«Այն, ինչ մենք գիտենք, սահմանափակ է, բայց այն, ինչ մենք չգիտենք, անսահման է»

Պիեռ-Սիմոն Լապլաս (1749-1827), ֆրանսիացի գիտնական

Անսահման սեր, անսահման երջանկություն, անսահման տարածություն, հավերժական սառույց, անսահման օվկիանոս և նույնիսկ անվերջ դաս: Առօրյա կյանքում մենք հաճախ իրերն ու երեւույթներն անվանում ենք անվերջ, բայց հաճախ չենք էլ մտածում այս հասկացության իրական իմաստի մասին։ Մինչդեռ ամենահին ժամանակներից աստվածաբանները, փիլիսոփաները և մարդկության մյուս մեծագույն ուղեղները փորձել են հասկանալ դրա իմաստը: Եվ միայն մաթեմատիկոսներն են ամենաշատը առաջադիմել անսահմանություն կոչվածի իմացության մեջ:

Ի՞նչ է անսահմանությունը:

Այն, ինչ տեսնում ենք մեր շուրջը, մեր կողմից ընկալվում է որպես անսահմանություն, բայց իրականում դրանք բավականին սահմանափակ բաներ են: Ահա թե ինչպես են նրանք երբեմն բացատրում երեխաներին, թե որքան մեծ է անսահմանությունը. «Եթե դուք հարյուր տարին մեկ ավազի հատիկ եք հավաքում հսկայական լողափում, ապա հավերժ կպահանջվի լողափի ամբողջ ավազը հավաքելու համար»: Բայց իրականում ավազահատիկների թիվն անսահման չէ։ Ֆիզիկապես անհնար է դրանք հաշվել, բայց վստահաբար կարող ենք ասել, որ դրանց թիվը չի գերազանցում այն ​​արժեքը, որը հավասար է Երկրի զանգվածի և ավազի մեկ հատիկի զանգվածի հարաբերությանը։

Կամ մեկ այլ օրինակ. Շատերը կարծում են, որ եթե կանգնես երկու հայելիների արանքում, արտացոլանքը կկրկնվի երկու հայելիների մեջ՝ գնալով դեպի հեռուն, գնալով փոքրանալով, ուստի անհնար է որոշել, թե որտեղ է այն ավարտվում։ Ավաղ, սա անսահմանություն չէ։ Ի՞նչ է իրականում կատարվում: Ոչ մի հայելի չի արտացոլում ընկնող լույսի 100%-ը: Շատ բարձրորակ հայելին կարող է արտացոլել լույսի 99%-ը, բայց 70 անդրադարձից հետո կմնա դրանց միայն 50%-ը, 140 անդրադարձից հետո՝ լույսի միայն 25%-ը և այլն, քանի դեռ լույսը շատ քիչ է։ Բացի այդ, հայելիների մեծ մասը կորացած է, ուստի բազմաթիվ արտացոլումները, որոնք դուք տեսնում եք, ավարտվում են «թաքնվում են թեքության շուրջը»:

Եկեք տեսնենք, թե ինչպես է մաթեմատիկան մեկնաբանում անսահմանությունը: Սա շատ է տարբերվում անսահմանության հայեցակարգից, որը դուք հանդիպել եք նախկինում և պահանջում է մի փոքր երևակայություն:

Անսահմանությունը մաթեմատիկայի մեջ

Մաթեմատիկայի մեջ կան ներուժև փաստացիԱնսահմանություն.

Երբ ասում են, որ որոշակի արժեքը անսահման պոտենցիալ է, նկատի ունեն, որ այն կարելի է անվերջ ավելացնել, այսինքն՝ միշտ կա դրա ավելացման պոտենցիալ։

Փաստացի անսահմանություն հասկացությունը նշանակում է անսահման մեծություն, որն արդեն իսկ իրականում գոյություն ունի «այստեղ և հիմա»: Եկեք դա բացատրենք՝ օգտագործելով սովորական DIRECT-ի օրինակը:

Օրինակ 1.

Պոտենցիալ անսահմանությունը նշանակում է, որ կա ուղիղ գիծ և այն կարելի է շարունակել շարունակաբար (օրինակ՝ դրա վրա հատվածներ կիրառելով)։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ շեշտը դրվում է ոչ թե ուղիղ գծի անսահման լինելու վրա, այլ այն, որ այն կարելի է անվերջ շարունակել:

Փաստացի անսահմանությունը նշանակում է, որ ամբողջ անսահման ուղիղ գիծն արդեն գոյություն ունի ներկա ժամանակով: Բայց խնդիրն այն է, որ ոչ մի կենդանի մարդ չի տեսել անվերջ ուղիղ գիծ և ֆիզիկապես ի վիճակի չէ դա անել: Մի բան է, երբ կարող ես անսահմանորեն երկարացնել ուղիղ գիծ, ​​և բոլորովին այլ բան է իրականում ստեղծել անսահման ուղիղ գիծ: Սա շատ նուրբ տարբերակում է և տարբերում է պոտենցիալ անսահմանությունը իրականից: Ֆու՜ Այս անսահմանությունների հետ գործ ունենալը մեծ երևակայություն է պահանջում: Բերենք մեկ այլ օրինակ.

Օրինակ 2.

Ենթադրենք, դուք որոշել եք կառուցել բնական թվերի շարք՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

Ինչ-որ պահի դուք հասել եք շատ մեծ թվի n-ին և կարծում եք, որ սա ամենամեծ թիվն է: Այս պահին ընկերդ ասում է, որ իրեն ոչինչ չարժե ավելացնել 1 (մեկ) քո n թվին և ստանալ ավելի մեծ թիվ k = n + 1: Այնուհետև դու, թեթև վիրավորված, հասկանում ես, որ ոչինչ չի կարող խանգարել քեզ ավելացնել թվին: k մեկ թիվը և ստացիր k + 1 թիվը: Նման քայլերի թիվը նախապես սահմանափակվա՞ծ է։ Ոչ Իհարկե, դուք և ձեր ընկերը կարող եք չունենալ բավականաչափ ուժ, ժամանակ որոշ m քայլի վրա, որպեսզի կատարեք հաջորդ քայլը m + 1, բայց պոտենցիալ դուք կամ մեկ ուրիշը կարող եք կառուցել այս շարքը հետագա: Այս դեպքում մենք ստանում ենք պոտենցիալ անսահմանության հասկացությունը:

Եթե ​​քեզ և քո ընկերոջը հաջողվի կառուցել բնական թվերի անսահման շարք, որոնց տարրերը ներկա են միանգամից, ապա դա կլինի իրական անսահմանություն: Բայց փաստն այն է, որ ոչ ոք չի կարող գրել բոլոր թվերը, սա անվիճելի փաստ է:

Համաձայնեք, որ պոտենցիալ անսահմանությունը մեզ համար ավելի հասկանալի է, քանի որ ավելի հեշտ է պատկերացնել։ Ուստի հին փիլիսոփաներն ու մաթեմատիկոսները ճանաչում էին միայն պոտենցիալ անսահմանությունը՝ վճռականորեն մերժելով իրական անսահմանության հետ գործելու հնարավորությունը։

Գալիլեոյի պարադոքսը

1638 թվականին մեծ Գալիլեոն հարցրեց. Կամ կարո՞ղ են լինել ավելի մեծ և փոքր անսահմանություններ:

Նա ձևակերպեց մի պոստուլատ, որը հետագայում ստացավ «Գալիլեոյի պարադոքս» անվանումը՝ Կան այնքան բնական թվեր, որքան բնական թվերի քառակուսիները, այսինքն՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 բազմության մեջ։ , 9, 10 ... նույն թվով էլեմենտներ , քանիսն են բազմության մեջ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ...

