Kemajuan geometris tidak kalah pentingnya dalam matematika dibandingkan dengan aritmatika. Barisan geometri adalah barisan bilangan b1, b2,..., b[n], yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Angka ini, yang juga mencirikan laju pertumbuhan atau penurunan perkembangan, disebut penyebut barisan geometri dan menunjukkan
Untuk menyatakan secara lengkap suatu barisan geometri, selain penyebutnya, perlu juga diketahui atau ditentukan suku pertamanya. Jika penyebutnya bernilai positif, maka barisan tersebut merupakan barisan monotonik, dan jika barisan bilangan tersebut monotonik menurun dan jika meningkat secara monoton. Kasus ketika penyebutnya sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam praktiknya, karena kita memiliki barisan bilangan yang identik, dan penjumlahannya bukanlah kepentingan praktis.
Istilah umum barisan geometri dihitung dengan rumus
Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri ditentukan oleh rumus
Mari kita lihat solusi untuk masalah deret geometri klasik. Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana untuk dipahami.
Contoh 1. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 27 dan penyebutnya adalah 1/3. Tentukan enam suku pertama barisan geometri tersebut.
Solusi: Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam bentuk
Untuk perhitungannya kita menggunakan rumus suku ke-n suatu barisan geometri
Berdasarkan hal tersebut, kami menemukan syarat-syarat perkembangan yang tidak diketahui
Seperti yang Anda lihat, menghitung suku-suku suatu barisan geometri tidaklah sulit. Perkembangannya sendiri akan terlihat seperti ini
Contoh 2. Tiga suku pertama suatu barisan geometri diberikan: 6; -12; 24. Tentukan penyebut dan suku ketujuhnya.
Penyelesaian: Kita menghitung penyebut barisan geomitri berdasarkan definisinya
Kita memperoleh barisan geometri bolak-balik yang penyebutnya sama dengan -2. Suku ketujuh dihitung dengan menggunakan rumus
Ini menyelesaikan masalahnya.
Contoh 3 Suatu barisan geometri dinyatakan oleh dua sukunya 
. Temukan suku kesepuluh dari perkembangan tersebut.
Larutan:
Mari kita tuliskan nilai yang diberikan menggunakan rumus
Menurut aturan, kita perlu mencari penyebutnya dan kemudian mencari nilai yang diinginkan, tetapi untuk suku kesepuluh kita punya
Rumus yang sama dapat diperoleh berdasarkan manipulasi sederhana dengan data masukan. Bagilah suku keenam deret tersebut dengan suku lain, sehingga kita peroleh
Jika nilai yang dihasilkan dikalikan dengan suku keenam, kita mendapatkan suku kesepuluh
Jadi, untuk masalah seperti itu, dengan menggunakan transformasi sederhana dengan cara yang cepat, Anda dapat menemukan solusi yang tepat.
Contoh 4 Perkembangan geometri diberikan dengan rumus berulang
Temukan penyebut barisan geometri dan jumlah enam suku pertama.
Larutan:
Mari kita tuliskan data yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan
Nyatakan penyebutnya dengan membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama
Mari kita cari suku pertama barisan dari persamaan pertama
Mari kita hitung lima suku berikut untuk mencari jumlah barisan geometri
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri sangat sederhana. Baik secara makna maupun tampilannya secara umum. Namun ada berbagai macam masalah pada rumus suku ke-n - dari yang sangat primitif hingga yang cukup serius. Dan dalam proses perkenalan kami, kami pasti akan mempertimbangkan keduanya. Baiklah, mari berkenalan?)
Jadi, sebenarnya untuk memulainya rumusN
Ini dia:
bn = B 1 · qn -1
Rumusnya hanyalah rumus, tidak ada yang ghaib. Tampilannya bahkan lebih sederhana dan ringkas dibandingkan formula serupa. Arti rumusnya juga sesederhana sepatu bot felt.
Rumus ini memungkinkan Anda menemukan anggota barisan geometri APAPUN DENGAN NOMORNYA " N".
Seperti yang Anda lihat, maknanya adalah analogi lengkap dengan perkembangan aritmatika. Kita mengetahui bilangan n - kita juga dapat menghitung suku di bawah bilangan ini. Apapun yang kita inginkan. Tanpa berulang kali mengalikan dengan "q" berkali-kali. Itulah intinya.)
Saya memahami bahwa pada tingkat pengerjaan perkembangan ini, semua besaran yang termasuk dalam rumus seharusnya sudah jelas bagi Anda, tetapi saya tetap menganggap tugas saya untuk menguraikan masing-masing besaran tersebut. Untuk berjaga-jaga.
Jadi, ini dia:
B 1 – Pertama istilah barisan geometri;
Q – ;
N- nomor anggota;
bn – ke-n (Nth) suku suatu barisan geometri.
Rumus ini menghubungkan empat parameter utama dari setiap deret geometri - BN, B 1 , Q Dan N. Dan semua permasalahan perkembangan berkisar pada empat tokoh kunci ini.
“Bagaimana cara menghilangkannya?”– Saya mendengar pertanyaan aneh... Dasar! Lihat!
Apa yang setara dengan Kedua anggota kemajuan? Tidak masalah! Kami menulis langsung:
b 2 = b 1 ·q
Bagaimana dengan anggota ketiga? Tidak masalah juga! Kami mengalikan suku kedua sekali lagi aktifQ.
Seperti ini:
B 3 = b 2 q
Sekarang mari kita ingat bahwa suku kedua, pada gilirannya, sama dengan b 1 ·q dan substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan kita:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Kita mendapatkan:
B 3 = b 1 ·q 2
Sekarang mari kita baca entri kami dalam bahasa Rusia: ketiga suku sama dengan suku pertama dikalikan q in Kedua derajat. Apa kau mengerti? Belum? Oke, satu langkah lagi.
Apa suku keempat? Semua sama! Berkembang biak sebelumnya(yaitu suku ketiga) pada q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Total:
B 4 = b 1 ·q 3
Dan sekali lagi kami menerjemahkan ke dalam bahasa Rusia: keempat suku sama dengan suku pertama dikalikan q in ketiga derajat.
Dan seterusnya. Jadi gimana? Apakah Anda menangkap polanya? Ya! Untuk suku apa pun dengan bilangan berapa pun, jumlah faktor identik q (yaitu, derajat penyebutnya) akan selalu sama dengan satu kurang dari jumlah anggota yang diinginkanN.
Oleh karena itu, rumus kami adalah, tanpa opsi:
b n =B 1 · qn -1
Itu saja.)
Baiklah, mari kita selesaikan masalahnya, ya?)
Memecahkan masalah rumusNsuku ke suatu barisan geometri.
Mari kita mulai, seperti biasa, dengan penerapan rumus secara langsung. Inilah masalah umum:
Diketahui secara deret geometri B 1 = 512 dan Q = -1/2. Temukan suku kesepuluh dari perkembangan tersebut.
Tentu saja masalah ini bisa diselesaikan tanpa rumus sama sekali. Langsung dalam arti deret geometri. Tapi kita perlu pemanasan dulu dengan rumus suku ke-n kan? Di sini kita melakukan pemanasan.
Data kami untuk menerapkan rumus tersebut adalah sebagai berikut.
Anggota pertama diketahui. Ini 512.
B 1 = 512.
Penyebut perkembangannya juga diketahui: Q = -1/2.
Tinggal mencari tahu banyaknya anggota n. Tidak masalah! Apakah kita tertarik dengan semester kesepuluh? Jadi kita substitusikan sepuluh, bukan n ke dalam rumus umum.
Dan hati-hati menghitung aritmatika:
Jawaban 1
Seperti yang Anda lihat, suku kesepuluh dari perkembangan tersebut ternyata negatif. Tidak mengherankan: penyebut perkembangan kita adalah -1/2, yaitu. negatif nomor. Dan ini memberitahu kita bahwa tanda-tanda kemajuan kita bergantian, ya.)
Semuanya sederhana di sini. Ini adalah soal serupa, tetapi sedikit lebih rumit dalam hal perhitungannya.
Diketahui secara deret geometri:
B 1 = 3
Temukan suku ketiga belas dari perkembangan tersebut.
Semuanya sama, hanya saja kali ini penyebut perkembangannya adalah irasional. Akar dari dua. Ya, tidak apa-apa. Rumusnya bersifat universal, bisa mengatasi angka berapa pun.
Kami bekerja langsung sesuai rumus:
Rumusnya, tentu saja, berfungsi sebagaimana mestinya, tapi... di sinilah beberapa orang terjebak. Apa yang harus dilakukan selanjutnya dengan root? Bagaimana cara menaikkan root ke pangkat dua belas?
Bagaimana-bagaimana... Anda harus memahami bahwa rumus apa pun, tentu saja, adalah hal yang baik, tetapi pengetahuan tentang semua matematika sebelumnya tidak dibatalkan! Cara membangun? Ya, ingat sifat-sifat derajat! Mari kita ubah akarnya menjadi derajat pecahan dan – menurut rumus menaikkan derajat ke suatu derajat.
Seperti ini:
Jawaban: 192
Dan itu saja.)
Apa kesulitan utama dalam menerapkan rumus suku ke-n secara langsung? Ya! Kesulitan utamanya adalah bekerja dengan gelar! Yakni, menaikkan bilangan negatif, pecahan, akar, dan konstruksi serupa menjadi pangkat. Jadi bagi yang mempunyai masalah dengan hal ini, silakan ulangi derajat dan sifat-sifatnya! Kalau tidak, kamu juga akan memperlambat topik ini, ya...)
