V nadaljevanju teme "Odločba enačb" vas bo gradivo tega članka predstavilo kvadratne enačbe.

Razmislite o vsem, kar je podrobno: bistvo in evidenca kvadratne enačbe, nastavite spremne izraze, analizirali bomo shemo za rešitev nepopolnih in popolnih enačb, se seznanijo s formulo korenin in diskriminant, vzpostaviti povezave med koreninami in koeficienti, In seveda dajemo vizualno rešitev praktičnih primerov.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Kvadratno enačbo, njene vrste

Opredelitev 1.

Kvadratna enačba - To je enačba, zabeležena kot a · x 2 + b · x + c \u003d 0kje X. - spremenljiva, A, B in C. - nekaj številk, medtem ko a.ni nič.

Pogosto se kvadratne enačbe imenujejo tudi ime iz enačb druge stopnje, saj je v bistvu kvadratna enačba algebraična enačba druge stopnje.

Naredimo primer za ponazoritev določene opredelitve: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 itd. - To so kvadratne enačbe.

Opredelitev 2.

Številke A, B in C. - To so koeficienti kvadratne enačbe a · x 2 + b · x + c \u003d 0s koeficientom A. Imenuje se prvi ali starejši ali koeficient pri X 2, B - drugi koeficient ali koeficient, ko X., Ampak C. Klic prostega člana.

Na primer, v kvadratnem enačbi 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Višje koeficient je 6, drugi koeficient je − 2 in svobodni član je enak − 11 . Bodite pozorni na dejstvo, da ko koeficienti B.in / ali c so negativni, nato se uporablja kratka oblika snemanja pogleda. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, vendar ne 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

To vidik pojasnjujemo tudi: če koeficienti A. in / Or. B. enako 1 ali − 1 , nato izrecno sodelovanje pri evidentiranju kvadratne enačbe, se ne smejo sprejeti, kar je pojasnjeno z značilnostmi evidence teh številčnih koeficientov. Na primer, v kvadratnem enačbi Y 2 - y + 7 \u003d 0 Višje koeficient je 1, drugi koeficient pa je − 1 .

Določene in neporočene kvadratne enačbe

Z vrednostjo prvega koeficienta so kvadratne enačbe razdeljene na zgoraj navedeno in neplačano.

Opredelitev 3.

Zmanjšana kvadratna enačba - To je kvadratna enačba, kjer je starejši koeficient enak 1. Za druge vrednote starejšega koeficienta je kvadratna enačba nejasna.

Podajamo primere: kvadratne enačbe x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 so prikazane v vsakem od katerih je starejši koeficient 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - integralno kvadratno enačbo, kjer je prvi koeficient drugačen od 1 .

Vsaka neobičajna kvadratna enačba je možna za pretvorbo v dano enačbo, če je razdeljena iz obeh delov na prvi koeficient (enakovredna transformacija). Preoblikovana enačba bo imela enake korenine kot določeno inteligentno enačbo ali da ne bodo imeli korenin.

Upoštevanje posebnega primera nam bo omogočilo, da bomo jasno pokazali prehod iz integralne kvadratne enačbe na dano.

Primer 1.

Enačba je nastavljena 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Začetno enačbo je treba pretvoriti v zgornji obliki.

Sklep

Shema zgoraj navedenega je ločena z obema deloma začetne enačbe na višje koeficient 6. Potem dobimo: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3In to je enako kot: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 In nadalje: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · X - 7: 6 \u003d 0. Od tod: x 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0. Zato se šteje, da je enačba določena.

Odgovor: x 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0.

Polne in nepopolne kvadratne enačbe

Obrnite se na definicijo kvadratne enačbe. V njej smo to pojasnili A ≠ 0.. Tak pogoj je potreben za enačbo a · x 2 + b · x + c \u003d 0 Bilo je ravno kvadrat, ker A \u003d 0. V bistvu se pretvori v linearno enačbo B · x + c \u003d 0.

V primeru koeficientov B. in C.enaka nič (kar je možno, posamezno in skupaj), se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Opredelitev 4.

Nepopolna kvadratna enačba - Takšna kvadratna enačba a · x 2 + b · x + c \u003d 0,kjer je vsaj eden od koeficientov B.in C.(ali oboje) ni nič.

Celotna kvadratna enačba - kvadratno enačbo, v kateri vsi numerični koeficienti niso nič.

Vadujemo se, zakaj so vrste kvadratnih enačb dajo natančno imena.

Za b \u003d 0 kvadratnih enačb je pogled A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0da je ista stvar a · x 2 + c \u003d 0. Za C \u003d 0. Kvadratno enačbo se zabeleži kot a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0To je enakovredno a · x 2 + b · x \u003d 0. Za B \u003d 0. in C \u003d 0. Enačba bo pogledala a · x 2 \u003d 0. Enačbe, ki smo jih prejeli, se razlikujejo od celotne kvadratne enačbe, ker njihovi levi deli niso sestavljeni iz komponente X spremenljivke ali prostega člana ali oba takoj. Pravzaprav je bilo to dejstvo zastavljeno ime takšne vrste enačb - nepopolna.

Na primer, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 in - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 so popolne kvadratne enačbe; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - nepopolna kvadratna enačba.

Odločitev nepopolnih kvadratnih enačb

Zgornja definicija omogoča razlikovanje naslednjih vrst nepopolnih kvadratnih enačb:

• a · x 2 \u003d 0Ta enačba ustreza koeficientom B \u003d 0. in c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
• a · x 2 + B · x \u003d 0 na C \u003d 0.

Razmislite o odločitvi o vsaki vrsti nepopolne kvadratne enačbe.

Rešitev enačbe A · x 2 \u003d 0

Kot je navedeno zgoraj, enačba ustreza koeficientom B. in C.enaka nič. Enačba a · x 2 \u003d 0 Enačbo je mogoče pretvoriti na enakovredno x 2 \u003d 0ki jih dobimo, delimo oba dela izvornega enačbe za številko A.ni enaka nič. Očitno dejstvo, da je koren enačbe x 2 \u003d 0 To je nič, ker 0 2 = 0 . Druge korenine, ta enačba nima, kar je pojasnjeno z lastnostmi stopnje: za katero koli številko P,ni enaka nič, zvest neenakost P 2\u003e 0kaj sledi, ko P ≠ 0. enakost P 2 \u003d 0nikoli ne bo dosežen.

Opredelitev 5.

Tako je za nepopolno kvadratno enačbo a · x 2 \u003d 0 obstaja edina koren X \u003d 0..

Primer 2.

Na primer, rešimo nepopolno kvadratno enačbo - 3 x 2 \u003d 0. Enaka enačbi x 2 \u003d 0, njegov edini koren je X \u003d 0., Potem je začetna enačba edina korenina - nič.

Na kratko se odločitev sestavlja tako:

- 3 · x 2 \u003d 0, X2 \u003d 0, X \u003d 0.

Rešitev enačbe A · x 2 + C \u003d 0

Na čakalni vrsti - rešitev nepopolnih kvadratnih enačb, kjer je B \u003d 0, C ≠ 0, to je enačba obrazca a · x 2 + c \u003d 0. To enačbo pretvorimo izveden izraz iz enega dela enačbe na drugo, spreminjanje znaka na nasprotno in razdelil oba dela enačbe na številko, ki ni enaka nič:

• prenos C. v desnem delu, ki daje enačbo A · x 2 \u003d - c;
• oba dela enačbe delimo A., Dobim na koncu x \u003d - c a.

Naše transformacije so enakovredne, zato je nastala enačba enakovredna tudi viru, to dejstvo pa omogoča sklenitev korenin enačbe. Od tega, kar je pomen A. in C.vrednost izraza je odvisna - C A: Morda ima znak minus (recimo, če A \u003d 1. in C \u003d 2., potem - C A \u003d - 2 1 \u003d - 2) ali znak plus (na primer, če A \u003d - 2 in C \u003d 6., potem - C A \u003d - 6 - 2 \u003d 3); To ni nič, ker C ≠ 0.. Podrobneje se zavedamo v situacijah, ko - C A< 0 и - c a > 0 .

V primeru, ko - C A< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа Str. Enakost P 2 \u003d - C A ne more biti res.

V nasprotnem primeru, ko - C A\u003e 0: Spomnimo kvadratni koren, in to bo očitno, da bo enačba x 2 \u003d - C a številka - C A, od - C A 2 \u003d - C a. Ni težko razumeti, da je številka - C A je tudi koren enačbe X 2 \u003d - C A: res, - - C A 2 \u003d - C a.

Druge korenine enačbe ne bodo imele. Mi lahko dokažemo z uporabo grde metode. Za začetek nastavite oznake, ki jih najdete nad koreninami kot X 1. in - x 1.. Predlagam, da enačba x 2 \u003d - C A je tudi koren X 2.ki se razlikuje od korenin X 1. in - x 1.. To vemo, da namesto tega zamenjamo v enačbo X. Njegove korenine, pretvorimo enačbo v pošteno numerično enakost.

