigenschaften des Diskriminanten nachweisen.

Vi Weg. Mit direktem und umgekehrter Vieta-Satz

Der Direct Wine theorem (siehe unten in dem gleichnamigen Abschnitt), und der theorem ist invers darauf, dass Sie die oben genannten quadratischen Gleichungen oral lösen, ohne auf ausreichend sperrige Berechnungen gemäß der Formel (1) zurückzugreifen.

Gemäß dem umgekehrten Satz, ein beliebiges Zahlenpaar (Nummer) (DisplayStyle X_ (1), X_ (2)) x 1, X 2, wobei die Lösung unterhalb des Gleichungssystems ist, sind Wurzeln der Gleichung

Im Allgemeinen ist das für eine unnustelle quadratische Gleichung Axt 2 + BX + C \u003d 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Die Wahl der üblichen Nummern, die diese Gleichungen erfüllen, helfen den lenkenden Theorem. Damit können Sie die Anzeichen der Wurzeln definieren, die die Wurzeln nicht selbst kennen. Dazu werden Sie von der Regel geführt werden:

1) Wenn das freie Element negativ ist, haben die Wurzeln ein anderes Vorzeichen, und das größte Modul von den Wurzeln ist das Zeichen gegenüber dem Vorzeichen des zweiten Koeffizienten der Gleichung;

2) Wenn ein freies Mitglied positiv ist, haben beide Wurzel das gleiche Zeichen, und dies ist ein Zeichen gegenüber dem Vorzeichen des zweiten Koeffizienten.

VII. Methode "Reduzieren"

Das sogenannte "Transit" -Methild ermöglicht es, die Lösung der beabsichtigten und unpassierbaren Temperatur der Art ihrer Abteilung an den älteren Gleichungskoeffizienten der Gleichungen zu reduzieren, um die mit den gesamten Koeffizienten angegebenen Lösungen zu lösen. Es ist wie folgt:

Ferner wird die Gleichung in der Methode oral gelöst, und kehrt dann in die ursprüngliche Variable zurück und findet die Wurzeln der Gleichungen (DisplayStyle y_ (1) \u003d AX_ (1)) y. 1 \u003d Axt 1 und y. 2 \u003d Axt 2 . (DisplayStyle y_ (2) \u003d AX_ (2))

Geometrische Bedeutung.

Das Diagramm der quadratischen Funktion ist Parabola. Lösungen (Wurzeln) der eckigen Gleichung werden mit der Abszisse-Achse Abszwürfen der Punkte des Kreuzungsparabolas bezeichnet. Wenn die durch eine quadratische Funktion beschriebene Parabola mit der Abszisse-Achse nicht schneidet, hat die Gleichung keine echten Wurzeln. Wenn Parabola an einem Punkt mit einer Abszisse-Achse (an der Spitze der Parabola) schneidet, hat die Gleichung eine echte Wurzel (sagt auch, dass die Gleichung zwei zusammenfällige Wurzel hat). Wenn Parabola die Abszisse-Achse in zwei Punkten kreuzt, hat die Gleichung zwei echte Wurzeln (siehe das Bild rechts).)

Wenn der Koeffizient (DisplayStyle A) eIN. Positive, Parabola-Zweige werden auf und im Gegenteil gerichtet. Wenn der Koeffizient. Displaystyle b)bENCHING (mit positivem (Displaystyle A) eIN., mit einem negativen im Gegenteil), liegt die Oberseite der Parabola in der linken Halbebene und umgekehrt.

Die Verwendung von quadratischen Gleichungen im Leben

Die quadratische Gleichung ist weit verbreitet. Es wird in vielen Berechnungen, Strukturen, Sports sowie um uns herum verwendet.

Betrachten und präsentieren Sie einige Beispiele für die Anwendung der quadratischen Gleichung.

Sport. Jumping in der Höhe: Wenn Sie einen Jumper für den maximal klaren Schlagen auf den Abstoßung und des hohen Flugplans laufen, werden die mit Parabola verbundenen Berechnungen verwendet.

Auch diese Berechnungen sind beim Wurf erforderlich. Der Bereich des Objekts hängt von der quadratischen Gleichung ab.

Astronomie. Die Bewegungsbahn der Planeten kann mit einer quadratischen Gleichung gefunden werden.

Fliegende Flugzeuge. Nehmen Sie das Flugzeug die Hauptkomponente des Fluges ab. Es erfolgt eine Berechnung für kleine Beständigkeit und Beschleunigung des Starts.