Sekarang mari kita selesaikan masalah pencarian yang umum salah satu elemen rumus, jika semua yang lain diberikan. Agar berhasil mengatasi masalah seperti itu, resepnya seragam dan sangat sederhana - tulis rumusnyaN-anggota secara umum! Tepatnya di buku catatan sebelah kondisinya. Lalu dari kondisi tersebut kita mengetahui apa yang diberikan kepada kita dan apa yang kurang. Dan kami menyatakan nilai yang diinginkan dari rumus. Semua!
Misalnya, masalah yang tidak berbahaya.
Suku kelima suatu barisan geometri yang penyebutnya 3 adalah 567. Tentukan suku pertama barisan tersebut.
Tidak ada yang rumit. Kami bekerja langsung sesuai mantra.
Mari kita tuliskan rumus suku ke-n!
bn = B 1 · qn -1
Apa yang telah diberikan kepada kita? Pertama, penyebut perkembangannya diberikan: Q = 3.
Apalagi kita diberikan anggota kelima: B 5 = 567 .
Semua? TIDAK! Kami juga telah diberi nomor n! Ini lima: n = 5.
Saya harap Anda sudah mengerti apa yang ada di rekaman itu B 5 = 567 dua parameter disembunyikan sekaligus - ini adalah suku kelima itu sendiri (567) dan nomornya (5). Saya sudah membicarakan hal ini dalam pelajaran serupa, namun menurut saya hal ini layak disebutkan di sini juga.)
Sekarang kita substitusikan data kita ke dalam rumus:
567 = B 1 ·3 5-1
Kami melakukan aritmatika, menyederhanakan dan mendapatkan persamaan linier sederhana:
81 B 1 = 567
Kami memecahkan dan mendapatkan:
B 1 = 7
Seperti yang Anda lihat, tidak ada masalah dalam menemukan suku pertama. Tapi saat mencari penyebutnya Q dan angka N Mungkin juga ada kejutan. Dan Anda juga perlu bersiap menghadapinya (kejutan), ya.)
Misalnya saja masalah ini:
Suku kelima suatu barisan geometri yang penyebutnya positif adalah 162, dan suku pertama barisan tersebut adalah 2. Tentukan penyebut barisan tersebut.
Kali ini kita diberikan suku pertama dan kelima, dan diminta mencari penyebut barisan tersebut. Ini dia.
Kami menulis rumusnyaNanggota ke-!
bn = B 1 · qn -1
Data awal kami adalah sebagai berikut:
B 5 = 162
B 1 = 2
N = 5
Nilai yang hilang Q. Tidak masalah! Mari kita cari sekarang.) Kita substitusikan semua yang kita ketahui ke dalam rumus.
Kita mendapatkan:
162 = 2Q 5-1
2 Q 4 = 162
Q 4 = 81
Persamaan sederhana derajat keempat. Dan sekarang - dengan hati-hati! Pada tahap penyelesaian ini, banyak siswa yang langsung dengan senang hati mengekstrak akar kata (derajat keempat) dan mendapatkan jawabannya Q=3 .
Seperti ini:
q4 = 81
Q = 3
Namun sebenarnya, ini adalah jawaban yang belum selesai. Lebih tepatnya, tidak lengkap. Mengapa? Intinya adalah jawabannya Q = -3 juga cocok: (-3) 4 juga akan menjadi 81!
Hal ini karena persamaan daya xn = A selalu begitu dua akar yang berlawanan pada bahkanN . Dengan plus dan minus:
Keduanya cocok.
Misalnya, ketika memutuskan (mis. Kedua derajat)
x 2 = 9
Entah kenapa Anda tidak kaget dengan penampilannya dua akar x=±3? Di sini sama saja. Dan dengan yang lainnya bahkan derajat (keempat, keenam, kesepuluh, dst.) akan sama. Detailnya ada di topik tentang
Oleh karena itu, solusi yang tepat adalah:
Q 4 = 81
Q= ±3
Oke, kami sudah memilah tanda-tandanya. Mana yang benar - plus atau minus? Baiklah, mari kita baca kembali rumusan masalahnya untuk mencari informasi tambahan. Tentu saja, mungkin tidak ada, tetapi dalam masalah ini informasi tersebut tersedia. Kondisi kami menyatakan dalam teks biasa bahwa perkembangan diberikan penyebut positif.
Oleh karena itu jawabannya jelas:
Q = 3
Semuanya sederhana di sini. Menurut Anda apa yang akan terjadi jika rumusan masalahnya seperti ini:
Suku kelima suatu barisan geometri adalah 162, dan suku pertama barisan tersebut adalah 2. Tentukan penyebut barisan tersebut.
Apa bedanya? Ya! Dalam kondisi Tidak ada tidak disebutkan tanda penyebutnya. Baik secara langsung maupun tidak langsung. Dan di sini masalahnya sudah ada dua solusi!
Q = 3 Dan Q = -3
Ya ya! Baik dengan plus maupun minus.) Secara matematis, fakta ini berarti ada dua kemajuan, yang sesuai dengan kondisi permasalahan. Dan masing-masing mempunyai penyebutnya sendiri. Hanya untuk bersenang-senang, berlatihlah dan tuliskan masing-masing lima suku pertama.)
Sekarang mari kita latihan mencari nomor anggotanya. Masalah ini paling sulit ya. Tapi juga lebih kreatif.)
Diketahui barisan geometri:
3; 6; 12; 24; …
Berapakah angka dalam perkembangan ini yang merupakan angka 768?
Langkah pertama masih sama: tulis rumusnyaNanggota ke-!
bn = B 1 · qn -1
Dan sekarang, seperti biasa, kami mengganti data yang kami ketahui ke dalamnya. Hm... tidak berhasil! Dimana suku pertamanya, dimana penyebutnya, dimana sisanya?!
Dimana, dimana... Mengapa kita membutuhkan mata? Mengepakkan bulu mata Anda? Kali ini perkembangannya diberikan kepada kita langsung dalam bentuk urutan. Bisakah kita melihat anggota pertama? Kami melihat! Ini adalah rangkap tiga (b 1 = 3). Bagaimana dengan penyebutnya? Kami belum melihatnya, tapi sangat mudah untuk menghitungnya. Jika, tentu saja, Anda mengerti...
Jadi kami menghitung. Langsung menurut arti suatu barisan geometri: kita ambil salah satu sukunya (kecuali suku pertama) dan membaginya dengan suku sebelumnya.
Setidaknya seperti ini:
Q = 24/12 = 2
Apa lagi yang kita ketahui? Kita juga mengetahui suku tertentu dari perkembangan ini, sama dengan 768. Di bawah bilangan tertentu n:
bn = 768
Kami tidak tahu nomornya, tapi tugas kami justru menemukannya.) Jadi kami mencari. Kami telah mengunduh semua data yang diperlukan untuk substitusi ke dalam rumus. Tanpa Anda sadari.)
Di sini kami mengganti:
768 = 3 2N -1
Mari kita lakukan hal dasar - bagi kedua ruas dengan tiga dan tulis ulang persamaannya dalam bentuk biasa: yang tidak diketahui ada di sebelah kiri, yang diketahui ada di sebelah kanan.
Kita mendapatkan:
2 N -1 = 256
Ini adalah persamaan yang menarik. Kita perlu menemukan "n". Apa yang tidak biasa? Ya, saya tidak membantah. Sebenarnya ini adalah hal yang paling sederhana. Disebut demikian karena tidak diketahui (dalam hal ini adalah bilangan N) biaya masuk indikator derajat.
Pada tahap belajar barisan geometri (ini kelas sembilan), mereka tidak mengajarkan cara menyelesaikan persamaan eksponensial ya... Ini topik untuk SMA. Tapi tidak ada yang menakutkan. Meskipun Anda tidak tahu cara menyelesaikan persamaan tersebut, mari kita coba mencari persamaan kita N, dipandu oleh logika sederhana dan akal sehat.
Mari kita mulai berbicara. Di sebelah kiri kita memiliki deuce sampai tingkat tertentu. Kami belum tahu apa sebenarnya gelar ini, tapi itu tidak menakutkan. Tapi kita tahu pasti bahwa derajat ini sama dengan 256! Jadi kita ingat berapa angka dua yang memberi kita 256. Apakah Anda ingat? Ya! DI DALAM kedelapan derajat!
256 = 2 8
Jika Anda tidak ingat atau kesulitan mengenali derajatnya, tidak apa-apa: kita cukup mengkuadratkan dua, kubus, keempat, kelima, dan seterusnya. Seleksi sebenarnya, tetapi pada level ini akan bekerja dengan cukup baik.
Dengan satu atau lain cara, kita mendapatkan:
2 N -1 = 2 8
N-1 = 8
N = 9
Jadi 768 adalah kesembilan anggota kemajuan kita. Itu saja, masalah terpecahkan.)
Jawaban: 9
Apa? Membosankan? Bosan dengan hal-hal dasar? Setuju. Dan aku juga. Mari kita pindah ke level berikutnya.)
Tugas yang lebih kompleks.
Sekarang mari kita selesaikan masalah yang lebih menantang. Tidak terlalu keren, tapi membutuhkan sedikit usaha untuk mendapatkan jawabannya.
Misalnya yang ini.
Tentukan suku kedua suatu barisan geometri jika suku keempatnya -24 dan suku ketujuhnya 192.
Ini adalah genre klasik. Ada dua istilah perkembangan yang berbeda yang diketahui, namun istilah lain perlu ditemukan. Apalagi semua anggota BUKAN bertetangga. Yang awalnya membingungkan, ya...
