Abstrakte Lektion

lehrer Mathematik.

MBOU SOSH №2 G. Vorma

KISEL LARISA ALEKSEEVNA.

Thema: "Die reduzierte quadratische Gleichung. Vieta Theorem "

Der Zweck der Lektion:Einführung des Konzepts von reduziertem quadratische Gleichung., Vieta-Theorems und der theorem invers.

Aufgaben:

Lehrreich:

Das Konzept einer bestimmten quadratischen Gleichung vorstellen,

Ausgabe der Wurzelformel der Kernquadratgleichung,

Formulieren und beweisen Sie den Satz der Vieta,

Formulieren und erweisen Sie den Satz, den Thenorem von Vieta umkehren,

Lehren Sie den Schülern, die angegebenen quadratischen Gleichungen mit dem Theorem, dem umgekehrten Satz der Vieta, zu lösen.

Entwicklung:

die Entwicklung des logischen Denkens, der Erinnerung, der Aufmerksamkeit, der allgemeinen Bildungsfähigkeiten, die Fähigkeiten, um zu vergleichen und zusammenzufassen;

Lehrreich:

bildung von harter Arbeit, gegenseitiger Unterstützung, mathematische Kultur.

Art der Lektion: Eine pädagogische Lektion mit neuem Material.

Ausrüstung: Lehrbuch Algebra ed. Alimova et al., Notebook, Vertriebsmaterial, Präsentation an die Lektion.

Unterrichtsplan.

Bühnenstunde

Inhalt (Ziel) Bühne

Zeit (min)

Lebenszeit organisieren.

Hausaufgaben überprüfen

Überprüfungsarbeit

Nachbesprechung, Antworten auf Fragen.

Ein neues Material studieren

Bildung von Referenzwissen, Regelnformulierung, Lösungsaufgaben, Analysen der Ergebnisse, Antworten auf die Fragen der Schüler.

Die Assimilation des Materials, das durch Anwenden bei der Lösung von Aufgaben von Analogie unter der Kontrolle des Lehrers gelöst wurde.

Summieren der Lektion

Beurteilung des Wissens derjenigen, die Studenten beantwortet haben. Überprüfen Sie das Wissen und das Verständnis des Wortlauts der Regeln durch die Methode der vorderen Umfrage.

Hausaufgaben

Die Einarbeitung von Studenten mit dem Inhalt der Aufgabe und Erzielung der erforderlichen Erklärungen.

Zusätzliche Aufgaben

Multi-Level-Aufgaben, um die Entwicklung der Schüler sicherzustellen.

Während der Klassen.

Zeit organisieren. Den Zweck der Lektion einstellen. Günstige Bedingungen für erfolgreiche Aktivitäten erstellen. Motivation der Lehren.

Überprüfen Sie Ihre Hausaufgaben. Frontal, individuelles Überprüfung und Korrektur von Wissen und Fähigkeiten der Schüler.

Die gleichung

Anzahl der Wurzeln.

Lehrer: Wie, woher eine quadratische Gleichung lösen, bestimmen Sie die Anzahl seiner Wurzeln? (Studentenantworten)

Überprüfungsarbeiten. Antworten auf Fragen.

Text der Überprüfungsarbeit:

Option Nummer 1.

Entscheiden Sie sich an Gleichungen:

ABER) ,

B)

Es hat:

Eine Wurzel

Zwei verschiedene Wurzeln.

Option Nummer 2.

Entscheiden Sie sich an Gleichungen:

ABER) ,

B)

2. entspricht dem Wert des Parameters A, in dem die Gleichung Es hat:

Eine Wurzel

Zwei verschiedene Wurzeln.

Die Überprüfungsarbeiten erfolgt auf separaten Blättern, gibt einen Testlehrer auf.

Nach dem Anlegen der Arbeit wird die Lösung auf dem Bildschirm angezeigt.

Ein neues Material untersuchen.

4.1. Francois Viet. - Französisches mathematisches 16. Jahrhundert. Er war ein Anwalt, später - ein Berater für die französischen Könige von Heinrich III und Heinrich II.

Sobald er es geschafft hatte, einen sehr schwierigen spanischen Brief zu entschlüsseln, der von den Franzosen abgefangen wurde. Die Inquisition brannte ihn fast auf das Feuer und beschuldigte sich mit dem Teufel.

Francois Vieta heißt "der Vater der Alvena Contemporary Algebra"

Wie sind die Wurzeln von quadratischen Trotheln und seiner Koeffizienten p und q? Die Antwort auf diese Frage gibt dem Theorem, der den Namen des "Vater of Algebra", französischen Mathematik F. Viet, trägt, den wir heute lernen werden.

Der berühmte Theorem wurde 1591 veröffentlicht.

4.2. Wir formulieren die Definition der angegebenen quadratischen Gleichung.

Definition. Quadratische Ansicht Gleichung. genannt das oben genannte.

Dies bedeutet, dass die ältere Koeffizientengleichung gleich einem ist.

Beispiel. .

Jede eckige Gleichung kann dem Sinn gegeben werden . Dazu ist es notwendig, beide Teile der Gleichung aufzuteilen.

beispielsweise, Gleichung 7x 2 - 12x + 14 \u003d 0-Division um 7 ist dem Sinn gegeben

X 2 - 12/7x + 2 \u003d 0

4.3. Entfernen Sie die Formel der Wurzeln der angegebenen quadratischen Gleichung.

a, b, c

a \u003d 1, b \u003d p, c \u003d q

Entscheiden Sie die Gleichung x 2 - 14x - 15 \u003d 0 (der Student entscheidet sich an der Tafel)

Fragen:

Nennen Sie die Koeffizienten p und q (-14, -15);

Notieren Sie die Wurzelformel der Kernquadratgleichung;

Finden Sie die Wurzeln dieser Gleichung (x 1 \u003d 15, x 2 \u003d -1)

4.4. Formulieren und beweisen Sie den Vieta-Theorem.

Wenn die Wurzeln der Gleichung , Formeln sind gültig, d. H. Die Summe der Wurzeln der angegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, der mit dem gegenüberliegenden Vorzeichen aufgenommen wurde, und das Produkt der Wurzeln ist gleich einem freien Element.

Danach führt der Lehrer den Beweis des Satzes durch. Dann trifft zusammen mit Studenten eine Schlussfolgerung.

Beispiel. . p \u003d -5, q \u003d 6.

Bedeutet Zahlen und - Zahlen

positiv. Es ist notwendig, zwei positive Zahlen zu finden, deren Arbeit

gleichermaßen 6 und der Betrag beträgt 5. \u003d 2, \u003d 3 - die Wurzeln der Gleichung.

4.5. Anwendung von Vietory-Theorem .

Damit können Sie:

 Finden Sie den Betrag und das Produkt der Wurzeln der eckigen Gleichung, ohne es zu lösen,

 Einen der Wurzeln kennen, finde einen anderen

 Bestimmen Sie die Wurzeln der Gleichung,

 Wählen Sie die Wurzeln der Gleichung aus, ohne es zu lösen.

4.6. Wir formulieren den Satz des umgekehrten Satzes von Vieta.

Wenn Zahlen p, q und diejenigen, die die Verhältnisse erfüllen, - die Wurzeln der quadratischen Gleichung .

Der Beweis des Theorems, der umgekehrte Satz der Vieta, wird zum Haus gemacht, um unabhängig von starken Studenten zu studieren.

4.7. Betrachten Sie die Lösung der Aufgabe 5 auf der Seite des Tutorials 125.

Befestigung des untersuchten Materials

№ 450 (1)

№ 451 (1, 3, 5) - oral

№ 452 (oral)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

Die Lektion zusammenfassen.

Beantworte die Fragen:

Wort der Vieta-Theorem.

 Warum brauchst du den Vieta-Theorem?

 Wort den Rückwärtssatz des Vieta-Satzes.

Hausaufgaben.

§29 (vor Aufgabe 6), Nr. 450 (2,4,6); 455 (2.4); 456 (2,4,6).

Zusätzliche Aufgaben.

Level A.

Finden Sie den Betrag und das Produkt der Wurzeln der Gleichung:

2. Mit dem Theorem, der umgekehrte Satz der Vieta, machen eine quadratische Gleichung, von denen die Wurzeln gleich 2 und 5 sind.

Stufe B.

1. Passen Sie den Betrag und das Produkt der Wurzeln der Gleichung an:

2. Theorem mit dem Theorem den Theorem der Vieta, machen Sie eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln gleich und.

Ebene S.

1. Demontieren Sie den Beweis des Satzes, den Umkehrtheorem von Vieta

2. Entscheiden Sie die Gleichung und überprüfen Sie den Theorem, den Umkehrtheorem der Vieta:

Schema der Lektion abstrakt

Arbeitsphasen

Bühnengehalt.

Lebenszeit organisieren., einschließlich:

der Zweck des Ziels, das von den Studierenden in dieser Phase der Lektion (der von den Studenten erfolgen sollte, darf, werden in der Lektion weiter arbeiten)

beschreibung der Methoden der Organisation von Studenten in der Anfangsphase der Lektion, der Haltung der Studierenden auf Bildungsaktivitäten, das Thema und das Thema der Lektion (unter Berücksichtigung der echten Merkmale der Klasse, mit der der Lehrer arbeitet)

Die Programmanforderungen für die mathematische Ausbildung von Studenten an diesem Thema liegen in der Einführung des Konzepts einer bestimmten quadratischen Gleichung, dem Satz der Vieta und der Inverse des Satzes (aus dem Programm für Allgemeinbildungsinstitutionen).