Es werden auch quadratische Gleichungen in verschiedenen wirtschaftlichen Disziplinen verwendet, in Programmen für Soundverarbeitung, Video-, Vektor- und Rastergrafiken.

Fazit

Infolge der geleisteten Arbeit stellte sich heraus, dass die quadratischen Gleichungen die Wissenschaftler in der Antike anziehen, sie hatten sie bereits angetroffen, wenn sie einige Aufgaben lösen und versuchten, sie zu lösen. In Anbetracht der verschiedenen Wege, um eckige Gleichungen zu lösen, kam ich zu dem Schluss, dass nicht alle einfach sind. Meiner Meinung nach am meisten bester Weg Lösungen von eckigen Gleichungen sind eine Lösung durch Formeln. Formeln lassen sich leicht erinnern, diese Methode ist universell. Die Hypothese, in der die Gleichungen in Leben und Mathematik verbreitet sind, bestätigt. Nachdem ich das Thema studiert hatte, habe ich viel gelernt interessante Fakten Auf eckigen Gleichungen, ihrer Verwendung, Anwendung, Art, Lösungen. Und ich werde froh sein, sie weiter zu lernen. Ich hoffe, dass mir das helfen wird, die Prüfungen zu bestehen.

Liste der gebrauchte Literatur

Website-Materialien:

Wikipedia.

Offene Lektion.rf.rf.

Verzeichnis der elementaren Mathematik profitabel m. ya.

Quadratische Gleichungen. Allgemeine Informationen.

IM quadratische Gleichung. Es muss auf dem Platz vorhanden sein (deshalb heißt es

"Quadrat"). Außer ihm kann in der Gleichung (und dürfen nicht sein!) Einfach x (im ersten Grad) und

nur Nummer (kOSTENLOSER DICK.). Und es sollte keine IKS bis zu einem Abschluss geben, mehr zwei.

Algebraische Gleichung der allgemeinen Form.

wo x. - freie Variable, eIN., b., c. - Koeffizienten und eIN.≠0 .

beispielsweise:

Ausdruck Anruf quadratische Frühringen..

Elemente der quadratischen Gleichung haben ihre eigenen Namen:

· Rufen Sie den ersten oder leitenden Koeffizienten an,

· Rufen Sie den zweiten oder den Koeffizienten an, wann

· Rufen Sie das kostenlose Mitglied an.

Vollständige quadratische Gleichung.

In diesen quadratischen Gleichungen gibt es links ein kompletter Satz von Mitgliedern. X Square mit

koeffizient aber, X im ersten Grad mit dem Koeffizienten b. und kostenlos mitglied von. IMcE-Koeffizienten

muss von Null abweichen.

Unvollständig Es heißt eine solche quadratische Gleichung, in der mindestens eine der Koeffizienten außer

senior (entweder der zweite Koeffizient oder ein freies Mitglied) ist Null.

Lass uns so tun b. \u003d 0, - der erste Grad wird verschwinden. Es stellt sich heraus, zum Beispiel:

2x 2 -6x \u003d 0,

Usw. Und wenn beide Koeffizienten sind b. und c. gleich Null, es ist immer noch einfacher, z.B:

2x 2 \u003d 0,

Bitte beachten Sie, dass X in allen Gleichungen im Platz vorhanden ist.

Warum aber Kann nicht null sein? Dann verschwindet der IX im Quadrat und die Gleichung wird linear .

Und es ist schon ganz anders gelöst ...

Erste Ebene

Quadratische Gleichungen. Erschöpfender Guide (2019)

In Bezug auf die "quadratische Gleichung" ist der Schlüssel das Wort "Quadrat". Dies bedeutet, dass die Variable in der Gleichung (derselben IX) im Platz vorhanden sein muss, und im dritten (und des größeren) Grades sollte keine IKS geben.

Die Lösung vieler Gleichungen wird reduziert, um genaue quadratische Gleichungen zu lösen.

Lernen Sie, lernen Sie, wie Sie feststellen können, dass wir eine quadratische Gleichung haben und nicht anders.

Beispiel 1.

Jedes Mitglied der Gleichung auf dem Nenner und dominiert

Wir transferieren alles nach links und setzen Mitglieder in absteigender Reihenfolge der Grade von ICA

Jetzt können Sie mit Sicherheit sagen, dass diese Gleichung quadratisch ist!