Untuk mengatasi masalah seperti itu kita akan mempertimbangkan dua metode. Metode pertama bersifat universal. Aljabar. Bekerja sempurna dengan data sumber apa pun. Itu sebabnya kita akan mulai dengan itu.)
Kami menjelaskan setiap istilah sesuai dengan rumus Nanggota ke-!
Semuanya persis sama dengan perkembangan aritmatika. Hanya kali ini kami bekerja sama lain rumus umum. Itu saja.) Tapi intinya sama: kita ambil dan satu per satu Kita substitusikan data awal kita ke dalam rumus suku ke-n. Untuk setiap anggota - miliknya sendiri.
Untuk suku keempat kami menulis:
B 4 = B 1 · Q 3
-24 = B 1 · Q 3
Makan. Satu persamaan sudah siap.
Untuk suku ketujuh kami menulis:
B 7 = B 1 · Q 6
192 = B 1 · Q 6
Secara total, kami mendapat dua persamaan perkembangan yang sama .
Kami merakit sistem dari mereka:
Meski terlihat mengancam, sistemnya cukup sederhana. Solusi yang paling jelas adalah substitusi sederhana. Kami mengungkapkan B 1 dari persamaan atas dan substitusikan ke persamaan bawah:
Setelah sedikit mengutak-atik persamaan terbawah (mengurangi pangkat dan membaginya dengan -24), kita mendapatkan:
Q 3 = -8
Omong-omong, persamaan yang sama ini dapat dicapai dengan cara yang lebih sederhana! Yang mana? Sekarang saya akan menunjukkan kepada Anda rahasia lain, tetapi cara yang sangat indah, kuat dan berguna untuk memecahkan sistem seperti itu. Sistem seperti itu, yang persamaannya meliputi hanya berfungsi. Setidaknya dalam satu. Ditelepon metode pembagian satu persamaan ke persamaan lainnya.
Jadi, kami memiliki sistem di depan kami:
Dalam kedua persamaan di sebelah kiri - bekerja, dan di sebelah kanan hanyalah angka. Ini pertanda baik.) Mari kita ambil dan... bagilah, katakanlah, persamaan bawah dengan persamaan atas! Apa artinya, mari kita bagi satu persamaan dengan persamaan lainnya? Sangat sederhana. Mari kita ambil sisi kiri satu persamaan (lebih rendah) dan membagi dia aktif sisi kiri persamaan lain (atas). Sisi kanannya serupa: sisi kanan satu persamaan membagi pada sisi kanan lain.
Seluruh proses pembagian terlihat seperti ini:
Sekarang, dengan mengurangi segala sesuatu yang dapat dikurangi, kita mendapatkan:
Q 3 = -8
Apa kelebihan metode ini? Ya, karena dalam proses pembagian seperti itu, segala sesuatu yang buruk dan tidak menyenangkan dapat dikurangi dengan aman dan persamaan yang sama sekali tidak berbahaya tetap ada! Inilah mengapa sangat penting untuk memilikinya perkalian saja dalam setidaknya satu persamaan sistem. Tidak ada perkalian – tidak ada yang dikurangi ya…
Secara umum, metode ini (seperti banyak metode penyelesaian sistem non-sepele lainnya) bahkan layak mendapat pelajaran tersendiri. Saya pasti akan memeriksanya lebih detail. Suatu hari nanti…
Namun, tidak masalah bagaimana tepatnya Anda menyelesaikan sistemnya, bagaimanapun juga, sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:
Q 3 = -8
Tidak masalah: ekstrak akar pangkat tiga dan selesai!
Harap dicatat bahwa tidak perlu memberi tanda plus/minus di sini saat mengekstraksi. Akar kita berderajat ganjil (ketiga). Dan jawabannya juga sama ya.)
Jadi, penyebut perkembangannya telah ditemukan. dikurangi dua. Besar! Prosesnya sedang berlangsung.)
Untuk suku pertama (misalnya, dari persamaan atas) kita memperoleh:
Besar! Kita tahu suku pertamanya, kita tahu penyebutnya. Dan sekarang kami memiliki kesempatan untuk menemukan anggota perkembangan mana pun. Termasuk yang kedua.)
Untuk semester kedua semuanya cukup sederhana:
B 2 = B 1 · Q= 3·(-2) = -6
Jawaban: -6
Jadi, kami telah menguraikan metode aljabar untuk menyelesaikan masalah tersebut. Sulit? Tidak juga, saya setuju. Panjang dan membosankan? Iya tentu saja. Namun terkadang Anda bisa mengurangi jumlah pekerjaan secara signifikan. Untuk ini ada metode grafis. Bagus dan akrab bagi kami.)
Mari kita menggambar sebuah masalah!
Ya! Tepat. Sekali lagi kami menggambarkan perkembangan kami pada sumbu bilangan. Tidak perlu mengikuti penggaris, tidak perlu menjaga interval yang sama antar suku (yang, omong-omong, tidak akan sama, karena perkembangannya geometris!), tetapi cukup secara skematis Mari menggambar urutan kita.
Saya mendapatkannya seperti ini:
Sekarang lihat gambarnya dan cari tahu. Berapa banyak faktor identik "q" yang terpisah keempat Dan ketujuh anggota? Benar, tiga!
Oleh karena itu, kami berhak menulis:
-24·Q 3 = 192
Dari sini sekarang mudah untuk menemukan q:
Q 3 = -8
Q = -2
Bagus sekali, kami sudah memiliki penyebutnya di saku kami. Sekarang mari kita lihat lagi gambarnya: berapa banyak penyebut yang berada di antara keduanya Kedua Dan keempat anggota? Dua! Oleh karena itu, untuk mencatat hubungan antara suku-suku tersebut, kita akan membuat penyebutnya kuadrat.
Jadi kami menulis:
B 2 · Q 2 = -24 , Di mana B 2 = -24/ Q 2
Kami mengganti penyebut yang kami temukan ke dalam ekspresi b 2, menghitung dan mendapatkan:
Jawaban: -6
Seperti yang Anda lihat, semuanya jauh lebih sederhana dan lebih cepat dibandingkan melalui sistem. Terlebih lagi, di sini kita bahkan tidak perlu menghitung suku pertama sama sekali! Sama sekali.)
Inilah cara yang sederhana dan jelas - mudah. Namun ia juga mempunyai kelemahan yang serius. Apakah Anda dapat menebaknya? Ya! Ini hanya bagus untuk kemajuan yang sangat singkat. Dimana jarak antar anggota yang kami minati tidak terlalu jauh. Tapi di kasus lain udah susah buat ngambil gambarannya ya... Lalu kita selesaikan masalahnya secara analitis, lewat sistem.) Dan sistem adalah sesuatu yang universal. Mereka dapat menangani nomor apa pun.
Tantangan epik lainnya:
Suku kedua suatu barisan geometri lebih besar 10 dari suku pertama, dan suku ketiga lebih besar 30 dari suku kedua. Temukan penyebut perkembangannya.
Apa keren? Sama sekali tidak! Semua sama. Sekali lagi kami menerjemahkan pernyataan masalah ke dalam aljabar murni.
1) Kami menjelaskan setiap istilah sesuai dengan rumus Nanggota ke-!
Suku kedua: b 2 = b 1 q
Suku ketiga: b 3 = b 1 q 2
2) Kita tuliskan hubungan antar anggota dari rumusan masalah.
Kita membaca syaratnya: Suku kedua suatu barisan geometri 10 lebih besar dari suku pertama. Berhenti, ini berharga!
Jadi kami menulis:
B 2 = B 1 +10
Dan kami menerjemahkan frasa ini ke dalam matematika murni:
B 3 = B 2 +30
Kami mendapat dua persamaan. Mari kita gabungkan mereka ke dalam sebuah sistem:
Sistemnya terlihat sederhana. Tapi ada terlalu banyak indeks berbeda untuk huruf-hurufnya. Mari kita gantikan suku kedua dan ketiga dengan suku pertama dan penyebutnya! Apakah sia-sia kita melukisnya?
Kita mendapatkan:
Tapi sistem seperti itu bukan lagi sebuah anugerah ya.. Bagaimana cara mengatasinya? Sayangnya, tidak ada mantra rahasia universal untuk memecahkan masalah rumit nonlinier Tidak ada sistem dalam matematika dan tidak mungkin ada. Ini luar biasa! Tetapi hal pertama yang harus terlintas dalam pikiran Anda ketika mencoba memecahkan masalah yang sulit adalah mencari tahu Namun bukankah salah satu persamaan sistem direduksi menjadi bentuk indah yang memungkinkan, misalnya, dengan mudah menyatakan salah satu variabel ke dalam variabel lain?
Mari kita cari tahu. Persamaan pertama dari sistem ini jelas lebih sederhana daripada persamaan kedua. Kami akan menyiksanya.) Bukankah sebaiknya kita mencoba dari persamaan pertama sesuatu mengungkapkan melalui sesuatu? Karena kita ingin mencari penyebutnya Q, maka akan sangat menguntungkan bagi kita untuk berekspresi B 1 melalui Q.
Jadi mari kita coba melakukan prosedur ini dengan persamaan pertama, menggunakan persamaan lama yang bagus:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Semua! Jadi kami mengungkapkannya tidak perlu beri kami variabel (b 1) sampai diperlukan(Q). Ya, itu bukanlah ekspresi paling sederhana yang kami dapatkan. Semacam pecahan... Tapi sistem kami berada pada level yang layak, ya.)