Studenten der 8. Klasse sind Kinder der Adoleszenz, die sich durch die Instabilität der Aufmerksamkeit kennzeichnen. Die beste Art Um die Aufmerksamkeit zu organisieren, ist es, Bildungsaktivitäten zu organisieren, damit die Schüler weder Zeit noch den Wunsch noch die Gelegenheit haben, lange Zeit abgelenkt zu werden.

Basierend auf dem Zweck der Lektion oben, der Lösung der folgenden Aufgaben:
a) pädagogisch: Die Einführung des Konzepts einer bestimmten quadratischen Gleichung, des Satzes der Vieta und der Inverse des Satzes.

b) Entwicklung: Entwicklung des logischen Denkens, der Erinnerung, Aufmerksamkeit, allgemeine Bildungsfähigkeiten, Fähigkeiten, um zu vergleichen und zusammenzufassen;
c) pädagogisch: Erziehung von harter Arbeit, gegenseitiger Unterstützung, mathematische Kultur.

Damit die Schüler die Lektion als logisch abgeschlossenes, ganzheitliches, zeitlich begrenztes Segment des Bildungsprozesses wahrnehmen, beginnt es mit der Errichtung der Aufgaben und endet mit der Summierung und Festlegung von Aufgaben in die folgenden Lektionen.

Umfrage der Schüler auf dem angegebenen Materialeinschließlich:

die Definition der Ziele, die der Lehrer in dieser Phase der Lektion den Schülern an die Studenten steckt (welche Ergebnis von Studenten erreicht werden sollte);

bestimmen der Ziele und Ziele, die der Lehrer in dieser Phase der Lektion erreichen will;

eine Beschreibung der Methoden, die zur Lösung der Ziele und Aufgaben beitragen;

beschreibung der Kriterien für das Erreichen der Ziele und der Ziele dieser Stufe der Lektion;

ermittlung der möglichen Aktionen des Lehrers, wenn er oder die Schüler ihre Ziele nicht erreichen;

beschreibung der Methoden zur Organisation gemeinsamer Aktivitäten von Studenten, unter Berücksichtigung der Merkmale der Klasse, mit der der Lehrer arbeitet;

eine Beschreibung der Methoden der Motivation (stimulierende) Bildungsaktivität von Studenten während einer Umfrage;

beschreibung der Methoden und Kriterien zur Bewertung der Antworten der Schüler während einer Umfrage.

In der ersten Stufe findet der frontale, individuelle Scheck und die Korrektur von Wissen und Fähigkeiten der Schüler statt. In diesem Fall ist die Lösung der quadratischen Gleichungen und die Festlegung der Bestimmung der Anzahl der Wurzeln durch ihre Diskriminante. Der Übergang zur Definition der angegebenen quadratischen Gleichung wird durchgeführt.

In der zweiten Stufe werden die Gleichungen zweier Arten berücksichtigt. Damit die Schüler nicht müde von monotoner Arbeit sind, werden verschiedene Formen von Arbeit und Aufgaben angewendet, Aufgaben, die mehr enthalten sind hohes Level (mit einem Parameter).

Die mündliche Arbeit von Studenten wechselt mit schriftlich, dh die Wahl einer Lösung einer quadratischen Gleichung, Analyse der Lösung der Gleichung

Eine der Techniken der pädagogischen Unterstützung ist, als Klarheit zu verwenden informationstechnologiendas helfen den Schülern in verschiedenen Bereitschaftsgraden leicht assimilieren Material, sodass einzelne Momente der Lektion unter Verwendung der Präsentation (zeigen die Lösung unabhängige Arbeit, Fragen, Hausaufgaben)

Neues studieren. unterrichtsmaterial. Diese Bühne schlägt vor:

die Präsentation der Hauptbestimmungen des neuen Bildungsmaterials, das von Studenten beherrscht werden muss;

beschreibung von Formen und Verfahren zur Präsentation (Einreichung) eines neuen Bildungsmaterials;

beschreibung der Hauptformulare und Methoden zur Organisation der individuellen und Gruppenaktivitäten der Studierenden unter Berücksichtigung der Merkmale der Klasse, in der der Lehrer arbeitet;

beschreibung der Kriterien zur Bestimmung des Aufmerksamkeitsniveaus und des Interesses der Studierenden auf das Ausbildungsmaterial des exponierten Lehrers;

beschreibung der Motivationsmethoden (anregende) Bildungsaktivität der Studierenden während der Entwicklung neuer Bildungsmaterialien

Die Bestimmung der angegebenen quadratischen Gleichung ist gegeben. Der Lehrer, zusammen mit den Schülern, die Formeln der Wurzel der angegebenen quadratischen Gleichung, sind sich der Bedeutung des Bildungsmaterials des Unterrichts bewusst. Die Analyse des Wortlauts- und Beweises des Vieta-Satzes tritt auch in Verbindung mit den Schülern auf

Eine solche Arbeit konsolidiert auch die Untersuchung eines neuen Materials.

Methoden:

visuell

praktisch;

verbal;

partielle Suche

Konsolidierung von Bildungsmaterialangenommen:

ein bestimmtes Bildungsziel vor Studierenden einstellen (das Ergebnis sollte von Studenten in dieser Phase der Lektion erreicht werden);

die Definition von Zielen und Zielen, die der Lehrer vor der Lektion setzt;

beschreibung der Formen und Methoden, um die Ziele während der Konsolidierung eines neuen Bildungsmaterials zu erreichen, unter Berücksichtigung der einzelnen Merkmale der Schüler, mit denen der Lehrer arbeitet.

beschreibung der Kriterien, die den Grad des Lernens ermitteln kann, um ein neues Bildungsmaterial zu erlernen;

eine Beschreibung der möglichen Wege und Antwortmethoden in Situationen, in denen der Lehrer bestimmt, dass ein Teil der Schüler das neue Bildungsmaterial nicht beherrschte.

Die Konsolidierung des Bildungsmaterials tritt auf, wenn Sie Fragen beantworten und mit dem Lehrbuch arbeiten:

Die Analyse der Task-Nummer 5 auf Seite 125;

Übung lösen

№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) - oral, 452 (oral);

455 (1,3); 456 (1, 3)

In der gesamten Lektion gibt es eine hohe Aktivität von Studenten, der Lehrer hat die Fähigkeit, alle Klassenstudenten und mehr als einmal zu interviewen.

Das Ergebnis der Lektion in Form einer frontalen Umfrage der Studierenden zu Problemen ist zusammengefasst:

Welche Gleichungen werden als präsentiert angerufen?

Ist es möglich, eine herkömmliche quadratische Gleichung zu erstellen?

Notieren Sie die Wurzelformel der Kernquadratgleichung

Wort der Vieta-Theorem.

Was ist der Betrag und das Produkt der Wurzeln der Gleichung:

Aufgabe zu Hauseeinschließlich:

festlegen der Ziele unabhängiger Arbeiten für Studenten (das von den Studenten während der Erfüllung der Hausaufgaben erfolgen sollte);

die Definition der Ziele, die der Lehrer erreichen will, indem er die Heimataufgabe erfordern möchte;

definition und Erklärung der Studierenden in den Kriterien erfolgreicher Hausaufgaben.

In Hausaufgaben wird davon ausgegangen, dass die Schüler in Übereinstimmung mit ihren Fähigkeiten arbeiten. Stärke der Studierenden arbeiten unabhängig und am Ende der Arbeit haben die Möglichkeit, die Richtigkeit ihrer Lösungen zu überprüfen, wodurch sie mit Entscheidungen zu Beginn der nächsten Lektion auf dem Vorstand erfasst werden. Andere Studenten können von ihren Klassenkameraden oder Lehrern Ratschläge erhalten. Schwache Studenten arbeiten, sich auf die Beispiele verlassen, verwenden Lösungen von Gleichungen, die in der Klasse zerlegt werden. Somit werden Bedingungen für die Arbeit auf verschiedenen Komplexitätsstufen erstellt.

Bei der Fortsetzung des Themas "Entscheidung von Gleichungen" stellt Ihnen das Material dieses Artikels Ihnen quadratische Gleichungen vor.

Betrachten Sie alles im Detail: Die Essenz und die Aufzeichnung der quadratischen Gleichung, setzen die begleitenden Bedingungen fest, wir werden das Programm für die Lösung unvollständiger und vollständiger Gleichungen analysieren, sich mit der Formel von Wurzeln und Diskriminierenden kennenlernen, Verbindungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten etablieren, Und natürlich geben wir eine visuelle Lösung von praktischen Beispielen an.

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Quadratische Gleichung, seine Typen

Definition 1.

Quadratische Gleichung - Dies ist die Gleichung, die als aufgenommen wurde A · x 2 + B · x + c \u003d 0wo X. - Variable, A, B und C. - einige Zahlen, während eIN.kein Null.

Oft werden eckige Gleichungen auch Name der zweiten Grad-Gleichungen bezeichnet, da die eckige Gleichung im Wesentlichen die algebraische Gleichung des zweiten Grades ist.

Wir geben ein Beispiel, um eine bestimmte Definition zu veranschaulichen: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 usw. - Dies sind quadratische Gleichungen.

Definition 2.

Zahlen A, B und C. - Dies sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung A · x 2 + B · x + c \u003d 0mit dem Koeffizienten EIN. Es wird als erster oder älter oder der Koeffizienten bei X 2, B - dem zweiten Koeffizienten oder dem Koeffizienten, wenn X., aber C. Rufen Sie ein kostenloses Mitglied an.