Beispiel 2.

Inländische linke und rechte Seite auf:

Diese Gleichung, obwohl es ursprünglich dabei war, ist nicht quadratisch!

Beispiel 3.

Doming alles auf:

Unheimlich? Der vierte und zweite Grad ... Wenn wir jedoch ersetzen, werden wir sehen, dass wir eine einfache quadratische Gleichung haben:

Beispiel 4.

Es scheint zu sein, aber lass uns aufmerksam aussehen. Wir überweisen alles nach links:

Sehen, verringern - und jetzt ist es eine einfache lineare Gleichung!

Versuchen Sie nun zu bestimmen, welcher der folgenden Gleichungen quadratisch ist und welche Nein:

Beispiele:

Antworten:

1. quadrat;
2. quadrat;
3. nicht quadratisch;
4. nicht quadratisch;
5. nicht quadratisch;
6. quadrat;
7. nicht quadratisch;
8. quadrat.

Mathematik teilen sich konventionell alle quadratischen Gleichungen auf dem Typ an:

• Volle quadratische Gleichungen. - Gleichungen, in denen Koeffizienten und sowie ein freies Mitglied nicht gleich Null sind (wie im Beispiel). Darüber hinaus ordnen sich unter vollen quadratischen Gleichungen an vorgestellt - Dies sind Gleichungen, in denen der Koeffizient (Gleichung aus dem Beispiel nicht nur abgeschlossen ist, sondern auch gegeben ist!)

• Unvollständige quadratische Gleichungen. - Gleichungen, in denen der Koeffizient und das freie Element Null ist:

  Unvollständig, weil ihnen eine Art Artikel fehlt. Aber die Gleichung sollte immer im Platz vorhanden sein !!! Andernfalls ist es nicht quadratisch, aber eine andere Gleichung.

Warum bist du mit einer solchen Division gekommen? Es scheint, dass es x auf dem Platz gibt, und okay. Eine solche Division ist auf die Methoden der Lösungen zurückzuführen. Betrachten Sie jeden von ihnen detaillierter.

Entscheidung der unvollständigen quadratischen Gleichungen

Um damit zu beginnen, werden wir aufhören, unvollständige quadratische Gleichungen zu lösen - sie sind viel einfacher!

Unvollständige eckige Gleichungen sind Typen:

1. In dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.
2. In dieser Gleichung ist ein freies Mitglied gleich.
3. In dieser Gleichung ist der Koeffizient und das freie Element gleich.

1. und. Wie wir wissen, wie man eine Quadratwurzel extrahiert, richten wir uns aus dieser Gleichung aus

Der Ausdruck kann sowohl negativ als auch positiv sein. Die in den Platz errichtete Zahl kann nicht negativ sein, da mit Multiplizieren zwei negativer oder zwei positiver Zahlen - das Ergebnis immer eine positive Zahl, so dass, wenn die Gleichung keine Lösungen hat.

Und wenn Sie zwei Wurzeln bekommen. Diese Formeln müssen nicht auswendig lernen. Die Hauptsache, die Sie wissen sollten und sich immer daran erinnern, dass es nicht weniger sein kann.

Versuchen wir, ein paar Beispiele zu lösen.

Beispiel 5:

Entscheidet die Gleichung

Nun bleibt es noch nicht von links und rechts entfernt. Erinnern Sie sich doch an, wie Sie Wurzeln extrahieren können?

Antworten:

Vergiss niemals Wurzeln mit einem negativen Zeichen !!!

Beispiel 6:

Entscheidet die Gleichung

Antworten:

Beispiel 7:

Entscheidet die Gleichung

Oh! Das Quadrat der Zahl kann nicht negativ sein, was die Gleichung bedeutet

keine Wurzeln!

Für solche Gleichungen, in denen es keine Wurzeln gibt, kam Mathematik ein spezielles Symbol - (leeres Set). Und die Antwort kann geschrieben werden als:

Antworten:

Somit hat diese quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Hier gibt es keine Einschränkungen, da wir die Wurzel nicht entnommen haben.
Beispiel 8:

Entscheidet die Gleichung

Ich fasse die Klammern zusammen:

Auf diese Weise,

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln.

Antworten:

Die einfachste Art von unvollständigen quadratischen Gleichungen (obwohl sie alle einfach sind, richtig?). Natürlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Hier tun wir ohne Beispiele.