Khas. Kami tahu apa yang harus dilakukan.
Kami menulis ODZ (Perlu!) :
q ≠ 1
Kami mengalikan semuanya dengan penyebut (q-1) dan menghapus semua pecahan:
10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)
Kami membagi semuanya dengan sepuluh, membuka tanda kurung, dan mengumpulkan semuanya dari kiri:
Q 2 – 4 Q + 3 = 0
Kami menyelesaikan hasilnya dan mendapatkan dua akar:
Q 1 = 1
Q 2 = 3
Hanya ada satu jawaban akhir: Q = 3 .
Jawaban: 3
Seperti yang Anda lihat, jalur untuk menyelesaikan sebagian besar masalah yang melibatkan rumus suku ke-n suatu barisan geometri selalu sama: baca dengan penuh perhatian kondisi masalah dan menggunakan rumus suku ke-n kami menerjemahkan semua informasi berguna ke dalam aljabar murni.
Yaitu:
1) Kami menjelaskan secara terpisah setiap istilah yang diberikan dalam soal sesuai dengan rumusNanggota ke-th.
2) Dari kondisi soal kita terjemahkan hubungan antar anggota ke dalam bentuk matematika. Kami menyusun persamaan atau sistem persamaan.
3) Kami memecahkan persamaan atau sistem persamaan yang dihasilkan, menemukan parameter perkembangan yang tidak diketahui.
4) Jika ada jawaban yang ambigu, kami membaca dengan cermat ketentuan tugas untuk mencari informasi tambahan (jika ada). Kami juga memeriksa respon yang diterima dengan ketentuan DL (jika ada).
Sekarang mari kita daftar masalah utama yang paling sering menimbulkan kesalahan dalam proses penyelesaian masalah deret geometri.
1. Aritmatika dasar. Operasi dengan pecahan dan bilangan negatif.
2. Jika ada masalah dengan setidaknya satu dari tiga poin ini, maka Anda pasti akan membuat kesalahan dalam topik ini. Sayangnya... Jadi jangan malas dan ulangi apa yang telah disebutkan di atas. Dan ikuti tautannya - pergi. Terkadang itu membantu.)
Rumus yang dimodifikasi dan berulang.
Sekarang mari kita lihat beberapa soal ujian yang umum dengan penyajian kondisi yang kurang familiar. Ya, ya, Anda dapat menebaknya! Ini diubah Dan berulang rumus suku ke-n. Kami telah menemukan rumus seperti itu dan mengerjakan perkembangan aritmatika. Semuanya serupa di sini. Intinya sama.
Misalnya, soal dari OGE ini:
Perkembangan geometri diberikan oleh rumus bn = 3 2 N . Tentukan jumlah suku pertama dan suku keempatnya.
Kali ini perkembangannya tidak seperti biasanya bagi kami. Berupa semacam rumus. Terus? Rumus ini adalah juga sebuah rumusNanggota ke-! Anda dan saya tahu bahwa rumus suku ke-n dapat ditulis baik dalam bentuk umum, menggunakan huruf, maupun untuk kemajuan tertentu. DENGAN spesifik suku pertama dan penyebutnya.
Dalam kasus kita, sebenarnya kita diberikan rumus suku umum untuk barisan geometri dengan parameter berikut:
B 1 = 6
Q = 2
Mari kita periksa?) Mari kita tuliskan rumus suku ke-n dalam bentuk umum dan substitusikan ke dalamnya B 1 Dan Q. Kita mendapatkan:
bn = B 1 · qn -1
bn= 6 2N -1
Kita sederhanakan menggunakan faktorisasi dan sifat-sifat pangkat, dan kita peroleh:
bn= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N
Seperti yang Anda lihat, semuanya adil. Namun tujuan kami bukan untuk mendemonstrasikan turunan dari rumus tertentu. Ini benar, penyimpangan liris. Murni untuk pemahaman.) Tujuan kami adalah menyelesaikan masalah sesuai dengan rumus yang diberikan kepada kami dalam kondisi. Apakah Anda mengerti?) Jadi kami langsung mengerjakan rumus yang dimodifikasi.
Kami menghitung suku pertama. Mari kita gantikan N=1 ke dalam rumus umum:
B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Seperti ini. Ngomong-ngomong, saya tidak akan malas dan sekali lagi menarik perhatian Anda pada kesalahan umum dalam perhitungan suku pertama. JANGAN, lihat rumusnya bn= 3 2N, segera buru-buru menulis bahwa suku pertama adalah tiga! Ini adalah kesalahan besar, ya...)
Ayo lanjutkan. Mari kita gantikan N=4 dan hitung suku keempat:
B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Dan terakhir, kami menghitung jumlah yang dibutuhkan:
B 1 + B 4 = 6+48 = 54
Jawaban: 54
Masalah lain.
Perkembangan geometri ditentukan oleh kondisi:
B 1 = -7;
bn +1 = 3 bn
Temukan suku keempat dari perkembangan tersebut.
Di sini perkembangannya diberikan oleh rumus berulang. Baiklah.) Cara bekerja dengan rumus ini – kami juga tahu.
Jadi kami bertindak. Selangkah demi selangkah.
1) Hitung dua berurutan anggota kemajuan.
Istilah pertama telah diberikan kepada kita. Dikurangi tujuh. Namun suku kedua berikutnya, dapat dengan mudah dihitung menggunakan rumus perulangan. Tentu saja, jika Anda memahami prinsip pengoperasiannya.)
Jadi kita menghitung suku kedua menurut yang terkenal pertama:
B 2 = 3 B 1 = 3·(-7) = -21
2) Hitung penyebut barisan tersebut
Tidak masalah juga. Lurus, mari kita bagi Kedua aktifkan Pertama.
Kita mendapatkan:
Q = -21/(-7) = 3
3) Tuliskan rumusnyaNanggota ke dalam bentuk biasa dan hitung anggota yang dibutuhkan.
Jadi, kita mengetahui suku pertamanya, begitu juga dengan penyebutnya. Jadi kami menulis:
bn= -7·3N -1
B 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Jawaban: -189
Seperti yang Anda lihat, mengerjakan rumus seperti itu untuk barisan geometri pada dasarnya tidak berbeda dengan rumus barisan aritmatika. Penting untuk memahami esensi umum dan arti dari rumus-rumus ini. Nah, kamu juga perlu paham tentang pengertian barisan geometri ya.) Agar tidak terjadi kesalahan bodoh.
Baiklah, mari kita putuskan sendiri?)
Tugas yang sangat mendasar untuk pemanasan:
1. Diberikan barisan geometri dimana B 1 = 243, sebuah Q = -2/3. Temukan suku keenam dari perkembangan tersebut.
2. Suku umum barisan geometri diberikan dengan rumus bn = 5∙2 N +1 . Temukan bilangan suku tiga digit terakhir dari perkembangan ini.
3. Perkembangan geometri diberikan oleh kondisi:
B 1 = -3;
bn +1 = 6 bn
Temukan suku kelima dari perkembangan tersebut.
Sedikit lebih rumit:
4. Diketahui barisan geometri:
B 1 =2048; Q =-0,5
Suku negatif keenam sama dengan apa?
Apa yang tampaknya sangat sulit? Sama sekali tidak. Logika dan pemahaman tentang arti barisan geometri akan menyelamatkan Anda. Nah, rumus suku ke-n tentunya.
5. Suku ketiga suatu barisan geometri adalah -14, dan suku kedelapan adalah 112. Tentukan penyebut barisan tersebut.
6. Jumlah suku pertama dan kedua suatu barisan geometri adalah 75, dan jumlah suku kedua dan ketiga adalah 150. Tentukan suku keenam barisan tersebut.
Jawaban (berantakan): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Itu hampir semuanya. Yang perlu kita lakukan hanyalah belajar berhitung jumlah n suku pertama suatu barisan geometri ya temukan perkembangan geometri yang menurun tanpa batas dan jumlahnya. Omong-omong, hal yang sangat menarik dan tidak biasa! Lebih lanjut tentang ini dalam pelajaran berikutnya.)
Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengetahui mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu kita dapat memberi nomor pada angka tersebut. Ini adalah contoh barisan bilangan:
Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.
Misalnya, untuk urutan kami:
Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-n.
Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .
Dalam kasus kami:
Jenis barisan yang paling umum adalah aritmatika dan geometri. Dalam topik ini kita akan berbicara tentang tipe kedua - perkembangan geometri.
Mengapa deret geometri diperlukan dan sejarahnya?
Bahkan di zaman kuno, biarawan matematikawan Italia Leonardo dari Pisa (lebih dikenal sebagai Fibonacci) menangani kebutuhan praktis perdagangan. Bhikkhu tersebut dihadapkan pada tugas untuk menentukan berapa jumlah anak timbangan terkecil yang dapat digunakan untuk menimbang suatu produk? Dalam karyanya, Fibonacci membuktikan bahwa sistem bobot seperti itu optimal: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang harus berurusan dengan deret geometri, yang mungkin pernah Anda dengar dan setidaknya Anda pahami secara umum. Setelah Anda memahami topiknya sepenuhnya, pikirkan mengapa sistem seperti itu optimal?