Պարադոքսի էությունը հետեւյալն է.

Որոշ թվեր ճշգրիտ քառակուսիներ են (այսինքն՝ այլ թվերի քառակուսիներ), օրինակ՝ 1, 4, 9... Մյուս թվերը ճշգրիտ քառակուսիներ չեն, օրինակ՝ 2, 3, 5... Այսպիսով, պետք է լինի. ավելի ճշգրիտ քառակուսիներ և սովորական թվեր միասին, քան պարզապես կատարյալ քառակուսիներ: Ճիշտ? Ճիշտ.

Բայց մյուս կողմից. յուրաքանչյուր թվի համար կա իր ճշգրիտ քառակուսին, և հակառակը, յուրաքանչյուր ճշգրիտ քառակուսու համար կա մի ամբողջ քառակուսի արմատ, ուստի պետք է լինեն նույն քանակությամբ ճշգրիտ քառակուսիներ և բնական թվեր: Ճիշտ? Ճիշտ.

Գալիլեոյի հիմնավորումը հակասության մեջ մտավ այն անհերքելի աքսիոմի հետ, որ ամբողջն ավելի մեծ է, քան իր սեփական մասերից որևէ մեկը: Նա չկարողացավ պատասխանել, թե որ անսահմանությունն է ավելի մեծ՝ առաջինը, թե երկրորդը։ Գալիլեոն կարծում էր, որ կա՛մ ինքը սխալվել է ինչ-որ բանում, կա՛մ նման համեմատությունները կիրառելի չեն անսահմանությունների համար։ Վերջինում նա իրավացի էր, քանի որ երեք դար անց Գեորգ Կանտորն ապացուցեց, որ «անսահմանի թվաբանությունը տարբերվում է վերջավորի թվաբանությունից»։

Հաշվելի անվերջություններ. մասը հավասար է ամբողջին

Գեորգ Կանտոր(1845-1918), բազմությունների տեսության հիմնադիրը, սկսեց կիրառել փաստացի անսահմանությունը մաթեմատիկայի մեջ։ Նա խոստովանեց, որ ամբողջ անսահմանությունը գոյություն ունի միանգամից։ Եվ քանի որ կան անսահման հավաքածուներ, և միանգամից, ապա դրանցով կարելի է մաթեմատիկական մանիպուլյացիաներ կատարել և նույնիսկ համեմատել։ Քանի որ «թիվ» և «քանակ» բառերը անհամապատասխան են անսահմանությունների դեպքում, նա հորինեց «ուժ» տերմինը։ Որպես ստանդարտ, Քանթորը վերցրեց անսահման բնական թվեր, որոնք բավարար էին որևէ բան վերահաշվարկելու համար, անվանեց այս բազմությունը հաշվելի, իսկ դրա կարդինալությունը՝ հաշվելի բազմության կարդինալություն և սկսեց համեմատել այն այլ բազմությունների կարդինալության հետ:

Նա ապացուցեց, որ բնական թվերի բազմությունն ունի այնքան էլեմենտ, որքան զույգ թվերի բազմությունը։ Իսկապես, մենք իրար տակ գրում ենք.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

Առաջին հայացքից ակնհայտ է թվում, որ առաջին սեթում կրկնակի շատ թվեր կան, քան երկրորդում։ Բայց, մյուս կողմից, պարզ է, որ երկրորդ հաջորդականությունը նույնպես հաշվելի է, քանի որ նրա ցանկացած թվին ՄԻՇՏ համապատասխանում է առաջին հաջորդականության ճիշտ մեկ թվին։ Եվ հակառակը։ Այսպիսով, երկրորդ հաջորդականությունը չի կարող սպառվել առաջինից առաջ: Հետևաբար, այս հավաքածուները հավասարապես հզոր են: Նմանապես, ապացուցված է, որ բնական թվերի քառակուսիների բազմությունը (Գալիլեոյի պարադոքսից) հաշվելի է և հավասար է բնական թվերի բազմությանը։ Այստեղից հետևում է, որ բոլոր հաշվելի անվերջությունները հավասար ուժ ունեն։

Շատ հետաքրքիր է ստացվում՝ զույգ թվերի բազմությունը և բնական թվերի քառակուսիների բազմությունը (Գալիլեոյի պարադոքսից) բնական թվերի բազմության մի մասն են։ Բայց նրանք նույնքան հզոր են: Ուստի ՄԱՍԸ ՀԱՎԱՍԱՐ Է ԱՄԲՈՂՋԻՆ!

Անհամար անսահմանություններ

Բայց ամեն անվերջություն չէ, որ կարելի է հաշվել, ինչպես դա արեցինք բնական թվերի զույգ թվերի և քառակուսիների դեպքում: Ստացվում է, որ անհնար է հաշվել կետերը հատվածի վրա, իրական թվերը (արտահայտված բոլոր վերջավոր և անվերջ տասնորդական կոտորակներում), նույնիսկ բոլոր իրական թվերը 0-ից մինչև 1: Մաթեմատիկայի մեջ ասում են, որ դրանց թիվը անհաշվելի է:

Դիտարկենք սա՝ օգտագործելով կոտորակային թվերի հաջորդականության օրինակը: Կոտորակային թվերն ունեն մի հատկություն, որը չունեն ամբողջ թվերը: Երկու հաջորդական ամբողջ թվերի միջև այլ ամբողջ թվեր գոյություն չունեն: Օրինակ, ոչ մի այլ ամբողջ թիվ չի «տեղավորվում» 8-ի և 9-ի միջև: Բայց եթե ամբողջ թվերի բազմությանը գումարենք կոտորակային թվեր, ապա այս կանոնը կդադարի կատարել։ Այսպիսով, թիվը

կլինի 8-ի և 9-ի միջև: Նմանապես, դուք կարող եք գտնել այն թիվը, որը գտնվում է ցանկացած երկու A և B թվերի միջև.