Zum Beispiel in einer quadratischen Gleichung 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Der leitende Koeffizient ist 6, der zweite Koeffizient ist − 2 und freies Mitglied ist gleich − 11 . Achten Sie darauf, dass bei den Koeffizienten B.und / oder c sind negativ, dann wird eine kurze Form einer Ansichtaufzeichnung verwendet. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, und nicht 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Wir klären auch diesen Aspekt: \u200b\u200bWenn die Koeffizienten EIN. und / oder B. gleich 1 oder − 1 , dann explizite Teilnahme an der Aufzeichnung der quadratischen Gleichung, dürfen sie nicht ergriffen werden, was durch die Merkmale der Aufzeichnung dieser numerischen Koeffizienten erläutert wird. Zum Beispiel in einer quadratischen Gleichung Y 2 - y + 7 \u003d 0 Der leitende Koeffizient ist 1 und der zweite Koeffizient ist − 1 .

Spezifizierte und unverheiratete eckige Gleichungen

Durch den Wert des ersten Koeffizienten sind die quadratischen Gleichungen in das obige und unbezahlte.

Definition 3.

Die reduzierte quadratische Gleichung - Dies ist eine quadratische Gleichung, bei der der ältere Koeffizient gleich 1 ist. Bei anderen Werten des älteren Koeffizienten ist die quadratische Gleichung nicht ungültig.

Wir geben Beispiele: eckige Gleichungen x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 sind in jedem von denen der ältere Koeffizient 1 dargestellt ist.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - eine integrierte quadratische Gleichung, in der sich der erste Koeffizient unterscheidet sich von 1 .

Jede unpassende quadratische Gleichung ist möglich, um in eine gegebene Gleichung umzuwandeln, wenn sie von beiden Teilen auf den ersten Koeffizienten (äquivalente Transformation) unterteilt ist. Die transformierte Gleichung hat die gleichen Wurzeln wie die angegebene intelligente Gleichung oder nicht, um Wurzeln überhaupt nicht zu haben.

Die Berücksichtigung eines bestimmten Beispiels ermöglicht es uns, den Übergang eindeutig von einer integrierten quadratischen Gleichung bis zum angegebenen zu demonstrieren.

Beispiel 1.

Die Gleichung ist eingestellt 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Es ist notwendig, die anfängliche Gleichung in das obige Formular umzuwandeln.

Entscheidung

Das oben angegebene Schema der oben angegebenen Teile ist durch beide Teile der anfänglichen Gleichung auf dem leitenden Koeffizienten 6 getrennt. Dann bekommen wir: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3Und das ist das Gleiche wie: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 Und weiter: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. Von hier: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. Somit wird eine Gleichung als angegeben angesehen.

Antworten: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Wenden Sie sich an die Definition der eckigen Gleichung. Darin haben wir das geklärt A ≠ 0.. Eine solche Bedingung ist zur Gleichung notwendig A · x 2 + B · x + c \u003d 0 Es war genau quadratisch, weil a \u003d 0. Es ist im Wesentlichen in lineare Gleichung umgewandelt B · X + C \u003d 0.

In dem Fall, wenn die Koeffizienten B. und C.gleich Null (was sowohl einzeln als auch zusammen möglich ist), wird die quadratische Gleichung unvollständig bezeichnet.

Definition 4.

Unvollständige quadratische Gleichung. - Eine solche quadratische Gleichung a · x 2 + b · x + c \u003d 0,wo mindestens einer der Koeffizienten B.und C.(oder beides) ist Null.

Volle quadratische Gleichung - eine quadratische Gleichung, in der alle numerischen Koeffizienten nicht Null sind.

Wir gönnen sich, warum die Arten von eckigen Gleichungen genau die Namen erhalten werden.

Für B \u003d 0 quadratische Gleichung nimmt die Form an A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0dass dasselbe das ist a · x 2 + c \u003d 0. Zum C \u003d 0. Die eckige Gleichung wird als aufgezeichnet A · x 2 + B · x + 0 \u003d 0Das ist äquivalent. A · x 2 + B · x \u003d 0. Zum B \u003d 0. und C \u003d 0. Die Gleichung ergreift die Ansicht A · x 2 \u003d 0. Die von uns erhaltenen Gleichungen unterscheiden sich von der vollen quadratischen Gleichung, dass ihre linken Teile nicht entweder entweder mit einem Bauteil von der X-Variablen oder einem freien Mitglied oder beides enthalten sind. Tatsächlich wurde diese Tatsache den Namen einer solchen Art von Gleichungen erstellt - unvollständig.

Beispielsweise sind x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 und - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 vollständige quadratische Gleichungen; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - unvollständige quadratische Gleichungen.

Entscheidung der unvollständigen quadratischen Gleichungen

Die obige Definition ermöglicht es, die folgenden Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen zu unterscheiden:

• A · x 2 \u003d 0Diese Gleichung entspricht den Koeffizienten B \u003d 0. und c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 für b \u003d 0;
• a · x 2 + B · x \u003d 0 bei c \u003d 0.

Betrachten Sie die Entscheidung jeder Art von unvollständiger eckiger Gleichung.

Lösung der Gleichung A · x 2 \u003d 0

Wie oben erwähnt, entspricht die Gleichung den Koeffizienten B. und C.gleich Null Die gleichung A · x 2 \u003d 0 Es ist möglich, Gleichung umzuwandeln, um sie entsprechen x 2 \u003d 0was wir bekommen, teilen Sie beide Teile der Quellgleichung für die Anzahl EIN.nicht gleich Null Offensichtliche Tatsache, dass die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d 0 das ist null da 0 2 = 0 . Andere Wurzeln, diese Gleichung hat nein, was durch die Eigenschaften des Grads erläutert wird: für eine beliebige Anzahl p,nicht gleich Null, treue Ungleichheit P 2\u003e 0Was folgt das, wann P ≠ 0. Gleichberechtigung P 2 \u003d 0wird niemals erreicht werden.

Definition 5.

Somit ist für eine unvollständige quadratische Gleichung A · x 2 \u003d 0 die einzige Wurzel x \u003d 0..

Beispiel 2.

Zum Beispiel lösen wir eine unvollständige quadratische Gleichung - 3 · x 2 \u003d 0. Es entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0, seine einzige Wurzel ist x \u003d 0., Dann hat die anfängliche Gleichung den einzigen Wurzel - Null.

Kurz gesagt, die Entscheidung besteht so:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Lösung der Gleichung A · x 2 + C \u003d 0

Auf der Warteschlange - die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, wobei B \u003d 0, c ≠ 0, dh die Gleichungen des Formulars a · x 2 + c \u003d 0. Wir transformieren diese Gleichung, die den Begriff von einem Teil der Gleichung in einen anderen durchgeführt hat, wobei das Schild auf das Gegenteil geändert wird und beide Teile der Gleichung auf die Anzahl unterteilt, nicht gleich Null:

• transfer C. im rechten Teil, der die Gleichung ergibt A · x 2 \u003d - c;
• wir teilen beide Teile der Gleichung auf EIN.Ich komme am Ende x \u003d - c a.

Unsere Transformationen sind jeweils gleichwertig, die resultierende Gleichung entspricht auch der Quelle, und diese Tatsache ermöglicht es, die Wurzeln der Gleichung abzuschließen. Von was sind die Bedeutungen EIN. und C.der Wert des Ausdrucks ist abhängig - C A: Es kann ein Minuszeichen haben (sagen wir, wenn a \u003d 1. und C \u003d 2., dann - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) oder ein Pluszeichen (z. B. wenn A \u003d - 2 und C \u003d 6.dann - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); Es ist nicht , weil C ≠ 0.. Lassen Sie uns in Situationen detaillierter wohnen, wenn - c a< 0 и - c a > 0 .

In dem Fall, wann - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Gleichheit P 2 \u003d - C A kann nicht wahr sein.

Alles andere, wenn - C A\u003e 0: Erinnern Sie sich an die Quadratwurzel, und es ist offensichtlich, dass die Gleichung x 2 \u003d - C a die Zahl - C a ist, da - c a 2 \u003d - c a ist. Es ist nicht schwer zu verstehen, dass die Zahl ist - C a ist auch die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d - c a: in der Tat, - - c a 2 \u003d - c a.

Andere Wurzelgleichung wird nicht haben. Wir können es mit der bösen Methode demonstrieren. Stellen Sie zunächst die Bezeichnungen, die über den Wurzeln gefunden wurden x 1. und - X 1.. Ich werde vorschlagen, dass Gleichung x 2 \u003d - c a auch root ist x 2.das unterscheidet sich von den Wurzeln x 1. und - X 1.. Wir wissen das, und ersetzt stattdessen in die Gleichung X. Seine Wurzeln verwandeln wir die Gleichung in eine faire numerische Gleichheit.

Zum x 1. und - X 1. Wir schreiben: x 1 2 \u003d - C a und für x 2. - X 2 2 \u003d - C a. Um sich auf die Eigenschaften numerischer Gleichungen zu verlassen, befeuchten Sie eine rechte Gleichheit von einem anderen, was uns gibt: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Verwenden Sie die Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen, um die neueste Gleichheit als neu zu schreiben (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Es ist bekannt, dass die Arbeit zweier Nummern Null ist und nur dann, wenn mindestens eine der Zahlen Null ist. Von gesagt, dass es folgt x 1 - x 2 \u003d 0 und / oder x 1 + x 2 \u003d 0dasselbe das gleiche x 2 \u003d x 1 und / oder x 2 \u003d - x 1. Es gab einen offensichtlichen Widerspruch, denn zunächst wurde der Wurzel der Gleichung vereinbart x 2. unterscheidet sich von x 1. und - X 1.. Also haben wir bewiesen, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln hat, außer x \u003d - c a und x \u003d - c a.

Wir fassen alle Begründung darüber zusammen.

Definition 6.

Unvollständige quadratische Gleichung. a · x 2 + c \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d - ca, was:

• wird keine Wurzeln haben, wenn - c a< 0 ;
• es gibt zwei Wurzeln x \u003d - C A und X \u003d - C A mit - C A\u003e 0.