Vollständige quadratische Gleichungen lösen

Wir erinnern Sie daran, dass die volle quadratische Gleichung die Gleichung der Gleichung ist, wo

Die Lösung vollständiger eckiger Gleichungen ist etwas komplizierter (sehr leicht) als das Obige.

Merken, jede quadratische Gleichung kann mit Hilfe von Diskriminierstoffen gelöst werden! Sogar unvollständig.

Der Rest der Wege wird dazu beitragen, es schneller zu machen, aber wenn Sie Probleme mit eckigen Gleichungen haben, wird die Lösung mit Hilfe von Diskriminierstoffen aufgerufen.

1. Die Lösung von quadratischen Gleichungen mit Hilfe von Diskriminierstoffen.

Die Lösung von quadratischen Gleichungen auf diese Weise ist sehr einfach, die Hauptsache ist, sich an die Folge von Handlungen und ein paar Formeln zu erinnern.

Wenn die Gleichung eine Wurzel von besonderer Aufmerksamkeit aufweist, um einen Schritt zu zahlen. Diskriminierende () zeigt uns auf die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn dann die Formel reduziert wird. Somit wird die Gleichung eine ganze Wurzel haben.
• Wenn wir die Wurzel nicht in der Lage sein können, die Wurzel aus dem Diskriminanten in Schritt zu extrahieren. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Kehren wir in unsere Gleichungen zurück und berücksichtigen Sie mehrere Beispiele.

Beispiel 9:

Entscheidet die Gleichung

Schritt 1 Wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden diskriminierend:

Die Gleichung hat also zwei Wurzeln.

Schritt 3.

Antworten:

Beispiel 10:

Entscheidet die Gleichung

Die Gleichung ist in einem Standardformular dargestellt Schritt 1 Wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden diskriminierend:

Die Gleichung hat also eine Wurzel.

Antworten:

Beispiel 11:

Entscheidet die Gleichung

Die Gleichung ist in einem Standardformular dargestellt Schritt 1 Wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden diskriminierend:

Es wird nicht in der Lage sein, die Wurzel aus dem Diskriminanten zu extrahieren. Die Wurzeln der Gleichung existieren nicht.

Jetzt wissen wir, wie man solche Antworten richtig aufschreibt.

Antworten:Keine Wurzeln

2. Lösung von quadratischen Gleichungen mit dem Vieta-Satz.

Wenn Sie sich erinnern, dh es ist eine solche Art von Gleichungen, die als präsentiert heißt (wenn der Koeffizient A gleich ist):

Solche Gleichungen sind sehr leicht, um den Vieta-Satz zu lösen:

Die Summe der Wurzeln spezifizierten Die quadratische Gleichung ist gleich, und das Produkt der Wurzeln ist gleich.

Beispiel 12:

Entscheidet die Gleichung

Diese Gleichung eignet sich zur Lösung des Vieta-Satzes, weil .

Die Menge der Wurzeln der Gleichung ist gleich, d. H. Wir bekommen die erste Gleichung:

Und die Arbeit ist:

Wir werden auch das System entscheiden:

• und. Die Menge ist gleich;
• und. Die Menge ist gleich;
• und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Antworten: ; .

Beispiel 13:

Entscheidet die Gleichung

Antworten:

Beispiel 14:

Entscheidet die Gleichung

Die Gleichung ist gegeben, und deshalb:

Antworten:

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Was ist eine quadratische Gleichung?

Mit anderen Worten, die quadratische Gleichung ist die Gleichung der Spezies, in der das Unbekannte einige Zahlen ist, und.

Die Nummer heißt Elder oder erster Koeffizient quadratische Gleichung - der zweite Koeffizient, aber - freies Mitglied.

Warum? Denn wenn die Gleichung sofort linear wird, weil verschwinden.

Zur gleichen Zeit und kann Null sein. In diesem Hocker wird die Gleichung unvollständig bezeichnet. Wenn alle Komponenten vorhanden sind, ist die Gleichung abgeschlossen.

Lösungen verschiedener Arten von quadratischen Gleichungen

Methoden zur Lösung unvollständiger eckiger Gleichungen:

Um damit zu beginnen, analysieren wir die Methoden der lösenden Lösungen unvollständiger eckiger Gleichungen - sie sind einfacher.