Քանի որ այս գործողությունը կարող է անվերջ կրկնվել, կարելի է պնդել, որ ցանկացած երկու իրական թվերի միջև միշտ կլինեն անսահման շատ այլ իրական թվեր:

Այսպիսով, իրական թվերի անվերջությունը անհաշվելի է, իսկ բնական թվերի անսահմանությունը՝ հաշվելի։ Այս անվերջությունները համարժեք չեն, բայց իրական թվերի անհաշվելի բազմությունից միշտ կարելի է ընտրել հաշվելի մասը, օրինակ՝ բնական կամ զույգ թվերը։ Հետևաբար, անհաշվելի անսահմանությունն ավելի հզոր է, քան հաշվելի անսահմանությունը:

Հարաբերականության տեսությունը տարածությունը և ժամանակը դիտարկում է որպես մեկ ամբողջություն, այսպես կոչված, «տարածություն-ժամանակ», որտեղ ժամանակի կոորդինատը խաղում է նույն էական դերը, ինչ տարածականը։ Ուստի, ամենաընդհանուր դեպքում, հարաբերականության տեսության տեսանկյունից, կարելի է խոսել միայն կոնկրետ այս միասնական «տարածություն-ժամանակ» վերջավորության կամ անսահմանության մասին։ Բայց հետո մենք մտնում ենք այսպես կոչված քառաչափ աշխարհ, որն ունի բոլորովին հատուկ երկրաչափական հատկություններ, որոնք էականորեն տարբերվում են եռաչափ աշխարհի երկրաչափական հատկություններից, որտեղ մենք ապրում ենք:

Իսկ քառաչափ «տիեզերական ժամանակի» անսահմանությունը կամ վերջավորությունը դեռ ոչինչ կամ գրեթե ոչինչ չի ասում մեզ հետաքրքրող Տիեզերքի տարածական անսահմանության մասին:

Մյուս կողմից, հարաբերականության տեսության քառաչափ «տարածություն-ժամանակը» պարզապես հարմար մաթեմատիկական ապարատ չէ։ Այն արտացոլում է իրական Տիեզերքի լավ սահմանված հատկությունները, կախվածությունները և օրինաչափությունները: Եվ հետևաբար, հարաբերականության տեսության տեսանկյունից տարածության անսահմանության խնդիրը լուծելիս պետք է հաշվի նստել «տարածություն-ժամանակի» հատկությունների հետ։ Դեռևս ընթացիկ դարի 20-ական թվականներին Ա.Ֆրիդմանը ցույց տվեց, որ հարաբերականության տեսության շրջանակներում Տիեզերքի տարածական և ժամանակային անսահմանության հարցի առանձին ձևակերպումը ոչ միշտ է հնարավոր, այլ միայն որոշակի պայմաններում։ Այդ պայմաններն են՝ միատարրությունը, այսինքն՝ նյութի բաշխման միատեսակությունը Տիեզերքում, և իզոտրոպությունը, այսինքն՝ նույն հատկությունները ցանկացած ուղղությամբ։ Միայն միատարրության և իզոտրոպիայի դեպքում մեկ «տարածություն-ժամանակ» բաժանվում է «միատարր տարածության» և համընդհանուր «համաշխարհային ժամանակի»։

Բայց, ինչպես արդեն նշել ենք, իրական Տիեզերքը շատ ավելի բարդ է, քան միատարր և իզոտրոպ մոդելները: Իսկ դա նշանակում է, որ հարաբերականության տեսության քառաչափ աշխարհը, որը համապատասխանում է իրական աշխարհին, որտեղ մենք ապրում ենք, ընդհանուր դեպքում չի բաժանվում «տարածության» և «ժամանակի»։ Հետևաբար, եթե նույնիսկ դիտումների ճշգրտության աճով մենք կարողանանք հաշվարկել միջին խտությունը (և հետևաբար՝ տեղական կորությունը) մեր Գալակտիկայի, գալակտիկաների կլաստերի, Տիեզերքի դիտելի շրջանի համար, սա լուծում չի լինի. Տիեզերքի տարածական տարածության հարցը որպես ամբողջություն։

Հետաքրքիր է, ի դեպ, նշել, որ տարածության որոշ շրջաններ իսկապես կարող են վերջավոր լինել փակ լինելու իմաստով։ Եվ ոչ միայն Մետագալակտիկայի տարածությունը, այլ նաև ցանկացած տարածաշրջան, որտեղ կան բավականաչափ հզոր զանգվածներ, որոնք ուժեղ կորություն են առաջացնում, օրինակ՝ քվազարների տարածությունը։ Բայց, կրկնում ենք, սա դեռ ոչինչ չի ասում ամբողջ Տիեզերքի վերջավորության կամ անսահմանության մասին։ Բացի այդ, տարածության վերջավորությունը կամ անսահմանությունը կախված է ոչ միայն դրա կորությունից, այլև որոշ այլ հատկություններից։

Այսպիսով, հարաբերականության ընդհանուր տեսության և աստղագիտական ​​դիտարկումների ներկա վիճակի պայմաններում մենք չենք կարող բավականաչափ ամբողջական պատասխան ստանալ Տիեզերքի տարածական անսահմանության հարցին:

Ասում են, որ հայտնի կոմպոզիտոր և դաշնակահար Ֆ. .

Այս պատմությունը ակամա գալիս է մտքիս՝ կապված Տիեզերքի անսահմանության հարցի ուսումնասիրության հետ։ Արդեն վերևում ասվածից միանգամայն ակնհայտ է, որ այս խնդիրը չափազանց բարդ է։

Եվ այնուամենայնիվ, դա նույնիսկ անչափ ավելի դժվար է ...

Բացատրելը նշանակում է նվազեցնել մինչև հայտնի: Նմանատիպ տեխնիկան օգտագործվում է գրեթե բոլոր գիտական ​​ուսումնասիրություններում: Եվ երբ մենք փորձում ենք լուծել Տիեզերքի երկրաչափական հատկությունների խնդիրը, մենք նույնպես ձգտում ենք այդ հատկությունները հասցնել սովորական հասկացությունների:

Տիեզերքի հատկությունները, այսպես ասած, «չափվում են» անսահմանության վերաբերյալ ներկայումս գոյություն ունեցող վերացական մաթեմատիկական հասկացություններին համապատասխան: Բայց արդյոք այս հասկացությունները բավարա՞ր են տիեզերքը որպես ամբողջություն նկարագրելու համար: Խնդիրն այն է, որ դրանք մշակվել են մեծ չափով անկախ, իսկ երբեմն էլ՝ ամբողջովին անկախ Տիեզերքի ուսումնասիրության խնդիրներից, և ամեն դեպքում՝ հիմնված տարածքի սահմանափակ տարածքի ուսումնասիրության վրա:

Այսպիսով, Տիեզերքի իրական անսահմանության հարցի լուծումը վերածվում է մի տեսակ վիճակախաղի, որում շահելու հավանականությունը, այսինքն՝ իրական Տիեզերքի առնվազն բավական մեծ թվով հատկությունների համընկնման հնարավորությունը որևէ մեկի հետ: անսահմանության ֆորմալ չափորոշիչները շատ աննշան են:

Տիեզերքի ժամանակակից ֆիզիկական հասկացությունների հիմքում ընկած է այսպես կոչված հարաբերականության հատուկ տեսությունը: Համաձայն այս տեսության՝ մեզ շրջապատող տարբեր իրական առարկաների միջև տարածական և ժամանակային հարաբերությունները բացարձակ չեն: Նրանց բնույթն ամբողջությամբ կախված է տվյալ համակարգի շարժման վիճակից։ Այսպիսով, շարժվող համակարգում ժամանակի ընթացքի տեմպը դանդաղում է, և երկարությունների բոլոր մասշտաբները, այսինքն. ընդլայնված օբյեկտների չափերը կրճատվում են. Եվ այս կրճատումը որքան ուժեղ է, այնքան բարձր է շարժման արագությունը: Լույսի արագությանը մոտենալիս, որը բնության մեջ հնարավոր առավելագույն արագությունն է, բոլոր գծային սանդղակները անորոշ ժամանակով նվազում են։

Բայց եթե տարածության գոնե որոշ երկրաչափական հատկություններ կախված են հղման համակարգի շարժման բնույթից, այսինքն՝ հարաբերական են, մենք իրավունք ունենք հարց դնելու՝ վերջավորություն և անսահմանություն հասկացությունները նույնպես հարաբերական են։ Ի վերջո, դրանք սերտորեն կապված են երկրաչափության հետ:

Վերջին տարիներին խորհրդային հայտնի տիեզերաբան Ա.Լ.Զելմապովն ուսումնասիրում է այս հետաքրքիր խնդիրը։ Նրան հաջողվել է բացահայտել մի փաստ, որն առաջին հայացքից բացարձակապես ապշեցուցիչ է. Պարզվեց, որ տարածությունը, որը վերջավոր է ֆիքսված հղման համակարգում, միևնույն ժամանակ կարող է անսահման լինել շարժվող հղման համակարգի նկատմամբ:

Թերեւս այս եզրակացությունն այնքան էլ զարմանալի չթվա, եթե հիշենք շարժվող համակարգերում մասշտաբների կրճատումը։

Ժամանակակից տեսական ֆիզիկայի բարդ հարցերի հանրաճանաչ ներկայացումը շատ դժվար է նրանով, որ շատ դեպքերում նրանք չեն ընդունում տեսողական բացատրություններ և անալոգիաներ: Այնուամենայնիվ, մենք հիմա կփորձենք տալ մեկ անալոգիա, բայց օգտագործելով այն, կփորձենք չմոռանալ, որ այն շատ մոտավոր է։

Պատկերացրեք, որ տիեզերանավն անցնում է Երկրի կողքով արագությամբ, որը հավասար է, ասենք, լույսի արագության երկու երրորդին՝ 200,000 կմ/վրկ: Այնուհետեւ, ըստ հարաբերականության տեսության բանաձեւերի, պետք է լինի բոլոր սանդղակների կրճատում կիսով չափ։ Սա նշանակում է, որ տիեզերանավի վրա գտնվող տիեզերագնացների տեսանկյունից Երկրի վրա բոլոր հատվածները կրկնակի կարճ կդառնան։

Եվ հիմա եկեք պատկերացնենք, որ մենք ունենք, թեև շատ երկար, բայց վերջավոր ուղիղ գիծ, ​​և այն չափում ենք երկարության սանդղակի ինչ-որ միավորով, օրինակ՝ մետրով: Լույսի արագությանը մոտեցող արագությամբ տիեզերանավով ընթացող դիտորդի համար մեր հղման հաշվիչը կծկվի մինչև մի կետ: Եվ քանի որ նույնիսկ վերջավոր ուղիղ գծի վրա կան անթիվ կետեր, ապա նավի դիտորդի համար մեր ուղիղ գիծը կդառնա անսահման երկար: Մոտավորապես նույնը տեղի կունենա տարածքների և ծավալների մասշտաբով։ Հետևաբար, տարածության վերջավոր շրջանները կարող են անսահման դառնալ շարժվող հղման համակարգում:

Եվս մեկ անգամ կրկնում ենք. սա ոչ մի կերպ ապացույց չէ, այլ բավական կոպիտ և հեռու ամբողջական անալոգիայից։ Բայց դա որոշակի պատկերացում է տալիս հետաքրքրող երևույթի ֆիզիկական բնույթի մասին:

Այժմ հիշենք, որ շարժվող համակարգերում ոչ միայն կշեռքներն են նվազում, այլև դանդաղում է ժամանակի ընթացքը։ Սրանից հետևում է, որ որոշակի օբյեկտի գոյության տևողությունը, որը վերջավոր է անշարժ (ստատիկ) կոորդինատային համակարգի նկատմամբ, կարող է անսահման լինել: Շարժվող հղման համակարգում երկար:

Այսպիսով, Զելմանովի աշխատություններից հետևում է, որ տարածության և ժամանակի «վերջայնության» և «անսահմանության» հատկությունները հարաբերական են։

Իհարկե, այս բոլոր, առաջին հայացքից, բավականին «շռայլ» արդյունքները չեն կարող դիտվել որպես իրական Տիեզերքի որոշ ընդհանուր երկրաչափական հատկությունների հաստատում։

Բայց նրանց շնորհիվ կարելի է չափազանց կարեւոր եզրակացություն անել. Նույնիսկ հարաբերականության տեսության տեսանկյունից Տիեզերքի անսահմանության գաղափարը շատ ավելի բարդ է, քան նախկինում ենթադրվում էր:

Հիմա բոլոր հիմքերը կան ակնկալելու, որ եթե երբևէ ստեղծվի հարաբերականության տեսությունից ավելի ընդհանրական տեսություն, ապա այս տեսության շրջանակներում տիեզերքի անսահմանության հարցն էլ ավելի բարդ կլինի։

Ժամանակակից ֆիզիկայի հիմնական դրույթներից մեկը, նրա հիմնաքարը, այսպես կոչված, ֆիզիկական հայտարարությունների անփոփոխության պահանջն է՝ կապված հղման համակարգի փոխակերպումների հետ։

Ինվարիանտ նշանակում է «չփոխվել»: Որպեսզի ավելի լավ պատկերացնենք, թե դա ինչ է նշանակում, եկեք որպես օրինակ բերենք որոշ երկրաչափական ինվարիանտներ: Այսպիսով, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի սկզբնամասում գտնվող կենտրոնները պտտման անփոփոխ են: Ծագման հետ կապված կոորդինատային առանցքների ցանկացած պտույտի դեպքում նման շրջանակներն անցնում են իրենց մեջ: «OY» առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծերը կոորդինատային համակարգի թարգմանության փոխակերպումների անփոփոխ են «OX» ջրծաղիկի երկայնքով։

Բայց մեր դեպքում խոսքը ինվարիանտության մասին է բառի ավելի լայն իմաստով. ցանկացած հայտարարություն ունի միայն ֆիզիկական նշանակություն, երբ այն կախված չէ հղման շրջանակի ընտրությունից: Այս դեպքում հղման շրջանակը պետք է հասկանալ ոչ միայն որպես կոորդինատային համակարգ, այլև որպես նկարագրության միջոց։ Ինչպես էլ փոխվի նկարագրության մեթոդը, ուսումնասիրվող երեւույթների ֆիզիկական բովանդակությունը պետք է մնա անփոփոխ, անփոփոխ։