Wir geben Beispiele, um Gleichungen zu lösen a · x 2 + c \u003d 0.

Beispiel 3.

Die quadratische Gleichung ist angegeben 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Es ist notwendig, seine Entscheidung zu finden.

Entscheidung

Wir übertragen ein freies Mitglied mit dem rechten Teil der Gleichung, dann wird die Gleichung das Formular annehmen 9 · x 2 \u003d - 7.
Wir teilen beide Teile der erhaltenen Gleichung auf 9 , komm zu x 2 \u003d - 7 9. Im rechten Teil sehen wir eine Zahl mit einem Minuszeichen, was bedeutet: Die angegebene Gleichung hat keine Wurzeln. Dann die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Wird keine Wurzeln haben.

Antworten: Die gleichung 9 · x 2 + 7 \u003d 0es hat keine Wurzeln.

Beispiel 4.

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen - x 2 + 36 \u003d 0.

Entscheidung

Wir bewegen uns 36 auf die rechte Seite: - x 2 \u003d - 36.
Wir teilen beide Teile auf − 1 , erhalten x 2 \u003d 36. Im rechten Teil - eine positive Zahl, von hier aus können wir das abschließen x \u003d 36 oder X \u003d - 36.
Entfernen Sie die Wurzel und notieren Sie das Endergebnis: eine unvollständige quadratische Gleichung - x 2 + 36 \u003d 0 Es hat zwei Wurzeln x \u003d 6. oder x \u003d - 6.

Antworten: x \u003d 6. oder x \u003d - 6.

Lösung der Gleichung A · x 2 + B · x \u003d 0

Wir werden die dritte Art von unvollständigen quadratischen Gleichungen untersuchen, wenn C \u003d 0.. Eine Entscheidung einer unvollständigen quadratischen Gleichung zu finden A · x 2 + B · x \u003d 0, Verwenden wir die Methode der Zersetzung auf Multiplikatoren. Verbreiten Sie auf Multiplizierern des Polynoms, das sich im linken Teil der Gleichung befindet, indem er einen allgemeinen Multiplizierer für Klammern erstellt X.. Dieser Schritt bietet die Möglichkeit, die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung in das Äquivalent umzuwandeln x · (A · x + b) \u003d 0. Und diese Gleichung entspricht wiederum der Gesamtheit der Gleichungen x \u003d 0. und A · x + b \u003d 0. Die gleichung A · x + b \u003d 0 Linear und seine Wurzel: x \u003d - B a.

Definition 7.

Somit eine unvollständige quadratische Gleichung A · x 2 + B · x \u003d 0 wird zwei Wurzeln haben x \u003d 0. und x \u003d - B a.

Befestigen Sie das Material mit einem Beispiel.

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Lösung der Gleichung 2 3 × 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 zu finden.

Entscheidung

Lass uns führen X. Für Klammern und Gleichsetzung x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Diese Gleichung entspricht den Gleichungen x \u003d 0. und 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Nun ist es notwendig, die resultierende lineare Gleichung zu lösen: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Lösen Sie kurz die Gleichung, um diese Weise zu schreiben:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 oder 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 oder x \u003d 3 3 7

Antworten: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminierende, die Wurzelformel der quadratischen Gleichung

Um eine Lösung von quadratischen Gleichungen zu finden, gibt es eine Formel für Wurzeln:

Definition 8.

x \u003d - B ± D 2 · A wo D \u003d b 2 - 4 · a · c - die sogenannte Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Aufnahme x \u003d - B ± D 2 · A im Wesentlichen bedeutet, dass x 1 \u003d - B + D 2 · a, x 2 \u003d - B - D 2 · a.

Es ist nützlich, zu verstehen, wie die angegebene Formel abgeleitet wurde und wie Sie es anwenden.

Die Ausgabe der Wurzeln der quadratischen Gleichung

Lassen Sie uns herausgefordert werden, die quadratische Gleichung zu lösen A · x 2 + B · x + c \u003d 0. Führen Sie eine Anzahl äquivalenter Transformationen durch:

• wir teilen beide Teile der Gleichung für die Nummer auf eIN.Anders als Null erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung: x 2 + B a · x + c a \u003d 0;
• wir markieren den vollen Platz auf der linken Seite der empfangenen Gleichung:
  X 2 + BA · X + CA \u003d X 2 + 2 · B 2 · A · X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA \u003d X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA .
  Danach wird die Gleichung das Formular annehmen: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C a \u003d 0;
• nun ist es möglich, die Übertragung der letzten beiden Begriffe in die rechte Seite vorzunehmen, wodurch das Zeichen auf das Gegenteil wechselt, wonach wir erhalten: X + B 2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
• schließlich transformieren wir den auf der rechten Seite der letzten Gleichstellung aufgezeichneten Ausdrucks:
  B 2 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Somit kamen wir zur Gleichung X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, äquivalente Quellengleichung A · x 2 + B · x + c \u003d 0.

Wir haben die Lösung solcher Gleichungen in den vorhergehenden Absätzen verstanden (Entscheidung unvollständiger eckiger Gleichungen). Die gewonnenen Erfahrungen ermöglichen es, um die Wurzeln der Gleichung X + B 2 · a 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:

• bei B 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• für B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0 hat die Gleichung das Formular X + B 2 · a 2 \u003d 0, dann x + b 2 · a \u003d 0.

Daher ist der einzige Wurzel X \u003d - B 2 · A offensichtlich;

• für B 2 - 4 · A · C 4 · A 2\u003e 0 ist es korrekt: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 oder X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, das gleich ist wie x + - B 2 · a \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 oder X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, d. H. Die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Es ist möglich zu schließen, dass das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der Gleichung X + B 2 · a 2 \u003d B 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (und damit die anfängliche Gleichung) von dem Zeichen des Ausdrucks B abhängt 2 - 4 · A · C 4 · A 2, auf der rechten Seite aufgezeichnet. Und das Zeichen dieses Ausdrucks wird von der Nummer des Zählers (Nenner 4 · A 2 wird immer positiv sein), das heißt, ein Zeichen des Ausdrucks B 2 - 4 · A · c. Dieser Ausdruck B 2 - 4 · A · c Der Name ist die Diskriminante einer quadratischen Evakuierung und ist als ihre Bezeichnung des Buchstabens D definiert. Hier können Sie die Essenz der Diskrimination aufzeichnen - um seinen Wert aufnehmen, und das Zeichen wird abgeschlossen, ob die quadratische Gleichung gültige Wurzeln hat, und wenn dies der Fall ist, was ist die Anzahl der Wurzeln - ein oder zwei.

Rückkehr in die Gleichung X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2. Ich schreibe es mit der diskriminanten Bezeichnung um: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Wir werden wieder Schlussfolgerungen formulieren:

Definition 9.

• zum D.< 0 Die Gleichung hat keine gültigen Wurzeln;
• zum D \u003d 0. Die Gleichung hat den einzigen Wurzel x \u003d - B 2 · a;
• zum D\u003e 0. Die Gleichung hat zwei Wurzeln: x \u003d - B 2 · A + D 4 · A 2 oder X \u003d - B 2 · A - D 4 · A 2. Diese Wurzeln basierend auf den Eigenschaften der Radikale können in das Formular geschrieben werden: x \u003d - B 2 · A + D 2 · A oder - B 2 · A - D 2 · a. Und wenn wir die Module offenbaren und den Fraktionen dem gemeinsamen Nenner geben, erhalten wir: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · a.

Somit war das Ergebnis unserer Argumentation die Entfernung der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, Diskriminiermittel D. Berechnet durch Formel. D \u003d b 2 - 4 · a · c.

Diese Formeln ermöglichen es, wenn diskriminiert ist, um beide gültigen Wurzeln zu ermitteln. Wenn das Diskriminant Null ist, ergibt die Verwendung beider Formeln die gleiche Wurzel wie die alleinige Lösung der quadratischen Gleichung. Wenn das Diskriminierungsmittel negativ ist, versucht, die Wurzelformel der quadratischen Gleichung zu verwenden, stehen wir der Notwendigkeit, die Quadratwurzel von der negativen Zahl zu entfernen, die uns über die tatsächlichen Zahlen hinaus führt. Mit einem negativen Diskriminierungsmittels ist die quadratische Gleichung nicht gültige Wurzeln, sondern ein Paar umfassend konjugierender Wurzeln, die von den gleichen Wurzelformeln bestimmt werden, die von uns erhalten werden, sind möglich.

Algorithmus zum Lösen von quadratischen Gleichungen auf Wurzelformeln

Es ist möglich, die quadratische Gleichung zu lösen, die sofort die Formel der Wurzeln radeln, aber im Grunde tun sie ggf. komplexe Wurzeln.

In der Hauptmasse der Fälle wird es normalerweise für die Suche nach nicht komplexen, aber gültigen Wurzeln der eckigen Gleichung impliziert. Dann bestimmen Sie dann optimal, bevor Sie die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden, zunächst das Diskriminiermittel ermitteln und nicht negativ sein (andernfalls schließen wir, dass die Gleichung keine gültigen Wurzeln hat) und dann den Wurzelwert berechnen.

Die obigen Argumente bieten die Fähigkeit, einen Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung zu formulieren.

Definition 10.

Um eine quadratische Gleichung zu lösen A · x 2 + B · x + c \u003d 0, es ist notwendig:

• nach der Formel D \u003d b 2 - 4 · a · c Finden Sie den Wert des Diskriminanten;
• mit D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• bei d \u003d 0 finden Sie die einzige Wurzel der Gleichung gemäß der Formel x \u003d - B 2 · a;
• für d\u003e 0 bestimmen Sie die zwei gültigen Wurzeln der eckigen Gleichung gemäß der Formel X \u003d - B ± D 2 · a.