Sie können den Typ derartiger Gleichungen auswählen:

I. In dieser Gleichung ist der Koeffizient und das freie Element gleich.

II. In dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.

III. In dieser Gleichung ist ein freies Mitglied gleich.

Betrachten Sie nun die Lösung jedes dieser Subtypen.

Natürlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Die in den Platz errichtete Zahl kann nicht negativ sein, da mit Multiplizieren zwei negativer oder zwei positiver Zahlen das Ergebnis immer eine positive Zahl. Deshalb:

wenn die Gleichung keine Lösungen hat;

wenn wir zwei Wurzeln gelernt haben

Diese Formeln müssen nicht auswendig lernen. Die Hauptsache, um sich daran zu erinnern, dass es nicht weniger sein kann.

Beispiele:

Lösungen:

Antworten:

Vergiss niemals Wurzeln mit einem negativen Zeichen!

Das Quadrat der Zahl kann nicht negativ sein, was die Gleichung bedeutet

keine Wurzeln.

Um kurz aufzunehmen, dass die Aufgabe keine Lösungen hat, verwenden Sie ein leeres Set-Symbol.

Antworten:

Diese Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Antworten:

Ich fasse das Werk für Klammern zusammen:

Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Multiplizierer Null ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung eine Lösung hat, wenn:

Diese quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Beispiel:

Entscheide die Gleichung.

Entscheidung:

Verbreiten Sie den linken Teil der Fabrikgleichung und finden Sie die Wurzeln:

Antworten:

Methoden zur Lösung voller quadratischer Gleichungen:

1. Diskriminierant

Quadratgleichungen auf diese Weise lösen, ist die Hauptsache, sich an die Folge von Handlungen und ein paar Formeln zu erinnern. Denken Sie daran, dass jede quadratische Gleichung mit Hilfe von Diskriminierstoffen gelöst werden kann! Sogar unvollständig.

Haben Sie die Wurzel von der Diskriminierung in der Wurzelformel bemerkt? Das Diskriminant kann jedoch negativ sein. Was zu tun ist? Wir müssen besondere Aufmerksamkeit auf Schritt 2 beachten. Das Diskriminant zeigt uns auf die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn die Gleichung eine Wurzel hat:
• Wenn die Gleichung die gleiche Wurzel hat und tatsächlich eine Wurzel:

  Solche Wurzeln werden doppelt genannt.

• Wenn die Wurzel des Diskriminierungsmittels nicht entfernt wird. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Warum ist es eine andere Anzahl von Wurzeln möglich? Lassen Sie uns der geometrischen Bedeutung der quadratischen Gleichung wenden. Der Funktionsgraph ist Parabola:

In einem bestimmten Fall, der eine quadratische Gleichung ist. Und das bedeutet, dass die Wurzeln der eckigen Gleichung die Punkte der Kreuzung mit der Achse der Abszisse (Achse) sind. Parabola dürfen die Achse überhaupt nicht überqueren oder in eins kreuzen (wenn die Oberseite der Parabola auf der Achse liegt) oder zwei Punkte.

Darüber hinaus ist ein Koeffizient für die Richtung der Zweige der Parabola verantwortlich. Wenn die Parabola-Zweige nach oben gerichtet sind und wenn es unten ist.

Beispiele:

Lösungen:

Antworten:

Antworten:.

Antworten:

Also gibt es keine Lösungen.

Antworten:.

2. Vieta Theorem.

Vieta's theorem ist sehr einfach zu bedienen: Sie müssen nur ein solches paar von Zahlen aufnehmen, dessen Produkt einem freien Mitglied der Gleichung entspricht, und der Betrag ist der zweite Koeffizient, der mit dem entgegengesetzten Zeichen aufgenommen wurde.

Es ist wichtig zu wissen, dass der Satz der Vieta nur in verwendet werden kann reduzierte eckige Gleichungen ().

Betrachten Sie einige Beispiele:

Beispiel Nummer 1:

Entscheide die Gleichung.

Entscheidung:

Diese Gleichung eignet sich zur Lösung des Vieta-Satzes, weil . Die restlichen Koeffizienten:; .

Die Menge der Wurzeln der Gleichung ist:

Und die Arbeit ist:

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, dessen Produkt gleich ist und prüfen, ob ihre Summe gleich ist:

• und. Die Menge ist gleich;
• und. Die Menge ist gleich;
• und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

So die Wurzeln unserer Gleichung.

Antworten:; .