Saat ini, dalam praktik kehidupan, perkembangan geometris memanifestasikan dirinya ketika menginvestasikan uang di bank, ketika jumlah bunga dibebankan pada jumlah yang terakumulasi dalam rekening untuk periode sebelumnya. Dengan kata lain, jika Anda menaruh uang pada deposito berjangka di bank tabungan, maka setelah satu tahun simpanan tersebut akan bertambah sebesar jumlah aslinya, yaitu. jumlah baru akan sama dengan kontribusi dikalikan. Di tahun berikutnya, jumlah ini akan meningkat sebesar, yaitu. jumlah yang diperoleh saat itu akan dikalikan lagi dan seterusnya. Situasi serupa dijelaskan dalam masalah penghitungan yang disebut bunga majemuk- persentasenya diambil setiap kali dari jumlah yang ada di rekening, dengan memperhitungkan bunga sebelumnya. Kami akan membicarakan tugas-tugas ini nanti.
Masih banyak lagi kasus sederhana yang menerapkan perkembangan geometri. Misalnya, penyebaran influenza: satu orang menulari orang lain, mereka kemudian menulari orang lain, dan dengan demikian gelombang infeksi kedua adalah seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menulari orang lain... dan seterusnya.. .
Omong-omong, piramida keuangan, MMM yang sama, adalah perhitungan sederhana dan kering berdasarkan sifat-sifat deret geometri. Menarik? Mari kita cari tahu.
Kemajuan geometris.
Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan:
Anda akan langsung menjawab bahwa ini mudah dan nama barisan tersebut tergantung pada perbedaan anggotanya. Bagaimana dengan ini:
Jika Anda mengurangkan bilangan sebelumnya dari bilangan berikutnya, Anda akan melihat bahwa setiap kali Anda mendapatkan selisih baru (dan seterusnya), namun barisan tersebut pasti ada dan mudah diperhatikan - setiap bilangan berikutnya kali lebih besar dari bilangan sebelumnya!
Urutan bilangan seperti ini disebut perkembangan geometri dan ditunjuk.
Perkembangan geometri () adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.
Batasan suku pertama ( ) tidak sama dan tidak acak. Anggap saja tidak ada, dan suku pertamanya masih sama, dan q sama dengan, hmm.. biarlah, maka ternyata:
Setuju bahwa ini bukan lagi sebuah kemajuan.
Seperti yang anda pahami, kita akan mendapatkan hasil yang sama jika ada bilangan selain nol, a. Dalam kasus ini, tidak akan ada perkembangan, karena seluruh rangkaian bilangan akan semuanya nol, atau satu bilangan, dan sisanya adalah nol.
Sekarang mari kita bahas lebih detail tentang penyebut suatu barisan geometri, yaitu o.
Mari kita ulangi: - ini nomornya berapa kali setiap suku berikutnya berubah? perkembangan geometri.
Menurutmu bisa menjadi apa? Itu benar, positif dan negatif, tetapi bukan nol (kita membicarakannya sedikit lebih tinggi).
Mari kita asumsikan bahwa kita positif. Misalkan dalam kasus kita, a. Berapakah nilai suku kedua dan? Anda dapat dengan mudah menjawabnya:
Itu benar. Oleh karena itu, jika, maka semua suku-suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif.
Bagaimana jika hasilnya negatif? Misalnya, a. Berapakah nilai suku kedua dan?
Ini adalah cerita yang sangat berbeda
Coba hitung syarat-syarat perkembangan ini. Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki. Jadi, jika, maka tanda-tanda suku-suku barisan geometri itu berselang-seling. Artinya, jika Anda melihat suatu barisan yang anggota-anggotanya berganti tanda, maka penyebutnya negatif. Pengetahuan ini dapat membantu Anda menguji diri sendiri ketika memecahkan masalah pada topik ini.
Sekarang mari kita berlatih sedikit: coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan geometri dan mana yang merupakan barisan aritmatika:
Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
- Perkembangan geometri - 3, 6.
- Perkembangan aritmatika - 2, 4.
- Ini bukan barisan aritmatika atau geometri - 1, 5, 7.
Mari kita kembali ke perkembangan terakhir kita dan mencoba mencari anggotanya, seperti dalam aritmatika. Seperti yang sudah Anda duga, ada dua cara untuk menemukannya.
Kami secara berturut-turut mengalikan setiap suku dengan.
Jadi, suku ke-th barisan geometri yang dijelaskan adalah sama dengan.
Seperti yang sudah Anda duga, sekarang Anda sendiri akan mendapatkan rumus yang akan membantu Anda menemukan anggota barisan geometri mana pun. Atau apakah Anda sudah mengembangkannya sendiri, menjelaskan cara menemukan anggota ke-th langkah demi langkah? Jika ya, periksa kebenaran alasan Anda.
Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh mencari suku ke-th dari barisan ini:
Dengan kata lain:
Temukan sendiri nilai suku barisan geometri yang diberikan.
Telah terjadi? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kita mengalikan secara berurutan dengan setiap suku sebelumnya dari barisan geometri.
Mari kita coba untuk “mendepersonalisasikan” rumus ini - mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:
Rumus turunannya berlaku untuk semua nilai - baik positif maupun negatif. Periksa sendiri dengan menghitung suku-suku barisan geometri dengan ketentuan sebagai berikut: , a.
Apakah kamu menghitung? Mari kita bandingkan hasilnya:
Setuju bahwa suku suatu perkembangan dapat ditemukan dengan cara yang sama seperti suku, namun ada kemungkinan perhitungannya salah. Dan jika kita telah menemukan suku ke-th dari barisan geometri tersebut, lalu apa yang lebih sederhana daripada menggunakan bagian rumus yang “terpotong”.
Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas.
Baru-baru ini, kita berbicara tentang fakta bahwa itu bisa lebih besar atau lebih kecil dari nol, namun ada nilai khusus yang disebut deret geometri. menurun tanpa batas.
Menurut Anda mengapa nama ini diberikan?
Pertama, mari kita tuliskan beberapa barisan geometri yang terdiri dari suku-suku.
Katakanlah:
Kita melihat bahwa setiap suku berikutnya lebih kecil satu faktor dari suku sebelumnya, tetapi apakah akan ada bilangan? Anda akan segera menjawab - “tidak”. Itulah sebabnya ia terus berkurang tanpa batas - ia berkurang dan berkurang, tetapi tidak pernah menjadi nol.
Untuk memahami dengan jelas tampilannya secara visual, mari kita coba menggambar grafik perkembangan kita. Jadi, untuk kasus kita, rumusnya berbentuk sebagai berikut:
Pada grafik kita terbiasa memplot ketergantungan, oleh karena itu:
Inti dari ekspresi tersebut tidak berubah: pada entri pertama kami menunjukkan ketergantungan nilai anggota barisan geometri pada bilangan urutnya, dan pada entri kedua kami hanya mengambil nilai anggota barisan geometri sebagai , dan menetapkan nomor urut bukan sebagai, tetapi sebagai. Yang perlu dilakukan hanyalah membuat grafik.
Mari kita lihat apa yang Anda punya. Berikut grafik yang saya buat:
Apakah kamu lihat? Fungsinya mengecil, cenderung nol, tetapi tidak pernah melewatinya, sehingga menurun tak terhingga. Mari kita tandai titik-titik kita pada grafik, sekaligus koordinat dan artinya:
Cobalah untuk menggambarkan secara skematis grafik suatu barisan geometri jika suku pertamanya juga sama. Analisa apa bedanya dengan grafik kita sebelumnya?
Apakah Anda berhasil? Berikut grafik yang saya buat:
Sekarang setelah Anda memahami sepenuhnya dasar-dasar topik barisan geometri: Anda tahu apa itu barisan geometri, Anda tahu cara mencari sukunya, dan Anda juga tahu apa itu barisan geometri yang menurun tak terhingga, mari kita beralih ke sifat utamanya.
Sifat perkembangan geometri.
Apakah Anda ingat sifat-sifat suku-suku suatu barisan aritmatika? Ya, ya, bagaimana cara mencari nilai suatu bilangan suatu perkembangan jika ada nilai sebelumnya dan selanjutnya dari suku-suku perkembangan tersebut. Apakah kamu ingat? Ini:
Sekarang kita dihadapkan pada pertanyaan yang persis sama tentang suku-suku barisan geometri. Untuk mendapatkan rumus seperti itu, mari kita mulai menggambar dan menalar. Soalnya, caranya sangat mudah, dan jika lupa, Anda bisa mengeluarkannya sendiri.
Mari kita ambil barisan geometri sederhana lainnya yang kita ketahui dan. Bagaimana cara menemukannya? Dengan perkembangan aritmatika itu mudah dan sederhana, tapi bagaimana dengan disini? Sebenarnya, tidak ada yang rumit dalam geometri juga - Anda hanya perlu menuliskan setiap nilai yang diberikan kepada kita sesuai rumus.
Anda mungkin bertanya, apa yang harus kita lakukan sekarang? Ya, sangat sederhana. Pertama, mari kita gambarkan rumus-rumus ini dalam sebuah gambar dan coba lakukan berbagai manipulasi dengannya untuk mendapatkan suatu nilai.
Mari kita abstrak dari angka-angka yang diberikan kepada kita, mari kita fokus hanya pada ekspresi mereka melalui rumus. Kita perlu mencari nilai yang disorot dengan warna oranye, mengetahui suku-suku yang berdekatan dengannya. Mari kita coba melakukan berbagai tindakan dengan mereka, yang hasilnya bisa kita peroleh.
Tambahan.
Mari kita coba menambahkan dua ekspresi dan kita mendapatkan:
Dari ungkapan ini, seperti yang Anda lihat, kami tidak dapat mengungkapkannya dengan cara apa pun, oleh karena itu, kami akan mencoba opsi lain - pengurangan.
Pengurangan.
Seperti yang Anda lihat, kami juga tidak dapat mengungkapkannya, oleh karena itu, mari kita coba mengalikan ekspresi ini satu sama lain.