Beachten Sie, dass Sie, wenn die Diskriminanz Null ist, die Formel X \u003d - B ± D 2 · A verwenden können, ergibt sich das gleiche Ergebnis wie die Formel X \u003d - B 2 · a.

Beispiele in Betracht ziehen.

Beispiele für Lösungen von quadratischen Gleichungen

Wir präsentieren die Lösung von Beispielen mit unterschiedlichen Werten des Diskriminierungsmittels.

Beispiel 6.

Es ist notwendig, die Wurzeln der Gleichung zu finden x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Entscheidung

Wir schreiben die Zahlenkoeffizienten der eckigen Gleichung: a \u003d 1, b \u003d 2 und C \u003d - 6. Als nächstes handeln wir auf den Algorithmus, d. H. Wir werden die Diskriminanz berechnen, für die wir die Koeffizienten A, B ersetzen werden und C. In der Formel des Diskriminanten: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Also haben wir d\u003e 0 erhalten, was bedeutet, dass die anfängliche Gleichung zwei gültige Wurzeln aufweist.
Um sie zu finden, verwenden wir die Wurzelformel x \u003d - B ± D 2 · A und ersetzt die entsprechenden Werte, wir erhalten: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Wir vereinfachen den resultierenden Ausdruck und machen einen Multiplizierer für das Wurzelzeichen, gefolgt von dem Schneiden der Fraktion:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 oder x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 oder x \u003d - 1 - 7

Antworten: X \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Beispiel 7.

Es ist notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Entscheidung

Bestimmen Sie die Diskriminante: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Mit diesem diskriminanten Wert hat die anfängliche Gleichung nur eine von der Formel X \u003d B 2 · a definierte Wurzel.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Antworten: x \u003d 3, 5.

Beispiel 8.

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0

Entscheidung

Die numerischen Koeffizienten dieser Gleichung beträgt: a \u003d 5, b \u003d 6 und c \u003d 2. Wir verwenden diese Werte, um ein Diskriminiermittel zu finden: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Das berechnete Diskriminierungsmittel ist negativ, somit hat die anfängliche quadratische Gleichung keine gültigen Wurzeln.

Wenn die Aufgabe darin besteht, komplexe Wurzeln anzugeben, wenden Sie die Root-Formel an, indem Sie Aktionen mit komplexen Zahlen durchführen:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 oder x \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i oder x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Antworten: Es gibt keine gültigen Wurzeln; Komplexe Wurzeln sind wie folgt: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

IM schulprogramm Standardmäßig ist es nicht erforderlich, nach komplexen Wurzeln zu suchen, also, wenn während der Lösung das Diskriminierungsmittel als negativ definiert ist, wird die Antwort sofort aufgezeichnet, dass es keine gültigen Wurzeln gibt.

Formelwurzeln für sogar zweite Koeffizienten

Die Formel der Wurzeln x \u003d - B ± D 2 · A (d \u003d B 2 - 4 · A · c) ermöglicht es, eine andere Formel, kompakter, kompakter, ermöglicht, Lösungen von quadratischen Gleichungen mit einem gleichmäßigen Koeffizienten bei x zu finden (oder mit einem Typ-2-Koeffizienten · N, beispielsweise 2 · 3 oder 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Wir zeigen, wie diese Formel angezeigt wird.

Lassen Sie uns die Aufgabe sein, die Lösung der quadratischen Gleichung A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0 zu finden. Wir handeln auf dem Algorithmus: Bestimmen Sie die Diskriminante d \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c) und verwenden dann die Wurzelformel:

x \u003d - 2 · n ± d 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - N ± N 2 - A · ca.

Lassen Sie den Expression n 2 - a · c als d 1 (manchmal d ") angezeigt. Dann wird die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung unter Berücksichtigung mit dem zweiten Koeffizienten 2 · n das Formular annehmen:

x \u003d - N ± D 1 A, wobei D 1 \u003d N 2 - A · c.

Es ist leicht zu sehen, dass das d \u003d 4 · d 1 oder d 1 \u003d D 4 ist. Mit anderen Worten, d 1 ist ein Viertel der Diskrimination. Es ist offensichtlich, dass das Zeichen D 1 derselbe ist wie das Zeichen d, dh das Zeichen D 1 kann auch als Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der quadratischen Gleichung dienen.

Definition 11.

Um die Lösung der quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 · n zu finden, ist es daher erforderlich:

• finden d 1 \u003d n 2 - a · c;
• mit d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• bestimmen Sie für d 1 \u003d 0 die einzige Wurzel der Gleichung gemäß der Formel x \u003d - n a;
• für D 1\u003e 0 bestimmen Sie die beiden gültigen Wurzeln gemäß der Formel X \u003d - N ± D 1 A.

Beispiel 9.

Es ist notwendig, die quadratische Gleichung 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0 zu lösen.

Entscheidung

Der zweite Koeffizient der angegebenen Gleichung kann als 2 · (3) dargestellt werden. Schreiben Sie dann die angegebene quadratische Gleichung als 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, wobei a \u003d 5, n \u003d - 3 und c \u003d - 32.

Wir berechnen den vierten Teil des Diskriminierungsmittels: D 1 \u003d N 2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Der positiv erhaltene Wert bedeutet dies, dass die Gleichung zwei gültige Wurzeln aufweist. Wir definieren sie entsprechend der entsprechenden Wurzelformel:

x \u003d - N ± D 1 A, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 oder x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 oder x \u003d - 2

Es wäre möglich, Berechnungen und durch die übliche Formel der Wurzeln der eckigen Gleichung vorzunehmen, aber in diesem Fall wäre die Lösung umständlicher.

Antworten: x \u003d 3 1 5 oder x \u003d - 2.

Vereinfachung der Arten von quadratischen Gleichungen

Manchmal ist es möglich, die Art der Quellgleichung zu optimieren, was den Prozess der Berechnung der Wurzeln vereinfacht.

Beispielsweise ist eine quadratische Gleichung 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 eindeutig bequemer für die Lösung von als 1200 × 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Häufiger wird die Vereinfachung der Spezies der quadratischen Gleichung durch die Multiplikation oder Abteilung seiner beiden Teile in eine Art Anzahl durchgeführt. Zum Beispiel zeigten wir eine vereinfachte Aufzeichnung der Gleichung 1200 · x 2 bis 400 · x - 700 \u003d 0, erhalten durch Teilen beider Teilen um 100.

Eine solche Umwandlung ist möglich, wenn die Koeffizienten der quadratischen Gleichung nicht miteinander einfache Zahlen sind. Dann teilen sich in der Regel beide Teile der Gleichung auf den größten gemeinsamen Divisor von absoluten Werten seiner Koeffizienten.

Verwenden Sie als Beispiel eine quadratische Gleichung 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Wir definieren den Knoten der absoluten Werte seiner Koeffizienten: Knoten (12, 42, 48) \u003d Knoten (Knoten (12, 42), 48) \u003d Knoten (6, 48) \u003d 6. Wir teilen die beiden Teile der ursprünglichen quadratischen Gleichung auf 6 und wir erhalten die äquivalente quadratische Gleichung 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Die Multiplikation beider Teile der quadratischen Gleichung erfolgt in der Regel fraktionierte Koeffizienten. Gleichzeitig mit dem kleinsten allgemeinen allgemeinen nennor seiner Koeffizienten multipliziert. Wenn zum Beispiel jeder Teil der quadratischen Gleichung 1 6 × 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 ist, multiplizieren Sie vom NOC (6, 3, 1) \u003d 6, dann wird es in einem einfacheren Form X 2 aufgezeichnet + 4 · x - 18 \u003d 0.

Schließlich beachten wir, dass das Minus fast immer mit dem ersten Koeffizienten der quadratischen Gleichung beseitigt wird, wodurch die Anzeichen jedes Mitglieds der Gleichung geändert werden, das durch Multiplizieren (oder Abteilungen) beider Teile von 1 erreicht wird. Beispielsweise können Sie von einer quadratischen Gleichung - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0 in seine vereinfachte Version 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0 gehen.

Kommunikation zwischen Wurzeln und Koeffizienten

Die Formel der Wurzeln von quadratischen Gleichungen X \u003d - B ± D 2 · A, das uns bereits bekannt ist, drückt die Wurzeln der Gleichung durch seine numerischen Koeffizienten aus. Wir haben uns auf diese Formel, wir haben die Möglichkeit, andere Abhängigkeiten zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten einzustellen.

Die berühmtesten und anwendbaren sind die Formeln des Vieta-Satzes:

x 1 + x 2 \u003d - B A und X 2 \u003d C a.

Insbesondere für die reduzierte quadratische Gleichung ist die Menge der Wurzeln der zweite Koeffizient mit dem gegenüberliegenden Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist kostenlos. Zum Beispiel ist es beispielsweise gemäß der Spezies der quadratischen Gleichung 3 · x 2 bis 7 · x + 22 \u003d 0 möglich, sofort zu bestimmen, dass die Summe seiner Wurzeln 7 3 beträgt, und das Produkt der Wurzeln ist 22 3.

Sie können auch eine Reihe anderer Verbindungen zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten der eckigen Gleichung finden. Zum Beispiel kann die Summe der Quadrate der Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Koeffizienten ausgedrückt werden:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - BA 2 - 2 · ca \u003d B 2 A 2 - 2 · ca \u003d B 2 - 2 · A · ca 2

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In diesem Artikel werden wir die Entscheidung unvollständiger eckiger Gleichungen ansehen.