Za X 1. in - x 1. Pišemo: x 1 2 \u003d - C A, in za X 2. - x 2 2 \u003d - C a. Zanašanje na lastnosti numeričnih enakosti, polni eno pravo enakost od drugega, kar nam bo dalo: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Uporabite lastnosti dejanj s številkami, da ponovno napišete najnovejšo enakost kot (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Znano je, da je delo dveh številk nič in samo, če je vsaj ena od številk nič. Iz tega sledi, da x 1 - x 2 \u003d 0 in / Or. x 1 + x 2 \u003d 0da je ista stvar x 2 \u003d x 1 in / Or. x 2 \u003d - x 1. Bilo je očitno protislovje, ker je bilo sprva dogovorjeno, da je koren enačbe X 2. se razlikuje od X 1. in - x 1.. Torej, dokazali smo, da enačba nima drugih korenin, razen X \u003d - C A in X \u003d - - C a.

Povzemamo vse zgoraj navedene utemeljitve.

Opredelitev 6.

Nepopolna kvadratna enačba a · x 2 + c \u003d 0 enakovredna enačbi x 2 \u003d - C A, ki:

• ne bo imel korenin, ko - C A< 0 ;
• obstajajo dve korenini X \u003d - C A in X \u003d - - C A z - C A\u003e 0.

Naredimo primere reševanja enačb a · x 2 + c \u003d 0.

Primer 3.

Podana je kvadratna enačba 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Potrebno je najti njegovo odločitev.

Sklep

Prenesemo prosti članico na desni del enačbe, potem bo enačba vzela obliko 9 · x 2 \u003d - 7.
Oba dela pridobljene enačbe delimo 9 , Pridite na x 2 \u003d - 7 9. V desnem delu vidimo številko z minus znak, kar pomeni: določena enačba nima korenin. Potem izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Ne bo imel korenin.

Odgovor: enačba 9 · x 2 + 7 \u003d 0nima korenin.

Primer 4.

Treba je rešiti enačbo - x 2 + 36 \u003d 0.

Sklep

Premikamo se 36 na desno stran: - x 2 \u003d - 36.
Razdelili smo oba dela − 1 , Get. X 2 \u003d 36. V desnem delu - pozitivno število, od tu lahko zaključimo x \u003d 36 ali X \u003d - 36.
Odstranite koren in zapišite končni rezultat: nepopolna kvadratna enačba - x 2 + 36 \u003d 0 Ima dve korenini X \u003d 6. ali X \u003d - 6.

Odgovor: X \u003d 6. ali X \u003d - 6.

Rešitev enačbe A · x 2 + B · x \u003d 0

Preučili bomo tretjo vrsto nepopolnih kvadratnih enačb, ko bomo C \u003d 0.. Da bi našli odločitev nepopolne kvadratne enačbe a · x 2 + b · x \u003d 0, Uporabljamo metodo razgradnje na multiplikatorjih. Širjenje na multiplikatorjih polinoma, ki je v levem delu enačbe, s tem, da je splošni multiplikator za oklepaje X.. Ta korak bo priložnost za pretvorbo prvotne nepopolno kvadratno enačbo na ekvivalent X · (a · x + b) \u003d 0. In to enačbo, nato pa ustreza celovitosti enačb X \u003d 0. in A · x + b \u003d 0. Enačba A · x + b \u003d 0 Linearna in njegova koren: x \u003d - b a.

Opredelitev 7.

Tako je nepopolna kvadratna enačba a · x 2 + b · x \u003d 0 bo imel dve korenini X \u003d 0. in x \u003d - b a.

Material pritrdite z zgledom.

Primer 5.

Potrebno je najti rešitev enačbe 2 3 x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Sklep

Vodimo X. Za oklepaje in pridobite enačbo x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Ta enačba je enaka enačbam X \u003d 0. in 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Zdaj je potrebno rešiti nastalo linearno enačbo: 2 3 · x \u003d 2 2 7, X \u003d 2 2 7 2 3.

Na kratko reševanje enačbe, da napisati ta način:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ali 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ali x \u003d 3 3 7

Odgovor: X \u003d 0, X \u003d 3 3 7.

Diskriminantno, korenine formule kvadratne enačbe

Če želite najti rešitev kvadratnih enačb, je formula za korenine:

Opredelitev 8.

x \u003d - B ± D 2 · A Kje D \u003d B 2 - 4 · C - tako imenovano diskriminacijo kvadratne enačbe.

Snemanje X \u003d - B ± D 2 · A v bistvu pomeni, da X1 \u003d - B + D 2 · A, X2 \u003d - B - D 2 · A.

Koristno bo razumeti, kako je bila izpeljana določena formula in kako jo uporabljati.

Izhod korenin kvadratne enačbe

Izzvati nas, da rešimo kvadratno enačbo a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Izvedite več enakovrednih transformacij:

• razdelili smo oba dela enačbe za številko a.Razen nič, smo dobili zmanjšano kvadratno enačbo: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• poudarimo celoten kvadrat na levi strani prejete enačbe:
  x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · x + b2 · a 2 - b2 · a 2 + ca \u003d x + b2 · a 2 - b2 · a 2 + ca .
  Po tem bo enačba v obliki: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C A \u003d 0;
• zdaj je mogoče prenesti prehod zadnjih dveh izrazov na desno stran, ki spreminja znak na nasprotno, po katerem dobimo: X + B 2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
• končno, spremenimo izraz, ki je zapisan na desni strani zadnje enakosti:
  B 2 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · A · C4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2.

Tako smo prišli na enačbo X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2, enakovredna izvor enačba a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Rešitev takih enačb smo razumeli v prejšnjih odstavkih (odločitev nepopolnih kvadratnih enačb). Pridobljene izkušnje omogočajo zaključek glede korenin enačbe X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2:

• pri B 2 - 4 · C4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• za B 2 - 4 · A · C4 · A 2 \u003d 0, enačba ima obrazec x + b2 · a 2 \u003d 0, nato x + b 2 · a \u003d 0.

Zato je edini koren X \u003d - B 2 · A je očiten;

• za B 2 - 4 · A · C4 · A 2\u003e 0, bo pravilno: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 ali X \u003d B 2 · A-B 2 - 4 · A · C4 · A 2, ki je enaka kot X + - B2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 ali X \u003d - B 2 · A-B 2 - 4 · A · C4 · 2, i.e. Enačba ima dve korenini.

Možno je ugotoviti, da je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 (in s tem začetno enačbo) je odvisna od znaka izraza B 2 - 4 · A · C4 · A 2, zapisana na desni strani. In znak tega izraza je nastavljen s številom števila števca (imenovalec 4 · A 2 bo vedno pozitivna), to je znak izraza B 2 - 4 · C. Ta izraz B 2 - 4 · C Ime je diskriminanta kvadratnega evakuacije in je opredeljena kot oznaka črke D. Tukaj lahko posnamete bistvo diskriminanta - po njeni vrednosti in znak se zaključi, ali bo kvadratna enačba imela veljavne korenine, in če je, kakšno je število korenin - enega ali dveh.

Vračanje na enačbo X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2. Ponovno napišite z uporabo diskriminantne oznake: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Ponovno bomo oblikovali sklepe:

Opredelitev 9.

• za D.< 0 Enačba nima veljavnih korenin;
• za D \u003d 0. Enačba ima edini koren X \u003d - B 2 · A;
• za D\u003e 0. Enačba ima dve korenini: X \u003d - B 2 · A + D 4 · A 2 ali X \u003d - B 2 · A-D 4 · A 2. Te korenine, ki temeljijo na lastnostih radikalov, je mogoče napisati v obliki: X \u003d - B2 · A + D 2 · A OR-B 2 · A-D 2 · A. In ko bomo razkrili module in dajo frakcije skupnemu imenovalu, dobimo: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A.

Zato je bil rezultat našega razmišljanja odstranitev formule korenin kvadratne enačbe:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, diskriminant D. Izračunana s formulo D \u003d B 2 - 4 · C.

Te formule omogočajo, da je diskriminacija večja, da določimo tako veljavne korenine. Ko je diskrifinanca nič, bo uporaba obeh formul dala enako korenino kot edino rešitev kvadratne enačbe. V primeru, ko je diskriminanta negativna, poskušamo uporabiti korensko formulo kvadratne enačbe, se bomo soočili s potrebo po odstranitvi kvadratnega korena iz negativnega števila, ki nas bo vodil preko dejanskih številk. Z negativno diskriminantno, kvadratno enačbo ne bo veljavna korenine, ampak par celovito konjugiranih korenin, določenih z istimi koreninskimi formulami, pridobljenimi z nami, možno.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb na korenskih formulah

Možno je rešiti kvadratno enačbo, takoj kolesariti s formulo korenin, vendar v bistvu, če je potrebno, poiščite kompleksne korenine.