Perkalian.
Sekarang perhatikan baik-baik apa yang kita miliki dengan mengalikan suku-suku barisan geometri yang diberikan kepada kita dibandingkan dengan apa yang perlu dicari:
Coba tebak apa yang saya bicarakan? Benar, untuk mencarinya kita perlu mengalikan akar kuadrat dari bilangan deret geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan:
Ini dia. Anda sendiri yang memperoleh properti perkembangan geometri. Cobalah untuk menulis rumus ini dalam bentuk umum. Telah terjadi?
Lupa syaratnya? Pikirkan mengapa itu penting, misalnya coba hitung sendiri. Apa yang akan terjadi dalam kasus ini? Benar sekali, benar-benar tidak masuk akal karena rumusnya terlihat seperti ini:
Oleh karena itu, jangan lupakan batasan ini.
Sekarang mari kita hitung apa persamaannya
Jawaban yang benar - ! Jika Anda tidak melupakan kemungkinan nilai kedua saat perhitungan, maka Anda hebat dan dapat segera melanjutkan ke pelatihan, dan jika Anda lupa, bacalah apa yang dibahas di bawah ini dan perhatikan mengapa kedua akar harus dituliskan dalam menjawab.
Mari kita menggambar kedua barisan geometri kita - yang satu memiliki nilai dan yang lainnya memiliki nilai dan memeriksa apakah keduanya berhak untuk ada:
Untuk memeriksa apakah barisan geometri tersebut ada atau tidak, perlu dilihat apakah semua suku-sukunya sama? Hitung q untuk kasus pertama dan kedua.
Lihat mengapa kita harus menulis dua jawaban? Karena tanda istilah yang dicari tergantung positif atau negatifnya! Dan karena kita tidak tahu apa itu, kita perlu menuliskan kedua jawaban tersebut dengan plus dan minus.
Sekarang setelah Anda menguasai poin-poin utama dan memperoleh rumus sifat-sifat barisan geometri, temukan, ketahui dan
Bandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang benar:
Bagaimana menurut anda, bagaimana jika kita tidak diberi nilai suku-suku barisan geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan, tetapi berjarak sama dari bilangan tersebut. Misalnya, kita perlu mencari, dan diberikan dan. Bisakah kita menggunakan rumus yang kita peroleh dalam kasus ini? Cobalah untuk mengkonfirmasi atau menyangkal kemungkinan ini dengan cara yang sama, dengan menjelaskan isi setiap nilai, seperti yang Anda lakukan saat pertama kali menurunkan rumus, di.
Apa yang kamu dapatkan?
Sekarang perhatikan baik-baik lagi.
dan dengan demikian:
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa rumus tersebut berhasil tidak hanya dengan tetangga dengan suku-suku barisan geometri yang diinginkan, tetapi juga dengan sama jauh dari apa yang dicari anggotanya.
Jadi, rumus awal kita berbentuk:
Artinya, jika pada kasus pertama kita mengatakan demikian, sekarang kita mengatakan bahwa bilangan tersebut dapat sama dengan bilangan asli apa pun yang lebih kecil. Yang utama adalah angkanya sama untuk kedua angka yang diberikan.
Berlatihlah dengan contoh spesifik, berhati-hatilah!
- , . Menemukan.
- , . Menemukan.
- , . Menemukan.
Diputuskan? Saya harap Anda sangat perhatian dan memperhatikan tangkapan kecil.
Mari kita bandingkan hasilnya.
Dalam dua kasus pertama, kami dengan tenang menerapkan rumus di atas dan mendapatkan nilai berikut:
Dalam kasus ketiga, setelah memeriksa dengan cermat nomor seri dari nomor-nomor yang diberikan kepada kami, kami memahami bahwa nomor-nomor tersebut tidak berjarak sama dari nomor yang kami cari: ini adalah nomor sebelumnya, tetapi dihilangkan pada suatu posisi, jadi itu adalah tidak mungkin menerapkan rumus tersebut.
Bagaimana cara mengatasinya? Ini sebenarnya tidak sesulit kelihatannya! Mari kita tuliskan terdiri dari apa setiap nomor yang diberikan kepada kita dan nomor yang kita cari.
Jadi kita punya dan. Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan mereka? Saya sarankan membaginya dengan. Kita mendapatkan:
Kami mengganti data kami ke dalam rumus:
Langkah selanjutnya yang bisa kita temukan adalah - untuk ini kita perlu mengambil akar pangkat tiga dari bilangan yang dihasilkan.
Sekarang mari kita lihat lagi apa yang kita miliki. Kami memilikinya, tetapi kami perlu menemukannya, dan itu, pada gilirannya, sama dengan:
Kami menemukan semua data yang diperlukan untuk perhitungan. Substitusikan ke dalam rumus:
Jawaban kami: .
Coba selesaikan sendiri masalah serupa lainnya:
Diberikan: ,
Menemukan:
Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki - .
Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya Anda membutuhkannya ingat satu rumus saja- . Anda dapat menarik sendiri sisanya tanpa kesulitan apa pun kapan saja. Untuk melakukan ini, cukup tuliskan barisan geometri paling sederhana pada selembar kertas dan tuliskan masing-masing bilangannya, sesuai dengan rumus yang dijelaskan di atas.
Jumlah suku-suku suatu barisan geometri.
Sekarang mari kita lihat rumus yang memungkinkan kita menghitung dengan cepat jumlah suku suatu barisan geometri dalam interval tertentu:
Untuk mendapatkan rumus jumlah suku suatu barisan geometri berhingga, kita mengalikan semua bagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan:
Perhatikan baik-baik: apa persamaan dari dua rumus terakhir? Benar, anggota biasa misalnya, dan seterusnya, kecuali anggota pertama dan terakhir. Mari kita coba kurangi persamaan ke-1 dari persamaan ke-2. Apa yang kamu dapatkan?
Sekarang nyatakan suku barisan geometri melalui rumus dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus terakhir kita:
Kelompokkan ekspresi tersebut. Anda harus mendapatkan:
Yang perlu dilakukan hanyalah mengungkapkan:
Oleh karena itu, dalam hal ini.
Bagaimana jika? Rumus apa yang berhasil? Bayangkan suatu barisan geometri di. Apa yang dia suka? Rangkaian angka yang identik sudah benar, sehingga rumusnya akan terlihat seperti ini:
Ada banyak legenda tentang perkembangan aritmatika dan geometri. Salah satunya adalah legenda Set, pencipta catur.
Banyak orang mengetahui bahwa permainan catur ditemukan di India. Ketika raja Hindu bertemu dengannya, dia senang dengan kecerdasannya dan berbagai posisi yang mungkin ada dalam dirinya. Setelah mengetahui bahwa itu ditemukan oleh salah satu rakyatnya, raja memutuskan untuk memberinya hadiah secara pribadi. Dia memanggil penemunya dan memerintahkannya untuk meminta semua yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling terampil sekalipun.
Seta meminta waktu untuk berpikir, dan ketika keesokan harinya Seta muncul di hadapan raja, dia mengejutkan raja dengan permintaannya yang rendah hati dan belum pernah terjadi sebelumnya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, sebutir gandum untuk kotak kedua, sebutir gandum untuk kotak ketiga, keempat, dan seterusnya.
Raja marah dan mengusir Seth, mengatakan bahwa permintaan pelayan itu tidak sesuai dengan kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahwa pelayan itu akan menerima gandumnya untuk semua kotak papan.
Dan sekarang pertanyaannya: dengan menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri, hitung berapa banyak butir yang harus diterima Seth?
Mari kita mulai berpikir. Karena menurut syarat, Seth meminta sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, untuk kotak kedua, untuk kotak ketiga, untuk kotak keempat, dan seterusnya, maka kita melihat bahwa masalahnya adalah tentang barisan geometri. Apa persamaannya dalam kasus ini?
Benar.
Jumlah luas papan catur. Masing-masing, . Kami memiliki semua datanya, yang tersisa hanyalah memasukkannya ke dalam rumus dan menghitungnya.
Untuk membayangkan setidaknya kira-kira “skala” suatu bilangan tertentu, kita mentransformasikannya menggunakan sifat-sifat derajat:
Tentu saja, jika mau, Anda dapat mengambil kalkulator dan menghitung angka yang Anda dapatkan, dan jika tidak, Anda harus percaya pada kata-kata saya: nilai akhir dari ekspresi tersebut adalah.
Itu adalah:
triliun kuadriliun triliun miliar juta ribu.
Fiuh) Jika Anda ingin membayangkan besarnya jumlah ini, maka perkirakan berapa luas sebuah gudang yang dibutuhkan untuk menampung seluruh jumlah gandum.
Jika gudang itu tingginya m dan lebarnya m, maka panjangnya harus diperpanjang hingga km, yaitu. dua kali jarak Bumi ke Matahari.
Jika raja kuat dalam matematika, dia bisa saja mengundang ilmuwan itu sendiri untuk menghitung butir, karena untuk menghitung satu juta butir, dia memerlukan setidaknya satu hari penghitungan yang tak kenal lelah, dan mengingat menghitung triliunan itu perlu, maka biji-bijian harus dihitung sepanjang hidupnya.
Sekarang mari kita selesaikan soal sederhana yang melibatkan jumlah suku suatu barisan geometri.
Seorang siswa kelas 5A Vasya terserang flu, namun tetap bersekolah. Setiap hari Vasya menulari dua orang, yang kemudian menulari dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya ada orang di kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan terkena flu?