Beispielnummer 2:

Entscheidung:

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, die in der Arbeit angegeben sind, und prüfen Sie dann, ob ihre Summe gleich ist:

und: in der Menge, die sie geben.

und: in der Menge, die sie geben. Um genug zu bekommen, um die Anzeichen der angeblichen Wurzeln zu ändern: und, weil die Arbeit.

Antworten:

Beispielnummer 3:

Entscheidung:

Das freie Mitglied der Gleichung ist negativ, was das Produkt der Wurzeln bedeutet - eine negative Zahl. Dies ist nur möglich, wenn einer der Wurzeln negativ ist und der andere positiv ist. Daher ist die Menge der Wurzeln gleich die Unterschiede ihrer Module.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, die in der Arbeit angegeben sind, und der Unterschied, der gleich ist:

und: Ihr Unterschied ist gleich nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - geeignet. Es bleibt nur noch zu erinnern, dass einer der Wurzeln negativ ist. Da ihre Menge gleich sein sollte, sollte ein Negativ ein kleineres Wurzelmodul sein :. Prüfen:

Antworten:

Beispiel Nummer 4:

Entscheide die Gleichung.

Entscheidung:

Die Gleichung ist gegeben, und deshalb:

Das freie Mitglied ist negativ, und daher ist das Produkt der Wurzeln negativ. Und dies ist nur möglich, wenn eine Wurzel der Gleichung negativ ist und der andere positiv ist.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, dessen Produkt gleich ist, und dann definieren wir, welche Wurzeln ein negatives Zeichen haben sollten:

Natürlich eignen sich nur Wurzeln für den ersten Zustand und:

Antworten:

Beispiel Nummer 5:

Entscheide die Gleichung.

Entscheidung:

Die Gleichung ist gegeben, und deshalb:

Die Menge der Wurzeln ist negativ, was bedeutet, dass mindestens einer der Wurzeln negativ ist. Da ihre Arbeit jedoch positiv ist, bedeutet es beide Wurzeln mit einem Minuszeichen.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, dessen Produkt ist:

Offensichtlich sind die Wurzeln Zahlen und.

Antworten:

Es ist einverstanden, es ist sehr praktisch - um Wurzeln oral zu erfinden, anstatt diese unangenehme Diskriminante zu berücksichtigen. Versuchen Sie, den Satz der Vieta so weit wie möglich zu verwenden.

Der Vieta-Theorem ist jedoch erforderlich, um das Auffinden der Wurzeln zu erleichtern und zu beschleunigen. Um Ihnen zu helfen, es zu verwenden, müssen Sie den Automatikmaßnahmen ergreifen. Und dafür verleumderte sie mehr Fersen von Beispielen. Aber keine Skalierung: Die Diskrimination kann nicht verwendet werden! Nur Vieta theorem:

Task-Lösungen für unabhängige Arbeiten:

Aufgabe 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Auf dem Vieta-Satz:

Wie üblich beginnen wir die Auswahl der Arbeit:

Passt nicht, weil der Betrag;

: Betrag - was Sie brauchen.

Antworten:; .

Aufgabe 2.

Und wieder, unser Lieblings-Vieta-Satz: In der Menge sollte sich herausstellen, und die Arbeit ist gleich.

Aber da sollte es nicht sein, sondern die Anzeichen der Wurzeln ändern: und (in der Menge).

Antworten:; .

Aufgabe 3.

Hmm ... und wo ist was?

Es ist notwendig, alle Begriffe in einem Teil zu übertragen:

Die Menge der Wurzeln ist gleich, die Arbeit.

Also hör auf! Die Gleichung ist nicht gegeben. Der Vieta-Theorem ist jedoch nur in den obigen Gleichungen anwendbar. Also muss man zuerst die Gleichung bringen. Wenn Sie nicht arbeiten, werfen Sie diese Idee und entscheiden Sie sich anders (zum Beispiel durch diskriminierende). Lassen Sie mich daran erinnern, dass Sie die eckige Gleichung bringen - es bedeutet, einen leitenden Koeffizienten zu erstellen:

Ausgezeichnet. Dann ist die Menge der Wurzeln gleich und die Arbeit.

Hier ist es einfacher, einfach abzuholen: Schließlich eine einfache Zahl (sorry für Tautologie).

Antworten:; .

Aufgabe 4.