V glavni masi primerov se običajno implicira za iskanje nedeflekske, vendar veljavne korenine kvadratne enačbe. Potem optimalno pred uporabo formul korenin kvadratne enačbe, najprej določite diskriminantno in se prepričajte, da ni negativen (drugače sklepamo, da enačba nima veljavnih korenin), nato pa nadaljuje z izračunom vrednosti korenin.

Zgornji argumenti omogočajo oblikovanje algoritma za reševanje kvadratne enačbe.

Opredelitev 10.

Rešiti kvadratno enačbo a · x 2 + b · x + c \u003d 0, potrebno je:

• po formuli D \u003d B 2 - 4 · C najti vrednost diskriminanta;
• z D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pri d \u003d 0 poiščite edini koren enačbe v skladu s formulo X \u003d - B 2 · A;
• za D\u003e 0 določite dve veljavni korenini kvadratne enačbe v skladu s formulo X \u003d - B ± D 2 · a.

Upoštevajte, da lahko, ko je diskrifinanca nič, lahko uporabite formulo X \u003d - B ± D 2 · A, ki bo dala enak rezultat kot formulo X \u003d - B 2 · A.

Razmislite o primerih.

Primeri rešitev kvadratnih enačb

Rešitev primerov predstavljamo pri različnih vrednotah diskriminanta.

Primer 6.

Potrebno je najti korenine enačbe x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Sklep

Pišemo številske koeficiente kvadratne enačbe: a \u003d 1, b \u003d 2 in C \u003d - 6. Nato delujemo na algoritmu, tj. Nadaljevali bomo z izračunom diskriminantnega, za katerega bomo nadomestili koeficiente A, B in C. V formuli diskriminant: D \u003d B 2 - 4 · C \u003d 22-4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Torej smo dobili D\u003e 0, kar pomeni, da bo začetna enačba imela dve veljavni korenin.
Da bi jih našli, uporabljamo korensko formulo X \u003d - B ± D 2 · A in, ki nadomešča ustrezne vrednosti, dobimo: X \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Poenostavljamo nastalega izraza, zaradi česar je multiplikator za korenski znak, ki mu sledi rezanje frakcije:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 ali X \u003d - 2 - 2,7 2

x \u003d - 1 + 7 ali X \u003d - 1 - 7

Odgovor: X \u003d - 1 + 7, X \u003d - 1 - 7.

Primer 7.

Potrebno je rešiti kvadratno enačbo - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Sklep

Ugotavljanje diskriminanta: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. S to diskriminantno vrednostjo bo začetna enačba imela samo en koren, ki ga določa formula X \u003d - B 2 · A.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Odgovor: X \u003d 3, 5.

Primer 8.

Treba je rešiti enačbo 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0

Sklep

Številčni koeficienti te enačbe bodo: A \u003d 5, B \u003d 6 in C \u003d 2. Te vrednosti uporabljamo, da bi našli diskriminantno: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 62 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Izračunana diskrifinanca je negativna, zato začetna kvadratna enačba nima veljavnih korenin.

V primeru, ko je naloga, da določite kompleksne korenine, uporabite korensko formulo, izvajajo dejanja s kompleksnimi številkami:

x \u003d - 6 ± 42 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 ali X \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I ali X \u003d - 3 5 - 1 5 · I.

Odgovor: Ni veljavnih korenin; Kompleksne korenine so naslednje: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

V Šolski program Standardno ni potrebe po iskanju kompleksnih korenin, zato, če je med rešitvami diskriminanta opredeljena kot negativna, se odgovor nemudoma zabeleži, da ni veljavnih korenin.

Formula korenin za celo drugi koeficienti

Formula korenin X \u003d - B ± D 2 · A (D \u003d B 2 - 4 · A · C) omogoča pridobitev druge formule, bolj kompaktne, kar omogoča iskanje rešitev kvadratnih enačb s celo koeficientom pri X (ali s koeficientom tipa 2, na primer, 2 · 3 ali 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Pokažemo, kako se prikaže ta formula.

Naj bo naloga iskanja rešitve kvadratne enačbe a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Delujemo na algoritem: določi diskriminacijski D \u003d (2 · N) 2 - 4 · A · C \u003d 4 · N 2 - 4 · A · C \u003d 4 · (N 2 - A · C) in nato uporabite Korenska formula:

x \u003d - 2 · N ± D 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 4 · N 2 - A · C2 · A, X \u003d - 2 · N ± 2 N 2 - A · C2 · A, X \u003d - n ± n 2 - · ca.

Naj se izraz n 2 - a · · c, ki se prikaže kot D 1 (včasih D "). Potem bo formula korenin kvadratne enačbe, ki se obravnavajo z drugim koeficientom 2 · N, bo v obliki:

x \u003d - N ± D 1 A, kjer je D 1 \u003d N 2 - A · c.

To je enostavno videti, da je D \u003d 4 · D 1, ali D1 \u003d D 4. Z drugimi besedami, D 1 je četrtina diskriminanta. Očitno je, da je znak D 1 enak znak D, kar pomeni znak D 1, lahko služi tudi kot kazalnik prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Opredelitev 11.

Torej, da bi našli rešitev kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 · N, je potrebno:

• najdi D 1 \u003d N 2 - A · C;
• z D 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• za D 1 \u003d 0 določite edini koren enačbe v skladu s formulo X \u003d - N A;
• za D 1\u003e 0 določite dve veljavni korenini v skladu s formulo X \u003d - N ± D 1 A.

Primer 9.

Potrebno je rešiti kvadratno enačbo 5 x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Sklep

Drugi koeficient določene enačbe je lahko zastopan kot 2 · (- 3). Nato ponovno napišite določeno kvadratno enačbo kot 5 · x 2 + 2 · (- 3) · X - 32 \u003d 0, kjer je \u003d 5, N \u003d - 3 in C \u003d 32.

Izračunamo četrti del diskriminantnega: D 1 \u003d N 2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Vrednost je pozitivno, to pomeni, da ima enačba dve veljavni korenini. Opredelimo jih po ustrezni korenski formuli:

x \u003d - N ± D 1 A, X \u003d - - 3 ± 169 5, X \u003d 3 ± 13 5, \\ t

x \u003d 3 + 13 5 ali X \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 ali X \u003d - 2

Možno bi bilo izračunati in z običajno formulo korenin kvadratne enačbe, vendar v tem primeru bi bila rešitev bolj okorna.

Odgovor: X \u003d 3 1 5 ali X \u003d - 2.

Poenostavitev vrste kvadratnih enačb

Včasih je mogoče optimizirati vrsto enačbe vira, ki bo poenostavila postopek izračuna korenin.

Na primer, kvadratna enačba 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 je očitno bolj primerna za reševanje od 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Bolj pogosto poenostavitev vrst kvadratne enačbe se izvaja z množenjem ali delitev obeh delov v nekakšno število. Na primer, pokazali smo poenostavljeno evidenco enačbe 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, pridobljeno z delitvijo obeh delov s 100.

Takšna pretvorba je možna, če koeficienti kvadratne enačbe niso medsebojno preprosta številke. Potem ponavadi delijo oba dela enačbe na največji skupni divisor absolutnih vrednosti koeficientov.

Kot primer uporabite kvadratno enačbo 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Opredelimo vozlišče absolutnih vrednosti njegovih koeficientov: vozlišča (12, 42, 48) \u003d vozlišče (vozlišče (12, 42), 48) \u003d vozlišče (6, 48) \u003d 6. Dva dela prvotnega kvadratnega enačba bomo razdelili na 6 in dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Razmnoževanje obeh delov kvadratne enačbe se običajno znebimo frakcijskih koeficientov. Hkrati se pomnoži z najmanjšim splošnim imenovalcem njegovih koeficientov. Na primer, če je vsak del kvadratne enačbe 1 6,2 x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 pomnožite iz NOC (6, 3, 1) \u003d 6, nato pa se zabeleži v enostavnejši obliki x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Nazadnje ugotavljamo, da se skoraj vedno znebite minus na prvem koeficientu kvadratne enačbe, ki spreminja znake vsakega člana enačbe, ki se doseže z množenjem (ali delitve) obeh delov 1. Na primer, iz kvadratne enačbe - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, lahko greste na njeno poenostavljeno različico 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Komunikacija med koreninami in koeficientom

Formula korenin kvadratnih enačb X \u003d - B ± D 2 · A, ki je že znana, izraža korenine enačbe s svojimi numeričnimi koeficienti. Zanašamo na to formulo, imamo priložnost, da določimo druge odvisnosti med koreninami in koeficienti.

Najbolj znana in uporabna so formule Therema Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b A in x 2 \u003d C a.

Zlasti za zmanjšano kvadratno enačbo je količina korenin drugi koeficient z nasprotnim znakom, izdelek korenin pa je brezplačen. Na primer, glede na vrsto kvadratne enačbe 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, je mogoče takoj ugotoviti, da je vsota njenih korenin 7 3, in proizvod korenin je 22 3.

Prav tako lahko najdete številne druge povezave med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsota kvadratov korenin kvadratne enačbe se lahko izrazi skozi koeficiente:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · CA \u003d B 2 A 2 - 2 · CA \u003d B 2 - 2 · A · CA 2. \\ T

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

S tem matematičnim programom lahko rešite kvadratno enačbo.

Program ne daje samo nalogi odgovora, temveč prikaže tudi postopek rešitve na dva načina:
- S pomočjo diskriminant
- Uporaba teorema Vieta (če je mogoče).

Poleg tega je odgovor natančen, ne približen.
Na primer, za enačbo (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0), je odgovor izhoda v tem obrazcu:

$$ X_1 \u003d FRAC (8+ SQRT (145)) (81), QUAD X_2 \u003d FRAC (8-1 SQRT (145)) (81) $$ in ne v tem: \\ t quad x_2 \u003d -0.05

Ta program je lahko koristen za študente srednješolskih šol v splošnih šolskih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred izpitom, starši za spremljanje rešitve številnih težav v matematiki in algebri. Ali pa ste predragi, da najamete mentorja ali kupite nove učbenike? Ali pa samo želite narediti svojo domačo nalogo v matematiki ali algebri, kot je mogoče? V tem primeru lahko naše programe uporabljate tudi s podrobno rešitev.

Tako lahko izvedete svoje usposabljanje in / ali usposabljanje vaših mlajših bratov ali sester, medtem ko se stopnja izobrazbe na področju rešenih nalog poveča.

Če ne poznate pravil, ki vstopajo na kvadratni polinom, vam priporočamo, da se seznanijo z njimi.

Kvadratnih polinomialnih pravil

Kot spremenljivka je lahko katera koli latinska črka.
Na primer: (x, y, z, a, b, c, o, p, q) itd.

Številke lahko vstopajo v celotno ali delno.
Poleg tega se lahko delne številke dajemo ne le v obliki decimalnega, ampak tudi v obliki običajnega frakcije.

Pravila za vnos decimalnih frakcij.
V decimalnih frakcijah se lahko del celote loči kot točka in vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalne frakcije, kot je ta: 2.5x - 3.5x ^ 2

Pravila za vnos običajnih frakcij.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celoten del frakcije.

Imenovalnik ne more biti negativen.

Pri vnosu številske frakcije se števec, ločen od imenovalca do oznake fisije: /
Celoten del je ločen od Fraraty ampersand znak: &
Vhod: 3 & 1/3 - 5 in 6 / 5Z + 1 / 7z ^ 2
Rezultat: (3 Frac (1) (3) - 5 FRAC (6) (5) Z + Frac (1) (7) Z ^ 2)

Ko vstopite v izraz lahko uporabite oklepaje. V tem primeru je pri reševanju kvadratne enačbe prvič poenostavljen izraz.
Na primer: 1/2 (Y - 1) (Y + 1) - (5Y-10 & 1/2)

=0

Odločite se

Ugotovljeno je, da nekatere skripte, potrebne za rešitev te naloge, niso naložene, program pa ne sme delovati.
Morda imate vključeno Adblock.
V tem primeru ga odklopite in posodobite stran.

V brskalniku imate izvršitev JavaScripta.
Če želite, da se prikaže rešitev, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker V želji, da bi rešili nalogo, je vaša zahteva v vrsti.
Po nekaj sekundah se bo raztopina prikazala spodaj.
Prosim počakaj Sec ...

Če ti opazil napako pri reševanjuO tem lahko pišete v obliki povratnih informacij.
Ne pozabi določite, katero nalogo Odločite se in kaj vnesite na polje.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Kvadratna enačba in njene korenine. Nepopolne kvadratne enačbe

Vsake enačbe
(- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, quad x ^ 2- frac (4) (9) \u003d 0 \\ t
Ima videz
(AX ^ 2 + BX + C \u003d 0, \\) \\ t
kjer je X spremenljiv, A, B in C - številke.
V prvi enačbi A \u003d -1, B \u003d 6 in C \u003d 1,4, v drugi A \u003d 8, B \u003d -7 in C \u003d 0, v tretjem A \u003d 1, B \u003d 0 in C \u003d 4/9. Takšne enačbe se imenujejo kvadratne enačbe.

Opredelitev.
Kvadratna enačba Enačba obrazca AX 2 + BX + C \u003d 0, kjer je X spremenljivka, A, B in C so nekatere številke, in \\ t

Številke A, B in C so koeficienti kvadratne enačbe. Številka A se imenuje prvi koeficient, številka B je drugi koeficient in številka C - prost član.

V vsaki od enačb obrazca AX 2 + BX + C \u003d 0, kjer je največja stopnja spremenljivke X-kvadrat. Zato ime: kvadratna enačba.

Upoštevajte, da je kvadratna enačba imenovana tudi enačba druge stopnje, saj ima levi del druge stopnje polinom.

Kvadratno enačbo, v kateri je koeficient pri x 2, ki se imenuje glede na kvadratno enačbo. Na primer, dane kvadratne enačbe so enačbe
(x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\ t

Če je v kvadratnem enačbi 2 + BX + C \u003d 0, je vsaj eden od koeficientov B ali C je nič, potem se taka enačba imenuje nepopolna kvadratna enačba. Torej, enačbe -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 so nepopolne kvadratne enačbe. V prvem od njih B \u003d 0, v drugem C \u003d 0, v tretjem B \u003d 0 in C \u003d 0.

Nepopolne kvadratne enačbe so tri vrste:
1) AX 2 + C \u003d 0, kjer \\ t
2) AX 2 + BX \u003d 0, kjer \\ t
3) AX 2 \u003d 0.

Razmislite o rešitvi enačb vsake od teh vrst.

Rešiti nepopolno kvadratno enačbo obrazca AX 2 + C \u003d 0, z \\ t
(x ^ 2 \u003d - frac (c) (a) pravicarrow x_ (1,2) \u003d pm \\ t

Ker \\ t

Če (- FRAC (C) (A)\u003e 0) enačba ima dve korenini.

Če (- FRAC (C) (A), da bi rešili nepopolno kvadratno enačbo obrazca AX 2 + BX \u003d 0, z \\ t (B \\ ne 0
(X (AX + B) \u003d 0 Usnjarrow levo \\ t (Fray) (L) X \u003d 0 AX + B \u003d 0 End (polje) \\ t (Matrika) (L) x \u003d 0 x \u003d - frac (b) (a) konec (matrika) \\ t

Torej, nepopolna kvadratna enačba obrazec AX 2 + BX \u003d 0 z \\ t (B: neq 0) ima vedno dve korenini.

Nepopolna kvadratna enačba obrazca AX 2 \u003d 0 je enakovredna enačbi x 2 \u003d 0 in ima zato edina korenina 0.

Korenska formula kvadratnih enačb

Razmislite o tem, kako so kvadratne enačbe reševale, v kateri se oba koeficienta z neznanim in svobodnim članom razlikujejo od nič.

Enačba kvadrata SPEST v general. In kot rezultat dobimo korensko formulo. Potem se ta formula lahko uporabimo pri reševanju kvadratne enačbe.

Resister kvadratna enačba 2 + bx + c \u003d 0

Ločevanje obeh delov na A, dobimo ekvivalent predstavljene kvadratne enačbe
(x ^ 2 + frac (b) (a) x + frac (c) (a) \u003d 0 \\ t

To enačbo spremenimo, poudarjamo kvadrat od odhoda:
(x ^ 2 + 2x CDOT FRAC (B) (2A) + Levo (Frac (B) (2a) \\ t 2 + frac (c) (a) \u003d 0 pravih pravočo

(x ^ 2 + 2x CDOT FRAC (B) (2A) + levo (Frac (B) (2a) \\ t 2 - Frac (c) (a) pravicarror) \\ t (levo (x + frac (b) (2a) desno) ^ 2 \u003d frac (b ^ 2) (C) (a) pravi prav (x + frac (b) (2a) desno) ^ 2 \u003d frac (b ^ 2-4Ac) (4a ^ 2) pravic) \\ t FRAC (B) (2a) \u003d pm \\ t2 (B ^ 2-4Ac) (4a ^ 2)) pravica X \u003d - frac (b) (2a) + \\ t B ^ 2-4AC)) (2a) pravi prav (x \u003d -b (-b) (-b) (B ^ 2-4Ac)) (2a) \\ t

Vodeni izraz se imenuje diskriminalna kvadratna enačba AX 2 + BX + C \u003d 0 ("Diskriminalka" v latinščini je ločevalec). Označena je s črko D, tj.
(D \u003d b ^ 2-4Ac) \\ t

Zdaj, z uporabo označbe diskriminantnega, ponovno napišite formulo za korenine kvadratne enačbe:
(x_ (1,2) \u003d frac (-b pm \\ tqrt (d)) (2a), kjer \\ t (d \u003d b ^ 2-4Ac) \\ t

Očitno je, da:
1) Če D\u003e 0 ima kvadratna enačba dve korenini.
2) Če D \u003d 0 ima kvadratna enačba eno koren (X \u003d - Frac (B) (2a)).
3) če je D tako, odvisno od diskriminantne vrednosti, ima lahko kvadratno enačbo dve korenine (z D\u003e 0), eno koren (pri d \u003d 0) ali ne, da imajo korenine (z D, pri reševanju kvadratne enačbe za To formulo je priporočljivo, da se prijavite na naslednji način:
1) Izračunajte diskriminantno in ga primerjajte z ničlo;
2) Če je diskriminanta pozitivna ali enaka nič, nato uporabite korensko formulo, če je diskriminanta negativna, potem zapišite korenine.

Vieta Teorem.

Predstavljena kvadratna enačba 2 -7x + 10 \u003d 0 ima korenine 2 in 5. Količina korenin je 7, izdelek pa je 10. Vidimo, da je količina korenin enaka drugemu koeficientu, ki je bil sprejet z nasprotjem Znak in produkt korenin je enak prostemu članu. Takšna nepremičnina ima katero koli kvadratno enačbo, ki ima koren.

Vsota korenin predstavljene kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, posnetih z nasprotnim znakom, produkt korenin pa je enak svobodnemu članu.

Ti. Therem Vieta trdi, da imajo korenine x 1 in x 2 dane kvadratne enačbe x 2 + px + q \u003d 0 lastnost:
(levo (zaženite (polje) (L) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 cdot x_2 \u003d q end (array) \\ t

Yakupova m.i. 1

Smirnova yu.v. eno

1 občinska proračunska izobraževalna ustanova Srednja šola št

Besedilo dela je nameščeno brez slik in formul.
Celotna različica Dela na voljo v zavihku »Delovne datoteke« v formatu PDF

Zgodovina kvadratnih enačb

Babilon

Potreba po reševanju enačb ne le v prvi stopnji, temveč tudi drugi v antiki je povzročila potreba po reševanju problemov, povezanih s površino zemljišč, z razvojem astronomije in matematike. Kvadratne enačbe Napisano za reševanje približno 2.000 let prej. e. Babilonski. Pravila za reševanje teh enačb, določenih v babilonskih besedilih, sovpada v bistvu s sodobno, vendar v teh besedilih ni koncepta negativnega števila in splošnih metod za reševanje kvadratnih enačb.

Antična grčija

Raztopina kvadratnih enačb je bila vključena Antična grčija Takšni znanstveniki, kot so diofant, Euclidean in Geron. Diofant diofant Alexandria je starodavni grški matematik, ki je živel verjetno v tretjem stoletju našega obdobja. Glavno delo Diofante je "aritmetic" v 13 knjigah. Euclid. Euclidean starodavni grški matematik, avtor prve teoretične razprave iz matematike Gerona, ki nas je prišel. Gereon - grški matematik in inženir prvič v Grčiji v Republiki I. stoletja daje povsem algebrski način reševanja kvadratne enačbe

Indija

Izzivi na kvadratne enačbe so že v astronomskem razprave "Ariabhatyam", ki je sestavljen v 499. Indijski matematik in astronomer Ariabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (VII Century), je predstavil splošno pravilo reševanja kvadratnih enačb, ki so jih dali eni kanonični obliki: AX2 + BX \u003d C, A\u003e 0. (1) Koeficienti enačb (1) Koeficienti so lahko negativni. Brahmagupta pravilo v bistvu sovpada z našimi. V Indiji so bila javna tekmovanja razdeljena pri reševanju težkih nalog. V eni od starih indijskih knjig je povedana o takih tekmovanjih, kot sledi: "Ker je sonce sijalo s svojimi nazami, zato je znanstvenik zasenčen z ljudskimi zbirkami, ponujajo in reševanjem algebrskih nalog." Naloge se pogosto uživajo v pesniški obliki.

Tu je ena od nalog znane indijske matematike XII stoletja. Bhaskara.

»Študijski oporniki

In dvanajst na Lianam do najhujšega, zabava

Začel skočiti z obešanjem

Na kvadratnem delu osmega

Koliko opic je bilo,

V gladi so zabavali

Mi poveš, v tem stanu? "

Odločitev Bhaskara priča dokazuje, da je avtor vedel za dva označevanja korenin kvadratnih enačb. Ustrezna naloga Bhaskar enačba piše pod krinko X2 - 64x \u003d - 768 in za dopolnitev leve strani te enačbe na kvadrat, dodaja obema deloma 322, pridobivanje: X2 - B4X + 322 \u003d -768 + 1024, ( X - 32) 2 \u003d 256, X - 32 \u003d ± 16, X1 \u003d 16, X2 \u003d 48.

Kvadratne enačbe v Evropi XVII stoletja

Formule za reševanje kvadratnih enačb za al-Khorezmi v Evropi so bile najprej določene v "Knjiga Abake", napisano leta 1202, ki ga je italijanski matematik Leonardo Fibonacci. To temeljito delo, ki odraža vpliv matematike, obeh držav islama in starodavne Grčije, odlikuje popolnost in jasnost predstavitve. Avtor se je neodvisno razvil nekaj novih algebrskih primerov reševanja problemov in prvi v Evropi se je približal uvedbi negativnih številk. Njegova knjiga je spodbujala širjenje algebrskega znanja ne le v Italiji, ampak tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številni izzivi iz "Abake Book" je opravil skoraj vse evropske učbenike XVI - XVII stoletja. in delno XVIII. Izhod s formulo raztopine kvadratne enačbe na splošno je na voljo v Vieti, vendar VIET priznava le pozitivne korenine. Italijanski matematiki Tartalia, Kardano, bombaržno med prvimi v XVI. Stoletju. Poleg pozitivnih in negativnih korenin. Samo v XVII. Zaradi dela Girard, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov, je metoda reševanja kvadratnih enačb, je sodoben videz.

Opredelitev kvadratne enačbe

Enačba obrazca AX 2 + BX + C \u003d 0, kjer je A, B, C številke, imenovane kvadrat.

Koeficienti kvadratnih enačb

Številke A, B, C - kvadratne koeficiente. In prvi koeficient (pred XX), A ≠ 0; B je drugi koeficient (pred X); C je prost član (brez X).

Katera od teh enačb ni kvadratna?

1. 4xqm + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2 / x² + 3x + 4 \u003d 0; 5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² \u003d 0;

7. 4xqm + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 \u003d 0; 11. 7xqm + 5x \u003d 0; 12. -8x² \u003d 0; 13. 5x³ + 6x -8 \u003d 0.

Vrste kvadratnih enačb

Ime	Splošni pogled na enačbo	Značilnost (kateri koeficienti)	Primeri enačb
	aX 2 + BX + C \u003d 0	a, B, C - številke, ki niso 0	1 / 3x 2 + 5x - 1 \u003d 0
Nepopolna
			x 2 - 1 / 5x \u003d 0
Predstavljeno	x 2 + bx + c \u003d 0		x 2 - 3x + 5 \u003d 0

Kvadratna enačba, v kateri je višji koeficient enak enemu. Tak enačba je mogoče dobiti z delitvijo celotnega izraza na višji koeficient a:

x. 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a

Popolnoma imenuje taka kvadratna enačba, katerih koeficienti se razlikujejo od nič.

Nepolno imenovana taka kvadratna enačba, v kateri je vsaj eden od koeficientov, poleg starejšega (ali drugega koeficienta ali svobodne članice) nič.

Metode za reševanje kvadratnih enačb

I metoda. Splošna formula za izračun korenin

Najti korenine kvadratne enačbe sekira. 2 + B + C \u003d 0 Na splošno morate uporabiti spodnji algoritem:

Izračunajte vrednost diskriminanta kvadratne enačbe: to se imenuje izraz D \u003d.b. 2 - 4AC.

Odstranitev formule:

Opomba: Očitno je, da je formula za koren množitve 2 poseben primer splošne formule, se izkaže, ko se nadomesti v njem Enakost D \u003d 0, in izhod odsotnosti realnih korenin pri D0, A (Prikaz ( Sqrt (-1)) \u003d i) \u003d i.

Označena metoda je univerzalna, vendar je daleč od edina. Da bi rešili eno enačbo, se lahko pristopijo na različne načine, preference pa so običajno odvisne od odločilne. Poleg tega je pogosto za to nekaj načinov bistveno bolj elegantno, enostavno, manj zamudno kot standardni.

Wi. Korenine kvadratne enačbe na enem koeficientub. III način. Odločitev nepopolnih kvadratnih enačb

IV metoda. Uporaba razmerij zasebnega koeficienta

Obstajajo posebni primeri kvadratnih enačb, v katerih so koeficienti v odnosih med seboj, kar jim omogoča, da jih rešijo veliko lažje.

Korenine kvadratne enačbe, v kateri je vsota višjega koeficienta in svobodne članice enaka drugemu koeficientu

Če je v kvadratnem enačbi sekira. 2 + Bx + c \u003d 0 Vsota prvega koeficienta in svobodne članice je enak drugemu koeficientu: \\ t a + B \u003d C, njegove korenine so -1 in številka nasproti odnosa prostega člana starejšemu koeficientu ( -C / A.).

Zato pred reševanjem katere koli kvadratne enačbe morate preveriti možnost uporabe tega izreka: primerjajte vsoto višjega koeficienta in prostega člana z drugim koeficientom.

Korenine kvadratne enačbe, vsota vseh koeficientov, katerih je nič

Če je v kvadratni enačbi, je vsota vseh njenih koeficientov nič, potem so korenine takih enačb 1 in razmerje prostega člana starejšemu koeficientu ( c / A.).

Zato je pred reševanjem enačbo s standardnimi metodami, je treba preveriti uporabnost tega izreka: preklopiti vse koeficiente te enačbe in preveriti, ali ni enaka nič.

V. Razgradnja kvadratnega troja na linearne multiplikatorje

Če je preizkušena vrsta (DisplayStyle AX ^ (2) + BX + C (ANOT \u003d 0)) AX 2 + Bx + c (a ≠ 0)to bo mogoče na kakršen koli način, kot je produkt linearnih multiplikatorjev (disstropstyle (KX + M) (LX + N) \u003d 0) (KX + M) (LX + N), potem lahko najdete korenine enačbe sekira. 2 + Bx + c \u003d 0 - bodo -m / k in n / l, res, ker (DisplaySyle (KX + M) (LX + N) \u003d 0LonggeftrightRow KX + M \u003d 0cup LX + N \u003d 0) (KX + M) (LX + N) \u003d 0 KX + MULX +n, in reševanje določenih linearnih enačb, dobimo zgoraj opisano. Upoštevajte, da kvadratni trojnik ni vedno določen na linearnih multiplikatorjih z veljavnimi koeficienti: to je mogoče, če enačba ustreza, da so veljavne korenine.

Razmislite o nekaterih posebnih primerih

Uporaba vsote vsote vsote (razlika)

Če ima kvadratna praska (displaySyle (AX) ^ (2) + 2ABX + B ^ (2)) AX 2 + 2ABX + B 2, nato nanašanje imenovane formule, da jo lahko razgradimo na linearnih multiplikatorjev in, Pomeni, da bi našli korenine:

(AX) 2 + 2ABX + B 2 \u003d (AX + B) 2

Izbor celotnega kvadratnega zneska (razlika)

Uporablja se tudi imenovana formula z uporabo metode, ki je prejela ime "Izolacijo celotnega kvadratnega zneska (razlika)". V zvezi z dano kvadratno enačbo s predhodno vnesenimi oznakami to pomeni naslednje:

Opomba: Če ste opazili, da ta formula sovpada z "korenine dane kvadratne enačbe", ki je bila predlagana v poglavju "Korenine dane kvadratne enačbe", ki je mogoče dobiti iz splošne formule (1) z zamenjavo enakosti a \u003d 1. To dejstvo ni samo naključje: opisana metoda, ki proizvaja, vendar pa lahko nekatera dodatna utemeljitev umakne tudi s splošno formulo, kot tudi dokazati lastnosti diskriminanta.

VI WAY. Uporaba neposrednega in povratnega teorema Vieta

Direct vino izrek (glej spodaj v razdelku istega imena) in teorem inverzno, da vam omogočajo, da rešite zgornje kvadratno enačbe ustno, ne da bi se zatekali na dovolj obsežnih izračunov po formuli (1).

Glede na povratne teorem, kateri koli par številk (število) (displaystyle x_ (1), x_ (2)) x 1, x 2 je rešitev pod sistemom enačb, so korenine enačbe

Na splošno, to je za neresnično kvadratno enačbo 2 + BX + C \u003d 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Izbira ustno številke, ki izpolnjujejo te enačbe, bodo pomagale neposrednemu izreku. Z njim lahko določite znake korenin, ki ne poznajo korenin samih. To je treba voditi s pravilom:

1) Če je prosti član negativen, imajo korenine drugačen znak, največji modul iz korenin pa je znak nasproti znaka drugega koeficienta enačbe;

2) Če je prost član pozitiven, imata oba korena enak znak, to pa je znak nasproti znaka drugega koeficienta.

VII WAY. Metoda "zmanjšanje"

Tako imenovana metoda "tranzita" omogoča zmanjšanje raztopine nameravanega in neprehodnega na vrsto njihove delitve višjemu koeficientu enačb, da bi rešili rešitve, podane s celotnimi koeficienti. Gre za:

Poleg tega je enačba rešena peroralno opisana v metodi, nato se vrne v izvirno spremenljivko in poiščite korenine enačb (displaystyle y_ (1) \u003d AX_ (1)) y. 1 \u003d Sekira. 1 in y. 2 \u003d Sekira. 2 . (Displaystyle y_ (2) \u003d AX_ (2))

Geometrijski pomen.

Graf kvadratne funkcije je parabola. Rešitve (korenine) kvadratne enačbe se imenujejo izvzkov točk prehoda parabole z osi abscisa. Če je parabola, ki jo opisuje kvadratna funkcija, se ne seka z osi abscisa, enačba nima pravega koreninah. Če je parabola sekajo z osi abscisa na eni točki (na vrhu parabole), ima enačba eno realno koren (tudi pravi, da ima enačba dva sovpada). Če parabola prečka osi abscisa v dveh točkah, ima enačba dve resnični korenini (glej sliko na desni.)

Če koeficient (DisplayStyle A) a. Pozitivne panoge Parabole so usmerjene in nasprotno. Če koeficient. Displaystyle B)krševanje (s pozitivnim (displaySyle A) a., z negativno nasprotno), vrh parabole leži v levi polovični ravnini in obratno.

Uporaba kvadratnih enačb v življenju

Kvadratna enačba je zelo razširjena. Uporablja se v številnih izračunih, strukturah, športu, kot tudi okoli nas.

Upoštevajte in predstavite nekaj primerov uporabe kvadratne enačbe.

Šport. Skoči v višino: Ko teče skakalec za maksimalno jasno udarjanje na odbijanje in visok načrt leta, se uporabljajo izračuni, povezani s parabolo.

Tudi takšni izračuni so potrebni v metanju. Območje predmeta je odvisno od kvadratne enačbe.

Astronomija. Traktorija gibanja planetov je mogoče najti s kvadratnim enačbo.

Letalska letala. Vzemite zrakoplov glavno komponento leta. Izračun je potreben za majhno odpornost in pospešitev vzleta.

Tudi kvadratne enačbe se uporabljajo v različnih gospodarskih disciplinah, v programih za obdelavo zvoka, video, vektor in rastrske grafike.

Zaključek

Zaradi opravljenega dela se je izkazalo, da so kvadratne enačbe privabila znanstvenike v starih časih, ki so jih že pri reševanju nekaterih nalog in jih poskušali rešiti. Glede na različne načine reševanja kvadratnih enačb sem prišel do zaključka, da niso vsi preprosti. Po mojem mnenju najbolj najboljši način Rešitve kvadratnih enačb je rešitev s formulami. Formule se zlahka spominjajo, ta metoda je univerzalna. Hipoteza, da se enačbe pogosto uporabljajo v življenju, matematika pa je potrjena. Po preučevanju teme sem se veliko naučil zanimiva dejstva Na kvadratnih enačbah, njihovi uporabi, aplikaciji, vrstah, rešitvah. In z veseljem bom še naprej študiral. Upam, da mi bo to pomagalo prenesti izpite.

Seznam rabljenih literatura

Spletni materiali:

Wikipedija

Odpri LEAKS.RF.

Imenik osnovne matematike Dobočje M. Ya.

Kvadratne enačbe. Splošne informacije.

V kvadratna enačba Mora biti prisoten na trgu (zato se imenuje

"Square"). Poleg njega je lahko v enačbi (in morda ne bo!) Preprosto x (v prvi stopnji) in

samo številka (prosti Dick.). In ne bi smelo biti noben ICS do stopnje, več.

Algebraična enačba splošne oblike.

kje x. - brezplačna spremenljivka, \\ t a., b., c. - koeficienti in. \\ t a.≠0 .

na primer:

Izraz Pokliči kvadrat Threehlen..

Elementi kvadratne enačbe imajo svoja lastna imena:

· Pokličite prvi ali višji koeficient,

· Pokličite drugi ali koeficient, ko

· Klic prostega člana.

Popolna kvadratna enačba.

V teh kvadratnih enačbah na levi je popoln sklop članov. X kvadrat z

koeficient. ampak, X v prvi stopnji s koeficientom b. in prost Član od. VcE Koeficienti

mora biti drugačen od nič.

Nepopolna To se imenuje takšna kvadratna enačba, v kateri je vsaj eden od koeficientov, razen

senior (drugi koeficient ali svobodni član) je nič.

Pretvarjajmo se b. \u003d 0, - prva stopnja bo izginila. Izkazalo se je, na primer:

2x 2 -6x \u003d 0,

Itd. In če sta oba koeficienta b. in c. enaka nič, še vedno je enostavnejša, npr.

2x 2 \u003d 0,

Upoštevajte, da je X prisoten na trgu v vseh enačbah.

Zakaj. zvezek Ne more biti nič? Potem bo IX izginil na trgu in enačba bo postala linear. .

In že je že rešil drugače ...

Prva raven

Kvadratne enačbe. Izčrpen vodnik (2019)

V smislu "kvadratne enačbe" je ključ beseda "kvadrat". To pomeni, da mora biti spremenljivka prisotna v enačbi (isto IX) na trgu in ne bi smela biti ICS v tretji (in večji) stopnji.

Rešitev številnih enačb se zmanjša na reševanje natančno kvadratnih enačb.

Naučimo se, kako ugotoviti, da imamo kvadratno enačbo, in ne druge.

Primer 1.

Vsakega člana enačbe na imenovalcu in prevladujejo

Vse prenašamo na levo in postavimo člane v padajočega vrstnega reda stopinj ICA

Zdaj lahko rečete z zaupanjem, da je ta enačba kvadratna!

Primer 2.

Domača leva in desna stran na:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njem, ni kvadrat!

Primer 3.

Doming vse na:

Strašljivo? Četrta in druga stopnja ... Če pa nadomeščamo, potem bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

Primer 4.

Zdi se, da je, vendar poglejmo pozorno. Vse prenesemo na levo:

Glejte, zmanjšajte - in zdaj je preprosta linearna enačba!

Zdaj poskusite ugotoviti, katera od naslednjih enačb je kvadrata, in katera ne:

Primeri:

Odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ni kvadrat;
4. ni kvadrat;
5. ni kvadrat;
6. kvadrat;
7. ni kvadrat;
8. kvadrat.

Matematika običajno razdeli vse kvadratne enačbe na tip:

• Celotne kvadratne enačbe - enačbe, v katerih koeficienti in, kot svobodni član niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega med celovita kvadratna enačba dodeljena predstavljeno - To so enačbe, v katerih koeficient (enačba iz primera, ki ni popolna, ampak tudi dana!)

• Nepopolne kvadratne enačbe - enačbe, v katerih je koeficient in svobodni član nič: \\ t

  Nepopolno, ker nimajo nekakšnega elementa. Toda enačba mora biti vedno prisotna na trgu !!! V nasprotnem primeru ne bo kvadrat, ampak nekatere druge enačbe.

Zakaj si prišel do takega divizije? Zdi se, da je na trgu x in v redu. Takšna delitev je posledica metod rešitev. Podrobneje razmislite o vsakem od njih.

Odločitev nepopolnih kvadratnih enačb

Za začetek se bomo ustavili pri reševanju nepopolnih kvadratnih enačb - veliko enostavnejši!

Nepopolne kvadratne enačbe so vrste:

1. V tej enačbi je koeficient enak.
2. V tej enačbi je svobodni član enak.
3. V tej enačbi sta koeficient in svobodni član enaka.

1. in. Ko vemo, kako izvleči kvadratni koren, izrazitimo iz te enačbe

Izraz je lahko negativen in pozitiven. Številka, popisana v kvadrat, ne more biti negativna, ker z množenjem dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil, bo rezultat vedno pozitivno število, tako da, če enačba nima rešitev.

In če dobiš dve korenini. Te formule ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki jo morate vedeti in se spomniti vedno, da morda ne bo manj.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

Primer 5:

Odloča o enačbi

Zdaj je treba odstraniti iz leve in desne strani. Konec koncev, se spomnite, kako ekstrahirate korenine?

Odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim znakom !!!

Primer 6:

Odloča o enačbi

Odgovor:

Primer 7:

Odloča o enačbi

Oh! Kvadrat številke ne more biti negativen, kar pomeni enačbo

brez korenin!

Za takšne enačbe, v katerih ni korenin, je matematika prišla s posebno ikono - (prazen niz). In odgovor je mogoče napisati kot:

Odgovor:

Tako ima ta kvadrata enačba dve korenini. Tukaj ni omejitev, saj nismo odstranili korena.
Primer 8:

Odloča o enačbi

Povzel bom oklepaje:

V to smer,

Ta enačba ima dve korenini.

Odgovor:

Najlažje vrste nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno je ta enačba vedno samo eno koren:

Tukaj bomo storili brez primerov.

Reševanje polne kvadratne enačbe

Spomnimo vas, da je celotna kvadratna enačba enačba enačbe, kjer

Raztopina popolnih kvadratnih enačb je nekoliko bolj zapletena (zelo rahlo) kot zgoraj.

Ne pozabite, vsaka kvadratna enačba je mogoče rešiti s pomočjo diskriminantnih! Celo nepopolna.

Preostanek načinov bo pomagal, da bo hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, se začne rešitev s pomočjo diskriminant.

1. Rešitev kvadratnih enačb s pomočjo diskriminant.

Rešitev kvadratnih enačb na ta način je zelo preprosta, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul.

Če ima enačba koren posebne pozornosti, da plača korak. Diskridenčna () nas kaže na število korenin enačbe.

• Če, potem je formula zmanjšana na. Tako bo enačba imela celoten koren.
• Če ne bomo mogli izločiti korena iz diskriminantnega v koraku. To kaže, da enačba nima korenin.

Vrnimo se na naše enačbe in razmislimo o več primerih.

Primer 9:

Odloča o enačbi

Korak 1 Preskočimo.

2. korak.

Mi smo našli diskriminantno:

Zato ima enačba dve korenini.

3. korak.

Odgovor:

Primer 10:

Odloča o enačbi

Enačba je predstavljena v standardni obliki, tako da Korak 1 Preskočimo.

2. korak.

Mi smo našli diskriminantno:

Zato ima enačba eno koren.

Odgovor:

Primer 11:

Odloča o enačbi

Enačba je predstavljena v standardni obliki, tako da Korak 1 Preskočimo.

2. korak.

Mi smo našli diskriminantno:

Ne bo mogel izločiti korena od diskriminanta. Korenine enačbe ne obstajajo.

Zdaj vemo, kako pravilno napisati takšne odgovore.

Odgovor:Brez korenin

2. Raztopina kvadratnih enačb z uporabo izreka Vieta.

Če se spomnite, to je takšna vrsta enačb, ki se imenujejo predstavljena (ko je koeficient A enaka):

Takšne enačbe so zelo enostavne za reševanje z uporabo izreka Vieta:

Vsota korenin določeno Kvadrata enačba je enaka, izdelek korenin pa je enak.

Primer 12:

Odloča o enačbi

Ta enačba je primerna za reševanje uporabe izreka Vieta, ker .

Količina korenin enačbe je enaka, tj. Dobimo prvo enačbo:

In delo je:

Odločil bomo tudi sistem:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Odgovor: ; .

Primer 13:

Odloča o enačbi

Odgovor:

Primer 14:

Odloča o enačbi

Enačba je podana, zato:

Odgovor:

Kvadratne enačbe. Povprečna raven

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba vrst, kjer je neznano nekaj številk, in.

Številka se imenuje starejša ali prvi koeficient. kvadratna enačba - drugi koeficient., ampak - prosti član.

Zakaj? Ker, če enačba takoj postane linearna, ker izginejo.

Hkrati in je lahko nič. V tem blatu se enačba imenuje nepopolna. Če so vse komponente vzpostavljene, to je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb:

Za začetek bomo analizirali metode rešitev nepopolnih kvadratnih enačb - lažje so.

Izberete lahko vrsto takšnih enačb:

I. V tej enačbi sta koeficient in svobodni član enaka.

II. V tej enačbi je koeficient enak.

III. V tej enačbi je svobodni član enak.

Zdaj razmislite o rešitvi vsakega od teh podtipov.

Očitno je ta enačba vedno samo eno koren:

Številka, popisana v kvadrat, ne more biti negativna, ker z množenjem dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil, bo rezultat vedno pozitivno število. Zato:

Če enačba nima rešitev;

Če smo se naučili dve korenini

Te formule ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki si jo je treba zapomniti, da morda ni manjša.

Primeri:

Rešitve:

Odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim znakom!

Kvadrat številke ne more biti negativen, kar pomeni enačbo

brez korenin.

Če želite na kratko posneti, da naloga nima rešitev, uporabite ikono praznega niza.

Odgovor:

Torej, ta enačba ima dve korenini: in.

Odgovor:

Povzel bom tovarno za oklepaje:

Izdelek je nič, če je vsaj eden od množiteljev nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, ko:

Torej, ta kvadratna enačba ima dve korenini: in.

Primer:

Odloča o enačbi.

Sklep:

Razširite levi del tovarniške enačbe in poiščite korenine:

Odgovor:

Metode reševanja polne kvadratne enačbe:

1. diskriminart.

Reševanje kvadratnih enačb na ta način enostavno, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je katera koli kvadratna enačba rešena s pomočjo diskriminantnih! Celo nepopolna.

Ali ste opazili koren od diskriminanta v korenski formuli? Toda diskriminanta je lahko negativna. Kaj storiti? Posebno pozornost moramo posvetiti stopnji 2. Diskriminalka nas kaže na število korenin enačbe.

• Če ima enačba koren:
• Če ima enačba isto koren in v resnici, eno koren:

  Takšne korenine se imenujejo dvojno.

• Če, koren diskriminanta ni odstranjen. To kaže, da enačba nima korenin.

Zakaj je mogoče različno število korenin? Obrnimo se na geometrijski pomen kvadratne enačbe. Funkcijski graf je parabola:

V določenem primeru, ki je kvadratna enačba. To pomeni, da so korenine kvadratne enačbe točke križišča z osjo abscisa (osi). Parabola morda ne prečka osi ali jo prečkamo v enem (ko je vrh parabole na osi) ali dveh točk.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer podružnic Parabole. Če so veje parabole usmerjene navzgor in če je navzdol.

Primeri:

Rešitve:

Odgovor:

Odgovor :.

Odgovor:

Torej, ni rešitev.

Odgovor :.

2. Vita Teorem.

Vieov izrek je zelo enostaven za uporabo: samo morate pobrati take nekaj številk, katerega izdelek je enak svobodnemu članu enačbe, znesek pa je drugi koeficient, ki je bil vzet z nasprotnim znakom.

Pomembno je, da se spomnimo, da se lahko teorem iz Vieta uporablja samo v zmanjšane kvadratne enačbe ().

Razmislite o nekaj primerih:

Primer številka 1:

Odloča o enačbi.

Sklep:

Ta enačba je primerna za reševanje uporabe izreka Vieta, ker . Preostali koeficienti:; .

Količina korenin enačbe je:

In delo je:

Izbrali bomo takšne pare številk, katerega izdelek je enak, in preveri, ali je njihova vsota enaka:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Tako so korenine naše enačbe.

Odgovor:; .

Primer številka 2:

Sklep:

Takšne pare številk, ki so podane v delu, bomo nato preverili, ali je njihova vsota enaka:

in: v znesku, ki ga dajejo.

in: v znesku, ki ga dajejo. Da bi dobili dovolj samo, da spremenite znake domnevnih korenin: in, ker delo.

Odgovor:

Primer številka 3:

Sklep:

Prosti član enačbe je negativen, kar pomeni, da je proizvod korenin - negativno število. To je možno le, če je ena od korenin negativna, druga pa je pozitivna. Zato je količina korenin enaka razlike njihovih modulov.

Takšne pare številk, ki so podani v delu, in razlika, ki je enaka:

in: njihova razlika je enaka - ni primerna;

in: - ni primerna;

in: - ni primerna;

in: - primerna. Ostaja le, da se spomnimo, da je ena od korenin negativna. Ker bi morala biti njihov znesek enak, mora biti negativen manjši modul korenin :. Preverite:

Odgovor:

Primer 4:

Odloča o enačbi.

Sklep:

Enačba je podana, zato:

Prosti član je negativen, zato je proizvod korenin negativen. In to je možno le, če je en koren enačbe negativen, druga pa je pozitivna.

Izbrali bomo takšne pare števil, katerega izdelek je enak, potem pa definiramo, katere korenine bi morale imeti negativen znak:

Očitno je, da so samo korenine primerne za prvi pogoj in:

Odgovor:

Primer 5:

Odloča o enačbi.

Sklep:

Enačba je podana, zato:

Količina korenin je negativna, kar pomeni, da je vsaj ena od korenin negativna. Ker pa je njihovo delo pozitivno, to pomeni obe korenini z minus znak.

Izbrali bomo takšne pare števil, katerega izdelek je:

Očitno so korenine številke in.

Odgovor:

Strinjam se, da je zelo priročno - izumljati korenine ustno, namesto da bi razmišljal o tem grdem diskriminant. Poskusite uporabiti teorem Viete, kolikor je mogoče.

Toda teorem Vieta je potreben, da se olajša in pospeši ugotovitev korenin. Da bi vam pomagali, morate vložiti ukrepe za avtomatizem. In za to, obrežujejo več pete primerov. Ampak ne skaliranja: diskriminanta ni mogoče uporabiti! SAMO VIETA TEOREM:

Naloga rešitev za samostojno delo:

Naloga 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Na Theurem Vieta:

Kot ponavadi začenjamo izbor dela:

Ne ustreza, ker je znesek;

: Znesek - kaj potrebujete.

Odgovor:; .

Naloga 2.

In spet, naš najljubši izrek Vieta: v količini se mora izkazati, delo pa je enako.

Ker pa ne bi smelo biti, ampak, spremenite znake korenin: in (v višini).

Odgovor:; .

Naloga 3.

Hmm ... in kje je kaj?

Treba je prenesti vse pogoje v enem delu:

Količina korenin je enaka, delo.

Torej, ustaviti! Enačba ni podana. Toda Teorem Vieta se uporablja samo v zgornjih enačbah. Najprej morate prinesti enačbo. Če ne delate, mečite to idejo in se odločite na drugačen način (na primer z diskriminantno). Naj vas spomnim, da prinesite kvadratno enačbo - to pomeni, da doseže višji koeficient:

Odlično. Nato je količina korenin enaka in delo.

Tukaj je lažje pobrati preprosto: navsezadnje preprosto število (žal za tavtologijo).

Odgovor:; .

Naloga 4.

Prosti član je negativen. Kaj je posebno v tem? In dejstvo, da bodo korenine različne znake. In zdaj med izborom ne preverjamo količine korenin, vendar je razlika med njihovimi moduli: ta razlika je enaka in delo.

Torej so korenine enake in, vendar eden izmed njih z minus. Vita Teorem nam pove, da je količina korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim znakom, to je. Torej, minus bo v manjši koren: in od.

Odgovor:; .

Naloga 5.

Kaj je treba najprej storiti? Prav, prinesite enačbo:

Spet: Izberemo multiplikatorje številke, njihova razlika pa mora biti enaka:

Korenine so enake in, vendar ena izmed njih z minus. Kaj? Njihov znesek bi moral biti enak, to pomeni, da bo minus večji koren.

Odgovor:; .

Povzel bom:

1. Vieta Teorem se uporablja samo v danih kvadratnih enačbah.
2. Uporaba izreka Vieta lahko najdete korenine po izbiri, ustno.
3. Če enačba ni podana ali ni primernega para multiplikatorjev prostega člana, kar pomeni, da ni celih korenin, in je treba rešiti drugo metodo (na primer z diskriminantno).

3. Postopek dodeljevanja celotnega kvadrata

Če vsi pogoji, ki vsebujejo neznano, predstavi v obliki sestavnih delov skrajšanega množenja vsote vsote ali razlike, potem po zamenjavi spremenljivk lahko zastopa enačba v obliki nepopolne kvadratne enačbe tipa .

Na primer:

Primer 1:

Odločite se enačba :. \\ T

Sklep:

Odgovor:

Primer 2:

Odločite se enačba :. \\ T

Sklep:

Odgovor:

Na splošno bo transformacija izgledala takole:

To pomeni :.

Nič ne spominja? To je diskriminanta! To je to, formula diskriminantnega in dobil.

Kvadratne enačbe. Na kratko o glavni stvari

Kvadratna enačba- To je enačba vrste, kjer - neznano, - koeficienti kvadratne enačbe, je svoboden član.

Celotna kvadratna enačba - enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Zmanjšana kvadratna enačba - enačba, v kateri je koeficient, to je :. \\ T

Nepopolna kvadratna enačba - enačba, v kateri je koeficient in svobodni član nič:

• Če je koeficient, enačba:
• Če je enačba brezplačna, ima obrazec:,
• Če ima enačba obrazec :.

1. Algoritem Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba vrst, kjer ,:

1) Izrazite neznano:

2) Preverjanje znaka izražanja:

• Če enačba nima rešitev,
• Če ima enačba dve korenini.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba vrst, kjer ,:

1) Povzel bom tovarno za oklepaje:

2) Izdelek je nič, če je vsaj eden od množiteljev nič. Zato ima enačba dve korenini:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba vrst, kjer:

Ta enačba ima vedno samo eno koren :.

2. algoritem za reševanje polne kvadratne enačbe vrst, kjer

2.1. Rešitev s pomočjo diskriminant

1) Enačbo dajemo standardni obliki:,

2) Izračunajte diskriminantno v skladu s formulo: ki označuje število korenin enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

• Če ima enačba koren, ki je v formuli:
• Če ima enačba koren, ki je s formulo:
• Če enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo teorema Vieta

Vsota korenin zmanjšane kvadratne enačbe (enačba oblike, kjer) je enaka, proizvod korenin pa je enak, tj. , ampak.

2.3. Reševanje metode celotnega kvadratnega dodelitve