ФЕРМА ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА - утверждение Пьера Ферма (французский юрист и по совместительству математик) о том, что диофантово уравнение X n + Y n = Z n , при показателе степени n>2, где n = целое число, не имеет решений в целых положительных числах. Авторский текст: "Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем."
"Ферма и его теорема", Амадео Модильяни, 1920
Пьер придумал эту теорему 29 марта 1636-го года. А ещё через каких-то 29 лет скончался. Но тут-то всё и началось. Ведь состоятельный немецкий любитель математики по фамилии Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма! Но ажиотаж вокруг теоремы был связан не только с этим, но и с профессиональным математическим азартом. Сам Ферма намекнул математическому сообществу, что знает доказательство - незадолго до смерти, в 1665-ом году он оставил на полях книги Диофанта Александрийского "Арифметика" следующую запись: "Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях."
Именно этот намёк (плюс, конечно, денежная премия) заставил математиков безуспешно тратить на поиск доказательства свои лучшие годы (по подсчётам американских учёных, только профессиональными математиками было потрачено на это 543 лет в общей сложности).
В какой-то момент (в 1901-ом) работа над теоремой Ферма приобрела сомнительную славу "работы, сродни поиску вечного двигателя" (появился даже уничижительный термин - "ферматисты"). И вдруг 23 июня 1993 года на математической конференции по теории чисел в Кембридже английский профессор математики из Принстонского университета (Нью-Джерси, США) Эндрю Уайлс объявил, что наконец-то доказал Ферма!
Доказательство, правда, было не только сложным, но и очевидно ошибочным, на что Уайлсу было указано его коллегами. Но профессор Уайлс всю жизнь мечтал доказать теорему, поэтому не удивительно что в мае 1994-го он представил на суд учёного сообщества новый, доработанный вариант доказательства. В нём не было стройности, красоты, и оно по-прежнему было весьма сложным - тот факт, что математики целый год (!) это доказательство анализировали, что бы понять, не является ли оно ошибочным, говорит сам за себя!
Но в итоге доказательство Уайлса было признано верным. А вот Пьеру Ферма его тот самый намёк в "Арифметике" математики не простили, и, фактически, стали считать его лжецом. Собственно, первым, кто рискнул усомниться в моральной чистоплотности Ферма был сам Эндрю Уайлс, который заметил, что "Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство ХХ века." Затем и среди других ученых укрепилось мнение, что Ферма "не мог доказать свою теорему другим путём, а доказать её тем путем, по которому пошёл Уайлс, Ферма не мог по объективным причинам."
На самом деле, Ферма конечно же мог доказать её, и чуть позже это доказательство будет аналитиками "Новой Аналитической Энциклопедии" воссоздано. Но - что же это за такие "объективные причины"?
Такая причина на самом деле только одна: в те годы, когда жил Ферма, не могла появиться гипотеза Таниямы, на которой и построил свой доказательство Эндрю Уайлс, ведь модулярные функции, которыми оперирует гипотеза Таниямы были открыты только в конце XIX века.
Как доказал теорему сам Уайлс? Вопрос непраздный - это важно для понимания того, каким образом свою теорему мог доказать сам Ферма. Уайлс построил своё доказательство на доказательстве гипотезы Таниямы, выдвинутой в 1955-ом 28-летним японским математиком Ютакой Таниямой.
Гипотеза звучит так: "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма". Эллиптические кривые, известные с давних пор, имеют двухмерный вид (располагаются на плоскости), модулярные же функции, имеют четырехмерный вид. Т.е гипотеза Таниямы соединила совершенно разные понятия - простые плоские кривые и невообразимые четырёхмерные формы. Сам факт соединения разномерных фигур в гипотезе показался учёным абсурдным, именно поэтому в 1955-ом ей не придали значения.
Однако осенью 1984 года о "гипотезе Таниямы" вдруг снова вспомнили, и не просто вспомнили, но связали её возможное доказательство с доказательством теоремы Ферма! Это сделал математик из Саарбрюкена Герхард Фрей, который сообщил учёному сообществу, что "если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма".
Что сделал Фрей? Он преобразовал уравнение Ферма в кубическое, затем обратил внимание на то, что эллиптическая кривая, полученная при помощи преобразованного в кубическое уравнения Ферма не может быть модулярной. Однако гипотеза Таниямы утверждала, что любая эллиптическая кривая может быть модулярной! Соответственно, эллиптическая кривая, построенная из уравнения Ферма не может существовать, значит не может быть целых решений и теоремы Ферма, значит она верна. Ну а в 1993-ем Эндрю Уайлс попросту доказал гипотезу Таниямы, а значит и теорему Ферма.
Однако, теорему Ферма можно доказать значительно проще, на основе той же самой многомерности, которой оперировали и Танияма, и Фрей.
Для начала, обратим внимание на условие, оговорённое самим Пьером Ферма - n>2. Для чего было нужно это условие? Да лишь для того, что при n=2 частным случаем теоремы Ферма становится обычная теорема Пифагора Х 2 +Y 2 =Z 2 , которое имеет бесчисленное множество целых решений - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 и так далее. Таким образом, теорема Пифагора является исключением из теоремы Ферма.
Но почему именно в случае с n=2 возникает подобное исключение? Всё становится на свои места, если увидеть взаимосвязь между степенью (n=2) и мерностью самой фигуры. Пифагоров треугольник - двухмерная фигура. Не удивительно, что Z (то есть гипотенуза), может быть выражена через катеты (X и Y), которые могут быть целыми числами. Размер угла (90) дает возможность рассматривать гипотенузу как вектор, а катеты - векторы, расположенные на осях и идущие из начала координат. Соответственно, можно выразить двумерный вектор, не лежащий ни на одной из осей, через векторы, на них лежащие.
Теперь, если перейти к третьему измерению, а значит к n=3, для того чтобы выразить трёхмерный вектор, будет недостаточно информации о двух векторах, а следовательно, выразить Z в уравнении Ферма можно будет как минимум через три слагаемых (три вектора, лежащих, соответственно, на трех осях системы координат).
Если n=4, значит, слагаемых должно быть уже 4, если n=5, то слагаемых должно быть 5 и так далее. В этом случае, целых решений будет хоть отбавляй. Например, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 и так далее (другие примеры для n=3, n=4 и так далее можете подобрать самостоятельно).
Что из всего этого следует? Из этого следует, что теорема Ферма действительно не имеет целых решений при n>2 - но лишь потому, что само по себе уравнение некорректно! С таким же успехом можно было бы пытаться выразить объём параллелепипеда через длины двух его рёбер - разумеется, это невозможно (целых решений никогда не будет найдено), но лишь потому, что для нахождения объёма параллелепипеда нужно знать длины всех трёх его рёбер.
Когда знаменитого математика Давида Гилберта спросили, какая задача сейчас для науки наиболее важна, он ответил "поймать муху на обратной стороне Луны". На резонный вопрос "А кому это надо?" он ответил так: "Это никому не надо. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить".
Другими словами, Ферма (юрист в первую очередь!) сыграл со всем математическим миром остроумную юридическую шутку, основанную на неверной постановке задачи. Он, фактически, предложил математикам найти ответ, почему муха на другой стороне Луны жить не может, а на полях "Арифметики" хотел написать лишь о том, что на Луне просто нет воздуха, т.е. целых решений его теоремы при n>2 быть не может лишь потому, что каждому значению n должно соответствовать определённое количество членов в левой части его уравнения.
Но была ли это просто шутка? Отнюдь. Гениальность Ферма заключается именно в том, что он фактически первый увидел взаимосвязь между степенью и мерностью математической фигуры - то есть, что абсолютно эквивалентно, количеством членов в левой части уравнения. Смысл его знаменитой теоремы был именно в том, чтобы не просто натолкнуть математический мир на идею этой взаимосвязи, но и инициировать доказательство существования этой взаимосвязи - интуитивно понятной, но математически пока не обоснованной.
Ферма как никто другой понимал, что установление взаимосвязи между, казалось бы, различными объектами чрезвычайно плодотворно не только в математике, но и в любой науке. Такая взаимосвязь указывает на какой-то глубокий принцип, лежащий в основе обоих объектов и позволяющий глубже понять их.
Например, первоначально физики рассматривали электричество и магнетизм как совершенно не связанные между собой явления, а в XIX веке теоретики и экспериментаторы поняли, что электричество и магнетизм тесно связаны между собой. В результате было достигнуто более глубокое понимание и электричества, и магнетизма. Электрические токи порождают магнитные поля, а магниты могут индуцировать электричество в проводниках, находящихся вблизи магнитов. Это привело к изобретению динамомашин и электромоторов. В конце концов было открыто, что свет представляет собой результат согласованных гармонических колебаний магнитного и электрического полей.
Математика времён Ферма состояла из островов знания в море незнания. На одном острове обитали геометры, занимающиеся изучением форм, на другом острове теории вероятностей математики изучали риски и случайность. Язык геометрии сильно отличался от языка теории вероятностей, а алгебраическая терминология была чужда тем, кто говорил только о статистике. К сожалению, математика и наших времён состоит примерно из таких же островов.
Ферма первым понял, что все эти острова взаимосвязаны. И его знаменитая теорема - ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА - отличное тому подтверждение.
Что премию Абеля в 2016 году получит Эндрю Уайлз за доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры для полустабильных эллиптических кривых и следующее из этой гипотезы доказательство великой теоремы Ферма. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».
Теорема Ферма, доказанная более 20 лет назад, до сих пор привлекает внимание математиков. Отчасти, это связано с ее формулировкой, которая понятна даже школьнику: доказать, что для натуральных n>2 не существует таких троек целых ненулевых чисел, что a n + b n = c n . Это выражение Пьер Ферма записал на полях «Арифметики» Диофанта, снабдив замечательной подписью «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство [этого утверждения], но поля книги слишком узки для него». В отличие от большинства математических баек, эта - настоящая.
Вручение премии - прекрасный повод вспомнить десять занимательных историй, связанных с теоремой Ферма.
1.
До того, как Эндрю Уайлз доказал теорему Ферма, ее правильнее было называть гипотезой, то есть гипотезой Ферма. Дело в том, что теорема - это по определению уже доказанное утверждение. Однако, почему-то к этому утверждению приклеилось именно такое название.
2.
Если в теореме Ферма положить n = 2, то у такого уравнения существует бесконечно много решений. Эти решения называются «пифагоровы тройки». Такое название они получили потому, что им соответствуют прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются именно такими наборами чисел. Генерировать пифагоровы тройки можно с помощью таких вот трех формул (m 2 - n 2 , 2mn, m 2 + n 2). В эти формулы надо подставлять разные значения m и n, и в результате будут получаться нужные нам тройки. Главное тут, впрочем, убедиться, что полученные числа будут больше нуля - длины не могут выражаться отрицательными числами.
Кстати, легко заметить, что если все числа в пифагоровой тройке умножить на некоторое ненулевое, получится новая пифагорова тройка. Поэтому разумно изучать тройки, в которых у трех чисел в совокупности нет общего делителя. Схема, которую мы описали, позволяет получить все такие тройки - это уже совсем не простой результат.
3.
1 марта на 1847 года заседании Парижской академии наук сразу два математика - Габриэль Ламе и Огюстен Коши - объявили, что находятся на пороге доказательства замечательной теоремы. Они устроили гонку, публикуя кусочки доказательства. Большинство академиков болело за Ламе, поскольку Коши был самодовольным, нетерпимым к чужому мнению религиозным фанатиком (и, разумеется, совершенно блестящим математиком по совместительству). Однако, матчу не суждено было завершиться - через своего друга Жозефа Лиувилля немецкий математик Эрнст Куммер сообщил академикам, что в доказательствах Коши и Ламе есть одна и та же ошибка.
В школе доказывается, что разложение числа на простые множители единственно. Оба математика полагали, что если смотреть на разложение целых чисел уже в комплексном случае, то это свойство - единственность - сохранится. Однако это не так.
Примечательно, что если рассматривать только m + i n, то разложение единственно. Такие числа называются гауссовыми. Но для работы Ламе и Коши потребовалось разложение на множители в циклотомических полях . Это, например, числа, в которых m и n - рациональные, а i удовлетворяет свойству i^k = 1.
4.
Теорема Ферма для n = 3 имеет понятный геометрический смысл. Представим себе, что у нас есть много маленьких кубиков. Пусть мы собрали из них два больших куба. В этом случае, понятное дело, стороны будут целыми числами. Можно ли найти два таких больших куба, что, разобрав их на составляющие мелкие кубы, мы бы могли собрать из них один большой куб? Теорема Ферма говорит, что так сделать никогда нельзя. Забавно, что если задать тот же вопрос для трех кубов, то ответ утвердительный. Например, есть вот такая четверка чисел, открытая замечательным математиком Шринивасом Рамануджаном:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
В истории с теоремой Ферма отметился Леонард Эйлер. Доказать утверждение (или даже подступиться к доказательству) у него толком не получилось, однако он сформулировал гипотезу о том, что уравнение
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
не имеет решения в целых числах. Все попытки найти решение такого уравнения в лоб оказались безрезультатны. Только в 1988 году Науму Элкиесу из Гарварда удалось найти контрпример. Он выглядит вот так:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Обычно эту формулу вспоминают в контексте численного эксперимента. Как правило, в математике это выглядит так: есть некоторая формула. Математик проверяет эту формулу в простых случаях, убеждается в истинности и формулирует некоторую гипотезу. Затем он (хотя чаще какой-нибудь его аспирант или студент) пишет программу для того, чтобы проверить, что формула верна для достаточно больших чисел, которые руками не посчитать (про один такой эксперимент с простыми числами мы ). Это не доказательство, конечно, но отличный повод заявить о гипотезе. Все эти построения базируются на разумном предположении, что, если к некоторой разумной формуле есть контрпример, то мы найдем его достаточно быстро.
Гипотеза Эйлера напоминает, что жизнь гораздо разнообразнее наших фантазий: первый контрпример может быть сколь угодно большим.
6.
На самом деле, конечно, Эндрю Уайлз не пытался доказать теорему Ферма - он решал более сложную задачу под названием гипотеза Таниямы-Шимуры. В математике есть два замечательных класса объектов. Первый называется модулярными формами и представляет собой по сути функции на пространстве Лобачевского. Эти функции не меняются при движениях этой самой плоскости. Второй называется «эллиптическими кривыми и представляет собой кривые, задаваемые уравнением третьей степени на комплексной плоскости. Оба объекта очень популярны в теории чисел.
В 50-х годах прошлого века два талантливых математика Ютака Танияма и Горо Шимура познакомились в библиотеке Токийского университета. В то время особой математики в университете не было: она просто не успела восстановиться после войны. В результате ученые занимались по старым учебникам и разбирали на семинарах задачи, которые в Европе и США считались решенными и не особенно актуальными. Именно Танияма и Шимура обнаружили, что между модулярными формами и эллиптическими функциями есть некое соответствие.
Свою гипотезу они проверили на некоторых простых классах кривых. Оказалось, что она работает. Вот они и предположили, что эта связь есть всегда. Так появилась гипотеза Таниямы-Шимуры, а спустя три года Танияма покончил с собой. В 1984 году немецкий математик Герхард Фрей показал, что если теорема Ферма неверна, то, следовательно, неверна гипотеза Таниямы-Шимуры. Из этого вытекало, что доказавший эту гипотезу, докажет и теорему. Именно это и сделал - правда не совсем в общем виде - Уайлз.
7.
На доказательство гипотезы Уайлз потратил восемь лет. И во время проверки рецензенты нашли в ней ошибку, которая «убивала» большую часть доказательства, сводя на нет все годы работы. Один из рецензентов по имени Ричард Тейлор взялся заделать вместе с Уайлзом эту дырку. Пока они работали, появилось сообщение, что Элкиес, тот самый, который нашел контрпример к гипотезе Эйлера, нашел и контрпример и к теореме Ферма (позже оказалось, что это была первоапрельская шутка). Уайлз впал в депрессию и не хотел продолжать - дырка в доказательстве никак не закрывалась. Тейлор уговорил Уайлза побороться еще месяц.
Случилось чудо и к концу лета математикам удалось сделать прорыв - так на свет появились работы «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлза (pdf) и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлза. Это было уже правильное доказательство. Опубликовано оно было в 1995 году.
8.
В 1908 году в Дармштадте скончался математик Пауль Вольфскель. После себя он оставил завещание, в котором давал математическому сообществу 99 лет, чтобы найти доказательство великой теоремы Ферма. Автор доказательства должен был получить 100 тысяч марок (автор контрпримера, кстати, не получил бы ничего). Согласно распространенной легенде, сделать такой подарок математикам Вольфскеля побудила любовь. Вот как описывает легенду Саймон Сингх в своей книге «Великая теорема Ферма »:
История начинается с того, что Вольфскель увлекся красивой женщиной, личность которой так никогда и не была установлена. К великому сожалению для Вольфскеля, загадочная женщина отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.
Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство. Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера. Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях. Вольфскель заинтересовался, действительно ли ему удалось обнаружить серьезный пробел, или сделанное Куммером предположение было обоснованным. Если был обнаружен пробел, то имелся шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать гораздо проще, чем полагали многие.
Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной. Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.
Впрочем, есть и альтернативная версия. Согласно ей, Вольфскель занялся математикой (и, собственно, теоремой Ферма) из-за прогрессирующего рассеянного склероза, который помешал заниматься ему любимым делом - быть врачом. А деньги математикам он оставил, чтобы не оставлять своей жене, которую к концу жизни просто ненавидел.
9.
Попытки доказать теорему Ферма элементарными методами привели к появлению целого класса странных людей под названием «ферматисты». Они занимались тем, что производили огромное количество доказательств и совершенно не отчаивались, когда в этих доказательствах находили ошибку.
На мехмате МГУ был легендарный персонаж по фамилии Добрецов. Он собирал справки из разных ведомств и, пользуясь ими, проникал на мехмат. Делалось это исключительно для того, чтобы найти жертву. Как-то ему попался молодой аспирант (будущий академик Новиков). Он, по наивности своей, принялся внимательно изучать стопку бумаг, которую Добрецов подсунул ему со словами, мол, вот доказательство. После очередного «вот ошибка...» Добрецов забрал стопку, запихнул ее в портфель. Из второго портфеля (да, он ходил по мехмату с двумя портфелями) он достал вторую стопку, вздохнул и сказал: «Ну тогда посмотрим вариант 7 Б».
Кстати, большинство таких доказательств начинается с фразы «Перенесем одно из слагаемых в правую часть равенства и разложим на множители».
10.
Рассказ о теореме будет неполон без замечательного фильма «Математик и черт».
Поправка
В разделе 7 этой статьи первоначально говорилось, что Наум Элкиес нашел контрпример к теореме Ферма, который впоследствии оказался ошибочным. Это неверно: сообщение о контрпримере было первоапрельской шуткой. Приносим извинения за неточность.
Андрей Коняев
Пьер Ферма, читая «Арифметику» Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, имел привычку записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. Против восьмой задачи Диофанта на полях книги, Ферма записал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки » /Э.Т.Белл «Творцы математики». М.,1979, стр.69 /. Предлагаю Вашему вниманию элементарное доказательство теоремы ферма, которое может понять любой старшеклассник, увлекающийся математикой.
Сравним комментарий Ферма к задаче Диофанта с современной формулировкой великой теоремы Ферма, имеющей вид уравнения.
«Уравнение
x n + y n = z n (где n – целое число большее двух)
не имеет решений в целых положительных числах »
Комментарий находится с задачей в логической связи, аналогичной логической связи сказуемого с подлежащим. То, что утверждается задачей Диофанта, наоборот утверждается комментарием Ферма.
Комментарий Ферма можно так трактовать: если квадратное уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение с тремя неизвестными в степени, большей квадрата
В уравнении нет даже намека на его связь с задачей Диофанта. Его утверждение требует доказательства, но при нём нет условия, из которого следует, что оно не имеет решений в целых положительных числах.
Известные мне варианты доказательства уравнения сводятся к следующему алгоритму.
- Уравнение теоремы Ферма принимается за её заключение, в справедливости которого убеждаются при помощи доказательства.
- Это же уравнение называют исходным уравнением, из которого должно исходить его доказательство.
В результате образовалась тавтология: «Если уравнение не имеет решений в целых положительных числах, то оно не имеет решений в целых положительных числах ».Доказательство тавтологии заведомо является неправильным и лишенным всякого смысла. Но её доказывают методом от противного.
- Принимается предположение, противоположное тому, что утверждается уравнением, которое требуется доказать. Оно не должно противоречить исходному уравнению, а оно ему противоречит. Доказывать то, что принято без доказательства, и принимать без доказательства то, что требуется доказать, не имеет смысла.
- На основании принятого предположения выполняются абсолютно правильные математические операции и действия, чтобы доказать, что оно противоречит исходному уравнению и является ложным.
Поэтому вот уже 370 лет доказательство уравнения великой теоремы Ферма остаётся неосуществимой мечтой специалистов и любителей математики.
Я принял уравнение за заключение теоремы, а восьмую задачу Диофанта и её уравнение — за условие теоремы.
«Если уравнение x 2 + y 2 = z 2
(1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение x n + y n = z n
, где n > 2
(2) не имеет решений на множестве целых положительных чисел.»
Доказательство.
А) Всем известно, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел. Докажем, что ни одна тройка пифагоровых чисел, являющаяся решением уравнения (1), не является решением уравнения (2).
На основании закона обратимости равенства, стороны уравнения (1) поменяем местами. Пифагоровы числа (z, х, у ) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а квадраты ( x 2 , y 2 , z 2 ) могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на его гипотенузе и катетах.
Площади квадратов уравнения (1) умножим на произвольную высоту h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Уравнение (3) можно трактовать как равенство объема параллелепипеда сумме объёмов двух параллелепипедов.
Пусть высота трех параллелепипедов h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Объем куба разложился на два объема двух параллелепипедов. Объём куба оставим без изменений, а высоту первого параллелепипед уменьшим до x и высоту второго параллелепипеда уменьшим до y . Объём куба больше суммы объёмов двух кубов:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
На множестве троек пифагоровых чисел (х, у, z ) при n = 3 не может быть ни одного решения уравнения (2). Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел невозможно куб разложить на два куба.
Пусть в уравнении (3) высота трёх параллелепипедов h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Объем параллелепипеда разложился на сумму объёмов двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (6) оставим без изменения. На правой его стороне высоту z 2
уменьшим до х
в первом слагаемом и до у 2
во втором слагаемом.
Уравнение (6) обратилось в неравенство:
Объем параллелепипеда разложился на два объема двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (8) оставим без изменения.
На правой стороне высоту z n-2
уменьшим до x n-2
в первом слагаемом и уменьшим до y n-2
во втором слагаемом. Уравнение (8) обращается в неравенство:
| z n > x n + y n | (9) |
На множестве троек пифагоровых чисел не может быть ни одного решения уравнения (2).
Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел при всех n > 2 уравнение (2) не имеет решений.
Получено «постине чудесное доказательство», но только для троек пифагоровых чисел . В этом заключается недостаток доказательства и причина отказа П. Ферма от него.
B) Докажем, что уравнение (2) не имеет решений на множестве троек непифагоровых чисел, представляющем сбой семейство произвольно взятой тройки пифагоровых чисел z = 13, x = 12, y = 5 и семейство произвольно взятой тройки целых положительных чисел z = 21, x = 19, y = 16
Обе тройки чисел являются членами своих семейств:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Число членов семейства (10) и (11) равно половине произведения 13 на 12 и 21 на 20, т. е. 78 и 210.
В каждом члене семейства (10) присутствует z = 13 и переменные х и у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
В каждом члене семейства (11) присутствует z = 21 и переменные х и у , которые принимают значения целых чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Переменные последовательно убывают на 1 .
Тройки чисел последовательности (10) и (11) можно представить в виде последовательности неравенств третьей степени:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
и в виде неравенств четвертой степени:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Правильность каждого неравенства удостоверяется возвышением чисел в третью и в четвертую степень.
Куб большего числа невозможно разложить на два куба меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы кубов двух меньших чисел.
Биквадрат большего числа невозможно разложить на два биквадрата меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы биквадратов меньших чисел.
С возрастанием показателя степени все неравенства, кроме левого крайнего неравенства, имеют одинаковый смысл:
Неравенств они все имеют одинаковый смысл: степень большего числа больше суммы степеней меньших двух чисел с тем же показателем:
| 13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Левый крайний член последовательностей (12) (13) представляет собой наиболее слабое неравенство. Его правильность определяет правильность всех последующих неравенств последовательности (12) при n > 8 и последовательности (13) при n > 14 .
Среди них не может быт ни одного равенства. Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (21,19,16) не является решением уравнения (2) великой теоремы Ферма. Если произвольно взятая тройка целых положительных чисел не является решением уравнения, то уравнение не имеет решений на множестве целых положительных чисел, что и требовалось доказать.
С) В комментарии Ферма к задаче Диофанта утверждается, что невозможно разложить «вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем ».
Целую степень, большую квадрата, действительно невозможно разложить на две степени с тем же показателем. Нецелую степень, большую квадрата можно разложить на две степени с тем же показателем.
Любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) может принадлежать семейству, каждый член которого состоит из постоянного числа z и двух чисел, меньших z . Каждый член семейства может быть представлен в форме неравенства, а все полученные неравенства — в виде последовательности неравенств:
| z n < (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n > 1 n + 1 n | (14) |
Последовательность неравенств (14) начинается неравенствами, у которых левая сторона меньше правой стороны, а оканчивается неравенствами, у которых правая сторона меньше левой стороны. С возрастанием показателя степени n > 2 число неравенств правой стороны последовательности (14) увеличивается. При показателе степени n = k все неравенства левой стороны последовательности изменяют свой смысл и принимают смысл неравенств правой стороны неравенств последовательности (14). В результате возрастания показателя степени у всех неравенств левая сторона оказывается больше правой стороны:
| z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
При дальнейшем возрастании показателя степени n > k ни одно из неравенств не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. На этом основании можно утверждать, что любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y
В произвольно взятой тройке целых положительных чисел z может быть сколь угодно большим натуральным числом. Для всех натуральных чисел, которые не больше z , большая теорема Ферма доказана.
D) Каким бы ни было большим число z , в натуральном ряду чисел до него имеется большое, но конечное множество целых чисел, а после него – бесконечное множество целых чисел.
Докажем, что все бесконечное множество натуральных чисел, больших z , образуют тройки чисел, которые не являются решениями уравнения большой теоремы Ферма, например, произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x ,y) , в которой z + 1 > x и z + 1 > y при всех значениях показателя степени n > 2 не является решением уравнения большой теоремы Ферма.
Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) может принадлежать семейству троек чисел, каждый член которого состоят из постоянного числа z + 1 и двух чисел х и у , принимающих различные значения, меньшие z + 1 . Члены семейства могут быть представлены в форме неравенств, у которых постоянная левая сторона меньше, или больше, правой стороны. Неравенства можно упорядоченно расположить в виде последовательности неравенств:
При дальнейшем возрастании показателя степени n > k до бесконечности ни одно из неравенств последовательности (17) не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. В последовательности (16) неравенство, образованное из произвольно взятой тройки целых положительных чисел (z + 1, x, y) , может находиться в её правой части в виде (z + 1) n > x n + y n или находиться в её левой части в виде (z + 1) n < x n + y n .
В любом случае тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в последовательности (16) представляет собой неравенство и не может представлять собой равенства, т. е. не может представлять собой решения уравнения большой теоремы Ферма.
Легко и просто понять происхождение последовательности степенных неравенств (16), в которой последнее неравенство левой стороны и первое неравенство правой стороны являются неравенствами противоположного смысла. Наоборот, нелегко и непросто школьникам, старшекласснику и старшекласснице, понять, каким образом из последовательности неравенств (16) образуется последовательность неравенств (17), в которой все неравенства одинакового смысла.
В последовательности (16) увеличение целой степени неравенств на 1 единицу обращает последнее неравенство левой стороны в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. Таким образом, количество неравенств девой стороны последовательности уменьшается, а количество неравенств правой стороны увеличивается. Между последним и первым степенными неравенствами противоположного смысла в обязательном порядке находится степенное равенство. Его степень не может быть целым числом, так как между двумя последовательными натуральными числами находятся только нецелые числа. Степенное равенство нецелой степени, по условию теоремы, не может считаться решением уравнения (1).
Если в последовательности (16) продолжать увеличение степени на 1 единицу, то последнее неравенство её левой стороны обратится в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. В результате не останется ни одного неравенства левой стороны и останутся только неравенства правой стороны, которые представят собой последовательность усиливающихся степенных неравенств (17). Дальнейшее увеличение их целой степени на 1 единицу лишь усиливает её степенные неравенства и категорически исключает возможность появления равенства в целой степени.
Следовательно, вообще, никакую целую степень натурального числа (z+1) последовательности степенных неравенств (17) невозможно разложить на две целых степени с тем же показателем. Поэтому уравнение (1) не имеет решений на бесконечном множестве натуральных чисел, что и требовалось доказать.
Следовательно, большая теорема Ферма доказана во всей всеобщности:
- в разделе А) для всех троек (z, x, y) пифагоровых чисел (открытое Ферма поистине чудесное доказательство),
- в разделе В) для всех членов семейства любой тройки (z, x, y) пифагоровых чисел,
- в разделе С) для всех троек чисел (z, x, y) , не больших числа z
- в разделе D) для всех троек чисел (z, x, y) натурального ряда чисел.
|
Изменения внесены 05.09.2010 г. |
Какие теоремы можно и какие нельзя доказать от противного
В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме.
«Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».
Доказательство от противного очень часто применяется в математике. Доказательство от противного основано на законе исключённого третьего, заключающегося в том, что из двух высказываний (утверждений) А и А (отрицание А) одно из них истинно, а другое ложно». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.112/.
Не лучше было бы открыто заявить о том, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и только тогда, когда ему нет замены.
Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) — теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.
Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.
Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е . Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.
Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е , дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е .
В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е . Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.
Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено.
Согласно толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)» . Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.
Дано: из А следует Е и из А не следует Е .
Доказать: из А следует Е .
Доказательство : Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е .
Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е . Утверждение из А следует Е может быть ложным , тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.
Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.
Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.
Дано: А .
Доказать: из А следует Е .
Доказательство.
1. Из А следует Б
2. Из Б следует В (по ранее доказанной теореме)).
3. Из В следует Г (по ранее доказанной теореме).
4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).
5. Из Д следует Е (по ранее доказанной теореме).
На основании закона транзитивности, из А следует Е . Прямая теорема доказана обычным методом.
Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А .
Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.
Дано: Е
Доказать: из Е следует А .
Доказательство.
1. Из Е следует Д
2. Из Д следует Г (по ранее доказанной обратной теореме).
3. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).
4. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А .
В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.
Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.
Обратная теорема утверждает: из Е не следует А . Её условие Е , из которое следует заключение А , является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А . В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А . Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.
В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.
Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А , в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А , которое доказано доказательством прямой теоремы.
Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А , что и требовалось доказать.
Вывод : логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.
Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.
Дмитрий Абраров в статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству большой теоремы Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доказывает большую теорему Ферма с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма x n + y n = z n
, где n > 2
, с другим, совершенно непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задаётся специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задаётся уравнением совсем несложного вида:
.
«А именно Фрей сопоставил всякому решению (a, b, c) уравнение Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению a n + b n = c n , указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы великая теорема Ферма». (Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»)
Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма x n + y n = z n
, где n > 2
, имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y 2 + x (x — a n) (y + b n) = 0
, которое задаётся его эллиптической кривой.
Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.
Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.
В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение, x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.
Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решения в целых положительных числах.
Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.
Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.
Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.
В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно .
Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.
По словам Д. Абрарова, самый известный из современных российских математиков академик В. И. Арнольд на доказательство Уайлса отреагировал «активно скептически». Академик заявил: «это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой».(Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса». Заявление академика выражает самую сущность нематематического доказательства Уайлса большой теоремы Ферма.
Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.
Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.
Примечание. Моё доказательство БТФ обсуждалось на одном из форумов. Один из участников Trotil, специалист в теории чисел, сделал следующее авторитетное заявление под названием: «Краткий пересказ того, что сделал Миргородский». Привожу его дословно:
«А. Он доказал, что если z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Это хорошо известный и вполне очевидный факт.
В. Он взял две тройки — пифагорову и не пифагорову и показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него).
С. А затем автором опущен тот факт, что из < в последующей степени может оказаться = , а не только > . Простой контрпример — переход n = 1 в n = 2 в пифагоровой тройке.
D. Этот пункт ничего существенного в доказательство БТФ не вносит. Вывод: БТФ не доказана».
Рассмотрю его заключение по пунктам.
А. В нём доказана БТФ для всего бесконечного множества троек пифагоровых чисел. Доказана геометрическим методом, который, как я полагаю, мной не открыт, а переоткрыт. А открыт он был, как я полагаю, самим П. Ферма. Именно его мог иметь в виду Ферма, когда писал:
«Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Данное моё предположение основано на том, что в задаче Диофанта, против которой, на полях книги, писал Ферма, речь идёт о решениях диофантова уравнения, которыми являются тройки пифагоровых чисел.
Бесконечное множество троек пифагоровых чисел является решениями диофатова уравнения, а в теореме Ферма, наоборот, ни одно из решений не может быть решением уравнения теоремы Ферма. И к этому факту поистине чудесное доказательство Ферма имеет непосредственное отношение. Позже Ферма мог распространить свою теорему на множество всех натуральных чисел. На множестве всех натуральных чисел БТФ не относится к «множеству исключительно красивых теорем». Это — моё предположение, которое ни доказать, ни опровергнуть невозможно. Его можно и принимать и отвергать.
В. В данном пункте мной доказывается, что как семейство произвольно взятой пифагоровой тройки чисел, так и семейство произвольно взятой не пифагоровой тройки чисел БТФ выполняется, Это — необходимое, но недостаточное и промежуточное звено в моём доказательстве БТФ. Взятые мной примеры семейства тройки пифагоровых чисел и семейства тройки не пифагоровых чисел имеют значение конкретных примеров, предполагающих и не исключающих существование аналогичных других примеров.
Утверждение Trotil, что я «показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него) лишено основания. Он не может опровергнуть того факта, что я с таким же успехом могу взять другие примеры пифагоровой и не пифагоровой тройки для получения конкретного определённого семейства одной и другой тройки.
Какую пару троек я ни взял бы, проверка их пригодности для решения задачи может быть осуществлена, на мой взгляд, только методом «простого перебора». Какой-то другой метод мне не известен и не требуется. Если он пришёлся не по вкусу Trotil, то ему следовало бы предложить другой метод, чего он не делает. Не предлагая ничего взамен, осуждать «простой перебор», который в данном случае незаменим, некорректно.
С. Мною опущено = между < и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в котором степень n > 2 — целое положительное число. Из равенства, находящегося между неравенствами следует обязательное рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Trotil, считая обязательным рассмотрение равенства между неравенствами, фактически считает необходимым в доказательстве БТФ рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Я это сделал для себя и обнаружил, что уравнение (1) при нецелом значении степени n > 2 имеет решением тройку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецелом показателе степени.
Много лет назад я получил письмо из Ташкента от Валерия Муратова, судя по почерку, человека юношеского возраста, проживавшего тогда на улице Коммунистической в доме № 31. Парень был настроен решительно: "Сразу к делу. Сколько вы мне заплатите за доказательство теоремы Ферма? Меня устраивает не менее 500 рублей. В другое время я бы доказал вам бесплатно, но сейчас мне нужны деньги..."
Удивительный парадокс: мало кто знает, кто такой Ферма, когда он жил и что сделал. Еще меньше людей могут даже в самых общих словах описать его великую теорему. Но всем известно, что есть какая-то теорема Ферма, над доказательством которой математики всего мира бьются уже более 300 лет, а доказать не могут!
Людей честолюбивых много, и само сознание того, что есть нечто, чего другие сделать не могут, еще больше подстегивает их честолюбие. Поэтому в академии, научные институты и даже редакции газет всего мира приходили и приходят тысячи (!) доказательств Великой теоремы, — невиданный и никем никогда не побитый рекорд псевдонаучной самодеятельности. Существует даже термин: "ферматисты", т. е. люди, одержимые желанием доказать Великую теорему, которые совершенно измучили математиков-профессионалов требованиями оценить их труды. Известный немецкий математик Эдмунд Ландау даже заготовил стандартку, по которой и отвечал: "В вашем доказательстве теоремы Ферма ошибка на странице... ", а номер страницы проставляли его аспиранты. И вот летом 1994 года газеты всего мира сообщают нечто совершенно сенсационное: Великая теорема доказана!
Итак, кто такой Ферма, в чем суть проблемы и решена ли она действительно? Пьер Ферма родился в 1601 году в семье кожевника, человека состоятельного и уважаемого, — он занимал должность второго консула в родном городке Бомоне, — это что-то вроде помощника мэра. Пьер учился сначала у монахов-францисканцев, потом на юридическом факультете в Тулузе, где затем занимался адвокатурой. Однако круг интересов Ферма выходил далеко за рамки юриспруденции. Особенно занимала его классическая филология, известны его комментарии к текстам древних авторов. И вторая страсть — математика.
В XVII веке, как, впрочем, и долгие годы спустя, не существовало такой профессии: математик. Поэтому все великие математики того времени были математиками "по совместительству": Рене Декарт служил в армии, Франсуа Виет был юристом, Франческо Кавальери — монахом. Научных журналов тогда не было, и классик науки Пьер Ферма при жизни не опубликовал ни одной научной работы. Существовал достаточно узкий круг "любителей", которые решали разные для них интересные задачи и писали по этому поводу письма друг другу, иногда спорили (как Ферма с Декартом), но, в основном, оставались единомышленниками. Они и стали основателями новой математики, сеятелями гениальных зерен, из которых пошло в рост, набирая силу и ветвясь, могучее древо современных математических знаний.
Так вот, таким же "любителем" был и Ферма. В Тулузе, где он прожил 34 года, все знали его, прежде всего, как советника следственной палаты и опытнейшего юриста. В 30 лет он женился, имел трех сыновей и двух дочерей, иногда отлучался в служебные командировки и во время одной из них скоропостижно скончался в возрасте 63 лет. Все! Жизнь этого человека, современника "Трех мушкетеров", удивительна бедна событиями и лишена приключений. Приключения достались на долю его Великой теоремы. Не будем говорить обо всем математическом наследии Ферма, да и трудно рассказать о нем популярно. Поверьте на слово: наследие это велико и разнообразно. Утверждение, что Великая теорема — вершина его творчества, весьма спорно. Просто судьба Великой теоремы удивительно интересна, и огромный мир людей, непосвященных в таинства математики, всегда интересовала не сама теорема, а все, что вокруг нее...
Корни всей этой истории надо искать в античности, столь любимой Ферма. Примерно в III веке жил в Александрии греческий математик Диофант, — ученый своеобразно, нестандартно мыслящий и нестандартно мысли свои излагающий. Из 13 томов его "Арифметики" до нас дошло только 6. Как раз, когда Ферма исполнилось 20 лет, вышел новый перевод его сочинений. Ферма очень увлекался Диофантом, и эти сочинения были его настольной книгой. На ее полях Ферма и записал свою Великую теорему, которая в самом простом современном виде выглядит так: уравнение Xn + Yn = Zn не имеет решения в целых числах при п — больше 2. (При п = 2 решение очевидно: З2 + 42 = 52). Там же, на полях Диофантова тома, Ферма добавляет: "Я открыл это поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки".
На первый взгляд, вещица простенькая, но когда другие математики начали доказывать эту "простенькую" теорему, ни у кого ничего не получалось лет сто. Наконец, великий Леонард Эйлер доказал ее для п = 4, потом через 20 (!) лет — для п = 3. И снова работа застопорилась на многие годы. Следующая победа принадлежит немцу Петеру Дирихле (1805—1859) и французу Андриену Лежандру (1752—1833), — они признали, что Ферма прав при п = 5. Потом француз Габриель Ламе (1795—1870) сделал то же для п = 7. Наконец, в середине прошлого века немец Эрнст Куммер (1810—1893) доказал Великую теорему для всех значений п меньше или равных 100. Причем доказал методами, которые не могли быть известны Ферма, чем еще более усилил флер таинственности вокруг Великой теоремы.
Таким образом, получалось, что доказывали теорему Ферма "по кусочкам", а "целиком" ни у кого не получалось. Новые попытки доказательств приводили лишь к количественному увеличению значений п. Все понимали, что, затратив бездну труда, можно доказать Великую теорему для сколь угодно большого числа п, но Ферма-то говорил о любом его значении больше 2! Вот в этой-то разнице между "сколько угодно большим" и "любым" и сосредотачивался весь смысл проблемы.
Однако надо отметить, что попытки доказать теорему Фермга не были просто некоей математической игрой, рсшсением сложного ребуса. В процессе этих доказательств открывались новые математичес кие горизонты, возникали и решались задачи, становившиеся новыми ветгвями математического древа. Великий немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) приводил Великую теорему, как пример того, "какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первыш взгляд малозначительная проблема". Тот же Куммер, работая над теоремой Ферма, сам доказал теоремы, которые легли в фундамент теории чисел, алгебры и теории функций. Так что доказательство Великой теорсемы — не спорт, а настоящая наука.
Время шло, и на помощь профеессиональным "фсрматнтстам" пришла электроника. Электронные мозги но)вых методов выдумать не могли, но зато брали скоростыю. Примерно к началу 80-х годов теорема Ферма с помощью ЭВМ была доказана для n меньше или равной 5500. Постепенно эта цифра выросла до 100 000, но все понимали, что подобное "накопление" — дело чисстой техники, ничего не дающее ни уму ни сердцу. Крепость Великой теоремы "в лоб" взять не смогли щ начали искать обходные маневрья.
В середине 80-х годов молодой немеадкий математик Г. Филытингс доказал так называемую "гипотезу Морделла", которая, кстати, тоже "не давалась в руки" никому из математиков 61 год. Возникла надежда, что теперь, так сказать, "атакой с фланга", может быть решена и теорема Ферма. Однако тогда ничего не получилось. В 1986 году немецкий математик Герхард Фрей в Эссеще предложил новый метод доказательства. Не берусь объяснить его строго, но не на маатематическом, а на общечеловеческом языке он звучит примерно так: если мы убедимся, что доказательство некой другой теоремы есть косвенное, неким образом трансформированное доказательство теоремы Ферма, то, следовательно, мы докажем Великую теорему. Через год американец Кеннет Рибет из Беркли показал, что Фрей прав и, действительно, можно одно доказательство свести к другому. По этому пути пошли многие математики в разных странах мира. У нас очень много для доказательства Великой теоремы сделал Виктор Александрович Колыванов. Трехсотлетние стены неприступной крепости зашатались. Математики поняли, что долго она не устоит.
Летом 1993 года в старинном Кембридже, в Институте математических наук имени Исаака Ньютона собрались 75 виднейших математиков мира, чтобы обсудить свои проблемы. Среди них был и американский профессор Эндрю Уайлс из Принстонскош университета, — крупный специалист в теории чисел. Все знали, что он уже много лет занимается Великой теоремой. Уайлс сделал три доклада и на последнем — 23 июня 1993 года — в самом конце, отвернувшись от доски, сказал с улыбкой:
— Пожалуй, я продолжать не буду...
Вначале наступила мертвая тишина, затем — обвал аплодисментов. Сидящие в зале были достаточно квалифицированы, чтобы понять: Великая теорема Ферма доказана! Во всяком случае, никто из присутствующих не обнаружил в приведенном доказательстве каких-либо погрешностей. Заместитель директора Ньютоновского института Питер Годдард заявил журналистам:
— Большинство экспертов не думали, что узнают разгадку до конца своей жизни. Это одно из крупнейших достижений математики нашего столетия...
Прошло несколько месяцев, никаких замечаний и опровержений не последовало. Правда, Уайлс доказательства своего не опубликовал, а лишь разослал, так называемые, припринты своей работы очень узкому кругу своих коллег, что, естественно, мешает математикам комментировать эту научную сенсацию, и я понимаю академика Людвига Дмитриевича Фаддеева, который сказал:
— Смогу утверждать, что сенсация произошла, когда увижу доказательство своими глазами.
Фаддеев считает, что вероятность победы Уайлса весьма велика.
— Мой отец, известный специалист в теории чисел, был, например, уверен, что теорема будет доказана, но не элементарными средствами, — добавил он.
Скептически отнесся к новости другой наш академик, — Виктор Павлович Маслов, который считает, что доказательство Великой теоремы вообще не является актуальной математической проблемой. По своим научным интересам Маслов — председатель совета по прикладной математике — далек от "ферматистов", и, когда он говорит о том, что полное решение Великой теоремы представляет лишь спортивный интерес, его понять можно. Однако смею заметить, что понятие актуальности в любой науке есть величина переменная. 90 лет назад Резерфорду, наверное, тоже говорили: "Ну, хорошо, ну теория радиоактивного распада... И что? Какой от нее прок?.."
Работа над доказательством Великой теоремы уже дала очень много математике, и можно надеется, что даст еще.
— То, что сделал Уайлс, продвинет математиков в другие области, — сказал Питер Годдард. — Скорее, это не закрывает одно из направлений мысли, а ставит новые вопросы, которые потребуют ответа...
Профессор МГУ Михаил Ильич Зеликин так объяснил мне сегодняшнюю ситуацию:
Никто не видит в работе Уайлса каких-то ошибок. Но чтобы работа эта стала научным фактом, необходимо, чтобы несколько авторитетных математиков независимо друг от друга повторили это доказательство и подтвердили его правильность. Это непременное условие осознания работы Уайлса математической общественностью...
Как много времени потребуется для этого?
Этот вопрос я задал одному из ведущих наших специалистов в области теории чисел, доктору физико-математических наук Алексею Николаевичу Паршину.
— У Эндрю Уайлса еще много времени впереди...
Дело в том, что 13 сентября 1907 года немецкий математик П. Вольфскель, который, в отличие от подавляющего большинства математиков, был человек богатый, завещал тому, кто в ближайшие 100 лет докажет Великую теорему, 100 тысяч марок. В начале века проценты с завещанной суммы шли в казну знаменитого Гетгангентского университета. На эти деньги приглашали ведущих математиков для чтения лекций, вели научную работу. В то время председателем комиссии по присуждению премии был уже упоминавшийся мною Давид Гильберт. Выплачивать премию ему очень не хотелось.
— К счастью, — говорил великий математик, — кажется, у нас нет математика, кроме меня, которому была бы под силу эта задача, я же никогда не решусь зарезать курицу, которая несет нам золотые яйца-
До срока — 2007 года, обозначенного Вольфскелем, осталось немного лет, и, мне кажется, над "курицей Гильберта" нависла серьезная опасность. Но не в премии, собственно, дело. Дело в пытливости мысли и человеческом упорстве. Триста с лишним лет бились, а все же доказали!
И еще. Для меня самое интересное во всей этой истории: как доказал свою Великую теорему сам Ферма? Ведь все сегодняшние математические ухищрения были ему неведомы. И доказал ли он ее вообще? Ведь есть версия, что доказал вроде бы, но сам нашел ошибку, а потому и доказательства другим математикам рассылать не стал, а зачеркнуть запись на полях Диофантова тома забыл. Поэтому, мне кажется, что доказательство Великой теоремы, очевидно, состоялось, но тайна теоремы Ферма осталась, и вряд ли мы когда-нибудь раскроем ее...
Может быть, Ферма и ошибся тогда, но он не ошибался, когда писал: "Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям..."