Հեշտ է նկատել, որ այս պայմանը ոչ միայն զուտ ֆիզիկական, այլեւ հիմնարար, փիլիսոփայական նշանակություն ունի։ Այն արտացոլում է գիտության ցանկությունը՝ պարզաբանելու երևույթների իրական, իրական ընթացքը և վերացնելու բոլոր աղավաղումները, որոնք կարող են ներմուծվել այս դասընթացում հենց գիտական ​​հետազոտության գործընթացով:

Ինչպես տեսանք, Ա.Լ.Զելմանովի աշխատություններից հետևում է, որ անսահմանությունը տարածության մեջ և անսահմանությունը ժամանակի մեջ չեն բավարարում անփոփոխության պահանջը։ Սա նշանակում է, որ ժամանակային և տարածական անսահմանության հասկացությունները, որոնք մենք ներկայումս օգտագործում ենք, լիովին չեն արտացոլում մեզ շրջապատող աշխարհի իրական հատկությունները: Հետևաբար, ըստ երևույթին, Տիեզերքի անսահմանության հարցի ձևակերպումն ամբողջությամբ (տարածության մեջ և ժամանակի մեջ) անսահմանության ժամանակակից ըմբռնմամբ զուրկ է ֆիզիկական իմաստից:

Մենք ստացել ենք ևս մեկ համոզիչ ապացույց, որ անսահմանության «տեսական» հասկացությունները, որոնք մինչ այժմ օգտագործվում էին Տիեզերքի գիտության կողմից, շատ, շատ սահմանափակ են: Ընդհանրապես, կարելի էր կռահել այս մասին ավելի վաղ, քանի որ իրական աշխարհը միշտ շատ ավելի բարդ է, քան ցանկացած «մոդել», և մենք կարող ենք խոսել միայն իրականությանը քիչ թե շատ ճշգրիտ մոտարկման մասին։ Բայց այս դեպքում հատկապես դժվար էր, այսպես ասած, աչքով շրջափակել, թե որքան նշանակալի է ձեռք բերված մոտարկումը։

Հիմա գոնե ուրվագծվում է այն ճանապարհը, որով պետք է գնալ։ Ըստ երևույթին, խնդիրն առաջին հերթին Տիեզերքի իրական հատկությունների ուսումնասիրության հիման վրա անսահմանության (մաթեմատիկական և ֆիզիկական) հայեցակարգի մշակումն է: Այլ կերպ ասած՝ «չափել» ոչ թե Տիեզերքը անսահմանության տեսական հասկացություններին, այլ, ընդհակառակը, այդ տեսական հասկացություններին իրական աշխարհին: Միայն նման հետազոտական ​​մեթոդը կարող է գիտությունը բերել այս ոլորտում զգալի առաջընթացի: Ոչ մի վերացական տրամաբանական հիմնավորում և տեսական եզրակացություն չի կարող փոխարինել դիտարկումներից ստացված փաստերին:

Հավանաբար, անհրաժեշտ է, առաջին հերթին, Տիեզերքի իրական հատկությունների ուսումնասիրության հիման վրա մշակել անսահմանության անփոփոխ հայեցակարգ։

Եվ ընդհանրապես, ըստ երևույթին, գոյություն չունի անսահմանության այնպիսի ունիվերսալ մաթեմատիկական կամ ֆիզիկական ստանդարտ, որը կարող է արտացոլել իրական Տիեզերքի բոլոր հատկությունները։ Գիտելիքի զարգացման հետ մեկտեղ մեզ հայտնի անսահմանության տեսակների թիվն ինքնին անսահմանորեն կաճի: Ուստի, ամենայն հավանականությամբ, հարցին, թե Տիեզերքն անսահման է, երբեք չի պատասխանվի պարզ այո-ով կամ ոչ:

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ այս առումով Տիեզերքի անսահմանության խնդրի ուսումնասիրությունն ընդհանրապես կորցնում է իմաստը։ Սակայն նախ՝ այս կամ այն ​​ձևով այս խնդիրը գիտության առջև առաջանում է որոշակի փուլերում և այն պետք է լուծվի, և երկրորդ՝ դրա լուծման փորձերը հանգեցնում են մի շարք ուղեկցող արգասաբեր բացահայտումների։

Ի վերջո, պետք է ընդգծել, որ Տիեզերքի անսահմանության խնդիրը շատ ավելի լայն է, քան պարզապես նրա տարածական տարածության հարցը: Նախ՝ կարելի է խոսել ոչ միայն «լայնությամբ» անսահմանության, այլ, այսպես ասած, «խորքի» մասին։ Այսինքն՝ պետք է պատասխան ստանալ այն հարցին, թե արդյոք տարածությունն անվերջ բաժանելի է, շարունակական, թե՞ դրա մեջ կան մինիմալ տարրեր։

Ներկա պահին այս խնդիրն արդեն բախվել է ֆիզիկոսներին։ Լրջորեն քննարկվում է տարածության (ինչպես նաև ժամանակի) այսպես կոչված քվանտացման հնարավորության հարցը, այսինքն՝ դրանում որոշ «տարրական» բջիջների ընտրություն, որոնք չափազանց փոքր են։

Պետք չէ նաև մոռանալ Տիեզերքի հատկությունների անսահման բազմազանության մասին: Ի վերջո, Տիեզերքն առաջին հերթին գործընթաց է, որի բնորոշ գծերն են շարունակական շարժումը և նյութի անդադար անցումները մի վիճակից մյուսը։ Հետևաբար, Տիեզերքի անսահմանությունը նաև շարժման ձևերի, նյութի տեսակների, ֆիզիկական պրոցեսների, փոխկապակցվածության և փոխազդեցության, և նույնիսկ կոնկրետ առարկաների հատկությունների անսահման բազմազանություն է:

Անսահմանությունը գոյություն ունի՞։

Տիեզերքի անսահմանության խնդրի հետ կապված՝ անսպասելի թվացող հարց է առաջանում. Անսահմանության հասկացությունն ինքնին իրական իմաստ ունի՞: Չէ՞ որ դա պարզապես պայմանական մաթեմատիկական կառուցում է, որին իրական աշխարհում ընդհանրապես ոչինչ չի համապատասխանում։ Այս տեսակետին նախկինում հավատարիմ են եղել որոշ հետազոտողներ, և ներկայումս կան դրա կողմնակիցներ։

Բայց գիտական ​​տվյալները ցույց են տալիս, որ իրական աշխարհի հատկություններն ուսումնասիրելիս մենք ամեն դեպքում հանդիպում ենք այն, ինչը կարելի է անվանել ֆիզիկական կամ գործնական անսահմանություն: Օրինակ, մենք հանդիպում ենք այնպիսի մեծ (կամ այնքան փոքր) արժեքների, որոնք որոշակի տեսանկյունից ոչնչով չեն տարբերվում անսահմանությունից։ Այս արժեքները գտնվում են քանակական սահմանից այն կողմ, որից այն կողմ դրանց հետագա ցանկացած փոփոխություն այլևս որևէ նկատելի ազդեցություն չի թողնում դիտարկվող գործընթացի էության վրա:

Այսպիսով, անսահմանությունը, անկասկած, գոյություն ունի օբյեկտիվորեն: Ավելին, թե՛ ֆիզիկայում, թե՛ մաթեմատիկայում մենք գրեթե ամեն քայլափոխի հանդիպում ենք անսահմանության հասկացությանը։ Սա պատահական չէ։ Այս երկու գիտություններն էլ, մասնավորապես ֆիզիկան, չնայած բազմաթիվ դիրքերի թվացյալ վերացականությանը, վերջին հաշվով, միշտ վանված են իրականությունից։ Սա նշանակում է, որ բնությունը, Տիեզերքը իրականում ունի որոշ հատկություններ, որոնք արտացոլված են անսահմանության հայեցակարգում:

Այս հատկությունների ամբողջությունը կարելի է անվանել Տիեզերքի իրական անսահմանություն։

Անսահմանությունը վերացական հասկացություն է, որն օգտագործվում է ինչ-որ անսահման կամ անսահման բան նկարագրելու կամ նշանակելու համար: Այս հայեցակարգը կարևոր է մաթեմատիկայի, աստղաֆիզիկայի, ֆիզիկայի, փիլիսոփայության, տրամաբանության և արվեստի համար:

Ահա մի քանի զարմանալի փաստ այս բարդ հայեցակարգի մասին, որոնք կարող են ցնցել մաթեմատիկային ոչ այնքան ծանոթ յուրաքանչյուրի միտքը:

Անսահմանության խորհրդանիշ

Անսահմանությունն ունի իր հատուկ նշանը՝ ∞: Խորհրդանիշը կամ լեմնիսկատը ներկայացվել է հոգեւորական և մաթեմատիկոս Ջոն Ուոլիսի կողմից 1655 թվականին։ «Lemniscata» բառը գալիս է լատիներեն lemniscus բառից, որը նշանակում է «ժապավեն»:

Ուոլիսը, հավանաբար, անսահմանության խորհրդանիշը հիմնել է հռոմեական 1000 թվի վրա, որի կողքին հռոմեացիները ի լրումն թվի նշում էին «անհաշվելի»: Հնարավոր է նաև, որ կերպարը հիմնված է օմեգայի (Ω կամ ω) վրա՝ հունական այբուբենի վերջին տառը։

Հետաքրքիր փաստ է այն, որ անսահմանության հասկացությունը հայտնվել և օգտագործվել է շատ ավելի վաղ, քան Ուոլիսը նրան շնորհել է այն խորհրդանիշը, որը մենք դեռ օգտագործում ենք այսօր:

Չորրորդ դարում մ.թ.ա. մի ջայնական մաթեմատիկական տեքստ, որը կոչվում էր Surya Prajnapti Sutra, բոլոր թվերը բաժանեց երեք կատեգորիաների, որոնցից յուրաքանչյուրն իր հերթին ընկավ երեք ենթակարգերի: Այս կատեգորիաներում նշվել են թվարկելի, չթվվող և անսահման թվեր։

Ապորիա Զենոն

Զենոն Էլեացին ծնվել է մոտ մ.թ.ա հինգերորդ դարում ե., հայտնի էր պարադոքսներով կամ ապորիաներով, ներառյալ անսահմանություն հասկացությունը:

Զենոնի բոլոր պարադոքսներից ամենահայտնին Աքիլլեսն ու կրիան է: Ապորիայում կրիան մարտահրավեր է նետում հույն հերոս Աքիլեսին՝ հրավիրելով նրան մրցավազքի։ Կրիան պնդում է, որ կհաղթի մրցավազքում, եթե Աքիլլեսը նրան հազար քայլի առավելություն տա: Ըստ պարադոքսի՝ այն ժամանակահատվածում, երբ Աքիլեսը կվազի ամբողջ տարածությունը, կրիան եւս հարյուր քայլ կանի նույն ուղղությամբ։ Մինչ Աքիլեսը վազել է ևս հարյուր քայլ, կրիան ժամանակ կունենա ևս տասը քայլ անելու և այլն՝ նվազման կարգով:

Ավելի պարզ ձևով պարադոքսը դիտարկվում է հետևյալ կերպ. փորձեք անցնել սենյակը, եթե յուրաքանչյուր հաջորդ քայլը նախորդի չափի կեսն է: Թեև յուրաքանչյուր քայլ ձեզ ավելի է մոտեցնում սենյակի եզրին, դուք իրականում երբեք չեք հասնի դրան, կամ կհասնեք դրան, բայց դա անսահման թվով քայլեր է պահանջում:

Ժամանակակից մեկնաբանություններից մեկի համաձայն, այս պարադոքսը հիմնված է ժամանակի և տարածության անսահման բաժանելիության կեղծ գաղափարի վրա:

Pi-ն անսահմանության օրինակ է

Pi-ն անսահմանության հիանալի օրինակ է: Մաթեմատիկոսներն օգտագործում են pi նշանը pi թվի համար, քանի որ անհնար է գրել ամբողջ թիվը: Pi-ն կազմված է անսահման թվով թվերից։ Այն հաճախ կլորացվում է 3,14-ի կամ նույնիսկ 3,14159-ի, բայց տասնորդական կետից հետո քանի թվանշան էլ գրվի, թվի վերջն անհնար է հասնել։

Անսահման կապիկի թեորեմ

Անսահմանության մասին մտածելու մեկ այլ միջոց է դիտարկել Անսահման կապիկի թեորեմը: Ըստ թեորեմի՝ եթե կապիկին տաս գրամեքենա և անսահման ժամանակ, ի վերջո կապիկը կկարողանա տպել Համլետ կամ որևէ այլ ստեղծագործություն։

Թեև շատերը թեորեմն ընկալում են որպես համոզմունքի ցուցադրում, որ անհնարին ոչինչ չկա, մաթեմատիկոսներն այն տեսնում են որպես որոշակի իրադարձության անհնարինության ապացույց:

Ֆրակտալներ և անսահմանություն

Ֆրակտալը վերացական մաթեմատիկական առարկա է, որն օգտագործվում է մաթեմատիկայի և արվեստում, ամենից հաճախ այն նմանակում է բնական երևույթները։ Ֆրակտալը գրվում է որպես մաթեմատիկական հավասարում: Նայելով ֆրակտալին՝ դուք կարող եք տեսնել նրա բարդ կառուցվածքը ցանկացած մասշտաբով: Այսինքն՝ ֆրակտալն անսահմանորեն մեծանում է։

Koch Snowflake-ը ֆրակտալի հետաքրքիր օրինակ է: Ձյան փաթիլը նման է հավասարակողմ եռանկյունու, որը կազմում է անսահման երկարությամբ փակ կոր։ Մեծացնելով կորը՝ ավելի ու ավելի շատ մանրամասներ կարելի է տեսնել դրա վրա։ Կորի մեծացման գործընթացը կարող է շարունակվել անսահման թվով անգամ։ Չնայած Կոխի ձյան փաթիլն ունի սահմանափակ տարածք, այն սահմանափակված է անսահման երկար գծով:

Տարբեր չափերի անսահմանություն

Անսահմանությունն անսահման է, սակայն այն իրեն հարմար է չափումների, թեև համեմատական: Դրական թվերը (0-ից մեծ) և բացասական թվերը (0-ից պակաս) պարծենում են հավասար չափի թվերի անսահման բազմությամբ: Ի՞նչ է տեղի ունենում, երբ համատեղում եք երկու հավաքածուն: Հավաքածուն կրկնակի մեծ կլինի։ Կամ մեկ այլ օրինակ՝ բոլոր զույգ թվերը (դրանց թիվը անսահման է): Եվ այնուամենայնիվ, դա բոլոր ամբողջ թվերի անսահման թվի միայն կեսն է: Մեկ այլ օրինակ, պարզապես ավելացրեք մեկը անսահմանությանը: Իմացեք թիվ 1-ն ավելին, քան անսահմանությունը:

Տիեզերագիտություն և անսահմանություն

Տիեզերաբաններն ուսումնասիրում են Տիեզերքը, զարմանալի չէ, որ անսահմանության հասկացությունը նրանց համար կարևոր դեր է խաղում։ Տիեզերքն ունի՞ սահմաններ, թե՞ անսահման է։

Այս հարցը դեռ մնում է անպատասխան։ Մեր Տիեզերքը ընդլայնվում է, բայց որտե՞ղ: Իսկ որտե՞ղ է այս ընդլայնման սահմանը։ Նույնիսկ եթե ֆիզիկական տիեզերքն իսկապես սահմաններ ունի, մենք դեռ ունենք բազմատիեզերքի տեսությունը, որը դիտարկում է անսահման թվով տիեզերքների գոյությունը, որոնցում կարող են լինել ֆիզիկայի օրենքներ, որոնք տարբերվում են մերից:

Բաժանում զրոյի

Չկա զրոյի բաժանում։ Դա անհնար է, համենայն դեպս ոչ սովորական մաթեմատիկայում։ Մեր սովորական մաթեմատիկայի մեջ զրոյի բաժանված մեկն անհնար է սահմանել: Սա սխալ է։ Այնուամենայնիվ, դա միշտ չէ, որ այդպես է: Կոմպլեքս թվերի ընդլայնված տեսության մեջ մեկը զրոյի բաժանելը չի ​​առաջացնում անխուսափելի փլուզում և որոշվում է անսահմանության ինչ-որ ձևով։ Այսինքն՝ մաթեմատիկան տարբեր է, և ոչ բոլորն են սահմանափակված դասագրքերի կանոններով։

Առօրյա կյանքում մարդն ամենից հաճախ ստիպված է լինում գործ ունենալ վերջավոր մեծությունների հետ։ Հետևաբար, շատ դժվար է պատկերացնել անսահմանափակ անսահմանությունը: Այս հայեցակարգը պատված է առեղծվածի և անսովորության աուրայի մեջ, որը միախառնված է Տիեզերքի հանդեպ ակնածանքով, որի սահմանները գրեթե անհնար է սահմանել:

Աշխարհի տարածական անսահմանությունը պատկանում է ամենաբարդ և վիճահարույց գիտական ​​խնդիրներին: Հին փիլիսոփաներն ու աստղագետները փորձել են լուծել այս հարցը ամենապարզ տրամաբանական կոնստրուկցիաների միջոցով։ Դա անելու համար բավական էր խոստովանել, որ հնարավոր է հասնել տիեզերքի ենթադրյալ եզրին։ Բայց եթե այս պահին ձեռքդ ձգես, ապա սահմանը որոշ հեռավորությամբ հետ է շարժվում։ Այս գործողությունը կարելի է կրկնել անթիվ անգամ, ինչն ապացուցում է տիեզերքի անսահմանությունը։

Տիեզերքի անսահմանությունը դժվար է պատկերացնել, բայց ոչ պակաս դժվար, քան կարող է թվալ սահմանափակ աշխարհը: Նույնիսկ նրանք, ովքեր այնքան էլ առաջադեմ չեն տիեզերագիտության ուսումնասիրության մեջ, այս դեպքում բնական հարց է առաջանում՝ ի՞նչ կա Տիեզերքի սահմանից այն կողմ։ Այնուամենայնիվ, ողջախոհության և առօրյա փորձի վրա հիմնված նման հիմնավորումը չի կարող ամուր հիմք ծառայել գիտական ​​խիստ եզրակացությունների համար:

Տիեզերքի անսահմանության ժամանակակից հայեցակարգերը

Ժամանակակից գիտնականները, ուսումնասիրելով բազմաթիվ տիեզերաբանական պարադոքսներ, եկել են այն եզրակացության, որ վերջավոր տիեզերքի գոյությունը, սկզբունքորեն, հակասում է ֆիզիկայի օրենքներին: Երկիր մոլորակից դուրս գտնվող աշխարհը, ըստ երևույթին, սահմաններ չունի ո՛չ տարածության մեջ, ո՛չ ժամանակի մեջ։ Այս առումով, անսահմանությունը ենթադրում է, որ ոչ Տիեզերքում պարունակվող նյութի քանակությունը, ոչ էլ նրա երկրաչափական չափերը չեն կարող արտահայտվել նույնիսկ ամենամեծ թվով («Տիեզերքի էվոլյուցիան», Ի.Դ. Նովիկով, 1983):

Եթե ​​նույնիսկ հաշվի առնենք այն վարկածը, որ Տիեզերքը ձևավորվել է մոտ 14 միլիարդ տարի առաջ, այսպես կոչված, Մեծ պայթյունի արդյունքում, դա կարող է նշանակել միայն, որ այդ չափազանց հեռավոր ժամանակներում աշխարհն անցել է բնական վերափոխման մեկ այլ փուլ: Ընդհանրապես, անսահման Տիեզերքը երբեք չի հայտնվել ինչ-որ ոչ նյութական օբյեկտի սկզբնական ազդակի կամ անբացատրելի զարգացման ժամանակ։ Անսահման տիեզերքի ենթադրությունը վերջ է դնում աշխարհի Աստվածային արարման վարկածին:

2014 թվականին ամերիկացի աստղագետները հրապարակեցին ամենավերջին ուսումնասիրությունների արդյունքները, որոնք հաստատում են անսահման և հարթ տիեզերքի գոյության վարկածը։ Բարձր ճշգրտությամբ գիտնականները չափել են միմյանցից մի քանի միլիարդ լուսատարի հեռավորության վրա գտնվող գալակտիկաների միջև հեռավորությունը: Պարզվել է, որ տիեզերական այս վիթխարի աստղակույտերը գտնվում են մշտական ​​շառավղով շրջանակների մեջ։ Հետազոտողների կողմից կառուցված տիեզերաբանական մոդելն անուղղակիորեն ապացուցում է, որ Տիեզերքն անսահման է թե՛ տարածության մեջ, թե՛ ժամանակի մեջ։