Aber zuerst wiederholen wir, welche Gleichungen genannt werden sollen. Gleichung des Formulars AH 2 + BX + C \u003d 0, wobei X eine Variable ist, und die Koeffizienten A, B und mit einigen Zahlen und ≠ 0 genannt quadrat. Wie wir sehen, dass der Koeffizient bei X 2 nicht Null ist, und daher können die Koeffizienten bei X- oder Free-Element Null sein, in diesem Fall erhalten wir in diesem Fall eine unvollständige quadratische Gleichung.

Unvollständige quadratische Gleichungen sind drei Arten:

1) Wenn B \u003d 0, c ≠ 0, dann AH 2 + C \u003d 0;

2) Wenn b ≠ 0, c \u003d 0, dann AH 2 + BX \u003d 0;

3) Wenn B \u003d 0, C \u003d 0, dann AH 2 \u003d 0.

• Verstehen wir, wie man lösen soll gleichungen des Formulars AH 2 + C \u003d 0.

Um die Gleichung zu lösen, indem wir ein kostenloses Mitglied mit dem rechten Teil der Gleichung verschieben, erhalten wir

ah 2 \u003d -c. Da ein ≠ 0, dann teilen wir beide Teile der Gleichung an einem, dann x 2 \u003d -C / a auf.

Wenn -S / A\u003e 0, hat die Gleichung zwei Wurzeln

x \u003d ± √ (-c / a).

Wenn -c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Versuchen wir, die Beispiele herauszufinden, wie diese Gleichungen lösen.

Beispiel 1.. Legen Sie die Gleichung 2x 2 - 32 \u003d 0 fest.

Antwort: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Beispiel 2.. Legen Sie die Gleichung 2x 2 + 8 \u003d 0 fest.

Antwort: Die Lösungsgleichung hat keine.

• Wir werden verstehen, wie man lösen soll gleichungen des Formulars AH 2 + BX \u003d 0.

Um die Gleichung Ah 2 + BX \u003d 0 zu lösen, zersetzen wir es auf Multiplikatoren, dh wir bringen es in die Klammern X, wir erhalten X (AH + B) \u003d 0. Das Produkt ist Null, wenn mindestens eins der Multiplizierer ist Null. Dann oder x \u003d 0 oder ah + b \u003d 0. Auflösen der Gleichung Ah + B \u003d 0, erhalten wir Ah \u003d - B, wobei x \u003d - b / a. Die Gleichung des Formulars AH 2 + BX \u003d 0 hat immer zwei Wurzeln x 1 \u003d 0 und x 2 \u003d - b / a. Sehen Sie, wie es wie eine Lösung für die Lösung der Gleichungen dieser Art aussieht.

Sichern Sie unser Wissen über ein bestimmtes Beispiel.

Beispiel 3.. Gleichung der Gleichung 3x 2 - 12x \u003d 0 lösen.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 oder 3x - 12 \u003d 0

Antwort: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Dritte Gleichungen AH 2 \u003d 0 Sehr einfach gelöst.

Wenn AH 2 \u003d 0, dann X 2 \u003d 0. Die Gleichung hat zwei gleiche Wurzeln x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Berücksichtigen Sie für Klarheit das Schema.

Wir werden überzeugt sein, wenn das Beispiel 4, dass die Gleichungen dieser Art sehr einfach gelöst sind.

Beispiel 4. Gleichung von Gleichung 7x 2 \u003d 0 lösen.

Antwort: x 1, 2 \u003d 0.

Es ist nicht immer möglich, sofort zu verstehen, welche Art von unvollständiger eckiger Gleichung wir lösen müssen. Betrachten Sie das folgende Beispiel.

Beispiel 5 Gleichung lösen

Multiplizieren Sie beide Teile der Gleichung an einem gemeinsamen Nenner, dh um 30

Socil.

5 (5 × 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Klammern erinnern

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Lass uns ähnlich geben

Wir übertragen 99 des linken Teils der Gleichung nach rechts, wodurch das Zeichen auf das Gegenteil wechseln

Antwort: Keine Wurzeln.

Wir haben demontiert, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden. Ich hoffe, dass Sie jetzt keine Schwierigkeiten mit ähnlichen Aufgaben haben. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie die Art der unvollständigen quadratischen Gleichung ermitteln, dann werden Sie Erfolg haben.

Wenn Sie Fragen zu diesem Thema haben, melden Sie sich für meine Lektionen an, lösen wir Probleme miteinander.

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In der modernen Gesellschaft kann die Fähigkeit, Aktionen mit den auf dem Platz aufgeworfenen Gleichungen durchzuführen, in vielen Tätigkeitsbereiche nützlich sein und in der Praxis in wissenschaftlichen und technischen Entwicklungen häufig eingesetzt. Beweise dafür können das Design von Marine- und Flussschiffen, Flugzeugen, Flugzeugen und Raketen dienen. Mit Hilfe solcher Berechnungen können die Flugbahnen der Bewegung verschiedener Körper, einschließlich Raumobjekte, einschließlich Raumobjekte. Beispiele mit einer Lösung von quadratischen Gleichungen werden nicht nur in der wirtschaftlichen Prognose, in der Konstruktion und dem Bau von Gebäuden, sondern auch in den ordentlichen Alltagsumständen verwendet. Sie sind möglicherweise in touristischen Kampagnen, im Sport, in den Einkaufsgeschäften und in anderen sehr häufigen Situationen erforderlich.

Wir brechen den Ausdruck auf den Komponenten von Multiplizierern

Der Gleichungsgrad wird durch den Maximalwert des Grads in der Variablen bestimmt, der diesen Ausdruck enthält. Für den Fall, dass es 2 ist, ist eine solche Gleichung nur als Quadrat genannt.

Wenn die Sprache der Formeln exprimiert, können die angegebenen Ausdrücke, egal wie sie aussehen, immer durch das Formular verursacht werden, wenn der linke Teil des Ausdrucks aus drei Ausdrücken besteht. Unter ihnen: AX 2 (dh die mit seinem Koeffizient errichtete Variable), BX (unbekannt ohne Quadrat mit seinem Koeffizienten) und C (freie Komponente, dh die übliche Zahl). All dies in der rechten Seite ist gleich 0. In dem Fall, wenn es niemanden seiner Komponenten der Begriffen gibt, mit Ausnahme von Axt 2 wird es als unvollständige quadratische Gleichung bezeichnet. Beispiele mit der Lösung solcher Aufgaben, der Wert der Variablen, in denen es leicht zu finden ist, sollte zuerst berücksichtigt werden.

Wenn der Ausdruck in der Form erscheint, so sieht man so, dass zwei, genauer, Axt 2 und Bx, der Ausdruck auf dem Ausdruck auf der rechten Seite, am einfachsten ist, eine Variable für Klammern zu finden. Nun sieht unsere Gleichung so aus: X (AX + B). Als nächstes wird es offensichtlich, dass oder x \u003d 0, oder die Aufgabe wird reduziert, um eine Variable aus dem folgenden Ausdruck zu finden: AX + B \u003d 0. Die angegebene diktierte ein der Multiplikationseigenschaften. Die Regel sagt, dass das Produkt von zwei Faktoren nur 0 ergibt, nur wenn einer von ihnen Null ist.

Beispiel

x \u003d 0 oder 8x - 3 \u003d 0

Infolgedessen erhalten wir zwei Wurzeln der Gleichung: 0 und 0,375.

Die Gleichungen dieser Art können die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss der Schwerkraft beschreiben, der von einem bestimmten Punkt begann, der zu Beginn der Koordinaten angenommen wurde. Hier nimmt der mathematische Datensatz das folgende Formular an: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Ersetzen der erforderlichen Werte, die die rechte Seite 0 gleichsetzen und mögliche Unbekannte findet, können Sie die Zeit herausfinden, die von dem Moment des Körpers des Körpers bis zum Herbst, sowie viele andere Werte hinausgehen. Aber wir werden später darüber reden.

Zersetzung des Ausdrucks auf Multiplikatoren

Die oben beschriebene Regel ermöglicht es, die angegebenen Aufgaben und in komplexeren Fällen zu lösen. Betrachten Sie Beispiele mit der Lösungsquadratgleichung dieses Typs.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Dieses quadratische Dreifach ist abgeschlossen. Um damit zu beginnen, verwandeln wir den Ausdruck und zersetzen es für Multiplikatoren. Sie werden zwei erhalten: (x-8) und (x-25) \u003d 0. Infolgedessen haben wir zwei Wurzeln 8 und 25.

Beispiele mit der Lösung von quadratischen Gleichungen in der Grad 9 ermöglichen diese Methode, um nicht nur die zweite, sondern auch die dritte und vierte Bestellung eine Variable in Ausdrücken zu finden.

Beispiel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Mit der Zersetzung des rechten Teils der Multiplizierer mit einer Variablen werden sie drei erhalten, dh (x + 1), (x-3) und ( x + 3).

Infolgedessen wird es offensichtlich, dass diese Gleichung drei Wurzeln hat: -3; -einer; 3.

Quadratwurzel extrahieren

Ein weiterer Fall der unvollständigen Gleichung der zweiten Ordnung ist der Ausdruck in der Sprache der Buchstaben, die so präsentiert werden, dass die rechte Seite von den Komponenten von Axt 2 und C aufgebaut ist. Hier wird für den Wert der Variablen das freie Element auf die rechte Seite übertragen, und dann wird eine Quadratwurzel aus beiden Gleichheitsteilen extrahiert. Es sei darauf hingewiesen, dass in diesem Fall die Wurzeln der Gleichung normalerweise zwei sind. Eine Ausnahme kann nur gleich der Gleichheit sein, der im Allgemeinen nicht den Begriff C enthält, wobei die Variable Null ist, sowie die Optionen für Ausdrücke, wenn sich die rechte Seite als negativ aussieht. Im letzteren Fall existieren die Lösungen überhaupt nicht, da die obige Aktion nicht mit Wurzeln erzeugt werden kann. Beispiele für Lösungen von quadratischen Gleichungen dieser Art müssen berücksichtigt werden.

