"Apa yang kita ketahui terbatas, tetapi apa yang tidak kita ketahui tidak terbatas"

Pierre-Simon Laplace (1749-1827), ilmuwan Prancis

Cinta tanpa batas, kebahagiaan tanpa batas, ruang tanpa batas, permafrost, lautan tanpa batas dan bahkan pelajaran tanpa akhir. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menyebut hal dan fenomena tanpa akhir, tetapi seringkali bahkan tidak memikirkan arti sebenarnya dari konsep ini. Sementara itu, sejak zaman paling kuno, para teolog, filsuf, dan pemikir terbesar umat manusia lainnya telah mencoba memahami maknanya. Dan hanya ahli matematika yang paling maju dalam pengetahuan tentang apa yang disebut tak terhingga.

Apa itu tak terhingga?

Banyak dari apa yang kita lihat di sekitar kita dianggap oleh kita sebagai tak terhingga, tetapi pada kenyataannya mereka berubah menjadi hal yang sangat terbatas. Beginilah cara mereka terkadang menjelaskan kepada anak-anak betapa hebatnya ketidakterbatasan: "Jika Anda mengumpulkan satu butir pasir setiap seratus tahun di pantai yang luas, maka akan butuh selamanya untuk mengumpulkan semua pasir di pantai." Namun nyatanya, jumlah butir pasir tidak terbatas. Secara fisik, tidak mungkin untuk menghitungnya, tetapi kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa jumlahnya tidak melebihi nilai yang sama dengan rasio massa Bumi dengan massa satu butir pasir.

Atau contoh lain. Banyak orang berpikir bahwa jika Anda berdiri di antara dua cermin, refleksi akan berulang di kedua cermin, pergi ke kejauhan, menjadi lebih kecil dan lebih kecil, sehingga tidak mungkin untuk menentukan di mana itu berakhir. Sayangnya, ini bukan tak terhingga. Apa yang sebenarnya terjadi? Tidak ada cermin yang memantulkan 100% cahaya yang datang. Cermin berkualitas sangat tinggi dapat memantulkan 99% cahaya, tetapi setelah 70 pantulan, hanya 50% yang tersisa, setelah 140 pantulan - hanya 25% cahaya, dll., sampai terlalu sedikit cahaya. Selain itu, sebagian besar cermin melengkung, sehingga banyak pantulan yang Anda lihat akhirnya "bersembunyi di tikungan".

Mari kita lihat bagaimana matematika menafsirkan tak terhingga. Ini sangat berbeda dengan konsep infinity yang pernah Anda temui sebelumnya dan membutuhkan sedikit imajinasi.

Tak terhingga dalam matematika

Dalam matematika, ada potensi dan sebenarnya Ketakterbatasan.

Ketika mereka mengatakan bahwa nilai tertentu adalah potensial tak terhingga, mereka berarti bahwa itu dapat ditingkatkan tanpa batas, yaitu, selalu ada potensi untuk peningkatannya.

Konsep ketidakterbatasan aktual berarti kuantitas tak terbatas yang sudah benar-benar ada "di sini dan sekarang". Mari kita jelaskan ini menggunakan contoh DIRECT biasa.

Contoh 1.

Potensi tak terhingga berarti ada garis lurus dan dapat dilanjutkan terus menerus (misalnya, dengan menerapkan segmen padanya). Harap dicatat bahwa penekanan di sini bukan pada fakta bahwa garis lurus tidak terbatas, tetapi pada kenyataan bahwa itu dapat dilanjutkan tanpa batas.

Tak terhingga sebenarnya berarti bahwa seluruh garis lurus tak terhingga sudah ada dalam bentuk sekarang. Tetapi masalahnya adalah bahwa tidak seorang pun yang hidup telah melihat garis lurus tanpa akhir dan secara fisik tidak dapat melakukannya! Adalah satu hal untuk dapat memperpanjang garis lurus tanpa batas, dan hal lain lagi untuk membuat garis lurus tak terbatas dalam kenyataan. Ini adalah perbedaan yang sangat halus dan membedakan potensi tak terhingga dari aktual. Fiuh! Berurusan dengan ketidakterbatasan ini membutuhkan banyak imajinasi! Mari kita ambil contoh lain.

Contoh 2.

Misalkan Anda memutuskan untuk membangun serangkaian bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...

Pada titik tertentu, Anda telah mencapai angka n yang sangat besar dan berpikir bahwa ini adalah angka terbesar. Pada saat ini, teman Anda mengatakan bahwa tidak ada biaya baginya untuk menambahkan 1 (satu) ke nomor Anda n dan mendapatkan nomor yang lebih besar k = n + 1. Kemudian Anda, sedikit terluka, mengerti bahwa tidak ada yang dapat mencegah Anda menambahkan ke nomor k satu dan dapatkan nomor k + 1. Apakah jumlah langkah seperti itu terbatas sebelumnya? Tidak. Tentu saja, Anda dan teman Anda mungkin tidak memiliki cukup kekuatan, waktu di beberapa langkah m untuk mengambil langkah berikutnya m + 1, tetapi berpotensi Anda atau orang lain dapat membangun baris ini lebih jauh. Dalam hal ini, kita mendapatkan konsep potensi tak terhingga.

Jika Anda dan teman Anda berhasil membangun deret bilangan asli tak hingga, yang elemen-elemennya hadir sekaligus, secara bersamaan, ini akan menjadi tak terhingga yang sebenarnya. Tetapi kenyataannya adalah tidak ada yang bisa menuliskan semua angka - ini adalah fakta yang tak terbantahkan!

Setuju bahwa potensi tak terhingga lebih dapat dipahami bagi kita, karena lebih mudah untuk dibayangkan. Oleh karena itu, para filsuf dan matematikawan kuno hanya mengakui potensi tak terhingga, dengan tegas menolak kemungkinan beroperasi dengan tak terhingga yang sebenarnya.

paradoks Galileo

Pada tahun 1638, Galileo yang agung mengajukan pertanyaan: “Apakah tak terhingga banyak - apakah selalu sama tak terhingga? Atau bisakah ada ketidakterbatasan yang lebih besar dan lebih kecil?"

Dia merumuskan postulat, yang kemudian menerima nama "Paradoks Galileo": Ada bilangan asli sebanyak kuadrat dari bilangan asli, yaitu di himpunan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10 ... jumlah anggota yang sama , berapa banyak dalam himpunan 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ...

Inti dari paradoks adalah sebagai berikut.

Beberapa bilangan adalah kuadrat eksak (yaitu kuadrat dari bilangan lain), misalnya: 1, 4, 9 ... Bilangan lain bukan kuadrat eksak, misalnya 2, 3, 5 ... Jadi, harus ada kuadrat lebih tepat dan angka biasa bersama-sama, dari sekedar kuadrat sempurna. Benar? Benar.

Tetapi di sisi lain: untuk setiap angka ada kuadrat eksaknya, dan sebaliknya - untuk setiap kuadrat eksak ada akar kuadrat utuh, jadi harus ada jumlah kuadrat eksak dan bilangan asli yang sama. Benar? Benar.

Alasan Galileo bertentangan dengan aksioma yang tidak dapat disangkal bahwa keseluruhan lebih besar daripada bagian-bagiannya sendiri. Dia tidak bisa menjawab mana yang tak terhingga lebih besar - yang pertama atau kedua. Galileo percaya bahwa dia salah dalam sesuatu, atau perbandingan semacam itu tidak berlaku untuk ketidakterbatasan. Dalam yang terakhir, dia benar, karena tiga abad kemudian, Georg Cantor membuktikan bahwa "aritmatika yang tak terbatas berbeda dari aritmatika yang terbatas."

Tak terhingga yang dapat dihitung: bagian sama dengan keseluruhan

Georg Cantor(1845-1918), pendiri teori himpunan, mulai menggunakan infinity aktual dalam matematika. Dia mengakui bahwa seluruh ketidakterbatasan ada sekaligus. Dan karena ada himpunan tak terbatas, dan sekaligus, maka manipulasi matematika dapat dilakukan dengan mereka dan bahkan dibandingkan. Karena kata "angka" dan "kuantitas" tidak tepat dalam kasus tak terhingga, ia menciptakan istilah "kekuatan". Sebagai standar, Cantor mengambil bilangan asli tak hingga, yang akan cukup untuk menghitung ulang apa pun, yang disebut himpunan ini dapat dihitung, dan kardinalitasnya - kardinalitas himpunan yang dapat dihitung, dan mulai membandingkannya dengan kardinalitas himpunan lain.

Dia membuktikan bahwa himpunan bilangan asli memiliki elemen sebanyak himpunan bilangan genap! Memang, kami menulis di bawah satu sama lain:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

Sepintas, tampak jelas bahwa ada dua kali lebih banyak angka di set pertama daripada di set kedua. Tetapi, di sisi lain, jelas bahwa barisan kedua juga dapat dihitung, karena salah satu bilangannya SELALU sesuai dengan tepat satu bilangan dari barisan pertama. Dan sebaliknya! Jadi urutan kedua tidak bisa habis sebelum yang pertama. Oleh karena itu, set ini sama kuatnya! Demikian pula, terbukti bahwa himpunan kuadrat bilangan asli (dari paradoks Galileo) dapat dihitung dan sama dengan himpunan bilangan asli. Oleh karena itu, semua tak terhingga yang dapat dihitung memiliki kekuatan yang sama.

Ternyata sangat menarik: Himpunan bilangan genap dan himpunan kuadrat bilangan asli (dari paradoks Galileo) adalah bagian dari himpunan bilangan asli. Tapi mereka sama-sama kuat. Oleh karena itu, BAGIAN SAMA DENGAN KESELURUHAN!

Tak terhingga yang tak terhitung

Tetapi tidak setiap tak terhingga dapat dihitung seperti yang kita lakukan dengan bilangan genap dan kuadrat dari bilangan asli. Ternyata Anda tidak dapat menghitung titik pada segmen, bilangan real (dinyatakan dalam semua pecahan desimal hingga dan tak terbatas), bahkan semua bilangan real dari 0 hingga 1. Dalam matematika, mereka mengatakan bahwa jumlahnya tidak dapat dihitung.

Mari kita pertimbangkan ini dengan menggunakan contoh barisan bilangan pecahan. Bilangan pecahan memiliki sifat yang tidak dimiliki bilangan bulat. Tidak ada bilangan bulat lain yang ada di antara dua bilangan bulat berurutan. Misalnya, tidak ada bilangan bulat lain yang "cocok" antara 8 dan 9. Tetapi jika kita menambahkan bilangan pecahan ke himpunan bilangan bulat, aturan ini tidak akan lagi terpenuhi. Jadi, nomor

antara 8 dan 9. Demikian pula, Anda dapat menemukan nomor yang terletak di antara dua angka A dan B:

Karena tindakan ini dapat diulang tanpa batas, dapat dikatakan bahwa di antara dua bilangan real apa pun akan selalu ada banyak bilangan real lainnya yang tak terhingga.

Jadi, ketakhinggaan bilangan real tidak dapat dihitung, dan ketakterhinggaan bilangan asli dapat dihitung. Tak terhingga ini tidak setara, tetapi dari kumpulan bilangan real yang tak terhitung, Anda selalu dapat memilih bagian yang dapat dihitung, misalnya, bilangan asli atau genap. Oleh karena itu, infinity yang tak terhingga lebih kuat daripada infinity yang dapat dihitung.

Teori relativitas menganggap ruang dan waktu sebagai satu kesatuan, yang disebut "ruang-waktu", di mana koordinat waktu memainkan peran penting yang sama dengan koordinat spasial. Oleh karena itu, dalam kasus yang paling umum, dari sudut pandang teori relativitas, kita hanya dapat berbicara tentang keterbatasan atau ketidakterbatasan dari "ruang - waktu" yang bersatu ini. Tetapi kemudian kita memasuki apa yang disebut dunia empat dimensi, yang memiliki sifat geometris khusus yang sangat berbeda dari sifat geometris dunia tiga dimensi tempat kita hidup.

Dan ketidakterbatasan atau keterbatasan dari "ruang-waktu" empat dimensi masih tidak mengatakan apa-apa atau hampir tidak mengatakan apa-apa tentang ketidakterbatasan spasial Semesta yang menarik bagi kita.

Di sisi lain, "ruang-waktu" empat dimensi dari teori relativitas bukan sekadar alat matematika yang nyaman. Ini mencerminkan sifat, ketergantungan, dan pola yang terdefinisi dengan baik dari Alam Semesta yang sebenarnya. Dan karena itu, ketika memecahkan masalah ruang tak terhingga dari sudut pandang teori relativitas, kita harus memperhitungkan sifat-sifat "ruang-waktu". Kembali di tahun dua puluhan abad ini, A. Friedman menunjukkan bahwa, dalam kerangka teori relativitas, rumusan terpisah dari pertanyaan tentang ketakterhinggaan spasial dan temporal Semesta tidak selalu mungkin, tetapi hanya dalam kondisi tertentu. Kondisi-kondisi ini adalah: homogenitas, yaitu keseragaman distribusi materi di Semesta, dan isotropi, yaitu sifat-sifat yang sama ke segala arah. Hanya dalam kasus homogenitas dan isotropi, satu "ruang - waktu" dibagi menjadi "ruang homogen" dan "waktu dunia" universal.

Tapi, seperti yang telah kita catat, Alam Semesta yang sebenarnya jauh lebih rumit daripada model homogen dan isotropik. Dan ini berarti bahwa dunia empat dimensi dari teori relativitas, yang sesuai dengan dunia nyata tempat kita hidup, dalam kasus umum, tidak terbagi menjadi "ruang" dan "waktu". Oleh karena itu, bahkan jika dengan peningkatan akurasi pengamatan kita dapat menghitung kepadatan rata-rata (dan karenanya kelengkungan lokal) untuk Galaksi kita, untuk sekelompok galaksi, untuk wilayah Semesta yang dapat diamati, ini tidak akan menjadi solusi untuk pertanyaan tentang luas spasial Alam Semesta secara keseluruhan.

Omong-omong, menarik untuk dicatat bahwa beberapa wilayah ruang mungkin memang menjadi terbatas dalam arti tertutup. Dan tidak hanya ruang Metagalaxy, tetapi juga setiap wilayah di mana terdapat massa yang cukup kuat yang menyebabkan kelengkungan yang kuat, misalnya, ruang quasar. Tapi, kami ulangi, ini masih tidak mengatakan apa pun tentang keterbatasan atau ketidakterbatasan Alam Semesta secara keseluruhan. Selain itu, keterbatasan atau ketidakterbatasan ruang tidak hanya bergantung pada kelengkungannya, tetapi juga pada beberapa sifat lainnya.

Jadi, dengan keadaan teori relativitas umum dan pengamatan astronomi saat ini, kita tidak bisa mendapatkan jawaban yang cukup lengkap untuk pertanyaan tentang ketidakterbatasan spasial Semesta.

Dikatakan bahwa komposer dan pianis terkenal F. Liszt memberikan salah satu karya pianonya dengan instruksi berikut untuk pemain: "cepat", "bahkan lebih cepat", "cepat, secepat mungkin", "bahkan lebih cepat" .. .

Kisah ini tanpa sadar muncul dalam pikiran sehubungan dengan studi tentang pertanyaan tentang ketidakterbatasan Alam Semesta. Sudah dari apa yang dikatakan di atas, cukup jelas bahwa masalah ini sangat kompleks.

Namun itu bahkan jauh lebih sulit ...

Menjelaskan berarti mereduksi menjadi yang diketahui. Teknik serupa digunakan di hampir setiap studi ilmiah. Dan ketika kami mencoba untuk memecahkan masalah sifat geometris Semesta, kami juga berusaha untuk mengurangi sifat-sifat ini ke konsep biasa.

Sifat-sifat Semesta, seolah-olah, "diukur" dengan konsep matematika abstrak tak terhingga yang ada saat ini. Tetapi apakah konsep-konsep ini cukup untuk menggambarkan alam semesta secara keseluruhan? Masalahnya adalah bahwa mereka dikembangkan sebagian besar secara independen, dan kadang-kadang sepenuhnya terlepas dari masalah mempelajari Semesta, dan dalam hal apa pun didasarkan pada studi area ruang yang terbatas.

Dengan demikian, solusi untuk pertanyaan tentang ketidakterbatasan nyata Semesta berubah menjadi semacam lotere di mana probabilitas menang, yaitu, peluang kebetulan dari setidaknya sejumlah besar properti Semesta nyata dengan salah satu dari standar tak terhingga yang diturunkan secara formal, sangat tidak signifikan.

Dasar dari konsep fisik alam semesta modern adalah apa yang disebut teori relativitas khusus. Menurut teori ini, hubungan spasial dan temporal antara berbagai objek nyata di sekitar kita tidak mutlak. Karakter mereka sepenuhnya tergantung pada keadaan gerak sistem tertentu. Jadi, dalam sistem yang bergerak, tempo perjalanan waktu melambat, dan semua skala panjang, mis. ukuran objek diperpanjang berkurang. Dan pengurangan ini semakin kuat, semakin tinggi kecepatan gerakannya. Ketika mendekati kecepatan cahaya, yang merupakan kecepatan maksimum yang mungkin di alam, semua skala linier berkurang tanpa batas.

Tetapi jika setidaknya beberapa sifat geometris ruang bergantung pada sifat gerak kerangka acuan, yaitu relatif, kita berhak mengajukan pertanyaan: apakah konsep keterhinggaan dan ketakterhinggaan juga relatif? Bagaimanapun, mereka terkait erat dengan geometri.

Dalam beberapa tahun terakhir, kosmolog Soviet terkenal A.L. Zelmapov telah mempelajari masalah yang aneh ini. Dia berhasil menemukan fakta yang, pada pandangan pertama, benar-benar mengejutkan. Ternyata ruang, yang terbatas dalam kerangka acuan tetap, pada saat yang sama dapat menjadi tak terbatas relatif terhadap kerangka acuan yang bergerak.

Mungkin kesimpulan ini tidak akan tampak begitu mengejutkan jika kita mengingat pengurangan skala dalam sistem bergerak.

Presentasi populer dari pertanyaan kompleks fisika teoretis modern sangat sulit karena fakta bahwa dalam banyak kasus mereka tidak mengakui penjelasan visual dan analogi. Namun demikian, kami akan mencoba memberikan satu analogi sekarang, tetapi menggunakannya, kami akan mencoba untuk tidak lupa bahwa itu sangat mendekati.

Bayangkan sebuah pesawat ruang angkasa melintas melewati Bumi dengan kecepatan yang sama dengan, katakanlah, dua pertiga dari kecepatan cahaya — 200.000 km / detik. Kemudian, menurut rumus teori relativitas, harus ada pengurangan setengahnya di semua skala. Artinya, dari sudut pandang para astronot di pesawat ruang angkasa, semua segmen di Bumi akan menjadi dua kali lebih pendek.

Dan sekarang mari kita bayangkan bahwa kita memiliki, meskipun sangat panjang, tetapi masih garis lurus yang terbatas, dan kita mengukurnya menggunakan beberapa satuan skala panjang, misalnya, satu meter. Untuk pengamat di pesawat ruang angkasa yang bergerak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya, meter referensi kami akan berkontraksi ke suatu titik. Dan karena ada titik yang tak terhitung jumlahnya bahkan pada garis lurus yang terbatas, bagi pengamat di sebuah kapal, garis lurus kita akan menjadi panjang yang tak terhingga. Kira-kira hal yang sama akan terjadi sehubungan dengan skala area dan volume. Akibatnya, wilayah ruang yang terbatas dapat menjadi tak terbatas dalam kerangka acuan yang bergerak.

Kami ulangi sekali lagi - ini sama sekali bukan bukti, tetapi hanya analogi yang agak kasar dan jauh dari lengkap. Tapi itu memberikan beberapa gambaran tentang sifat fisik dari fenomena yang menarik.

Mari kita ingat sekarang bahwa dalam sistem yang bergerak tidak hanya timbangan berkurang, tetapi perjalanan waktu juga melambat. Dari sini dapat disimpulkan bahwa durasi keberadaan objek tertentu, yang terbatas terhadap sistem koordinat stasioner (statis), dapat berubah menjadi tak terbatas.panjang dalam kerangka acuan yang bergerak.

Jadi, dari karya-karya Zelmanov, sifat-sifat "keterbatasan" dan "ketakterhinggaan" dari ruang dan waktu adalah relatif.

Tentu saja, semua ini, pada pandangan pertama, hasil yang agak "mewah" tidak dapat dianggap sebagai penetapan beberapa sifat geometris umum dari Alam Semesta yang sebenarnya.

Tetapi berkat mereka, kesimpulan yang sangat penting dapat ditarik. Bahkan dari sudut pandang teori relativitas, konsep ketidakterbatasan Alam Semesta jauh lebih rumit daripada yang diperkirakan sebelumnya.

Sekarang ada banyak alasan untuk berharap bahwa jika pernah sebuah teori yang lebih umum daripada teori relativitas diciptakan, maka dalam kerangka teori ini pertanyaan tentang ketidakterbatasan alam semesta akan menjadi lebih rumit.

Salah satu ketentuan utama fisika modern, landasannya adalah persyaratan yang disebut invarians pernyataan fisik mengenai transformasi kerangka acuan.

Invarian berarti "tidak berubah". Untuk mendapatkan ide yang lebih baik tentang apa artinya ini, mari kita berikan contoh beberapa invarian geometris. Jadi lingkaran dengan pusat di titik asal sistem koordinat persegi panjang adalah invarian rotasi. Untuk setiap rotasi sumbu koordinat relatif terhadap titik asal, lingkaran tersebut masuk ke dalam dirinya sendiri. Garis lurus yang tegak lurus dengan sumbu "OY" adalah invarian dari transformasi translasi sistem koordinat di sepanjang cacar "OX".

Tetapi dalam kasus kami, kami berbicara tentang invarian dalam arti kata yang lebih luas: pernyataan apa pun hanya memiliki makna fisik ketika tidak bergantung pada pilihan kerangka acuan. Dalam hal ini, kerangka acuan harus dipahami tidak hanya sebagai sistem koordinat, tetapi juga sebagai cara deskripsi. Tidak peduli bagaimana metode deskripsi berubah, isi fisik dari fenomena yang dipelajari harus tetap tidak berubah, tidak berubah.

Sangat mudah untuk melihat bahwa kondisi ini tidak hanya memiliki makna fisik semata, tetapi juga makna filosofis yang fundamental. Ini mencerminkan keinginan sains untuk mengklarifikasi proses fenomena yang nyata dan benar, dan untuk menghilangkan semua distorsi yang mungkin dimasukkan ke dalam kursus ini oleh proses penelitian ilmiah itu sendiri.

Seperti yang telah kita lihat, dari karya-karya A. L. Zel'manov, tak terhingga dalam ruang dan tak terhingga dalam waktu tidak memenuhi persyaratan invarian. Ini berarti bahwa konsep ketakterhinggaan temporal dan spasial yang kita gunakan saat ini tidak sepenuhnya mencerminkan sifat nyata dunia di sekitar kita. Oleh karena itu, rupanya, rumusan pertanyaan tentang ketidakterbatasan Semesta secara keseluruhan (dalam ruang dan waktu) dengan pemahaman modern tentang ketidakterbatasan sama sekali tidak memiliki makna fisik.

Kami telah menerima bukti lain yang meyakinkan bahwa konsep "teoretis" tentang ketidakterbatasan, yang telah digunakan sampai sekarang oleh ilmu pengetahuan Alam Semesta, sangat, sangat terbatas. Secara umum, orang dapat menebak hal ini lebih awal, karena dunia nyata selalu jauh lebih rumit daripada "model" mana pun dan kita hanya dapat berbicara tentang perkiraan yang kurang lebih akurat terhadap kenyataan. Tetapi dalam kasus ini sangat sulit untuk menutup, sehingga dapat dikatakan, secara kasat mata, seberapa signifikan perkiraan yang dicapai.

Sekarang setidaknya jalan yang harus diikuti diuraikan. Rupanya, tugas utamanya adalah mengembangkan konsep ketidakterbatasan (matematis dan fisik) berdasarkan mempelajari sifat-sifat nyata Semesta. Dengan kata lain: "mengukur" bukan Semesta dengan konsep teoretis tak terhingga, tetapi, sebaliknya, konsep teoretis ini ke dunia nyata. Hanya metode penelitian seperti itu yang dapat membawa sains ke kemajuan yang signifikan di bidang ini. Tidak ada jumlah penalaran logis abstrak dan kesimpulan teoretis yang dapat menggantikan fakta yang diperoleh dari pengamatan.

Mungkin, pertama-tama, perlu berdasarkan mempelajari sifat-sifat nyata Semesta, untuk mengembangkan konsep invarian infinity.

Dan, secara umum, tampaknya, tidak ada standar matematis atau fisik universal seperti itu untuk ketidakterbatasan, yang dapat mencerminkan semua sifat Alam Semesta yang sebenarnya. Seiring berkembangnya pengetahuan, jumlah jenis ketidakterbatasan yang kita ketahui akan bertambah dengan sendirinya tanpa batas. Oleh karena itu, kemungkinan besar, pertanyaan apakah Semesta tidak terbatas tidak akan pernah dijawab dengan ya atau tidak sederhana.

Sepintas, tampaknya dalam hal ini, studi tentang masalah ketidakterbatasan Alam Semesta pada umumnya kehilangan makna apa pun. Namun, pertama, masalah ini dalam satu atau lain bentuk muncul sebelum sains pada tahap tertentu dan harus dipecahkan, dan kedua, upaya untuk memecahkannya mengarah pada sejumlah penemuan bermanfaat yang menyertainya.

Akhirnya, harus ditekankan bahwa masalah ketidakterbatasan Alam Semesta jauh lebih luas daripada sekadar pertanyaan tentang luas ruangnya. Pertama-tama, kita dapat berbicara tidak hanya tentang tak terhingga "dalam luasnya", tetapi, dapat dikatakan, dan "dalam". Dengan kata lain, perlu untuk mendapatkan jawaban atas pertanyaan apakah ruang habis dibagi tak terhingga, kontinu, atau ada beberapa elemen minimal di dalamnya.

Pada saat ini, masalah ini telah dihadapi fisikawan. Pertanyaan tentang kemungkinan apa yang disebut kuantisasi ruang (serta waktu) dibahas secara serius, yaitu, pemilihan beberapa sel "dasar" di dalamnya, yang sangat kecil.

Kita juga tidak boleh melupakan keragaman tak terbatas dari sifat-sifat Alam Semesta. Bagaimanapun, Semesta adalah, pertama-tama, sebuah proses, yang ciri-cirinya adalah pergerakan terus-menerus dan transisi materi yang tak henti-hentinya dari satu keadaan ke keadaan lain. Oleh karena itu, ketidakterbatasan Alam Semesta juga merupakan variasi tak terbatas dari bentuk gerak, jenis materi, proses fisik, interkoneksi dan interaksi, dan bahkan sifat-sifat objek tertentu.

Apakah tak terhingga itu ada?

Sehubungan dengan masalah ketidakterbatasan Alam Semesta, muncul pertanyaan yang tampaknya tidak terduga. Apakah konsep infinity itu sendiri memiliki arti yang sebenarnya? Bukankah itu hanya konstruksi matematis bersyarat, yang tidak ada hubungannya sama sekali di dunia nyata? Pandangan ini dianut oleh beberapa peneliti di masa lalu, dan ada pendukungnya saat ini.

Tetapi data ilmiah menunjukkan bahwa ketika mempelajari sifat-sifat dunia nyata, bagaimanapun juga, kita menemukan apa yang bisa disebut fisik, atau praktis, tak terhingga. Misalnya, kami menemukan nilai yang begitu besar (atau sangat kecil) sehingga, dari sudut pandang tertentu, mereka tidak berbeda dengan tak terhingga. Nilai-nilai ini berada di luar batas kuantitatif di mana perubahan lebih lanjut di dalamnya tidak lagi memiliki efek nyata pada esensi proses yang sedang dipertimbangkan.

Jadi, tak terhingga tidak diragukan lagi ada secara objektif. Selain itu, baik dalam fisika dan matematika, kita menemukan konsep tak terhingga hampir di setiap langkah. Ini bukan kebetulan. Kedua ilmu ini, khususnya fisika, meskipun tampak abstrak dari banyak posisi, pada analisis akhir, selalu ditolak dari kenyataan. Artinya alam, Semesta sebenarnya memiliki beberapa sifat yang tercermin dalam konsep ketakterhinggaan.

Totalitas sifat-sifat ini dapat disebut ketidakterbatasan nyata Semesta.

Infinity adalah konsep abstrak yang digunakan untuk menggambarkan atau menunjuk sesuatu yang tak terbatas atau tak terbatas. Konsep ini penting untuk matematika, astrofisika, fisika, filsafat, logika, dan seni.

Berikut adalah beberapa fakta mengejutkan tentang konsep kompleks ini yang dapat mengejutkan siapa pun yang tidak terlalu akrab dengan matematika.

Simbol tak terbatas

Infinity memiliki simbol khusus sendiri: . Simbol, atau lemniscate, diperkenalkan oleh pendeta dan matematikawan John Wallis pada tahun 1655. Kata "lemniscata" berasal dari kata Latin lemniscus, yang berarti "pita".

Wallis mungkin mendasarkan simbol tak terhingga pada angka Romawi 1000, di sampingnya yang digunakan orang Romawi untuk menunjukkan "tak terhitung", di samping angka tersebut. Mungkin juga karakter tersebut didasarkan pada omega (Ω atau ), huruf terakhir dari alfabet Yunani.

Fakta yang menarik adalah bahwa konsep infinity muncul dan digunakan jauh sebelum Wallis menganugerahinya dengan simbol yang masih kita gunakan sampai sekarang.

Pada abad keempat SM, sebuah teks matematika Jain yang disebut Surya Prajnapti Sutra membagi semua angka menjadi tiga kategori, yang masing-masing pada gilirannya jatuh ke dalam tiga subkategori. Dalam kategori ini, nomor enumerable, non-enumerable, dan tak terbatas ditentukan.

Aporia Zeno

Zeno dari Elea, lahir sekitar abad kelima SM e., dikenal karena paradoks, atau aporia, termasuk konsep tak terhingga.

Dari semua paradoks Zeno, yang paling terkenal adalah Achilles and the Turtle. Di Aporia, kura-kura menantang pahlawan Yunani Achilles, mengundangnya untuk berlomba. Kura-kura mengklaim memenangkan perlombaan jika Achilles memberinya keuntungan seribu langkah. Menurut paradoksnya, selama Achilles akan berlari sepanjang jarak, kura-kura akan mengambil seratus langkah lagi ke arah yang sama. Sementara Achilles telah berlari seratus langkah lagi, kura-kura akan punya waktu untuk membuat sepuluh langkah lagi, dan seterusnya dalam urutan menurun.

Dengan cara yang lebih sederhana, paradoksnya dianggap sebagai berikut: cobalah untuk menyeberangi ruangan jika setiap langkah berikutnya berukuran setengah dari langkah sebelumnya. Sementara setiap langkah membawa Anda lebih dekat ke tepi ruangan, Anda tidak akan pernah benar-benar mencapainya, atau Anda akan melakukannya, tetapi dibutuhkan langkah yang tak terbatas.

Menurut salah satu interpretasi modern, paradoks ini didasarkan pada gagasan yang salah tentang pembagian waktu dan ruang yang tak terbatas.

Pi adalah contoh tak terhingga

Pi adalah contoh yang bagus dari infinity. Matematikawan menggunakan simbol pi untuk bilangan pi karena tidak mungkin menuliskan bilangan bulatnya. Pi terdiri dari jumlah angka yang tak terbatas. Ini sering dibulatkan menjadi 3,14 atau bahkan 3,14159, tetapi tidak peduli berapa banyak angka yang ditulis setelah titik desimal, tidak mungkin untuk mencapai akhir angka.

Teorema Monyet Tak Terbatas

Cara lain untuk berpikir tentang tak terhingga adalah dengan mempertimbangkan Teorema Monyet Tak Terbatas. Menurut teorema, jika Anda memberi monyet mesin tik dan waktu yang tidak terbatas, akhirnya monyet akan dapat mencetak Hamlet atau pekerjaan lainnya.

Sementara banyak orang menganggap teorema sebagai demonstrasi keyakinan bahwa tidak ada yang tidak mungkin, matematikawan melihatnya sebagai bukti bahwa suatu peristiwa tertentu tidak mungkin.

Fraktal dan tak terhingga

Fraktal adalah objek matematika abstrak yang digunakan dalam matematika dan seni, paling sering mensimulasikan fenomena alam. Fraktal ditulis sebagai persamaan matematika. Melihat fraktal, Anda dapat melihat struktur kompleksnya pada skala apa pun. Dengan kata lain, fraktal meningkat tanpa batas.

Kepingan Salju Koch adalah contoh fraktal yang menarik. Kepingan salju terlihat seperti segitiga sama sisi yang membentuk kurva tertutup dengan panjang tak terbatas. Dengan meningkatkan kurva, semakin banyak detail dapat dilihat di atasnya. Proses peningkatan kurva dapat berlanjut berkali-kali. Meskipun kepingan salju Koch memiliki area terbatas, ia dibatasi oleh garis panjang yang tak terhingga.

Tak terhingga dari berbagai ukuran

Infinity tidak terbatas, namun cocok untuk pengukuran, meskipun komparatif. Angka positif (lebih besar dari 0) dan angka negatif (kurang dari 0) membanggakan kumpulan angka berukuran sama yang tak terbatas. Apa yang terjadi ketika Anda menggabungkan kedua set? Set akan menjadi dua kali lebih besar. Atau contoh lain - semua bilangan genap (jumlahnya tidak terbatas). Dan tetap saja itu hanya setengah dari jumlah tak terbatas dari semua bilangan bulat. Contoh lain, tambahkan saja satu hingga tak terhingga. Pelajari nomor 1 lebih dari tak terhingga.

Kosmologi dan ketidakterbatasan

Ahli kosmologi mempelajari Semesta, tidak mengherankan bahwa konsep tak terhingga memainkan peran penting bagi mereka. Apakah alam semesta memiliki batas atau tidak terbatas?

Pertanyaan ini masih belum terjawab. Alam Semesta kita mengembang, tapi di mana? Dan di mana batas ekspansi ini? Bahkan jika alam semesta fisik memang memiliki batas, kita masih memiliki teori multiverse, yang menganggap keberadaan alam semesta dalam jumlah tak terbatas, di mana mungkin ada hukum fisika yang berbeda dari kita.

Pembagian dengan nol

Tidak ada pembagian dengan nol. Itu tidak mungkin, setidaknya dalam matematika biasa. Dalam matematika biasa kami, satu dibagi dengan nol tidak mungkin untuk didefinisikan. Ini adalah kesalahan. Namun, hal ini tidak selalu terjadi. Dalam teori bilangan kompleks yang diperluas, membagi satu dengan nol tidak menyebabkan keruntuhan yang tak terhindarkan dan ditentukan oleh beberapa bentuk tak terhingga. Dengan kata lain, matematika itu berbeda, dan tidak semuanya dibatasi oleh aturan dari buku teks.

Dalam kehidupan sehari-hari, seseorang paling sering harus berurusan dengan jumlah yang terbatas. Oleh karena itu, sangat sulit untuk memvisualisasikan ketidakterbatasan yang tidak terbatas. Konsep ini diselimuti aura misteri dan keanehan, bercampur dengan kekaguman pada Semesta, yang batas-batasnya hampir mustahil untuk didefinisikan.

Ketakterbatasan spasial dunia termasuk dalam masalah ilmiah yang paling kompleks dan kontroversial. Para filsuf dan astronom kuno mencoba memecahkan pertanyaan ini melalui konstruksi logis yang paling sederhana. Untuk melakukan ini, itu sudah cukup untuk mengakui bahwa itu mungkin untuk mencapai tepi alam semesta yang seharusnya. Tetapi jika Anda merentangkan tangan Anda pada saat ini, maka perbatasan bergerak mundur agak jauh. Operasi ini dapat diulang berkali-kali, yang membuktikan ketidakterbatasan alam semesta.

Ketidakterbatasan alam semesta sulit untuk dibayangkan, tetapi tidak kalah sulitnya dengan dunia yang terbatas. Bahkan mereka yang tidak terlalu mahir dalam studi kosmologi, dalam hal ini, muncul pertanyaan alami: apa yang berada di luar batas Semesta? Namun, penalaran seperti itu, yang dibangun di atas akal sehat dan pengalaman sehari-hari, tidak dapat berfungsi sebagai dasar yang kuat untuk kesimpulan ilmiah yang ketat.

Konsep modern tentang ketidakterbatasan alam semesta

Ilmuwan modern, yang mengeksplorasi berbagai paradoks kosmologis, telah sampai pada kesimpulan bahwa keberadaan alam semesta yang terbatas, pada prinsipnya, bertentangan dengan hukum fisika. Dunia di luar planet Bumi, rupanya, tidak memiliki batas baik dalam ruang maupun waktu. Dalam pengertian ini, ketidakterbatasan mengasumsikan bahwa baik jumlah materi yang terkandung di Alam Semesta, maupun dimensi geometrisnya tidak dapat dinyatakan bahkan dengan jumlah terbesar ("Evolusi Alam Semesta", ID Novikov, 1983).

Bahkan jika kita memperhitungkan hipotesis bahwa Alam Semesta terbentuk sekitar 14 miliar tahun yang lalu sebagai akibat dari apa yang disebut Big Bang, ini mungkin hanya berarti bahwa pada waktu yang sangat jauh itu dunia mengalami tahap lain dari transformasi alam. Secara umum, Alam Semesta yang tak terbatas tidak pernah muncul selama dorongan awal atau perkembangan yang tidak dapat dijelaskan dari beberapa objek tak berwujud. Asumsi tentang alam semesta yang tak terbatas mengakhiri hipotesis penciptaan dunia oleh Tuhan.

Pada tahun 2014, astronom Amerika menerbitkan hasil studi terbaru yang mendukung hipotesis keberadaan alam semesta yang tak terbatas dan datar. Dengan presisi tinggi, para ilmuwan telah mengukur jarak antar galaksi yang terletak pada jarak beberapa miliar tahun cahaya dari satu sama lain. Ternyata gugusan bintang luar angkasa kolosal ini berada dalam lingkaran dengan radius konstan. Model kosmologis yang dibangun oleh para peneliti secara tidak langsung membuktikan bahwa Alam Semesta tidak terbatas baik dalam ruang maupun waktu.

dalam kontak dengan

Apakah tak terhingga itu ada?

Apakah Semesta tidak terbatas, dan jika - ya, maka "ini tidak mungkin." Dan jika tidak, apa yang ada di sisi lain? Dan siapa yang suka dongeng tentang yang terbatasmanifold tanpa tepi, seperti bola - biarkan pikiran mengirimkannya tegak lurus ke tepi.Apa yang ada di sana? Atau siapa. Tak terhingga fiksional tidak begitu pedih, tetapi jugadimengerti, di tempat. Georg Cantor. Perbandingan tak terhingga. kontinum. padapersegi memiliki jumlah titik yang sama dengan ruas garis.

Sensasi pembakaran yang membakar dari keabadian spasial mengejutkan selama masalah Kerajaan Surgawi dirasakan oleh usus, dan bukan oleh pikiran. Kemudian panggilan yang menusuk" tidak habis-habisnya"Secara bertahap tuli, dan dibakar oleh kenyataan, seseorang bersembunyi di dunia fiksi. Anda masih tidak bisa bersembunyi dengan baik.

Di dunia ide, ketidakterbatasan muncul dalam kedok yang berbeda. Dalam arti apa ada deret alami? Sebagai proses yang sedang berlangsung atau sebagai proses yang telah selesai? Bilangan asli berpotensi dibangun atau sudah tersedia? Awalnya masalah

berbau skolastik. Apakah itu semua sama, tampaknya. Tidak ada konsekuensi.

Konsekuensinya, bagaimanapun, sangat besar. Atau, dua matematika yang berbeda diperoleh. Yang satu konstruktif, yang tidak memungkinkan realisasi ketidakterbatasan dalam segala besarnya. Yang lainnya adalah biasa, omnivora.

Masalah kecil dari kehadiran infinity sudah muncul di SD

situasi seperti di mana adanya korespondensi satu-ke-satu n n ^ 2 mendorong gagasan bahwa ada bilangan bulat sebanyak kuadrat. Contoh telah lama membuat gigi di tepi, tetapi dalam bentuknya yang paling sederhana itu mencerminkan adanya masalah. Ternyata, bagaimanapun, jika Seseorang mengambil 10 rubel dari saya setiap hari, dan memberi - satu, maka ketika prosesnya selesai, kita akan berhenti. Karena jika baris telah terjadi, rubel ke-n diberikan kepada saya pada hari ke-n. Paradoksnya, tentu saja, tidak sia-sia, karena prosesnya tidak akan pernah berakhir, pikir siswa kelas lima itu.

Bagaimana dengan pecahan p/q? Mereka semua "sudah ada" di segmen tersebut. Mereka ada di sini, mereka tidak perlu ditambahkan satu per satu. Sehingga - " perangkap ukuran terbatas untuk tak terhingga". Kecil

dompet tempat semua pecahan ditempatkan. Dan akar dua, seperti infinity yang lengkap, karena infinity dari pecahan desimal. Oleh karena itu, teori himpunan memiliki setiap alasan untuk menganggap tak terhingga sebagai " diberikan". Hal lain adalah bahwa persyaratan tertentu dikenakan pada yang diberikan ini, sehingga tidak ada kontradiksi.

Namun, segera setelah Anda mengakui sesuatu, kerumitan dimulai. Infinity swarm, dan dengan

mereka perlu dikelola entah bagaimana. Ini sudah selesai Georg Cantor, yang menciptakan teori himpunan. Revolusi yang terjadi menegaskan tesis terkenal “ kebenaran lahir sebagai bid'ah dan mati sebagai hal biasa". Ide-ide utama tersedia untuk semua orang hari ini. SEBUAH " kemudian" mustahil

adalah untuk menjelaskan kepada siapa pun. Intuisi menolak. Sekarang penyakit telah berakar, kebingungan telah mengering.

Studi himpunan didasarkan pada alat Kantor korespondensi satu-ke-satu. Himpunan X, Y ekuivalen jika korespondensi satu-satu dapat dibuat antara elemen-elemennya.

hubungan ekuivalensi secara reflektif dan secara transitif yang memungkinkan Anda menghancurkan segalanya

diatur ke dalam kelas kesetaraan. Kelas ekivalen dari suatu himpunan X disebut kardinalitasnya, dan dinotasikan sebagai | X |. Himpunan diurutkan berdasarkan kardinalitas menggunakan trik alami.

Himpunan yang ekuivalen dengan deret natural disebut dapat dihitung. Setiap urutan dapat dihitung. Mengingat pecahan desimal dihadapkan dengan fenomena baru. Himpunan angka tersebut (kontinum) ternyata tak terhitung.

Upaya historis untuk menetapkan bahwa segmen dan persegi x memiliki kekuatan yang berbeda sangat menyakitkan. Ternyata - sama. Dunia belum pernah menerima goncangan seperti itu sejak zaman Galileo, ketika ditemukan bahwa semua benda jatuh dengan gaya yang sama.

percepatan.

Bagaimanapun, infinity telah memenangkan tempat di matahari. Tanpa itu, segala sesuatu dalam matematika akan "berhenti". Ya ~ itu berdiri - dalam matematika konstruktif, di mana tidak cocok - biasa. Persamaan dan ketidaksetaraan bilangan konstruktif paling sering tidak diperiksa, barisan tidak memiliki tempat untuk bertemu, batas tidak ada, kontinuitas hanya mimpi, dan secara umum semuanya runtuh. Gambar yang mengerikan. Bahkan sulit untuk menilai tingkat bencana. Oleh karena itu, infinity hampir sama bergunanya dengan "satu". Sisi lain dari koin, seolah-olah. Semacam wadah untuk sesuatu yang "tidak ada".