հետ շփման մեջ

Գոյություն ունի՞ անսահմանությունը

Արդյո՞ք Տիեզերքն անսահման է, և եթե այո, ապա «սա չի կարող լինել»: Եւ եթե ոչ, ինչ կա մյուս կողմում: Իսկ ով սիրում է հեքիաթներ սահմանափակի մասինբազմազանություն առանց եզրի, ինչպես, օրինակ, գնդիկ - թող միտքը ուղարկի այն եզրին ուղղահայաց:Ի՞նչ կա այնտեղ: Կամ ով: Գեղարվեստական ​​անսահմանությունն այնքան էլ հուզիչ չէ, այլ նաևանհասկանալի, տեղ-տեղ. Գեորգ Կանտոր. Անսահմանությունների համեմատություն. Շարունակություն. Վրաքառակուսին ունի նույնքան կետեր, որքան ուղիղ հատվածը:

Տարածական հավերժության այրվող այրվող սենսացիան ցնցող է այնքան ժամանակ, քանի դեռ Երկնային կայսրության խնդիրները ընկալվում են աղիքներով, և ոչ թե մտքով: Հետո մի պիրսինգ զանգ « անսպառություն«Աստիճանաբար խուլանալով, իսկ իրականությունից այրվելով՝ մարդը թաքնվում է հորինված աշխարհում։ Դուք դեռ չեք կարող լավ թաքնվել:

Գաղափարների աշխարհում անսահմանությունը հայտնվում է այլ կերպարանքով։ Ի՞նչ առումով կա բնական սերիալ։ Որպես ծավալվող գործընթաց, թե որպես ավարտված գործընթաց։ Բնական թվերը հնարավոր է կառուցել, թե՞ դրանք արդեն հասանելի են: Սկզբում խնդիրը

սխոլաստիկայի հոտեր. Մի՞նն է, թվում է։ Հետևանքներ չկան։

Հետևանքները, սակայն, ահռելի են։ Որպես այլընտրանք, ստացվում են երկու տարբեր մաթեմատիկա: Մեկը կառուցողական է, որը թույլ չի տալիս գիտակցել անսահմանությունն իր ողջ անսահմանությամբ։ Մյուսը սովորական է, ամենակեր։

Անսահմանության առկայությունից փոքրիկ անախորժություններ առաջանում են արդեն տարրական

այնպիսի իրավիճակներ, ինչպիսիք են, երբ n ↔ n ^ 2 մեկ առ մեկ համապատասխանության առկայությունը հուշում է, որ կան այնքան ամբողջ թվեր, որքան քառակուսիներ: Օրինակը վաղուց իջել է ատամները, բայց իր ամենապարզ ձևով այն արտացոլում է խնդրի առկայությունը։ Ստացվում է, ի վերջո, եթե ինչ-որ մեկը ինձնից ամեն օր վերցնի 10 ռուբլի և տա՝ մեկ, ապա երբ գործընթացը ավարտվի, մենք կհրաժարվենք։ Որովհետև եթե շարքն արդեն տեղի է ունեցել, n-րդ ռուբլին ինձ տրվել է n-րդ օրը: Պարադոքսն, իհարկե, չարժե, քանի որ գործընթացը երբեք չի ավարտվի, կարծում է հինգերորդ դասարանցին։

Ինչ վերաբերում է p / q կոտորակներին: Նրանք բոլորը «արդեն գոյություն ունեն» հատվածում: Նրանք այստեղ են, դրանք մեկ առ մեկ ավելացնելու կարիք չունեն։ Այնպես, որ - " վերջավոր չափերի թակարդ անսահմանության համար«. Քիչ

դրամապանակ, որտեղ տեղադրված են բոլոր ֆրակցիաները: Եվ երկուսի արմատը, ինչպես ավարտված անսահմանություն, տասնորդական կոտորակի անսահմանության պատճառով։ Հետևաբար, բազմությունների տեսությունը բոլոր հիմքերն ունի անսահմանությունը որպես « տրված«. Ուրիշ բան, որ սրա նկատմամբ որոշակի պահանջներ են դրվում, որպեսզի հակասություններ չլինեն։

Այնուամենայնիվ, հենց որ ինչ-որ բան ընդունում ես, քաշքշուկը սկսվում է։ Անսահմանությունները հորդում են, և հետ

դրանք ինչ-որ կերպ պետք է կառավարել: Սա արվեց Գեորգ Կանտոր, ով ստեղծել է բազմությունների տեսությունը։ Կատարված հեղափոխությունը հաստատում է հայտնի թեզը. ճշմարտությունը ծնվում է որպես հերետիկոսություն և մահանում է որպես սովորական«. Հիմնական գաղափարներն այսօր հասանելի են բոլորին։ Ա" ապա«անհնար

ինչ-որ մեկին բացատրելն էր: Ինտուիցիան դիմադրեց։ Հիմա հիվանդությունը արմատավորվել է, տարակուսանքը չորացել է։

Կոմպլեկտների ուսումնասիրությունը հիմնված էր մեկ առ մեկ համապատասխանության Kantor գործիքի վրա: X, Y բազմությունները համարժեք են, եթե դրանց տարրերի միջև կարելի է մեկ առ մեկ համապատասխանություն հաստատել:

Համարժեքության հարաբերություն ռեֆլեկտիվ կերպովև անցողիկ կերպովորը թույլ է տալիս կոտրել ամեն ինչ

սահմանում է համարժեքության դասեր: X բազմության համարժեքության դասը կոչվում է դրա կարդինալություն և նշվում է որպես | X |: Կոմպլեկտները պատվիրված են ըստ կարդինալության՝ օգտագործելով բնական հնարք:

Բնական շարքին համարժեք բազմությունները կոչվում են հաշվելի։ Ցանկացած հաջորդականություն հաշվելի է: Տասնորդական կոտորակները դիտարկելը նոր երևույթի առաջ է. Նման թվերի բազմությունը (շարունակություն) պարզվում է, որ անհաշվելի է։

Պատմական փորձը հաստատել, որ հատվածը և քառակուսին x-ը տարբեր հզորություններ ունեն, շատ ցավալի էր: Պարզվեց՝ նույնը։ Աշխարհը նման ցնցում չի ստացել Գալիլեոյի ժամանակներից ի վեր, երբ պարզվեց, որ բոլոր մարմինները նույնն են ընկնում։

արագացում.

Ինչ էլ որ լինի, անսահմանությունը տեղ է գրավել արևի տակ։ Առանց դրա մաթեմատիկայի մեջ ամեն ինչ «կկանգներ»։ Yes ~ it stands - կառուցողական մաթեմատիկայի մեջ, որտեղ չի տեղավորվում - սովորական։ Կառուցողական թվերի հավասարություններն ու անհավասարությունները ամենից հաճախ չեն ստուգվում, հաջորդականությունները մերձենալու տեղ չունեն, սահմանները չկան, շարունակականությունը միայն երազանք է, և ընդհանրապես ամեն ինչ փլուզվում է։ Սարսափելի պատկեր. Անգամ դժվար է գնահատել աղետի չափը։ Հետեւաբար, անսահմանությունը գրեթե նույնքան օգտակար է, որքան «մեկը»։ Մետաղադրամի մյուս երեսը, ասես. Մի տեսակ անոթ մի բանի համար, որը «գոյություն չունի»: