Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.
Sie können durch jeden Punkt unendlich viele gerade Linien ziehen.
Eine einzelne gerade Linie kann durch zwei beliebige nicht übereinstimmende Punkte gezogen werden.
Zwei nicht übereinstimmende Geraden auf einer Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind
parallel (folgt aus dem vorherigen).
Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Lage zweier Geraden:
- gerade Linien schneiden sich;
- gerade Linien sind parallel;
- gerade Linien schneiden sich.
Gerade Linie- algebraische Kurve erster Ordnung: in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade
ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.
Allgemeine Geradengleichung.
Definition... Jede gerade Linie auf einer Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden
Ax + Wu + C = 0,
mit konstant A, B sind gleichzeitig nicht gleich Null. Diese Gleichung erster Ordnung heißt gemeinsames
Geradengleichung. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- die Gerade geht durch den Ursprung
. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU
. B = C = 0, A ≠ 0- die Gerade fällt mit der Achse zusammen OU
. A = C = 0, B ≠ 0- die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh
Die Gleichung einer Geraden kann in verschiedenen Formen dargestellt werden, je nach gegebenem
Anfangsbedingungen.
Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Normalenvektors.
Definition... In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit Komponenten (A, B)
senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden
Ax + Wu + C = 0.
Beispiel... Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt geht A (1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).
Lösung... Bei A = 3 und B = -1 stellen wir die Geradengleichung auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C . zu finden
setze die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein.Wir erhalten: 3 - 2 + C = 0, also
C = -1. Summe: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.
Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.
Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1, y 1, z 1) und M2 (x 2, y 2, z 2), dann Geradengleichung,
diese Punkte durchlaufen:
Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler mit Null gleichgesetzt werden. Auf der
Ebene wird die oben geschriebene Gleichung der Geraden vereinfacht:
Wenn x 1 ≠ x 2 und x = x 1, Wenn x 1 = x 2 .
Fraktion = k namens Neigung gerade.
Beispiel... Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A (1, 2) und B (3, 4) geht.
Lösung... Wenn wir die obige Formel anwenden, erhalten wir:
Gleichung einer Geraden nach Punkt und Steigung.
Wenn die allgemeine Gleichung der Geraden Ax + Wu + C = 0 zum Formular bringen:
und benennen 
, dann heißt die resultierende Gleichung
Gleichung einer Geraden mit Steigung k.
Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Richtungsvektors.
Analog zu dem Absatz über die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor können Sie die Aufgabe eingeben
eine Gerade durch einen Punkt und einen Richtvektor einer Geraden.
Definition... Jeder von Null verschiedene Vektor (α1, α2) deren Komponenten die Bedingung erfüllen
α 1 + α 2 = 0 namens Richtvektor einer Geraden.
Ax + Wu + C = 0.
Beispiel... Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1) und durch den Punkt A (1, 2).
Lösung... Die Gleichung der gewünschten Geraden wird in der Form gesucht: Ax + By + C = 0. Nach der Definition,
die Koeffizienten müssen die Bedingungen erfüllen:
1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.
Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.
bei x = 1, y = 2 wir bekommen C / A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:
x + y - 3 = 0
Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, dann erhalten wir durch Division durch -C:
oder wo
Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunktes ist
gerade mit Achse Oh, aber B- die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Achse OU.
Beispiel... Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.
= 1, a = -1, b = 1.
Normalgleichung einer Geraden.
Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Wu + C = 0 durch Zahl teilen 
welches heisst
Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normale Geradengleichung.
Das ± Vorzeichen des Normierungsfaktors sollte so gewählt werden, dass μ * C< 0.
R- die Länge der Senkrechten vom Ursprung bis zur Geraden,
aber φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.
Beispiel... Eine allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0... Es ist erforderlich, verschiedene Arten von Gleichungen zu schreiben
diese gerade Linie.
Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:
Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 teilen)
Gleichung einer Geraden:
cosφ = 12/13; sinφ = -5/13; p = 5.
Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,
parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.
Der Winkel zwischen geraden Linien in der Ebene.
Definition... Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k1x + b1, y = k2x + b2, dann ein spitzer Winkel zwischen diesen Linien
wird definiert als
Zwei Geraden sind parallel, wenn k1 = k2... Zwei Geraden stehen senkrecht,
Wenn k 1 = -1 / k 2 .
Satz.
Direkte Ax + Wu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind
1 = λА, В 1 = λВ... Wenn auch 1 =, dann fallen die Geraden zusammen. Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden
werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.
Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.
Definition... Linie durch Punkt M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b
wird durch die Gleichung dargestellt:
Abstand von Punkt zu Linie.
Satz... Wenn ein Punkt vergeben wird M (x 0, y 0), der Abstand zur Geraden Ax + Wu + C = 0 definiert als:
Nachweisen... Lass den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis der Senkrechten fällt vom Punkt m für ein gegebenes
gerade Linie. Dann der Abstand zwischen den Punkten m und M 1:
(1)
Koordinaten x 1 und um 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:
Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu verläuft
eine vorgegebene Gerade. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form transformieren:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
dann erhalten wir beim Lösen:
Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:
Der Satz ist bewiesen.
Zwei Punkte gegeben M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2)... Wir schreiben die Geradengleichung in der Form (5), wobei k noch unbekannter Koeffizient:
Seit dem Punkt M2 zu einer gegebenen Geraden gehört, dann erfüllen ihre Koordinaten Gleichung (5):. Aus diesem Ausdruck und Einsetzen in Gleichung (5) erhalten wir die erforderliche Gleichung:
Ob 
diese Gleichung kann in eine Form umgeschrieben werden, die für das Auswendiglernen bequemer ist:
(6)
Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte M 1 (1.2) und M 2 (-2.3) geht
Lösung. 
... Unter Verwendung der Proportionseigenschaft und der erforderlichen Transformationen erhalten wir die allgemeine Gleichung der Geraden:
Winkel zwischen zwei Geraden
Betrachten Sie zwei Zeilen l 1 und l 2:
l 1: , , und
l 2: , ,
φ ist der Winkel zwischen ihnen (). Abbildung 4 zeigt:.
 |
Von hier 
, oder
Mit Formel (7) kann einer der Winkel zwischen den Geraden bestimmt werden. Der zweite Winkel ist.
Beispiel... Zwei Geraden sind durch die Gleichungen y = 2x + 3 und y = -3x + 2 gegeben. Finden Sie den Winkel zwischen diesen Linien.
Lösung... Aus den Gleichungen ist ersichtlich, dass k 1 = 2 und k 2 = -3 ist. Wenn wir diese Werte in Formel (7) einsetzen, finden wir
... Somit ist der Winkel zwischen diesen Linien gleich.
Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden
Wenn gerade l 1 und l 2 sind parallel, dann φ=0 und tgφ = 0... aus Formel (7) folgt, dass k2 = k1... Bedingung für die Parallelität zweier Geraden ist also die Gleichheit ihrer Steigungen.
Wenn gerade l 1 und l 2 senkrecht sind, dann = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. 
... Somit ist die Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Geraden, dass ihre Steigungen im Betrag reziprok und im Vorzeichen entgegengesetzt sind.
Entfernung von Punkt zu Linie
Satz. Ist ein Punkt M (x 0, y 0) gegeben, so bestimmt sich der Abstand zur Geraden Ax + Vy + C = 0 als
Nachweisen. Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die von Punkt M auf eine gegebene Gerade fallen gelassen werden. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:
Die Koordinaten x 1 und y 1 können als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:
Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.
Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form transformieren:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
dann erhalten wir beim Lösen:
Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:
Der Satz ist bewiesen.
Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Geraden: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.
Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht sind.
Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, also stehen die Geraden senkrecht.
Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sind angegeben. Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C gezogen wird.
Wir finden die Seitengleichung AB:; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Die erforderliche Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.
k =. Dann y =. weil Höhe geht durch Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: woraus b = 17. Gesamt:.
Antwort: 3x + 2y - 34 = 0.