In diesem Fall werden die Wurzeln der Gleichung -4 und 4 sein.

Berechnung eines Grundstücks

Die Notwendigkeit solcher Berechnungen erschien in der tiefen Antike, da die Entwicklung der Mathematik in vielerlei Hinsicht in diesen fernen Zeiten auf die Notwendigkeit zurückzuführen ist, die Genauigkeit der Gegend und des Umkreises der Grundstände zu bestimmen.

Beispiele mit dem Lösen von quadratischen Gleichungen, die auf der Grundlage von Aufgaben dieser Art erstellt wurden, sollten für uns in Betracht gezogen werden.

Sagen wir also, es gibt ein rechteckiges Grundstück, dessen Länge 16 Meter mehr als die Breite ist. Es sollte eine Länge, Breite und Umfang der Site gefunden werden, wenn bekannt ist, dass sein Bereich 612 m 2 entspricht.

Machen Sie zunächst die notwendige Gleichung. Bezeichnen Sie mit x die Breite der Site, dann ist seine Länge (x + 16). Aus dem geschriebenen Es folgt, dass der Bereich durch den Expression x (x + 16) bestimmt wird, der gemäß der Bedingung unseres Problems 612 ist. Dies bedeutet, dass x (x + 16) \u003d 612.

Die Lösung kompletter eckiger Gleichungen, und dieser Ausdruck ist genau so, dass sie nicht auf dieselbe Weise durchgeführt werden können. Warum? Obwohl die linke Seite davon immer noch zwei Faktoren enthält, ist das Produkt überhaupt nicht gleich 0, also werden hier andere Verfahren verwendet.

Diskriminierend

Zunächst werden wir die notwendigen Transformationen produzieren, dann aussehen Dieser Ausdruck sieht aus wie folgt: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Dies bedeutet, dass wir einen Ausdruck in der Form erhalten haben, die dem zuvor bestimmten Standard entspricht, wobei a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Dies kann ein Beispiel sein, um quadratische Gleichungen durch Diskriminierungsmittel zu lösen. Hier erforderliche Berechnungen Hergestellt nach dem Schema: D \u003d B 2 - 4AC. Dieser Hilfswert ermöglicht es nicht nur, die gewünschten Werte in der Gleichung der zweiten Ordnung zu finden, sondern bestimmt die Anzahl möglichkeiten. In dem Fall D\u003e 0 gibt es zwei; Wenn d \u003d 0, gibt es eine Wurzel. In Fall D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Über Wurzeln und ihre Formel

In unserem Fall beträgt das Diskriminant: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Dies deutet darauf hin, dass die Antwort von unserer Aufgabe existiert. Wenn Sie wissen, muss k die Lösung von quadratischen Gleichungen unter Verwendung der untenstehenden Formel fortgesetzt werden. Sie können die Wurzeln berechnen.

Dies bedeutet, dass im Fall: X 1 \u003d 18, X 2 \u003d -34. Die zweite Version in diesem Dilemma kann keine Lösung sein, da die Abmessungen des Landes nicht in negativen Werten gemessen werden können, bedeutet dies, dass x (dh die Breite der Site) 18 m beträgt. Von hier aus berechnen wir die Länge: 18 + 16 \u003d 34 und Umfang 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Beispiele und Ziele.

Wir studieren weiterhin quadratische Gleichungen. Beispiele und eine detaillierte Lösung von mehreren von ihnen wird später gegeben.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Wir übertragen alles in den linken Teil der Gleichheit, wir machen eine Transformation, d. H. Wir erhalten die Form der Gleichung, die Standards namentlich ist, und resultiert es mit Null.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Nach dem Zusammenklappen definieren wir die Diskriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Unsere Gleichung wird also zwei Wurzeln haben. Wir berechnen sie nach der obigen Formel, dh der erste von ihnen ist 4/3 und der zweite.

2) offenbaren nun die Rätsel einer anderen Art.

Finden Sie heraus, gibt es hier Wurzeln x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Um eine umfassende Antwort zu erhalten, geben wir ein Polynom zur entsprechenden Vertrautheit und berechnen die Diskriminante. In dem angegebenen Beispiel ist die Lösung der quadratischen Gleichung nicht erforderlich, da das Wesen der Aufgabe überhaupt nicht ist. In diesem Fall, d \u003d 16 - 20 \u003d 4, was bedeutet, dass es wirklich keine Wurzeln gibt.

Vieta Theorem.

Die quadratischen Gleichungen sind zweckmäßigerweise durch die obigen Formeln und diskriminierend, wenn die Quadratwurzel aus dem letzten Wert extrahiert wird. Aber es passiert nicht immer. Es gibt jedoch in diesem Fall viele Möglichkeiten, Variablen zu erhalten. Beispiel: Lösungen von quadratischen Gleichungen am Vieta-Satz. Sie ist benannt, nachdem sie im 19. Jahrhundert in Frankreich lebte und aufgrund seines mathematischen Talents und der Innenhöfe eine brillante Karriere machte. Porträt ist in dem Artikel zu sehen.

Das Muster, das der berühmte Franzosen bemerkte, war wie folgt. Er bewies, dass die Wurzeln der Gleichung in der Menge numerisch gleich einer -P \u003d B / A sind, und ihr Produkt entspricht q \u003d c / a.

Betrachten Sie nun spezifische Aufgaben.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Zur Vereinfachung transformieren wir den Ausdruck:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Wir verwenden den Vieta-Theorem, es wird uns folgendes geben: Die Menge der Wurzeln ist -7 und ihre Arbeit -18. Von hier aus haben wir, dass die Wurzeln der Gleichung Nummern sind --9 und 2. Nachdem Sie einen Scheck gemacht haben, stellen Sie sicher, dass diese Werte von Variablen wirklich im Ausdruck geeignet sind.

Grafik- und Parabola-Gleichung

Konzepte Die quadratische Funktion und eckige Gleichungen sind eng miteinander verbunden. Beispiele dafür wurden bereits früher gezeigt. Betrachten Sie nun einige mathematische Rätsel etwas mehr. Jede Gleichung des beschriebenen Typs kann sich vorstellen. Eine ähnliche Abhängigkeit in Form eines Graphen wird als Parabola bezeichnet. Ihre verschiedenen Typen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Jede Parabola hat einen Scheitelpunkt, dh der Punkt, von dem seine Zweige herauskommen. In dem Fall A\u003e 0 hinterlassen sie hoch in unendlich und wenn ein<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle Bilder von Funktionen helfen, alle Gleichungen zu lösen, einschließlich Quadrat. Diese Methode wird als Grafik bezeichnet. Der Wert der Variablen x ist die Koordinate der Abszisse an Punkten, an denen der Graph des Graphen von 0x überquert wird. Die Koordinaten der Scheitelpunkte sind gemäß der einzigen gegebenen Formel x 0 \u003d -b / 2a zu finden. Wenn Sie den resultierenden Wert auf die anfängliche Gleichung der Funktion ersetzen, können Sie Y 0 lernen, dh die zweite Koordinate des zur Ordinatenachse angehörenden Pearabol-Scheitelung.

Überquerung der Zweige von Parabola mit der ABSCISSA-Achse

Beispiele mit Lösungen von quadratischen Gleichungen sind sehr viel, aber es gibt allgemeine Muster. Betrachte sie Es ist klar, dass die Kreuzung des Diagramms mit der Achse 0x an A\u003e 0 nur möglich ist, wenn 0 negative Werte empfängt. Und für A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Andernfalls D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Gemäß der Tabelle können die Parabeln definiert und Wurzeln definiert werden. Das Gegenteil ist auch wahr. Das heißt, wenn Sie ein visuelles Bild einer quadratischen Funktion erhalten, ist nicht einfach, Sie können den richtigen Teil des Ausdrucks auf 0 gleichsetzen und die erhaltene Gleichung lösen. Und die Kreuzungspunkte mit der 0x-Achse kennen, ist es einfacher, einen Zeitplan aufzubauen.

Aus der Geschichte.

Mit Hilfe von Gleichungen, die die mit dem Platz aufgeworfene Variable in den alten Tagen nicht nur mathematische Berechnungen ergab, und ermittelt den Bereich der geometrischen Figuren. Ähnliche Berechnungen des Antikes wurden für große Entdeckungen im Bereich der Physik- und Astronomie benötigt sowie astrologische Prognosen erstellen.

Als die modernen Wissenschaftszahlen deuten, dass die Bewohner von Babylon unter den ersten Lösungen von quadratischen Gleichungen unter den ersten Lösungen von Babylon aufgenommen wurden. Es ist in vier Jahrhunderten vor dem Beginn unserer Ära passiert. Natürlich unterschieden sich ihre Berechnungen in der Wurzel von nun angenommen und erwiesen sich als viel primitiv. Beispielsweise hatten Mesopotamian Mathematiker keine Ahnung von der Existenz negativer Zahlen. Die Fremden hatten auch andere Feinheiten von denen, die einen Schüler unserer Zeit kennen.

Vielleicht sogar frühere Wissenschaftler von Babylon, die Lösung von quadratischen Gleichungen, ein Salbei von Indien Budhoyama, verlobt. Es passierte in etwa acht Jahrhunderten vor der Ära Christi. True, die Gleichung der zweiten Ordnung, die Methoden der Lösung, die er leitete, war das gleichzeitige. Neben ihm waren solche Fragen an alten und chinesischen Mathematikern interessiert. In Europa begannen die quadratischen Gleichungen, nur im frühen XIII-Jahrhundert zu lösen, aber später wurden sie in ihrer Arbeit so großartige Wissenschaftler als Newton, Descartes und viele andere verwendet.