Jadi, suku pertama barisan geometri adalah Vasya, yaitu seseorang. Suku ke-tiga dari deret geometri tersebut adalah dua orang yang tertular pada hari pertama kedatangannya. Jumlah total suku-suku perkembangan sama dengan jumlah siswa 5A. Oleh karena itu, kita berbicara tentang kemajuan di mana:
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri:
Seluruh kelas akan sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya rumus dan angka? Cobalah untuk menggambarkan sendiri “penularan” siswa. Telah terjadi? Lihat tampilannya bagi saya:
Hitung sendiri berapa hari yang dibutuhkan siswa untuk terserang flu jika masing-masing menulari satu orang, dan hanya ada satu orang di kelas.
Nilai apa yang Anda dapatkan? Ternyata semua orang mulai sakit setelah satu hari.
Seperti yang Anda lihat, tugas dan gambar seperti itu menyerupai piramida, di mana setiap tugas berikutnya “membawa” orang baru. Namun, cepat atau lambat akan tiba saatnya ketika yang terakhir tidak dapat menarik perhatian siapa pun. Dalam kasus kita, jika kita membayangkan kelas tersebut terisolasi, orang dari menutup rantai (). Jadi, jika seseorang terlibat dalam piramida keuangan di mana uang diberikan, jika Anda membawa dua peserta lainnya, maka orang tersebut (atau secara umum) tidak akan membawa siapa pun, dan karenanya, mereka akan kehilangan semua yang mereka investasikan dalam penipuan keuangan ini.
Segala sesuatu yang dikatakan di atas mengacu pada barisan geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang Anda ingat, kami memiliki tipe khusus - barisan geometri yang menurun tanpa batas. Bagaimana cara menghitung jumlah anggotanya? Dan mengapa perkembangan jenis ini memiliki ciri-ciri tertentu? Mari kita cari tahu bersama.
Jadi, pertama-tama, mari kita lihat kembali gambar barisan geometri yang menurun tak terhingga dari contoh kita:
Sekarang mari kita lihat rumus jumlah suatu barisan geometri, yang diturunkan sedikit sebelumnya:
atau
Apa yang kita perjuangkan? Betul, grafiknya cenderung nol. Artinya, pada, akan hampir sama, masing-masing, saat menghitung ekspresi yang akan kita dapatkan hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahwa ketika menghitung jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, tanda kurung ini dapat diabaikan, karena akan sama.
- rumus adalah jumlah suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga.
PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah tersebut tak terbatas jumlah anggota.
Jika bilangan tertentu n ditentukan, maka kita menggunakan rumus jumlah n suku, meskipun atau.
Sekarang mari kita berlatih.
- Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri dengan dan.
- Tentukan jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan dan.
Saya harap Anda sangat berhati-hati. Mari kita bandingkan jawaban kita:
Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri, dan inilah saatnya beralih dari teori ke praktik. Soal barisan geometri yang paling banyak ditemui dalam ujian adalah soal menghitung bunga majemuk. Inilah yang akan kita bicarakan.
Masalah dalam menghitung bunga majemuk.
Anda mungkin pernah mendengar apa yang disebut rumus bunga majemuk. Apakah Anda mengerti maksudnya? Jika belum, mari kita cari tahu, karena begitu Anda memahami proses itu sendiri, Anda akan langsung memahami apa hubungannya deret geometri dengan proses tersebut.
Kita semua pergi ke bank dan mengetahui bahwa ada ketentuan yang berbeda untuk simpanan: ini termasuk jangka waktu, layanan tambahan, dan bunga dengan dua cara penghitungan yang berbeda - sederhana dan kompleks.
DENGAN bunga sederhana semuanya kurang lebih jelas: bunga dibebankan satu kali pada akhir jangka waktu simpanan. Artinya, jika kita mengatakan bahwa kita menyetor 100 rubel selama setahun, maka mereka hanya akan dikreditkan pada akhir tahun. Oleh karena itu, pada akhir setoran kami akan menerima rubel.
Bunga majemuk- ini adalah opsi yang memunculkannya kapitalisasi bunga, yaitu penambahannya pada jumlah simpanan dan perhitungan pendapatan selanjutnya bukan dari awal, tetapi dari akumulasi jumlah simpanan. Kapitalisasi tidak terjadi terus-menerus, namun dengan frekuensi tertentu. Biasanya, periode tersebut sama dan paling sering bank menggunakan bulan, kuartal, atau tahun.
Misalkan kita menyetorkan rubel yang sama setiap tahunnya, namun dengan kapitalisasi setoran bulanan. Apa yang kita lakukan?
Apakah Anda memahami semuanya di sini? Jika belum, mari kita cari tahu langkah demi langkah.
Kami membawa rubel ke bank. Pada akhir bulan, kita akan memiliki jumlah di rekening kita yang terdiri dari rubel ditambah bunganya, yaitu:
Setuju?
Kita bisa mengeluarkannya dari tanda kurung dan kemudian kita mendapatkan:
Setuju, rumus ini sudah lebih mirip dengan yang kami tulis di awal. Yang tersisa hanyalah mencari tahu persentasenya
Dalam rumusan masalah kita diberitahu tentang tarif tahunan. Seperti yang Anda ketahui, kami tidak mengalikan dengan - kami mengubah persentase menjadi pecahan desimal, yaitu:
Benar? Sekarang Anda mungkin bertanya, dari mana nomor tersebut berasal? Sangat sederhana!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN bunga yang timbul BULANAN. Seperti yang Anda ketahui, dalam satu tahun bulan, bank akan membebankan kepada kita sebagian dari bunga tahunan per bulan:
Menyadarinya? Sekarang coba tuliskan seperti apa bagian rumus ini jika saya katakan bunga dihitung setiap hari.
Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan hasilnya:
Bagus sekali! Mari kita kembali ke tugas kita: tulis berapa banyak yang akan dikreditkan ke rekening kita pada bulan kedua, dengan mempertimbangkan bunga yang dikenakan pada jumlah akumulasi deposit.
Inilah yang saya dapatkan:
Atau dengan kata lain:
Saya pikir Anda telah memperhatikan sebuah pola dan melihat perkembangan geometris dalam semua ini. Tuliskan berapa jumlah anggotanya, atau dengan kata lain berapa jumlah uang yang akan kita terima pada akhir bulan.
Telah melakukan? Mari kita periksa!
Seperti yang Anda lihat, jika Anda menaruh uang di bank selama setahun dengan tingkat bunga sederhana, Anda akan menerima rubel, dan jika dengan tingkat bunga majemuk, Anda akan menerima rubel. Keuntungannya kecil, tetapi ini hanya terjadi pada tahun ke-th, tetapi untuk jangka waktu yang lebih lama, kapitalisasi jauh lebih menguntungkan:
Mari kita lihat jenis permasalahan lain yang melibatkan bunga majemuk. Setelah apa yang Anda ketahui, itu akan menjadi dasar bagi Anda. Jadi, tugasnya:
Perusahaan Zvezda mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2001 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Berapa keuntungan yang diperoleh perusahaan Zvezda pada akhir tahun 2003 jika keuntungan tidak ditarik dari peredaran?
Ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2000.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2001.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2002.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2003.
Atau kita bisa menulis secara singkat:
Untuk kasus kami:
2000, 2001, 2002 dan 2003.
Masing-masing:
rubel
Perlu diketahui bahwa dalam soal ini kami tidak melakukan pembagian dengan atau dengan, karena persentasenya diberikan SETIAP TAHUN dan dihitung SETIAP TAHUN. Artinya, ketika membaca soal bunga majemuk, perhatikan berapa persentase yang diberikan dan pada periode berapa dihitung, baru kemudian dilanjutkan ke perhitungan.
Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri.
Pelatihan.
- Tentukan suku barisan geometri jika diketahui, dan
- Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri jika diketahui, dan
- Perusahaan MDM Capital mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2003, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2004 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Perusahaan Arus Kas MSK mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2005 sebesar $10.000, dan mulai menghasilkan keuntungan pada tahun 2006 sebesar. Berapa dolar modal suatu perusahaan lebih besar dari perusahaan lain pada akhir tahun 2007, jika laba tidak ditarik dari peredaran?
Jawaban:
- Karena rumusan masalah tidak menyatakan bahwa perkembangannya tidak terbatas dan diperlukan untuk mencari jumlah sejumlah suku tertentu, maka perhitungannya dilakukan sesuai dengan rumus:
Perusahaan Modal MDM:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- meningkat 100%, yaitu 2 kali lipat.
Masing-masing:
rubel
Perusahaan Arus Kas MSK:2005, 2006, 2007.
- bertambah, yaitu berkali-kali lipat.
Masing-masing:
rubel
rubel
Mari kita rangkum.
1) Barisan geometri ( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya berbeda dengan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.
2) Persamaan suku-suku barisan geometri adalah .
3) dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.
- jika, maka semua suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif;
- jika, maka semua suku perkembangan selanjutnya tanda-tanda alternatif;
- kapan - perkembangannya disebut menurun tak terhingga.
4) , di - properti barisan geometri (suku-suku yang berdekatan)
atau
, di (istilah yang berjarak sama)
Ketika Anda menemukannya, jangan lupakan itu seharusnya ada dua jawaban.
Misalnya,
5) Jumlah suku-suku barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau
atau
PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah suku-suku yang tak terhingga banyaknya.
6) Masalah bunga majemuk dihitung juga dengan rumus suku ke-th suatu barisan geometri, dengan ketentuan dana belum ditarik dari peredaran:
PROGRESI GEOMETRIS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA
Kemajuan geometris( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Nomor ini dipanggil penyebut suatu barisan geometri.
Penyebut barisan geometri dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.
- Jika, maka semua suku perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - positif;
- jika, maka semua anggota perkembangan selanjutnya berganti tanda;
- kapan - perkembangannya disebut menurun tak terhingga.
Persamaan suku-suku barisan geometri - .
Jumlah suku suatu barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau
Jika perkembangannya menurun tak terhingga, maka:
Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...
Untuk apa?
Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...
Orang yang mendapat pendidikan yang baik memperoleh penghasilan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukanlah hal yang utama.
Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.
Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.
Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.
Kesimpulannya...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.
“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!
Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri, yaitu setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya sebanyak q kali. (Kami akan berasumsi bahwa q ≠ 1, jika tidak, semuanya terlalu sepele). Mudah untuk melihat bahwa rumus umum suku ke-n suatu barisan geometri adalah b n = b 1 q n – 1 ; suku dengan bilangan b n dan b m berbeda q n – m kali.Sudah di Mesir Kuno mereka tidak hanya mengetahui aritmatika, tetapi juga perkembangan geometri. Misalnya, berikut adalah soal dari papirus Rhind: “Tujuh wajah memiliki tujuh kucing; Setiap kucing memakan tujuh tikus, setiap tikus memakan tujuh bulir jagung, dan setiap bulir jelai dapat menumbuhkan tujuh takaran jelai. Berapa besar bilangan-bilangan pada deret tersebut dan jumlahnya?
 |
|
Beras. 1. Masalah perkembangan geometri Mesir kuno |
Tugas ini diulangi berkali-kali dengan variasi yang berbeda-beda antar bangsa pada waktu yang lain. Misalnya saja yang ditulis pada abad ke-13. “Kitab Sempoa” karya Leonardo dari Pisa (Fibonacci) mempunyai masalah dimana 7 wanita tua muncul dalam perjalanan ke Roma (jelas peziarah), yang masing-masing memiliki 7 bagal, masing-masing memiliki 7 tas, yang masing-masing berisi 7 buah roti yang masing-masing mempunyai 7 pisau yang masing-masing mempunyai 7 sarung. Soal menanyakan berapa banyak objek yang ada.
Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Rumus ini dapat dibuktikan misalnya seperti ini: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Tambahkan angka b 1 q n ke S n dan dapatkan:
|
Dari sini S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), dan kita mendapatkan rumus yang diperlukan.
Sudah ada di salah satu lempengan tanah liat Babel Kuno, yang berasal dari abad ke-6. SM e., berisi jumlah 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Benar, seperti dalam beberapa kasus lainnya, kita tidak tahu bagaimana fakta ini diketahui orang Babilonia .
Peningkatan pesat perkembangan geometri di sejumlah kebudayaan, khususnya di India, berulang kali digunakan sebagai simbol visual dari luasnya alam semesta. Dalam legenda terkenal tentang kemunculan catur, penguasa memberikan kesempatan kepada penemunya untuk memilih sendiri hadiahnya, dan dia menanyakan jumlah butir gandum yang akan diperoleh jika satu ditempatkan di kotak pertama papan catur, dua di kotak pertama papan catur. yang kedua, empat pada yang ketiga, delapan pada yang keempat, dan seterusnya, setiap kali jumlahnya menjadi dua kali lipat. Vladyka mengira paling banyak yang kita bicarakan adalah beberapa tas, tapi dia salah perhitungan. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk seluruh 64 kotak papan catur, penemunya harus menerima (2 64 – 1) butir, yang dinyatakan sebagai angka 20 digit; bahkan jika seluruh permukaan bumi ditaburkan, dibutuhkan setidaknya 8 tahun untuk mengumpulkan jumlah biji-bijian yang dibutuhkan. Legenda ini terkadang ditafsirkan sebagai indikasi kemungkinan tak terbatas yang tersembunyi dalam permainan catur.
Sangat mudah untuk melihat bahwa angka ini sebenarnya terdiri dari 20 digit:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (perhitungan yang lebih akurat menghasilkan 1,84∙10 19). Tapi saya ingin tahu apakah Anda bisa mengetahui digit apa yang diakhiri dengan angka ini?
Suatu barisan geometri dapat bertambah jika penyebutnya lebih besar dari 1, atau berkurang jika penyebutnya kurang dari satu. Dalam kasus terakhir, bilangan q n untuk n yang cukup besar dapat menjadi kecil secara sembarang. Meskipun perkembangan geometri yang meningkat meningkat secara tidak terduga dengan cepat, perkembangan geometri yang menurun juga menurun dengan cepat.
Semakin besar n, semakin lemah bilangan q n berbeda dengan nol, dan semakin dekat jumlah n suku barisan geometri S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) dengan bilangan S = b 1 / ( 1 – q). (Misalnya, F. Viet beralasan seperti ini). Bilangan S disebut jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Namun, selama berabad-abad pertanyaan tentang apa arti menjumlahkan SELURUH barisan geometri, dengan jumlah sukunya yang tak terhingga, masih belum cukup jelas bagi para ahli matematika.
Perkembangan geometri yang menurun dapat dilihat, misalnya, dalam aporia Zeno “Setengah Divisi” dan “Achilles dan Kura-kura.” Dalam kasus pertama, terlihat jelas bahwa seluruh jalan (dengan asumsi panjang 1) adalah jumlah tak terhingga dari segmen 1/2, 1/4, 1/8, dan seterusnya. sudut pandang gagasan tentang jumlah terbatas perkembangan geometri tak terbatas. Namun - bagaimana ini bisa terjadi?
|
Beras. 2. Perkembangan dengan koefisien 1/2 |
Dalam aporia tentang Achilles, situasinya sedikit lebih rumit, karena di sini penyebut perkembangannya bukan 1/2, melainkan bilangan lain. Misalkan Achilles berlari dengan kecepatan v, kura-kura bergerak dengan kecepatan u, dan jarak awal antara keduanya adalah l. Achilles akan menempuh jarak ini dalam waktu l/v, dan selama waktu tersebut penyu akan menempuh jarak lu/v. Ketika Achilles menjalankan segmen ini, jarak antara dia dan kura-kura akan menjadi sama dengan l (u /v) 2, dst. Ternyata mengejar kura-kura berarti mencari jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama l dan penyebut u /v. Jumlah ini - segmen yang pada akhirnya akan dilalui Achilles ke tempat pertemuan dengan penyu - sama dengan l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Namun, sekali lagi, bagaimana hasil ini harus diinterpretasikan dan mengapa hal ini masuk akal masih belum jelas sejak lama.
|
Beras. 3. Perkembangan geometri dengan koefisien 2/3 |
Archimedes menggunakan jumlah barisan geometri untuk menentukan luas ruas parabola. Misalkan ruas parabola ini dibatasi oleh tali busur AB dan biarkan garis singgung di titik D parabola sejajar dengan AB. Misalkan C adalah titik tengah AB, E adalah titik tengah AC, F adalah titik tengah CB. Mari kita menggambar garis sejajar DC melalui titik A, E, F, B; Misalkan garis singgung yang ditarik di titik D memotong garis-garis tersebut di titik K, L, M, N. Mari kita menggambar juga segmen AD dan DB. Misalkan garis EL memotong garis AD di titik G, dan parabola di titik H; garis FM memotong garis DB di titik Q, dan parabola di titik R. Menurut teori umum penampang kerucut, DC adalah diameter parabola (yaitu segmen yang sejajar dengan sumbunya); itu dan garis singgung di titik D dapat berfungsi sebagai sumbu koordinat x dan y, dimana persamaan parabola ditulis sebagai y 2 = 2px (x adalah jarak dari D ke titik mana pun dengan diameter tertentu, y adalah panjang segmen yang sejajar dengan garis singgung tertentu dari titik diameter ini ke suatu titik pada parabola itu sendiri).
Berdasarkan persamaan parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, dan karena DK = 2DL, maka KA = 4LH. Karena KA = 2LG, LH = HG. Luas ruas ADB parabola sama dengan luas segitiga ADB dan luas gabungan ruas AHD dan DRB. Pada gilirannya, luas segmen AHD juga sama dengan luas segitiga AHD dan sisa segmen AH dan HD, yang masing-masing dapat melakukan operasi yang sama - dipecah menjadi segitiga (Δ) dan dua segmen yang tersisa (), dll.:
Luas segitiga AHD sama dengan setengah luas segitiga ALD (mereka mempunyai alas yang sama AD, dan tingginya berbeda 2 kali), yang selanjutnya sama dengan setengah luas segitiga ΔAKD, sehingga setengah luas segitiga ΔACD. Jadi, luas segitiga ΔAHD sama dengan seperempat luas segitiga ΔACD. Demikian pula luas segitiga ΔDRB sama dengan seperempat luas segitiga ΔDFB. Jadi, luas segitiga ΔAHD dan ΔDRB jika digabungkan sama dengan seperempat luas segitiga ΔADB. Mengulangi operasi ini ketika diterapkan pada segmen AH, HD, DR dan RB akan memilih segitiga dari segmen tersebut, yang luasnya jika digabungkan akan 4 kali lebih kecil dari luas segitiga AHD dan DRB jika digabungkan, dan oleh karena itu 16 kali lebih kecil dari luas segitiga ADB. Dan seterusnya:
Dengan demikian, Archimedes membuktikan bahwa “setiap ruas antara garis lurus dan parabola merupakan empat pertiga segitiga yang mempunyai alas dan tinggi yang sama”.