Der Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie wird durch die Länge der Senkrechten bestimmt, die von einem Punkt zu einer geraden Linie fallen.
Wenn die Linie parallel zur Projektionsebene ist (h | | P1), um dann den Abstand vom Punkt zu bestimmen ABER geradeaus h es ist notwendig, die Senkrechte vom Punkt abzusenken ABER auf der horizontalen h.
Betrachten Sie ein komplexeres Beispiel, wenn die Gerade eine allgemeine Position einnimmt. Es sei notwendig, den Abstand vom Punkt zu bestimmen m geradeaus aber allgemeine Stellung.
Die Aufgabe der Bestimmung Abstand zwischen parallelen Linienähnlich wie beim vorherigen gelöst. Ein Punkt wird auf einer Geraden genommen, eine Senkrechte wird von dieser auf eine andere Gerade abgesenkt. Die Länge der Senkrechten ist gleich dem Abstand zwischen den parallelen Linien.
Kurve zweiter Ordnung wird eine Linie genannt, die durch eine Gleichung zweiten Grades relativ zu den aktuellen kartesischen Koordinaten bestimmt wird. Im allgemeinen Fall ist Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
wobei A, B, C, D, E, F reelle Zahlen sind und mindestens eine der Zahlen A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ist.
Kreis
Kreismitte Ist der Ort der Punkte in der Ebene gleich weit vom Punkt der Ebene C (a, b).
Der Kreis ergibt sich aus der folgenden Gleichung:
Wo x, y die Koordinaten eines beliebigen Punktes des Kreises sind, R ist der Radius des Kreises.
Umfangsgleichung
1. Es gibt keinen Term mit x, y
2. Gleiche Koeffizienten bei x 2 und y 2
Ellipse
Ellipse heißt der Ort von Punkten in einer Ebene, deren Summe der Entfernungen von jedem von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene als Brennpunkte (konstanter Wert) bezeichnet wird.
Kanonische Ellipsengleichung:
X und y gehören zu einer Ellipse.
a - große Halbachse der Ellipse
b - kleine Halbachse der Ellipse
Die Ellipse hat 2 Symmetrieachsen OX und OY. Die Symmetrieachsen der Ellipse sind ihre Achsen, ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Ellipse. Die Achse, auf der die Fokusse liegen, heißt Fokusachse... Der Schnittpunkt der Ellipse mit den Achsen ist der Scheitelpunkt der Ellipse.
Kompressions- (Dehnungs-) Verhältnis: = s / a- Exzentrizität (kennzeichnet die Form der Ellipse), je kleiner sie ist, desto weniger verlängert sich die Ellipse entlang der Brennachse.
Liegen die Mittelpunkte der Ellipse nicht im Mittelpunkt von C (α, β)
Hyperbel
Hyperbel heißt Ort der Punkte in der Ebene, der Absolutwert der Differenz der Entfernungen, von denen jeder von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, Brennpunkten genannt, ein konstanter Wert ungleich Null ist.
Kanonische Hyperbelgleichung
Die Hyperbel hat 2 Symmetrieachsen:
a ist die reelle Symmetriehalbachse
b - imaginäre Symmetriehalbachse
Hyperbelasymptoten:
Parabel
Parabel heißt der Ort der Punkte in der Ebene, der von einem gegebenen Punkt F, dem so genannten Brennpunkt, und einer gegebenen Geraden, der sogenannten Leitlinie, gleich weit entfernt ist.
Kanonische Parabelgleichung:
Y 2 = 2px, wobei p der Abstand vom Fokus zur Leitlinie ist (Parabelparameter)
Ist der Scheitelpunkt der Parabel C (α, β), dann ist die Parabelgleichung (y-β) 2 = 2p (x-α)
Wenn die Fokusachse als Ordinatenachse genommen wird, hat die Parabelgleichung die Form: x 2 = 2qу
Dieser Artikel zeigt die Herleitung der Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene verläuft. Lassen Sie uns die Gleichung einer Geraden herleiten, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem verläuft. Wir werden einige Beispiele im Zusammenhang mit dem behandelten Material anschaulich zeigen und lösen.