Freies Mitglied ist negativ. Was ist etwas Besonderes? Und die Tatsache, dass die Wurzeln unterschiedliche Anzeichen sein werden. Und jetzt prüfen wir während der Auswahl nicht den Betrag der Wurzeln, sondern den Unterschied zwischen ihren Modulen: Dieser Unterschied ist gleich und die Arbeit.

Also sind die Wurzeln gleich und einer von ihnen mit einem Minus. Der Vieta-Theorem erzählt uns, dass die Menge der Wurzeln dem zweiten Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Zeichen entspricht. So wird Minus an einer kleineren Wurzel sein: und seit.

Antworten:; .

Aufgabe 5.

Was muss zuerst fertig sein? Richtig, bringen Sie die Gleichung:

Wieder: Wir wählen die Multiplizierer der Nummer aus, und ihr Unterschied sollte gleich sein:

Die Wurzeln sind gleich und eines von ihnen mit einem Minus. Was? Ihre Menge sollte gleich sein, es bedeutet, dass der Minus größere Wurzel sein wird.

Antworten:; .

Ich fasse zusammen:

1. Vieta theorem wird nur in den angegebenen eckigen Gleichungen verwendet.
2. Mit dem Vieta-Theorem finden Sie die Wurzeln durch die Auswahl, oral.
3. Wenn die Gleichung nicht gegeben ist oder kein geeignetes Paar Multiplizierer eines freien Elements vorliegt, dh es gibt keine ganzen Wurzeln, und es ist notwendig, ein anderes Verfahren zu lösen (zum Beispiel durch Diskriminant).

3. Methode zur Zuteilung eines vollen Platzes

Wenn alle Begriffe, die ein unbekannt umfassen, in Form der Komponenten der abgekürzten Multiplikation der Summe der Summe oder der Differenz aufweisen, dann kann nach dem Ersetzen der Variablen eine Gleichung in Form einer unvollständigen quadratischen Gleichung des Typs dargestellt werden .

Beispielsweise:

Beispiel 1:

Legen Sie die Gleichung fest :.

Entscheidung:

Antworten:

Beispiel 2:

Legen Sie die Gleichung fest :.

Entscheidung:

Antworten:

Im Allgemeinen wird die Transformation so aussehen:

Dies impliziert :.

Nichts erinnert sich daran? Dies ist das Diskriminierende! Das ist es, die Formel der Diskriminierungsmittel und bekam.

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. Kurz über die Hauptsache

Quadratische Gleichung- Dies ist die Gleichung der Spezies, wobei - das Unbekannte, - die Koeffizienten der eckigen Gleichung, ein freies Mitglied ist.

Volle quadratische Gleichung. - Gleichung, in der die Koeffizienten nicht gleich Null sind.

Die reduzierte quadratische Gleichung - Gleichung, in der der Koeffizient ist, ist das :.

Unvollständige quadratische Gleichung. - Gleichung, in der der Koeffizient und das kostenlose Element Null ist:

• wenn der Koeffizient, die Gleichung ist:,
• wenn ein freies Mitglied ist, hat die Gleichung das Formular:,
• wenn die Gleichung das Formular hat :.

1. Algorithmus, der unvollständige quadratische Gleichungen löst

1.1. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Spezies wo ,:

1) Drücken Sie das Unbekannte aus:

2) Überprüfen des Ausdruckszeichens:

• wenn die Gleichung keine Lösungen hat,
• wenn die Gleichung zwei Wurzeln hat.

1.2. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Spezies wo ,:

1) Ich fasse das Werk für Klammern zusammen:

2) Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Multiplizierer Null ist. Daher hat die Gleichung zwei Wurzeln:

1.3. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Art, wo:

Diese Gleichung hat immer nur eine Wurzel :.

2. Algorithmus, um volle quadratische Gleichungen der Art zu lösen, wo

2.1. Lösung mit diskriminierender Hilfe

1) Wir geben die Gleichung dem Standardformular an:,

2) Berechnen Sie das Diskriminiermittel gemäß der Formel: was die Anzahl der Wurzeln der Gleichung angibt:

3) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:

• wenn die Gleichung eine Wurzel hat, die sich in der Formel befinden:
• wenn die Gleichung die Wurzel hat, was von der Formel ist:
• wenn die Gleichung keine Wurzeln hat.

2.2. Lösung mit dem Vieta-Satz

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung (Gleichung der Form, wobei) gleich ist, und das Produkt der Wurzeln ist gleich, d. H. , aber.

2.3. Lösen einer vollständigen quadratischen Zuteilungsmethode