Mit diesem mathematischen Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwortaufgabe an, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- mit Hilfe von diskriminierendem
- Verwenden des Vieta-Satzes (falls möglich).

Darüber hinaus wird die Antwort genau ausgegeben, nicht ungefähr.
Zum Beispiel für die Gleichung \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) wird die Antwort in diesem Formular ausgegeben:

$$ X_1 \u003d \\ frac (81 \\ sqrt (145)) (81), \\ Quad x_2 \u003d \\ frac (8-1 \\ sqrt (145)) (81) $$ und nicht dabei: \\ (x_1 \u003d 0,247 ; \\ Quad x_2 \u003d -05 \\)

Dieses Programm kann für Studierende von High Schools of General Education Schools nützlich sein, wenn Sie auf Tests und Prüfungen vorbereiten, wenn Sie das Wissen vor der Prüfung überprüfen, Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu überwachen. Oder vielleicht sind Sie zu teuer, um einen Tutor einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie nur Ihre Hausaufgaben in Mathematik oder Algebra wie möglich machen? In diesem Fall können Sie unsere Programme auch mit einer detaillierten Lösung verwenden.

So können Sie Ihre eigene Schulung und / oder Schulung Ihrer jüngeren Brüder oder Schwestern durchführen, während das Bildungsniveau auf dem Gebiet der gelösten Aufgaben steigt.

Wenn Sie mit den Regeln der Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich mit ihnen vertraut zu machen.

Square Polynom-Eingangsregeln

Als Variable kann ein beliebiger lateinischer Brief sein.
Zum Beispiel: \\ (X, Y, Z, A, B, C, O, P, Q \\) usw.

Zahlen können ganz oder fraktioniert betreten.
Darüber hinaus können fraktionale Zahlen nicht nur in Form einer Dezimalstelle verabreicht werden, sondern auch in Form einer gewöhnlichen Fraktion.

Die Regeln für die Eingabe von Dezimalfraktionen.
In Dezimalfraktionen kann der fraktionierte Teil des Ganzen als Punkt und Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalfraktionen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regeln für die Eingabe von gewöhnlichen Fraktionen.
Nur eine Ganzzahl kann als Zähler, Nenner und ein ganzer Teil der Fraktion dienen.

Der Nenner kann nicht negativ sein.

Beim Eintritt in eine numerische Fraktion trennt sich der Numerator vom Nenner an das Spaltzeichen: /
Das gesamte Teil ist vom Frarat-Ampersandzeichen getrennt: &
Eingabe: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1/7z ^ 2
Ergebnis: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

Beim Betreten des Ausdrucks sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen der quadratischen Gleichung der eingegebene Expression zuerst vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2 (y - 1) (y + 1) - (5Y-10 & 1/2)

=0

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Ein bisschen Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen.

Jede der Gleichungen
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ Quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ Quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
Hat Aussehen
\\ (AX ^ 2 + BX + C \u003d 0, \\)
wobei x Variable, A, B- und C-Zahlen ist.
In der ersten Gleichung A \u003d -1, B \u003d 6 und C \u003d 1,4, in der zweiten A \u003d 8, B \u003d -7 und C \u003d 0, in der dritten a \u003d 1, b \u003d 0 und c \u003d 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen..

Definition.
Quadratische Gleichung. Die Gleichung der Form AX 2 + BX + C \u003d 0, wobei X die Variable, A, B und C einige Zahlen sind, und \\ (A \\ neq 0 \\).

Die Zahlen A, B und C sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl A wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl B ist der zweite Koeffizient und die Zahl C - ein freies Element.

In jedem der Gleichungen der Form AX 2 + BX + C \u003d 0, wobei \\ (a \\ neq 0 \\) der größte Grad des variablen X-Quadrats ist. Daher der Name: Square Gleichung.

Beachten Sie, dass die quadratische Gleichung auch als Gleichung des zweiten Grades bezeichnet wird, da sein linkes Teil ein Polynom der zweiten Grad hat.

Quadratische Gleichung, in dem der Koeffizient bei X 2 1 ist, genannt gegebene quadratische Gleichung. Beispielsweise sind gegebene quadratische Gleichungen Gleichungen
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ Quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ Quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Wenn in der quadratischen Gleichung Axt 2 + BX + C \u003d 0, mindestens einer der Koeffizienten B oder C Null ist, wird eine solche Gleichung genannt unvollständige quadratische Gleichung.. So sind die Gleichungen -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 unvollständige quadratische Gleichungen. In dem ersten von ihnen b \u003d 0, in der zweiten c \u003d 0, im dritten b \u003d 0 und c \u003d 0.

Unvollständige quadratische Gleichungen sind drei Arten:
1) AX 2 + C \u003d 0, wobei \\ (c \\ neq 0 \\);
2) AX 2 + BX \u003d 0, wobei \\ (b \\ neq 0 \\);
3) AX 2 \u003d 0.

Betrachten Sie die Lösung der Gleichungen jeder dieser Spezies.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form Axt 2 + C \u003d 0 zu lösen, wird es mit \\ (c \\ neq 0 \\) mit \\ (c \\ neq 0 \\) in das freie Element in die rechte Seite übertragen und werden beide Teile der Gleichung auf A:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ rightarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Seit \\ (c \\ neq 0 \\), dann \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Wenn \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn \\ (- \\ frac (c) (a), um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form AX 2 + BX \u003d 0 zu lösen, mit \\ (b \\ neq 0 \\), die ihren linken Teil an Multiplikatoren ablehnen und die Gleichung erhalten
\\ (X (AX + B) \u003d 0 \\ Rightsarrow \\ Links \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ AX + B \u003d 0 \\ END (ARRAY) \\ RECHTS. \\ RightArrow \\ Links \\ (\\ Beginnen (Array) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (array) \\ RECHTS. \\)

So hat eine unvollständige quadratische Gleichung der Form AX 2 + BX \u003d 0 mit \\ (b \\ neq 0 \\) immer zwei Wurzeln.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form AX 2 \u003d 0 ist der Gleichung x 2 \u003d 0 äquivalent und hat daher den einzigen Wurzel 0.

Quadratgleichungswurzelformel

Berücksichtigen Sie nun, wie die quadratischen Gleichungen lösen, in denen beide Koeffizienten mit unbekanntem und freiem Mitglied von Null abweichen.

SPUMMEN-Square-Gleichung in allgemeines Und als Ergebnis erhalten wir die Wurzelformel. Dann kann diese Formel beim Lösen einer beliebigen quadratischen Gleichung verwendet werden.

RESSTER SQUARE EQUATION AX 2 + BX + C \u003d 0

Trennen Sie beide Teile davon auf A, erzielen wir das Äquivalent der dargestellten quadratischen Gleichung
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Wir transformieren diese Gleichung, wodurch das Quadrat des Aufpralls hervorhebt:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ links (\\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2- \\ links (\\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ rightarrow \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ links (\\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 \u003d \\ links (\\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 - \\ frac (c) (a) \\ rightarrow \\) \\ (\\ Links (x + \\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \\ frac (c) (a) \\ RightArrow \\ Left (x + \\ frac (b) (2a) \\ rechts) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \\ rightarrow \\) \\ (x + \\ Frac (b) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \\ rightarrow x \u003d - \\ frac (b) (2a) + \\ frac (\\ pm \\ sqrt ( B ^ 2 -4AC)) (2a) \\ Rightarrow \\) \\ (x \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (B ^ 2-4AC)) (2a) \\)

Der geführte Ausdruck wird aufgerufen diskriminante quadratische Gleichung. AX 2 + BX + C \u003d 0 ("diskriminierend" in Latein ist ein Bescheider). Es ist vom Buchstaben D bezeichnet, d. H.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Umschreiben Sie nun mit der Bezeichnung des Diskriminanten die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (d)) (2a) \\), wobei \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)

Es ist klar, dass:
1) Wenn d\u003e 0, hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn d \u003d 0 ist, weist die quadratische Gleichung eine Wurzel \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\) auf.
3) Wenn d dadurch ist, je nach dem diskriminanten Wert, kann die quadratische Gleichung zwei Wurzeln (mit d\u003e 0), eine Wurzel (bei d \u003d 0) aufweisen oder nicht, um Wurzeln (mit d, bei der Lösung der quadratischen Gleichung für Diese Formel ist ratsam, auf folgende Weise anzuwenden:
1) Berechnen Sie das Diskriminant und vergleichen Sie es mit Null;
2) Wenn das Diskriminierungsmittel positiv oder gleich Null ist, dann verwenden Sie die Wurzelformel, wenn das Diskriminierungsmittel negativ ist, dann die Wurzeln aufschreiben.

Vieta Theorem.

Die dargestellte quadratische Gleichung Axt 2 -7x + 10 \u003d 0 hat Wurzeln 2 und 5. Die Menge der Wurzeln beträgt 7, und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Menge der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, der mit dem Gegenteil entnommen wird Zeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich einem kostenlosen Mitglied. Eine solche Eigenschaft hat eine gegebene quadratische Gleichung mit einer Wurzel.

Die Summe der Wurzeln der dargestellten quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, der mit dem gegenüberliegenden Vorzeichen aufgenommen wurde, und das Produkt der Wurzeln ist gleich einem freien Element.

Jene. Der Vieta-Theorem argumentiert, dass die Wurzeln des X 1 und X 2 der angegebenen quadratischen Gleichung x 2 + px + q \u003d 0 eine Eigenschaft haben:
\\ (\\ Links \\ (\\ Start (Anschluss) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (Array) \\ RECHTS. \\)