Bevor Sie die Gleichung einer Geraden erhalten, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen einige Fakten beachtet werden. Es gibt ein Axiom, das besagt, dass es möglich ist, durch zwei nicht übereinstimmende Punkte auf der Ebene eine gerade Linie und nur eine zu ziehen. Mit anderen Worten, zwei gegebene Punkte der Ebene werden durch eine Gerade definiert, die durch diese Punkte geht.
Wenn die Ebene durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem Oxy angegeben wird, entspricht jede darin dargestellte Gerade der Gleichung einer Geraden auf der Ebene. Es gibt auch eine Verbindung mit dem Richtungsvektor der Linie.Diese Daten reichen aus, um die Gleichung einer Linie zu erstellen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.
Betrachten wir ein Beispiel für die Lösung eines ähnlichen Problems. Es ist eine Gleichung der Geraden a aufzustellen, die durch zwei nicht übereinstimmende Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft, die im kartesischen Koordinatensystem liegen.
In der kanonischen Gleichung einer Geraden auf einer Ebene, die die Form x - x 1 ax = y - y 1 ay hat, wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem O xy mit einer Geraden angegeben, die sich mit dieser in einem Punkt mit Koordinaten schneidet M 1 (x 1, y 1) mit einem Führungsvektor a → = (ax, ay).
Es ist notwendig, die kanonische Gleichung der Geraden a aufzustellen, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft.
Gerade a hat einen Richtungsvektor M 1 M 2 → mit Koordinaten (x 2 - x 1, y 2 - y 1), da sie die Punkte M 1 und M 2 schneidet. Wir haben die notwendigen Daten erhalten, um die kanonische Gleichung mit den Koordinaten des Richtungsvektors M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) und den Koordinaten der Punkte M 1 (x 1, y 1) darauf liegend und M 2 (x 2, y 2). Wir erhalten eine Gleichung der Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Betrachten Sie die Abbildung unten.
Im Anschluss an die Berechnungen schreiben wir die parametrischen Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ oder x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) .
Schauen wir uns die Lösung mehrerer Beispiele genauer an.
Beispiel 1
Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, die durch 2 gegebene Punkte mit den Koordinaten M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 verläuft.
Lösung
Die kanonische Gleichung für eine Gerade, die sich in zwei Punkten mit den Koordinaten x 1, y 1 und x 2, y 2 schneidet, hat die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Nach der Bedingung des Problems gilt x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Ersetzen Sie numerische Werte in die Gleichung x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Daraus ergibt sich, dass die kanonische Gleichung die Form x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 annimmt.
Antwort: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Wenn Sie ein Problem mit einer anderen Art von Gleichung lösen müssen, können Sie zuerst zur kanonischen gehen, da es einfacher ist, von ihr zu einer anderen zu gelangen.
Beispiel 2
Stellen Sie die allgemeine Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte mit den Koordinaten M 1 (1, 1) und M 2 (4, 2) im O x y-Koordinatensystem verläuft.
Lösung
Zuerst müssen Sie die kanonische Gleichung einer gegebenen Geraden aufschreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1.
Bringen wir die kanonische Gleichung in die erforderliche Form, dann erhalten wir:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Antworten: x - 3 y + 2 = 0.
Beispiele für solche Aufgaben wurden in Schulbüchern im Algebra-Unterricht berücksichtigt. Schulprobleme zeichneten sich dadurch aus, dass die Gleichung einer Geraden mit Steigung bekannt war, die die Form y = k x + b hat. Wenn Sie den Wert der Steigung k und die Zahl b finden müssen, für die die Gleichung y = kx + b eine Linie im O xy-System definiert, die durch die Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 ( x 2, y 2) , wobei x 1 ≠ x 2. Wenn x 1 = x 2 , dann nimmt die Steigung den Wert Unendlich an und die Gerade М 1 М 2 wird durch eine allgemeine unvollständige Gleichung der Form x - x 1 = 0 . bestimmt .
