„Was wir wissen, ist begrenzt, aber was wir nicht wissen, ist unendlich“

Pierre-Simon Laplace (1749-1827), französischer Wissenschaftler

Grenzenlose Liebe, grenzenloses Glück, grenzenloser Raum, Permafrost, grenzenloses Meer und sogar eine endlose Lektion. Im Alltag nennen wir Dinge und Phänomene oft endlos, denken aber oft nicht einmal über die wahre Bedeutung dieses Begriffs nach. Inzwischen haben Theologen, Philosophen und andere große Geister der Menschheit seit den ältesten Zeiten versucht, seine Bedeutung zu verstehen. Und nur Mathematiker sind in der Erkenntnis dessen, was man Unendlichkeit nennt, am weitesten fortgeschritten.

Was ist unendlich?

Vieles von dem, was wir um uns herum sehen, wird von uns als Unendlichkeit wahrgenommen, aber in Wirklichkeit entpuppt es sich als ganz endliche Dinge. So erklären sie Kindern manchmal, wie groß die Unendlichkeit ist: "Wenn du alle hundert Jahre ein Sandkorn an einem riesigen Strand sammelst, dauert es ewig, bis du den ganzen Sand am Strand gesammelt hast." Tatsächlich ist die Anzahl der Sandkörner jedoch nicht unendlich. Physikalisch ist es unmöglich, sie zu zählen, aber wir können mit Sicherheit sagen, dass ihre Anzahl einen Wert nicht überschreitet, der dem Verhältnis der Masse der Erde zur Masse eines Sandkorns entspricht.

Oder ein anderes Beispiel. Viele Leute denken, dass, wenn Sie zwischen zwei Spiegeln stehen, sich die Reflexion in beiden Spiegeln wiederholt, in die Ferne geht und immer kleiner wird, sodass es unmöglich ist, zu bestimmen, wo sie endet. Leider ist dies nicht unendlich. Was ist wirklich los? Kein Spiegel reflektiert 100 % des einfallenden Lichts. Ein sehr hochwertiger Spiegel kann 99% des Lichts reflektieren, aber nach 70 Reflexionen bleiben nur 50% davon übrig, nach 140 Reflexionen - nur 25% des Lichts usw., bis zu wenig Licht vorhanden ist. Darüber hinaus sind die meisten Spiegel gekrümmt, sodass sich die vielen Reflexionen, die Sie sehen, "um die Kurve verstecken".

Schauen wir uns an, wie die Mathematik die Unendlichkeit interpretiert. Dies unterscheidet sich stark von dem Konzept der Unendlichkeit, das Sie zuvor kennengelernt haben, und erfordert ein wenig Vorstellungskraft.

Unendlichkeit in der Mathematik

In der Mathematik gibt es Potenzial und tatsächlich Unendlichkeit.

Wenn sie sagen, dass ein bestimmter Wert unendlich potenziell ist, meinen sie, dass er unbegrenzt erhöht werden kann, dh es gibt immer ein Potenzial für seine Erhöhung.

Der Begriff der tatsächlichen Unendlichkeit bezeichnet eine unendliche Menge, die bereits „hier und jetzt“ wirklich existiert. Lassen Sie uns dies am Beispiel des üblichen DIRECT erklären.

Beispiel 1.

Potentielle Unendlichkeit bedeutet, dass es eine Gerade gibt und diese kontinuierlich fortgesetzt werden kann (zB durch Anlegen von Segmenten). Bitte beachten Sie, dass hier nicht die Unendlichkeit der Geraden im Vordergrund steht, sondern die unendliche Fortsetzung der Geraden.

Tatsächliche Unendlichkeit bedeutet, dass die ganze unendliche Gerade bereits im Präsens existiert. Aber das Problem ist, dass kein einziger lebender Mensch eine endlose gerade Linie gesehen hat und physisch nicht in der Lage ist, dies zu tun! Es ist eine Sache, eine gerade Linie unendlich verlängern zu können, und eine ganz andere, in Wirklichkeit eine unendliche gerade Linie zu schaffen. Dies ist eine sehr subtile Unterscheidung und unterscheidet potenzielle Unendlichkeit von tatsächlicher. Puh! Der Umgang mit diesen Unendlichkeiten erfordert viel Vorstellungskraft! Nehmen wir ein anderes Beispiel.

Beispiel 2.

Angenommen, Sie möchten eine Reihe natürlicher Zahlen bilden: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...

Irgendwann haben Sie eine sehr große Zahl n erreicht und denken, dass dies die größte Zahl ist. In diesem Moment sagt Ihr Freund, dass es ihn nichts kostet, 1 (eins) zu Ihrer Zahl n zu addieren und eine noch größere Zahl k = n + 1 zu erhalten Zahl k eins und erhält die Zahl k + 1. Ist die Anzahl solcher Schritte im Voraus begrenzt? Nein. Natürlich haben Sie und Ihr Freund vielleicht nicht genug Kraft, Zeit bei einem Schritt m, um den nächsten Schritt m + 1 zu machen, aber möglicherweise können Sie oder jemand anderes diese Reihe weiter aufbauen. In diesem Fall erhalten wir das Konzept der potentiellen Unendlichkeit.

Wenn es Ihnen und Ihrem Freund gelingt, eine unendliche Reihe natürlicher Zahlen zu bilden, deren Elemente gleichzeitig vorhanden sind, ist dies die tatsächliche Unendlichkeit. Aber Tatsache ist, dass niemand alle Zahlen aufschreiben kann - das ist eine unbestreitbare Tatsache!

Stimmen Sie zu, dass die potenzielle Unendlichkeit für uns verständlicher ist, weil sie einfacher vorstellbar ist. Daher erkannten antike Philosophen und Mathematiker nur die potenzielle Unendlichkeit und lehnten die Möglichkeit, mit der tatsächlichen Unendlichkeit zu operieren, entschieden ab.

Galileis Paradoxon

1638 stellte der große Galilei die Frage: „Ist unendlich viele – sind es immer dieselben unendlich vielen? Oder kann es größere und kleinere Unendlichkeiten geben?“

Er formulierte ein Postulat, das später den Namen "Galileos Paradox" erhielt: Es gibt so viele natürliche Zahlen wie Quadrate natürlicher Zahlen, also in der Menge 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10 ... gleich viele Elemente , wie viele im Set 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ...

Die Essenz des Paradoxons ist wie folgt.

Einige Zahlen sind exakte Quadrate (also die Quadrate anderer Zahlen), zum Beispiel: 1, 4, 9 ... Andere Zahlen sind keine exakten Quadrate, zum Beispiel 2, 3, 5 ... Es müssen also mehr sein exakte Quadrate und gewöhnliche Zahlen zusammen, als nur perfekte Quadrate. Richtig? Richtig.

Aber andererseits: für jede Zahl gibt es ihr exaktes Quadrat und umgekehrt - für jedes exakte Quadrat gibt es eine ganze Quadratwurzel, also muss es gleich viele exakte Quadrate und natürliche Zahlen geben. Richtig? Richtig.

Galileis Argumentation geriet in Konflikt mit dem unbestreitbaren Axiom, dass das Ganze größer ist als alle seine Teile. Er konnte nicht beantworten, welche Unendlichkeit größer ist – die erste oder die zweite. Galilei glaubte, dass er sich entweder in etwas geirrt hatte oder dass solche Vergleiche nicht auf Unendlichkeiten anwendbar sind. Mit letzterem hatte er recht, denn drei Jahrhunderte später bewies Georg Cantor, dass "die Arithmetik des Unendlichen sich von der Arithmetik des Endlichen unterscheidet".

Abzählbare Unendlichkeiten: Teil ist gleich Ganz

Georg Cantor(1845-1918), der Begründer der Mengenlehre, begann die tatsächliche Unendlichkeit in der Mathematik zu verwenden. Er gab zu, dass die ganze Unendlichkeit gleichzeitig existiert. Und da es unendlich viele Mengen auf einmal gibt, können mathematische Manipulationen mit ihnen durchgeführt und sogar verglichen werden. Da bei Unendlichkeiten die Worte „Zahl“ und „Menge“ unpassend sind, prägte er den Begriff „Macht“. Als Standard nahm Cantor unendliche natürliche Zahlen, die ausreichen würden, um alles neu zu berechnen, nannte diese Menge abzählbar und ihre Kardinalität - die Kardinalität einer abzählbaren Menge - und begann, sie mit der Kardinalität anderer Mengen zu vergleichen.

Er bewies, dass die Menge der natürlichen Zahlen genauso viele Elemente hat wie die Menge der geraden Zahlen! Tatsächlich schreiben wir untereinander:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

Auf den ersten Blick scheint es offensichtlich, dass im ersten Satz doppelt so viele Zahlen enthalten sind wie im zweiten. Andererseits ist aber klar, dass auch die zweite Folge abzählbar ist, da jede ihrer Zahlen IMMER genau einer Zahl der ersten Folge entspricht. Umgekehrt! Die zweite Sequenz kann also nicht vor der ersten erschöpft sein. Daher sind diese Sets gleichermaßen mächtig! In ähnlicher Weise wird bewiesen, dass die Menge der Quadrate der natürlichen Zahlen (aus Galileis Paradox) abzählbar und gleich der Menge der natürlichen Zahlen ist. Daraus folgt, dass alle abzählbaren Unendlichkeiten von gleicher Potenz sind.

Es stellt sich sehr interessant heraus: Die Menge der geraden Zahlen und die Menge der Quadrate der natürlichen Zahlen (aus Galileis Paradoxon) sind Teil der Menge der natürlichen Zahlen. Aber sie sind ebenso mächtig. Daher IST TEIL DEM GANZEN GLEICH!

Unzählige Unendlichkeiten

Aber nicht jede Unendlichkeit kann gezählt werden, wie wir es mit geraden Zahlen und Quadraten natürlicher Zahlen getan haben. Es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, Punkte auf einem Segment zu zählen, reelle Zahlen (ausgedrückt in allen endlichen und unendlichen Dezimalbrüchen), sogar alle reellen Zahlen von 0 bis 1. In der Mathematik sagt man, dass ihre Zahl unzählbar ist.

Betrachten wir dies am Beispiel einer Folge von Bruchzahlen. Bruchzahlen haben eine Eigenschaft, die ganze Zahlen nicht haben. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen gibt es keine anderen ganzen Zahlen. Beispielsweise "passt" keine andere ganze Zahl zwischen 8 und 9. Aber wenn wir der Menge der ganzen Zahlen Bruchzahlen hinzufügen, wird diese Regel nicht mehr erfüllt. Also die Zahl

wird zwischen 8 und 9 liegen. In ähnlicher Weise können Sie die Zahl zwischen zwei beliebigen Zahlen A und B finden:

Da diese Aktion unendlich wiederholt werden kann, kann argumentiert werden, dass zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen immer unendlich viele andere reelle Zahlen liegen.

Somit ist die Unendlichkeit der reellen Zahlen abzählbar und die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen abzählbar. Diese Unendlichkeiten sind nicht äquivalent, aber Sie können aus der unzählbaren Menge der reellen Zahlen immer den abzählbaren Teil auswählen, zum Beispiel natürliche oder gerade Zahlen. Daher ist überzählbare Unendlichkeit mächtiger als abzählbare Unendlichkeit.

Die Relativitätstheorie betrachtet Raum und Zeit als eine Einheit, die sogenannte "Raumzeit", in der die Zeitkoordinate die gleiche wesentliche Rolle spielt wie die räumliche. Daher können wir vom Standpunkt der Relativitätstheorie im allgemeinsten Fall nur von der Endlichkeit oder Unendlichkeit dieser besonderen vereinten "Raum - Zeit" sprechen. Aber dann betreten wir die sogenannte vierdimensionale Welt, die ganz besondere geometrische Eigenschaften hat, die sich am deutlichsten von den geometrischen Eigenschaften der dreidimensionalen Welt, in der wir leben, unterscheiden.

Und die Unendlichkeit oder Endlichkeit der vierdimensionalen "Raumzeit" sagt noch immer nichts oder fast nichts über die räumliche Unendlichkeit des uns interessierenden Universums aus.

Andererseits ist die vierdimensionale "Raumzeit" der Relativitätstheorie nicht nur ein bequemer mathematischer Apparat. Es spiegelt wohldefinierte Eigenschaften, Abhängigkeiten und Muster des realen Universums wider. Und deshalb müssen wir bei der Lösung des Problems der Unendlichkeit des Raumes aus der Sicht der Relativitätstheorie mit den Eigenschaften der "Raumzeit" rechnen. Bereits in den zwanziger Jahren des laufenden Jahrhunderts hat A. Friedman gezeigt, dass im Rahmen der Relativitätstheorie die getrennte Formulierung der Frage nach der räumlichen und zeitlichen Unendlichkeit des Universums nicht immer, sondern nur unter bestimmten Bedingungen möglich ist. Diese Bedingungen sind: Homogenität, d. h. die Gleichmäßigkeit der Verteilung der Materie im Universum, und Isotropie, d. h. gleiche Eigenschaften in jeder Richtung. Nur bei Homogenität und Isotropie wird eine einzige "Raum - Zeit" in "homogener Raum" und universelle "Weltzeit" aufgespalten.

Aber wie bereits erwähnt, ist das reale Universum viel komplizierter als homogene und isotrope Modelle. Und das bedeutet, dass sich die vierdimensionale Welt der Relativitätstheorie, die der realen Welt, in der wir leben, im allgemeinen Fall entspricht, nicht in "Raum" und "Zeit" aufspaltet. Selbst wenn wir also mit zunehmender Genauigkeit der Beobachtungen die durchschnittliche Dichte (und damit die lokale Krümmung) für unsere Galaxie, für einen Galaxienhaufen, für eine beobachtbare Region des Universums berechnen können, wird dies immer noch keine Lösung sein auf die Frage nach der räumlichen Ausdehnung des Universums als Ganzes.

Interessant ist übrigens, dass sich manche Raumbereiche durchaus als endlich im Sinne einer Abgeschlossenheit erweisen können. Und zwar nicht nur der Raum der Metagalaxie, sondern auch jede Region, in der es genügend starke Massen gibt, die eine starke Krümmung verursachen, zum Beispiel der Raum von Quasaren. Aber wir wiederholen, dies sagt noch immer nichts über die Endlichkeit oder Unendlichkeit des Universums als Ganzes aus. Darüber hinaus hängt die Endlichkeit oder Unendlichkeit des Raumes nicht nur von seiner Krümmung ab, sondern auch von einigen anderen Eigenschaften.

Mit dem derzeitigen Stand der Allgemeinen Relativitätstheorie und der astronomischen Beobachtungen können wir die Frage nach der räumlichen Unendlichkeit des Universums daher nicht ausreichend vollständig beantworten.

Der berühmte Komponist und Pianist F. Liszt soll einem seiner Klavierwerke folgende Anweisungen für den Interpreten gegeben haben: „schnell“, „noch schneller“, „schnell, so bald wie möglich“, „noch schneller“ .. .

Diese Geschichte kommt einem unwillkürlich im Zusammenhang mit dem Studium der Frage nach der Unendlichkeit des Universums in den Sinn. Schon aus dem oben Gesagten wird deutlich, dass dieses Problem äußerst komplex ist.

Und doch ist es noch unermesslich schwieriger...

Erklären heißt auf das Bekannte reduzieren. Eine ähnliche Technik wird in fast jeder wissenschaftlichen Studie verwendet. Und wenn wir versuchen, das Problem der geometrischen Eigenschaften des Universums zu lösen, bemühen wir uns auch, diese Eigenschaften auf die üblichen Konzepte zu reduzieren.

Die Eigenschaften des Universums werden sozusagen an den derzeit existierenden abstrakten mathematischen Konzepten der Unendlichkeit „gemessen“. Aber reichen diese Konzepte aus, um das Universum als Ganzes zu beschreiben? Das Problem ist, dass sie weitgehend unabhängig und manchmal völlig unabhängig von den Problemen der Untersuchung des Universums und auf jeden Fall auf der Grundlage der Untersuchung eines begrenzten Raumbereichs entwickelt wurden.

Somit wird die Lösung der Frage nach der realen Unendlichkeit des Universums zu einer Art Lotterie, bei der die Gewinnwahrscheinlichkeit, d die formal abgeleiteten Maßstäbe der Unendlichkeit, ist sehr unbedeutend.

Grundlage moderner physikalischer Konzepte des Universums ist die sogenannte spezielle Relativitätstheorie. Nach dieser Theorie sind die räumlichen und zeitlichen Beziehungen zwischen den verschiedenen realen Objekten um uns herum nicht absolut. Ihr Charakter hängt ganz vom Bewegungszustand eines gegebenen Systems ab. In einem sich bewegenden System verlangsamt sich also das Tempo des Zeitablaufs, und alle Längenskalen, d. die Größe ausgedehnter Objekte wird reduziert. Und diese Reduktion ist umso stärker, je höher die Bewegungsgeschwindigkeit ist. Bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit, die in der Natur die maximal mögliche Geschwindigkeit ist, nehmen alle linearen Skalen auf unbestimmte Zeit ab.

Wenn aber zumindest einige geometrische Eigenschaften des Raumes von der Art der Bewegung des Bezugssystems abhängen, also relativ sind, stellt sich mit Recht die Frage: Sind die Begriffe Endlichkeit und Unendlichkeit auch relativ? Schließlich sind sie eng mit der Geometrie verwandt.

In den letzten Jahren hat der bekannte sowjetische Kosmologe A. L. Zelmapov dieses merkwürdige Problem untersucht. Es gelang ihm, eine Tatsache zu entdecken, die auf den ersten Blick absolut auffällt. Es stellte sich heraus, dass der Raum, der in einem festen Bezugssystem endlich ist, gleichzeitig relativ zu einem bewegten Bezugssystem unendlich sein kann.

Vielleicht wird diese Schlussfolgerung nicht so überraschend erscheinen, wenn wir uns an die Reduzierung der Skalen in bewegten Systemen erinnern.

Die populäre Darstellung komplexer Fragen der modernen theoretischen Physik wird dadurch sehr erschwert, dass sie in den meisten Fällen keine visuellen Erklärungen und Analogien zulässt. Trotzdem werden wir jetzt versuchen, eine Analogie zu geben, aber dabei versuchen wir nicht zu vergessen, dass es sich um eine sehr ungefähre Angabe handelt.

Stellen Sie sich vor, ein Raumschiff fliegt mit einer Geschwindigkeit von beispielsweise zwei Dritteln der Lichtgeschwindigkeit an der Erde vorbei – 200.000 km / s. Dann soll nach den Formeln der Relativitätstheorie eine Verkleinerung in allen Skalen um die Hälfte erfolgen. Das bedeutet, dass aus Sicht der Astronauten auf der Raumsonde alle Segmente auf der Erde doppelt so kurz werden.

Und nun stellen wir uns vor, wir haben zwar eine sehr lange, aber immer noch eine endliche Gerade und messen sie mit einer Maßeinheit der Längenskala, zum Beispiel einem Meter. Für einen Beobachter in einem Raumschiff, das sich mit einer Geschwindigkeit von annähernd Lichtgeschwindigkeit bewegt, zieht sich unser Referenzmeter auf einen Punkt zusammen. Und da es selbst auf einer endlichen Geraden unzählige Punkte gibt, wird unsere Gerade für einen Beobachter in einem Schiff unendlich lang. Ähnlich verhält es sich mit dem Flächen- und Volumenmaßstab. Folglich können endliche Raumbereiche in einem sich bewegenden Bezugssystem unendlich werden.

Wir wiederholen es noch einmal - dies ist keineswegs ein Beweis, sondern nur eine ziemlich grobe und bei weitem nicht vollständige Analogie. Aber es gibt eine Vorstellung von der physikalischen Natur des interessierenden Phänomens.

Erinnern wir uns nun daran, dass in sich bewegenden Systemen nicht nur die Skalen verkleinert werden, sondern auch der Zeitablauf verlangsamt. Daraus folgt, dass die Dauer der Existenz eines bestimmten Objekts, die in Bezug auf ein stationäres (statisches) Koordinatensystem endlich ist, in einem bewegten Bezugssystem unendlich lang sein kann.

So folgt aus Zelmanovs Arbeiten, dass die Eigenschaften von "Endlichkeit" und "Unendlichkeit" von Raum und Zeit relativ sind.

Natürlich können all diese auf den ersten Blick ziemlich "extravaganten" Ergebnisse nicht als Feststellung einiger allgemeiner geometrischer Eigenschaften des realen Universums angesehen werden.

Aber dank ihnen kann eine äußerst wichtige Schlussfolgerung gezogen werden. Auch aus Sicht der Relativitätstheorie ist das Konzept der Unendlichkeit des Universums viel komplizierter, als man bisher dachte.

Nun besteht allen Grund zu der Annahme, dass, wenn jemals eine allgemeinere Theorie als die Relativitätstheorie geschaffen wird, im Rahmen dieser Theorie die Frage nach der Unendlichkeit des Universums noch komplizierter ausfallen wird.

Eine der wichtigsten Bestimmungen der modernen Physik, ihr Eckpfeiler, ist die Forderung der sogenannten Invarianz physikalischer Aussagen bezüglich der Transformationen des Bezugssystems.

Invariant bedeutet "nicht ändernd". Um eine bessere Vorstellung davon zu bekommen, was dies bedeutet, geben wir als Beispiel einige geometrische Invarianten an. Kreise mit Mittelpunkten im Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems sind also Rotationsinvarianten. Bei beliebigen Drehungen der Koordinatenachsen relativ zum Ursprung gehen solche Kreise in sich über. Gerade Linien senkrecht zur "OY"-Achse sind Invarianten der Transformationen der Translation des Koordinatensystems entlang der Pocken "OX".

Aber in unserem Fall sprechen wir von Invarianz im weiteren Sinne: Jede Aussage hat nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn sie nicht von der Wahl des Bezugssystems abhängt. Dabei ist der Bezugssystem nicht nur als Koordinatensystem, sondern auch als Beschreibung zu verstehen. Unabhängig davon, wie sich die Beschreibungsmethode ändert, muss der physikalische Inhalt der untersuchten Phänomene unverändert und unveränderlich bleiben.

Es ist leicht einzusehen, dass dieser Zustand nicht nur eine rein physikalische, sondern auch eine grundlegende philosophische Bedeutung hat. Es spiegelt den Wunsch der Wissenschaft wider, den wirklichen, wahren Verlauf der Phänomene zu klären und alle Verzerrungen zu beseitigen, die durch den Prozess der wissenschaftlichen Forschung in diesen Verlauf eingebracht werden können.

Wie wir gesehen haben, folgt aus den Arbeiten von A. L. Zel'manov, dass die Unendlichkeit im Raum und die Unendlichkeit in der Zeit nicht die Forderung der Invarianz erfüllen. Dies bedeutet, dass die Konzepte der zeitlichen und räumlichen Unendlichkeit, die wir derzeit verwenden, die realen Eigenschaften der uns umgebenden Welt nicht vollständig widerspiegeln. Daher ist offensichtlich die Formulierung der Frage nach der Unendlichkeit des Universums als Ganzes (in Raum und Zeit) mit dem modernen Verständnis der Unendlichkeit ohne physikalische Bedeutung.

Wir haben noch einen weiteren überzeugenden Beweis dafür erhalten, dass die "theoretischen" Konzepte der Unendlichkeit, die bisher von der Wissenschaft des Universums verwendet wurden, sehr, sehr begrenzt sind. Generell hätte man das auch schon früher ahnen können, da die reale Welt immer viel komplizierter ist als jedes "Modell" und wir nur von einer mehr oder weniger genauen Annäherung an die Realität sprechen können. Aber in diesem Fall war es besonders schwierig, sozusagen mit dem Auge abzugrenzen, wie aussagekräftig die erreichte Annäherung ist.

Nun ist zumindest der zu beschreitende Weg skizziert. Anscheinend besteht die Aufgabe in erster Linie darin, das Konzept der Unendlichkeit (mathematisch und physikalisch) auf der Grundlage der Untersuchung der realen Eigenschaften des Universums zu entwickeln. Mit anderen Worten: „zu messen“ nicht das Universum an theoretischen Konzepten der Unendlichkeit, sondern im Gegenteil, diese theoretischen Konzepte an der realen Welt. Nur eine solche Forschungsmethode kann die Wissenschaft zu signifikanten Fortschritten auf diesem Gebiet führen. Keine noch so abstrakte logische Argumentation und theoretische Schlussfolgerungen können Fakten ersetzen, die aus Beobachtungen gewonnen wurden.

Wahrscheinlich ist es zunächst notwendig, auf der Grundlage des Studiums der realen Eigenschaften des Universums ein invariantes Konzept der Unendlichkeit zu entwickeln.

Und im Allgemeinen gibt es anscheinend keinen solchen universellen mathematischen oder physikalischen Standard der Unendlichkeit, der alle Eigenschaften des realen Universums widerspiegeln könnte. Wenn sich das Wissen entwickelt, wird die Zahl der uns bekannten Arten von Unendlichkeit selbst unendlich wachsen. Daher wird die Frage, ob das Universum unendlich ist, höchstwahrscheinlich nie mit einem einfachen Ja oder Nein beantwortet werden.

Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass die Untersuchung des Problems der Unendlichkeit des Universums in dieser Hinsicht im Allgemeinen jede Bedeutung verliert. Aber erstens stellt sich dieses Problem in der einen oder anderen Form in bestimmten Stadien vor der Wissenschaft und muss gelöst werden, und zweitens führen Versuche, es zu lösen, zu einer Reihe von begleitenden fruchtbaren Entdeckungen.

Schließlich sollte betont werden, dass das Problem der Unendlichkeit des Universums viel weiter reicht als nur die Frage nach seiner räumlichen Ausdehnung. Zunächst einmal können wir nicht nur von Unendlichkeit „in der Breite“, sondern sozusagen und „in der Tiefe“ sprechen. Mit anderen Worten, es ist notwendig, eine Antwort auf die Frage zu erhalten, ob der Raum unendlich teilbar, stetig ist oder ob er einige minimale Elemente enthält.

Gegenwärtig haben sich Physiker diesem Problem bereits gestellt. Die Frage nach der Möglichkeit der sogenannten Quantisierung des Raumes (sowie der Zeit) wird ernsthaft diskutiert, dh die Auswahl einiger "elementarer" Zellen darin, die extrem klein sind.

Wir dürfen auch die unendliche Vielfalt der Eigenschaften des Universums nicht vergessen. Schließlich ist das Universum in erster Linie ein Prozess, dessen charakteristische Merkmale kontinuierliche Bewegung und unaufhörliche Übergänge der Materie von einem Zustand in einen anderen sind. Daher ist die Unendlichkeit des Universums auch eine unendliche Vielfalt an Bewegungsformen, Arten von Materie, physikalischen Prozessen, Verbindungen und Wechselwirkungen und sogar der Eigenschaften bestimmter Objekte.

Gibt es Unendlichkeit?

Im Zusammenhang mit dem Problem der Unendlichkeit des Universums stellt sich eine scheinbar unerwartete Frage. Hat der Begriff der Unendlichkeit selbst eine wirkliche Bedeutung? Ist es nicht nur eine bedingte mathematische Konstruktion, der in der realen Welt überhaupt nichts entspricht? Dieser Standpunkt wurde in der Vergangenheit von einigen Forschern vertreten, und es gibt heute Befürworter.

Aber wissenschaftliche Daten zeigen, dass wir beim Studium der Eigenschaften der realen Welt auf jeden Fall auf etwas stoßen, das man als physikalische oder praktische Unendlichkeit bezeichnen kann. Zum Beispiel stoßen wir auf so große (oder so kleine) Werte, dass sie sich aus einer bestimmten Sicht nicht von unendlich unterscheiden. Diese Werte liegen jenseits der quantitativen Grenze, ab der eine weitere Änderung an ihnen keinen merklichen Einfluss mehr auf das Wesen des betrachteten Prozesses hat.

Die Unendlichkeit existiert also objektiv zweifelsfrei. Darüber hinaus stoßen wir sowohl in der Physik als auch in der Mathematik fast bei jedem Schritt auf das Konzept der Unendlichkeit. Dies ist kein Zufall. Beide Wissenschaften, insbesondere die Physik, sind trotz der scheinbaren Abstraktheit vieler Positionen letztlich immer realitätsfern. Dies bedeutet, dass die Natur, das Universum, tatsächlich einige Eigenschaften hat, die sich im Konzept der Unendlichkeit widerspiegeln.

Die Gesamtheit dieser Eigenschaften kann als die wirkliche Unendlichkeit des Universums bezeichnet werden.

Unendlichkeit ist ein abstraktes Konzept, das verwendet wird, um etwas Unendliches oder Unbegrenztes zu beschreiben oder zu bezeichnen. Dieses Konzept ist wichtig für Mathematik, Astrophysik, Physik, Philosophie, Logik und Kunst.

Hier sind einige überraschende Fakten zu diesem komplexen Konzept, die jeden, der mit Mathematik nicht sehr vertraut ist, umhauen können.

Unendlichkeitssymbol

Unendlichkeit hat ein eigenes spezielles Symbol: ∞. Das Symbol oder die Lemniskate wurde 1655 vom Geistlichen und Mathematiker John Wallis eingeführt. Das Wort „lemniscata“ kommt vom lateinischen Wort lemniscus, was „Band“ bedeutet.

Wallis hat das Symbol für Unendlichkeit möglicherweise auf die römische Zahl 1000 bezogen, neben der die Römer neben der Zahl auch „unzählig“ anzeigten. Es ist auch möglich, dass das Zeichen auf Omega (Ω oder ω), dem letzten Buchstaben des griechischen Alphabets, basiert.

Eine interessante Tatsache ist, dass der Begriff der Unendlichkeit auftauchte und verwendet wurde, lange bevor Wallis ihm das Symbol verlieh, das wir heute noch verwenden.

Im vierten Jahrhundert v. Chr. teilte ein mathematischer Text der Jainen namens Surya Prajnapti Sutra alle Zahlen in drei Kategorien ein, von denen jede wiederum in drei Unterkategorien fiel. In diesen Kategorien wurden aufzählbare, nicht aufzählbare und unendliche Zahlen angegeben.

Aporia Zeno

Zenon von Elea, geboren um das 5. Jahrhundert v. Chr h., war bekannt für Paradoxien oder Aporien, einschließlich des Konzepts der Unendlichkeit.

Von allen Zenos Paradoxen ist Achilles und die Schildkröte das berühmteste. In Aporia fordert die Schildkröte den griechischen Helden Achilles heraus und lädt ihn zu einem Rennen ein. Die Schildkröte behauptet, das Rennen zu gewinnen, wenn Achilles ihr tausend Schritte Vorsprung verschafft. Dem Paradox zufolge wird die Schildkröte während der Zeit, in der Achilles die gesamte Strecke zurücklegt, weitere hundert Schritte in dieselbe Richtung gehen. Während Achilles weitere hundert Schritte gelaufen ist, hat die Schildkröte Zeit, noch zehn Schritte zu machen, und so weiter in absteigender Reihenfolge.

Auf einfachere Weise wird das Paradox wie folgt betrachtet: Versuchen Sie, den Raum zu durchqueren, wenn jeder nächste Schritt halb so groß ist wie der vorherige. Jeder Schritt bringt Sie zwar näher an den Rand des Raumes, aber Sie werden ihn nie oder gar nicht erreichen, aber es sind unendlich viele Schritte erforderlich.

Nach einer der modernen Interpretationen basiert dieses Paradoxon auf einer falschen Vorstellung von der unendlichen Teilbarkeit von Zeit und Raum.

Pi ist ein Beispiel für Unendlichkeit

Pi ist ein großartiges Beispiel für Unendlichkeit. Mathematiker verwenden das Symbol pi für die Zahl pi, weil es unmöglich ist, die ganze Zahl aufzuschreiben. Pi besteht aus unendlich vielen Zahlen. Es wird oft auf 3,14 oder sogar 3,14159 gerundet, aber egal wie viele Stellen nach dem Komma geschrieben werden, es ist unmöglich, das Ende der Zahl zu erreichen.

Das unendliche Affen-Theorem

Eine andere Möglichkeit, über Unendlichkeit nachzudenken, ist das Infinite Monkey Theorem. Wenn Sie einem Affen eine Schreibmaschine und unendlich viel Zeit geben, wird der Affe nach dem Theorem schließlich in der Lage sein, Hamlet oder jedes andere Werk zu drucken.

Während viele Leute das Theorem als Beweis für die Überzeugung ansehen, dass nichts unmöglich ist, sehen Mathematiker es als Beweis dafür, dass ein bestimmtes Ereignis unmöglich ist.

Fraktale und Unendlichkeit

Ein Fraktal ist ein abstraktes mathematisches Objekt, das in Mathematik und Kunst verwendet wird und meistens natürliche Phänomene simuliert. Ein Fraktal wird als mathematische Gleichung geschrieben. Wenn Sie ein Fraktal betrachten, können Sie seine komplexe Struktur in jedem Maßstab erkennen. Mit anderen Worten, das Fraktal nimmt unendlich zu.

Die Koch-Schneeflocke ist ein interessantes Beispiel für ein Fraktal. Die Schneeflocke sieht aus wie ein gleichseitiges Dreieck, das eine geschlossene Kurve von unendlicher Länge bildet. Durch Vergrößern der Kurve sind immer mehr Details darauf zu erkennen. Der Prozess der Erhöhung der Kurve kann unendlich oft fortgesetzt werden. Obwohl die Koch-Schneeflocke eine begrenzte Fläche hat, wird sie durch eine unendlich lange Linie begrenzt.

Unendlich in verschiedenen Größen

Die Unendlichkeit ist grenzenlos, aber sie eignet sich für Messungen, wenn auch vergleichend. Positive Zahlen (größer als 0) und negative Zahlen (kleiner als 0) verfügen über unendlich viele gleich große Zahlen. Was passiert, wenn Sie beide Sets kombinieren? Das Set wird doppelt so groß sein. Oder ein anderes Beispiel - alle geraden Zahlen (es gibt unendlich viele). Und doch ist es nur die Hälfte der unendlichen Zahl aller ganzen Zahlen. Ein weiteres Beispiel, fügen Sie einfach eins zu Unendlich hinzu. Lerne die Zahl 1 mehr als unendlich.

Kosmologie und Unendlichkeit

Kosmologen untersuchen das Universum, es ist nicht verwunderlich, dass das Konzept der Unendlichkeit für sie eine wichtige Rolle spielt. Hat das Universum Grenzen oder ist es unendlich?

Diese Frage bleibt noch unbeantwortet. Unser Universum dehnt sich aus, aber wo? Und wo ist die Grenze dieser Expansion? Auch wenn das physikalische Universum Grenzen hat, haben wir immer noch die Theorie des Multiversums, die die Existenz einer unendlichen Anzahl von Universen berücksichtigt, in denen es andere physikalische Gesetze als unsere geben kann.

Durch Null teilen

Es gibt keine Division durch Null. Das ist zumindest in der gewöhnlichen Mathematik unmöglich. In unserer üblichen Mathematik ist eins dividiert durch null nicht zu definieren. Das ist ein Fehler. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. In der erweiterten Theorie der komplexen Zahlen führt die Division von Eins durch Null nicht zu einem unvermeidlichen Kollaps und wird durch eine Form von Unendlichkeit bestimmt. Mit anderen Worten, Mathematik ist anders, und nicht alles ist durch die Regeln aus Lehrbüchern eingeschränkt.

Im Alltag hat ein Mensch am häufigsten mit endlichen Mengen zu tun. Daher kann es sehr schwierig sein, sich eine unbegrenzte Unendlichkeit vorzustellen. Dieses Konzept ist in eine Aura des Mysteriums und der Ungewöhnlichkeit gehüllt, gemischt mit der Ehrfurcht vor dem Universum, dessen Grenzen fast unmöglich zu definieren sind.

Die räumliche Unendlichkeit der Welt gehört zu den komplexesten und umstrittensten wissenschaftlichen Problemen. Antike Philosophen und Astronomen versuchten diese Frage mit einfachsten logischen Konstruktionen zu lösen. Dazu genügte es zuzugeben, dass es möglich war, den vermeintlichen Rand des Universums zu erreichen. Streckt man aber in diesem Moment die Hand aus, dann rückt die Grenze ein Stück weit zurück. Dieser Vorgang kann unzählige Male wiederholt werden, was die Unendlichkeit des Universums beweist.

Die Unendlichkeit des Universums ist schwer vorstellbar, aber nicht weniger schwierig, als eine begrenzte Welt aussehen könnte. Selbst für diejenigen, die im Studium der Kosmologie nicht sehr fortgeschritten sind, stellt sich in diesem Fall eine natürliche Frage: Was liegt jenseits der Grenzen des Universums? Eine solche Argumentation, die auf gesundem Menschenverstand und alltäglicher Erfahrung beruht, kann jedoch nicht als solide Grundlage für strenge wissenschaftliche Schlussfolgerungen dienen.

Moderne Konzepte der Unendlichkeit des Universums

Moderne Wissenschaftler, die mehrere kosmologische Paradoxien erforschen, sind zu dem Schluss gekommen, dass die Existenz eines endlichen Universums im Prinzip den Gesetzen der Physik widerspricht. Die Welt außerhalb des Planeten Erde hat anscheinend weder räumliche noch zeitliche Grenzen. In diesem Sinne geht Unendlichkeit davon aus, dass weder die im Universum enthaltene Materiemenge noch seine geometrischen Abmessungen auch nur durch die größte Zahl ausgedrückt werden können ("Evolution of the Universe", ID Novikov, 1983).

Auch wenn wir die Hypothese berücksichtigen, dass das Universum vor etwa 14 Milliarden Jahren durch den sogenannten Urknall entstanden ist, kann dies nur bedeuten, dass die Welt in diesen extrem fernen Zeiten eine weitere Stufe der natürlichen Transformation durchgemacht hat. Im Allgemeinen ist das unendliche Universum nie während des anfänglichen Impulses oder der unerklärlichen Entwicklung eines immateriellen Objekts erschienen. Die Annahme eines unendlichen Universums setzt der Hypothese der göttlichen Schöpfung der Welt ein Ende.

Im Jahr 2014 veröffentlichten amerikanische Astronomen die Ergebnisse der neuesten Studien, die die Hypothese der Existenz eines unendlichen und flachen Universums stützen. Mit hoher Präzision haben Wissenschaftler den Abstand zwischen Galaxien gemessen, die sich in mehreren Milliarden Lichtjahren voneinander entfernt befinden. Es stellte sich heraus, dass sich diese kolossalen Raumsternhaufen in Kreisen mit konstantem Radius befinden. Das von den Forschern erstellte kosmologische Modell beweist indirekt, dass das Universum sowohl räumlich als auch zeitlich unendlich ist.

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Existiert die Unendlichkeit?

Ist das Universum unendlich, und wenn – ja, dann kann das nicht sein. Und wenn Nein, was ist auf der anderen Seite? Und wer liebt Märchen über das BegrenzteMannigfaltigkeiten ohne Kante, wie eine Kugel - lassen Sie den Gedanken senkrecht zur Kante senden.Was ist dort? Oder wer. Die fiktive Unendlichkeit ist nicht so ergreifend, aber auchunverständlich, stellenweise. Georg Kantor. Vergleich der Unendlichkeiten. Kontinuum. Auf derdas Quadrat hat die gleiche Anzahl von Punkten wie das Liniensegment.

Das brennende Gefühl der räumlichen Ewigkeit ist schockierend, solange die Probleme des Himmlischen Imperiums mit dem Bauch und nicht mit dem Verstand wahrgenommen werden. Dann ein durchdringender Anruf" Unerschöpflichkeit"Nach und nach wird eine Person taub und von der Realität verbrannt, versteckt sich eine Person in einer fiktiven Welt. Du kannst dich immer noch nicht gut verstecken.

In der Ideenwelt erscheint die Unendlichkeit in einem anderen Gewand. In welchem ​​Sinne gibt es eine natürliche Reihe? Als sich entfaltender Prozess oder als abgeschlossener Prozess? Natürliche Zahlen können potenziell gebildet werden oder sind sie bereits verfügbar? Zuerst das Problem

ein Hauch von Scholastik. Ist alles gleich, so scheint es. Es gibt keine Konsequenzen.

Die Folgen sind jedoch enorm. Alternativ werden zwei verschiedene Mathematik erhalten. Die eine ist konstruktiv, die die Verwirklichung der Unendlichkeit in all ihrer Unermesslichkeit nicht zulässt. Der andere ist ein gewöhnlicher Allesfresser.

Kleine Probleme aus der Gegenwart der Unendlichkeit treten bereits in der Grundschule auf

Situationen, in denen das Vorliegen einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz n n ^ 2 die Idee vermuten lässt, dass es so viele ganze Zahlen wie Quadrate gibt. Das Beispiel hat schon vor langer Zeit die Zähne gedrängt, aber in seiner einfachsten Form spiegelt es die Existenz eines Problems wider. Es stellt sich immerhin heraus, wenn jemand jeden Tag 10 Rubel von mir nimmt und gibt - einen, dann werden wir, wenn der Prozess abgeschlossen ist, gekündigt. Denn wenn der Streit schon stattgefunden hat, wurde mir der n-te Rubel am n-ten Tag gegeben. Das Paradox ist natürlich keinen Dreck wert, denn der Prozess wird nie enden, denkt die Fünftklässlerin.

Was ist mit p / q-Brüchen? Sie alle "existieren bereits" auf dem Segment. Sie sind hier, sie müssen nicht einzeln hinzugefügt werden. So dass - " endliche Größenfalle für unendlich". Kleine

eine Brieftasche, in der alle Brüche abgelegt werden. Und die Wurzel aus zwei, wie eine vollendete Unendlichkeit, wegen der Unendlichkeit des Dezimalbruchs. Daher hat die Mengenlehre allen Grund, Unendlichkeit als „ gegeben". Eine andere Sache ist, dass an dieses Gegebene gewisse Anforderungen gestellt werden, damit es keine Widersprüche gibt.

Sobald Sie jedoch etwas zugeben, beginnt der Ärger. Unendlichkeiten schwärmen, und mit

sie müssen irgendwie verwaltet werden. Dies wurde gemacht Georg Cantor, der die Mengenlehre entwickelt hat. Die eingetretene Revolution bestätigt die bekannte These „ Wahrheit wird als Ketzerei geboren und stirbt als Alltäglichkeit". Die wichtigsten Ideen stehen heute jedem zur Verfügung. EIN " dann" unmöglich

war es jedem zu erklären. Die Intuition wehrte sich. Jetzt hat die Krankheit Wurzeln geschlagen, die Verwirrung ist versiegt.

Das Studium der Mengen basierte auf dem Kantor-Werkzeug der Eins-zu-eins-Korrespondenz. Die Mengen X, Y sind äquivalent, wenn zwischen ihren Elementen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung hergestellt werden kann.

Äquivalenzrelation reflektierend und transitiv das lässt dich alles kaputt machen

in Äquivalenzklassen einordnen. Die Äquivalenzklasse einer Menge X heißt ihre Kardinalität und wird als |X| bezeichnet. Die Sets sind nach Kardinalität mit einem natürlichen Trick geordnet.

Mengen, die einer natürlichen Reihe äquivalent sind, werden abzählbar genannt. Beliebige Sequenzen sind zählbar. Die Betrachtung von Dezimalbrüchen steht vor einem neuen Phänomen. Die Menge solcher Zahlen (Kontinuum) erweist sich als überabzählbar.

Der historische Versuch, festzustellen, dass ein Segment und ein Quadrat x unterschiedliche Potenzen haben, war sehr schmerzhaft. Es stellte sich heraus - das gleiche. Die Welt hat seit der Zeit von Galileo keine solche Erschütterung mehr erfahren, als entdeckt wurde, dass alle Körper gleich fallen

Beschleunigung.

Wie dem auch sei, die Unendlichkeit hat sich einen Platz an der Sonne erobert. Ohne sie würde in der Mathematik alles „stillstehen“. Ja ~ es steht - in der konstruktiven Mathematik, wo es nicht hingehört - gewöhnlich. Die Gleichheiten und Ungleichungen konstruktiver Zahlen werden meistens nicht überprüft, die Folgen können nirgendwo konvergieren, die Grenzen existieren nicht, die Kontinuität ist nur ein Traum und im Allgemeinen bricht alles zusammen. Ein schreckliches Bild. Auch das Ausmaß der Katastrophe ist schwer abzuschätzen. Daher ist Unendlichkeit fast so nützlich wie "Eins". Die andere Seite der Medaille sozusagen. Eine Art Behältnis für etwas, das "nicht existiert".