Denn die Punkte M 1 und M2 auf einer Geraden liegen, dann erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung y 1 = k x 1 + b und y 2 = k x 2 + b. Es ist notwendig, das Gleichungssystem y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b für k und b zu lösen.
Finden Sie dazu k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Mit solchen Werten von k und b hat die Gleichung der Geraden, die durch die beiden gegebenen Punkte geht, die folgende Form y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Es wird nicht funktionieren, sich eine so große Anzahl von Formeln auf einmal zu merken. Dazu müssen Sie die Anzahl der Wiederholungen in Problemlösungen erhöhen.
Beispiel 3
Schreiben Sie die Gleichung der Geraden mit der Steigung auf, die durch die Punkte mit den Koordinaten M 2 (2, 1) und y = k x + b geht.
Lösung
Zur Lösung des Problems verwenden wir die Formel mit der Steigung, die die Form y = k x + b hat. Die Koeffizienten k und b müssen einen solchen Wert annehmen, dass diese Gleichung einer Geraden entspricht, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (- 7, - 5) und M 2 (2, 1) verläuft.
Punkte M 1 und M2 auf einer geraden Linie liegen, sollten ihre Koordinaten die Gleichung y = k x + b wahrer Gleichheit umkehren. Daraus erhalten wir - 5 = k (- 7) + b und 1 = k 2 + b. Kombiniere die Gleichung in das System - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b und löse.
Bei der Substitution erhalten wir, dass
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Nun werden die Werte k = 2 3 und b = - 1 3 in die Gleichung y = k x + b eingesetzt. Wir erhalten, dass die erforderliche Gleichung, die durch die gegebenen Punkte geht, eine Gleichung der Form y = 2 3 x - 1 3 ist.
Diese Lösungsmethode bedingt viel Zeitverschwendung. Es gibt eine Möglichkeit, die Aufgabe buchstäblich in zwei Schritten zu lösen.
Wir schreiben die kanonische Gleichung der Linie, die durch M 2 (2, 1) und M 1 (- 7, - 5) geht, die die Form x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) x + 7 9 = y + 5 6.
Wir wenden uns nun der Gleichung in der Steigung zu. Wir erhalten: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Antwort: y = 2 3 x - 1 3.
Gibt es im dreidimensionalen Raum ein rechtwinkliges Koordinatensystem O xyz mit zwei gegebenen nicht zusammenfallenden Punkten mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2), dann gilt Gerade M 1 M 2 ist es notwendig, die Gleichung dieser Geraden zu erhalten.
Wir haben die kanonischen Gleichungen der Form x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az und parametrische Gleichungen der Form x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ können eine Linie im O x y z-Koordinatensystem definieren, die durch Punkte mit Koordinaten (x 1, y 1, z 1) mit einem Richtungsvektor a → = (ax, ay, az) verläuft.
Gerade M 1 M 2 hat einen Richtungsvektor der Form M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), wobei die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2), daher kann die kanonische Gleichung die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z . haben 2 - z 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, wiederum parametrisch x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ oder x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Betrachten Sie eine Figur, die 2 gegebene Punkte im Raum und die Gleichung einer Geraden zeigt.
Beispiel 4
Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die in einem rechteckigen Koordinatensystem O xyz des dreidimensionalen Raums definiert ist und durch zwei gegebene Punkte mit den Koordinaten M 1 (2, - 3, 0) und M 2 (1, - 3, - 5) verläuft. .
Lösung
Es ist notwendig, die kanonische Gleichung zu finden. Da es sich um einen dreidimensionalen Raum handelt, bedeutet dies, dass die gewünschte kanonische Gleichung, wenn eine Gerade durch bestimmte Punkte verläuft, die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = . annimmt z - z 1 z 2 - z 1 ...
Nach der Hypothese gilt x 1 = 2, y 1 = – 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = – 3, z 2 = – 5. Daraus folgt, dass die notwendigen Gleichungen wie folgt geschrieben werden können:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Antwort: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
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