„Ceea ce știm este limitat, dar ceea ce nu știm este infinit”

Pierre-Simon Laplace (1749-1827), om de știință francez

Dragoste nemărginită, fericire fără margini, spațiu nemărginit, permafrost, ocean nemărginit și chiar o lecție nesfârșită. În viața de zi cu zi, numim adesea lucruri și fenomene nesfârșite, dar de multe ori nici măcar nu ne gândim la adevăratul sens al acestui concept. Între timp, din cele mai vechi timpuri, teologii, filozofii și alte cele mai mari minți ale omenirii au încercat să-i înțeleagă sensul. Și numai matematicienii au avansat cel mai mult în cunoașterea a ceea ce se numește infinit.

Ce este infinitul?

Mare parte din ceea ce vedem în jurul nostru este perceput de noi ca infinit, dar în realitate se dovedesc a fi lucruri destul de finite. Așa le explică uneori copiilor cât de mare este infinitul: „Dacă strângi un grăunte de nisip la fiecare sută de ani pe o plajă imensă, atunci va dura o veșnicie să strângi tot nisipul de pe plajă”. Dar, de fapt, numărul de boabe de nisip nu este infinit. Din punct de vedere fizic, este imposibil să le numărăm, dar putem spune cu încredere că numărul lor nu depășește o valoare egală cu raportul dintre masa Pământului și masa unui grăunte de nisip.

Sau alt exemplu. Mulți oameni cred că dacă stați între două oglinzi, atunci reflexia se va repeta în ambele oglinzi, mergând în depărtare, devenind din ce în ce mai mic, așa că este imposibil să stabiliți unde se termină. Din păcate, acesta nu este infinit. Ce se întâmplă cu adevărat? Nicio oglindă nu reflectă 100% din lumina incidentă. O oglindă de foarte bună calitate este capabilă să reflecte 99% din lumină, dar după 70 de reflexii, vor rămâne doar 50% dintre ele, după 140 de reflexii - doar 25% din lumină etc., până când va fi prea puțină lumină. În plus, majoritatea oglinzilor sunt curbate, așa că multele reflexii pe care le vedeți ajung să se „ascundă în jurul cotului”.

Să aruncăm o privire la modul în care matematica interpretează infinitul. Acesta este foarte diferit de conceptul de infinit pe care l-ați întâlnit înainte și necesită puțină imaginație.

Infinitul în matematică

În matematică există potenţialși real Infinit.

Când se spune că o anumită valoare este infinit de potențial, înseamnă că poate fi crescută la nesfârșit, adică există întotdeauna un potențial pentru creșterea ei.

Conceptul de infinit real înseamnă o cantitate infinită care există deja cu adevărat „aici și acum”. Să explicăm acest lucru folosind exemplul DIRECT obișnuit.

Exemplul 1.

Infinitul potențial înseamnă că există o linie dreaptă și poate fi continuată continuu (de exemplu, prin aplicarea de segmente). Vă rugăm să rețineți că aici accentul nu se pune pe faptul că linia dreaptă este infinită, ci pe faptul că poate fi continuată la infinit.

Infinitul real înseamnă că întreaga linie dreaptă infinită există deja la timpul prezent. Dar problema este că nicio persoană în viață nu a văzut o linie dreaptă nesfârșită și nu este fizic în stare să o facă! Una este să poți extinde la infinit o linie dreaptă și alta este să creezi o linie dreaptă infinită în realitate. Aceasta este o distincție foarte subtilă și distinge infinitul potențial de actual. Pf! A face față acestor infinituri necesită multă imaginație! Să luăm un alt exemplu.

Exemplul 2.

Să presupunem că decideți să construiți o serie de numere naturale: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

La un moment dat, ați ajuns la un număr foarte mare n și credeți că acesta este cel mai mare număr. În acest moment, prietenul tău spune că nu-l costă nimic să adaugi 1 (unu) la numărul tău n și să obții un număr și mai mare k = n + 1. Atunci tu, ușor rănit, înțelegi că nimic nu te poate împiedica să adaugi la numărul tău. numărul k unu și obțineți numărul k + 1. Numărul acestor pași este limitat în prealabil? Nu. Desigur, tu și prietenul tău s-ar putea să nu ai suficientă forță, timp la un pas m pentru a face următorul pas m + 1, dar eventual tu sau altcineva poți construi acest rând mai departe. În acest caz, obținem conceptul de infinit potențial.

Dacă tu și prietenul tău reușiți să construiți o serie infinită de numere naturale, ale căror elemente sunt prezente toate deodată, simultan, acesta va fi infinitul real. Dar adevărul este că nimeni nu poate nota toate numerele - acesta este un fapt incontestabil!

De acord că infinitul potențial este mai de înțeles pentru noi, pentru că este mai ușor de imaginat. Prin urmare, filozofii și matematicienii antici nu recunoșteau decât infinitul potențial, respingând cu hotărâre posibilitatea de a opera cu infinitul actual.

Paradoxul lui Galileo

În 1638, marele Galileo a pus întrebarea: „Este infinit de mulți - este întotdeauna același infinit de mulți? Sau pot exista infinite mai mari și mai mici?”

El a formulat un postulat, care a primit mai târziu denumirea de „Paradoxul lui Galileo”: Sunt atâtea numere naturale câte pătrate de numere naturale, adică în mulțimea 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. , 9, 10 ... același număr de elemente , câte în mulțime 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ...

Esența paradoxului este următoarea.

Unele numere sunt pătrate exacte (adică pătratele altor numere), de exemplu: 1, 4, 9... Alte numere nu sunt pătrate exacte, de exemplu, 2, 3, 5... Deci, trebuie să existe mai multe pătrate exacte și numere obișnuite împreună, decât doar pătrate perfecte. Dreapta? Dreapta.

Dar, pe de altă parte: pentru fiecare număr există pătratul său exact și invers - pentru fiecare pătrat exact există o rădăcină pătrată întreagă, deci trebuie să existe aceeași cantitate de pătrate exacte și numere naturale. Dreapta? Dreapta.

Raționamentul lui Galileo a intrat în conflict cu axioma incontestabilă că întregul este mai mare decât oricare dintre propriile sale părți. El nu a putut să răspundă care infinit este mai mare - primul sau al doilea. Galileo credea că fie s-a înșelat în ceva, fie astfel de comparații nu sunt aplicabile infinitate. În aceasta din urmă, avea dreptate, pentru că trei secole mai târziu, Georg Cantor a demonstrat că „aritmetica infinitului este diferită de aritmetica finitului”.

Infinite numărabile: o parte este egală cu întregul

Georg Cantor(1845-1918), fondatorul teoriei mulțimilor, a început să folosească infinitul real în matematică. El a recunoscut că întregul infinit există deodată. Și deoarece există mulțimi infinite și toate deodată, atunci manipulările matematice pot fi efectuate cu ele și chiar comparate. Deoarece cuvintele „număr” și „cantitate” sunt nepotrivite în cazul infiniturilor, el a inventat termenul „putere”. Ca standard, Cantor a luat numere naturale infinite, care ar fi suficiente pentru a recalcula orice, a numit această mulțime numărabilă și cardinalitatea ei - cardinalitatea unei mulțimi numărabile și a început să o compare cu cardinalitatea altor mulțimi.

El a demonstrat că mulțimea numerelor naturale are tot atâtea elemente cât și mulțimea numerelor pare! Într-adevăr, scriem unul sub celălalt:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

La prima vedere, pare evident că în primul set sunt de două ori mai multe numere decât în ​​al doilea. Dar, pe de altă parte, este clar că și a doua secvență este numărabilă, deoarece oricare dintre numerele sale corespunde ÎNTOTDEAUNA exact unui număr din prima secvență. Si invers! Deci a doua secvență nu poate fi epuizată înaintea primei. Prin urmare, aceste seturi sunt la fel de puternice! În mod similar, se demonstrează că mulțimea pătratelor numerelor naturale (din paradoxul lui Galileo) este numărabilă și egală cu mulțimea numerelor naturale. De aici rezultă că toate infinitările numărabile sunt de putere egală.

Se dovedește foarte interesant: mulțimea numerelor pare și mulțimea pătratelor numerelor naturale (din paradoxul lui Galileo) fac parte din mulțimea numerelor naturale. Dar sunt la fel de puternici. Prin urmare, PARTEA ESTE EGALĂ CU TOTUL!

Infinități nenumărate

Dar nu orice infinit poate fi numărat așa cum am făcut cu numerele pare și pătratele numerelor naturale. Se dovedește că nu poți număra puncte de pe un segment, numere reale (exprimate în toate fracțiile zecimale finite și infinite), chiar și toate numerele reale de la 0 la 1. În matematică, se spune că numărul lor este nenumărabil.

Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul unei secvențe de numere fracționale. Numerele fracționale au o proprietate pe care numerele întregi nu o au. Nu există alte numere întregi între două numere întregi consecutive. De exemplu, niciun alt întreg nu se potrivește între 8 și 9. Dar dacă adăugăm numere fracționale la mulțimea numerelor întregi, această regulă nu va mai fi îndeplinită. Deci, numărul

va fi între 8 și 9. În mod similar, puteți găsi numărul situat între oricare două numere A și B:

Deoarece această acțiune poate fi repetată la infinit, se poate argumenta că între oricare două numere reale vor exista întotdeauna infinit de alte numere reale.

Astfel, infinitatea numerelor reale este nenumarabila, iar infinitatea numerelor naturale este numarabila. Aceste infinitate nu sunt echivalente, dar din setul nenumărabil de numere reale, puteți selecta oricând partea numărabilă, de exemplu, numere naturale sau pare. Prin urmare, infinitul nenumărabil este mai puternic decât infinitul numărabil.

Teoria relativității consideră spațiul și timpul ca o singură entitate, așa-numita „spațiu-timp”, în care coordonata timpului joacă același rol esențial ca și cea spațială. Așadar, în cazul cel mai general, din punctul de vedere al teoriei relativității, putem vorbi doar despre finititatea sau infinitatea acestui „spațiu-timp” particular unit. Dar apoi intrăm în așa-numita lume cu patru dimensiuni, care are proprietăți geometrice complet speciale, care sunt cel mai semnificativ diferite de proprietățile geometrice ale lumii tridimensionale în care trăim.

Iar infinitatea sau finitatea „spațiului-timp” cu patru dimensiuni încă nu spune nimic sau aproape nimic despre infinitatea spațială a Universului care ne interesează.

Pe de altă parte, „spațiul-timp” cu patru dimensiuni al teoriei relativității nu este doar un aparat matematic convenabil. Reflectă proprietăți, dependențe și modele bine definite ale Universului real. Și, prin urmare, atunci când rezolvăm problema infinitității spațiului din punctul de vedere al teoriei relativității, trebuie să luăm în considerare proprietățile „spațiului-timp”. În anii douăzeci ai secolului actual, A. Friedman a arătat că, în cadrul teoriei relativității, formularea separată a întrebării infinitității spațiale și temporale a Universului nu este întotdeauna posibilă, ci numai în anumite condiții. Aceste condiții sunt: ​​omogenitatea, adică uniformitatea distribuției materiei în Univers și izotropia, adică aceleași proprietăți în orice direcție. Numai în cazul omogenității și izotropiei, un singur „spațiu – timp” este împărțit în „spațiu omogen” și „timp mondial”.

Dar, așa cum am observat deja, Universul real este mult mai complicat decât modelele omogene și izotrope. Și asta înseamnă că lumea cu patru dimensiuni a teoriei relativității, corespunzătoare lumii reale în care trăim, în cazul general, nu se împarte în „spațiu” și „timp”. Prin urmare, chiar dacă cu o creștere a acurateței observațiilor putem calcula densitatea medie (și, prin urmare, curbura locală) pentru Galaxia noastră, pentru un grup de galaxii, pentru o regiune observabilă a Universului, aceasta nu va fi o soluție pentru problema întinderii spațiale a Universului în ansamblu.

Este interesant, apropo, de observat că unele regiuni ale spațiului se pot dovedi într-adevăr finite în sensul de a fi închise. Și nu numai spațiul Metagalaxiei, ci și orice regiune în care există mase suficient de puternice care provoacă o curbură puternică, de exemplu, spațiul quasarelor. Dar, repetăm, acest lucru încă nu spune nimic despre finitul sau infinitul Universului în ansamblu. În plus, caracterul finit sau infinit al spațiului depinde nu numai de curbura acestuia, ci și de alte proprietăți.

Astfel, cu starea actuală a teoriei generale a relativității și a observațiilor astronomice, nu putem obține un răspuns suficient de complet la întrebarea infinitității spațiale a Universului.

Se spune că celebrul compozitor și pianist F. Liszt a furnizat uneia dintre lucrările sale pentru pian următoarele instrucțiuni pentru interpret: „repede”, „și mai repede”, „repede, cât mai curând posibil”, „și mai repede” .. .

Această poveste îmi vine involuntar în minte în legătură cu studiul chestiunii infinitității Universului. Deja din cele spuse mai sus, este destul de evident că această problemă este extrem de complexă.

Și totuși este chiar mai greu de măsurat...

A explica înseamnă a reduce la cunoscut. O tehnică similară este folosită în aproape fiecare studiu științific. Și când încercăm să rezolvăm problema proprietăților geometrice ale Universului, ne străduim și să reducem aceste proprietăți la conceptele obișnuite.

Proprietățile Universului sunt, parcă, „măsurate” cu conceptele matematice abstracte existente în prezent ale infinitului. Dar sunt aceste concepte suficiente pentru a descrie universul ca întreg? Problema este că au fost dezvoltate în mare măsură independent și uneori complet independent de problemele studierii Universului și, în orice caz, pe baza studiului unei zone limitate a spațiului.

Astfel, soluția la întrebarea infinitității reale a Universului se transformă într-un fel de loterie în care probabilitatea de câștig, adică șansa de coincidență a cel puțin unui număr suficient de mare de proprietăți ale Universului real cu una dintre standardele derivate formal ale infinitului, este foarte nesemnificativă.

Baza conceptelor fizice moderne ale Universului este așa-numita teorie specială a relativității. Conform acestei teorii, relațiile spațiale și temporale dintre diferitele obiecte reale din jurul nostru nu sunt absolute. Caracterul lor depinde în întregime de starea de mișcare a unui sistem dat. Deci, într-un sistem în mișcare, tempo-ul trecerii timpului încetinește, iar toate scalele de lungimi, adică. dimensiunile obiectelor extinse sunt reduse. Și această reducere este cu atât mai puternică, cu atât viteza de mișcare este mai mare. Când se apropie de viteza luminii, care este viteza maximă posibilă în natură, toate scările liniare scad la infinit.

Dar dacă măcar unele proprietăți geometrice ale spațiului depind de natura mișcării cadrului de referință, adică sunt relative, avem dreptul să ne punem întrebarea: conceptele de finitate și infinit sunt și ele relative? La urma urmei, ele sunt strâns legate de geometrie.

În ultimii ani, cunoscutul cosmolog sovietic A.L.Zelmapov a studiat această problemă curioasă. A reușit să descopere un fapt care, la prima vedere, este absolut izbitor. S-a dovedit că spațiul, care este finit într-un cadru de referință fix, poate fi în același timp infinit în raport cu un cadru de referință în mișcare.

Poate că această concluzie nu va părea atât de surprinzătoare dacă ne amintim de reducerea scărilor în sistemele în mișcare.

Prezentarea populară a întrebărilor complexe ale fizicii teoretice moderne este foarte dificilă prin faptul că, în majoritatea cazurilor, nu admit explicații vizuale și analogii. Cu toate acestea, vom încerca să facem acum o analogie, dar folosind-o, vom încerca să nu uităm că este foarte aproximativă.

Imaginați-vă că o navă spațială trece pe lângă Pământ cu o viteză egală cu, să zicem, două treimi din viteza luminii - 200.000 km/sec. Apoi, conform formulelor teoriei relativității, ar trebui să existe o reducere a tuturor scărilor la jumătate. Aceasta înseamnă că din punctul de vedere al astronauților de pe navă spațială, toate segmentele de pe Pământ vor deveni de două ori mai scurte.

Și acum să ne imaginăm că avem, deși foarte lungă, dar totuși o linie dreaptă finită și o măsurăm folosind o unitate a scalei lungimii, de exemplu, un metru. Pentru un observator dintr-o navă spațială care călătorește cu o viteză apropiată de viteza luminii, contorul nostru de referință se va contracta până la un punct. Și din moment ce există nenumărate puncte chiar și pe o linie dreaptă finită, pentru un observator dintr-o navă, linia noastră dreaptă va deveni infinit de lungă. Aproximativ același lucru se va întâmpla în ceea ce privește amploarea suprafețelor și volumelor. În consecință, regiunile finite ale spațiului pot deveni infinite într-un cadru de referință în mișcare.

Repetăm ​​încă o dată - aceasta nu este nicidecum o dovadă, ci doar o analogie destul de grosolană și departe de a fi completă. Dar oferă o idee despre natura fizică a fenomenului de interes.

Să ne amintim acum că în sistemele în mișcare nu doar cântarul se micșorează, ci și trecerea timpului încetinește. De aici rezultă că durata existenței unui anumit obiect, care este finită în raport cu un sistem de coordonate staționar (static), se poate dovedi infinită, lungă într-un cadru de referință în mișcare.

Astfel, din lucrările lui Zelmanov rezultă că proprietățile „finității” și „infinitului” spațiului și timpului sunt relative.

Desigur, toate aceste rezultate, la prima vedere, mai degrabă „extravagante” nu pot fi considerate ca stabilirea unor proprietăți geometrice generale ale Universului real.

Dar datorită lor se poate trage o concluzie extrem de importantă. Chiar și din punctul de vedere al teoriei relativității, conceptul de infinitate a Universului este mult mai complicat decât se credea anterior.

Acum există toate motivele să ne așteptăm că, dacă se creează vreodată o teorie mai generală decât teoria relativității, atunci în cadrul acestei teorii problema infinitității universului se va dovedi a fi și mai complicată.

Una dintre principalele prevederi ale fizicii moderne, piatra de temelie a acesteia este cerința așa-numitei invarianțe a afirmațiilor fizice cu privire la transformările cadrului de referință.

Invariant înseamnă „a nu se schimba”. Pentru a vă face o idee mai bună despre ce înseamnă aceasta, să dăm ca exemplu câteva invarianți geometrici. Deci cercurile cu centre la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare sunt invarianți de rotație. Pentru orice rotație a axelor de coordonate față de origine, astfel de cercuri trec în sine. Liniile drepte perpendiculare pe axa „OY” sunt invariante ale transformărilor translației sistemului de coordonate de-a lungul variolei „OX”.

Dar în cazul nostru vorbim despre invarianță într-un sens mai larg al cuvântului: orice enunț are doar un sens fizic atunci când nu depinde de alegerea cadrului de referință. În acest caz, cadrul de referință ar trebui înțeles nu numai ca un sistem de coordonate, ci și ca un mod de descriere. Indiferent de modul în care se modifică metoda descrierii, conținutul fizic al fenomenelor studiate trebuie să rămână neschimbat, invariant.

Este ușor de observat că această condiție are nu numai o semnificație pur fizică, ci și o semnificație fundamentală, filozofică. Ea reflectă dorința științei de a clarifica cursul real și adevărat al fenomenelor și de a elimina toate distorsiunile care pot fi introduse în acest curs prin însuși procesul cercetării științifice.

După cum am văzut, din lucrările lui A. L. Zel'manov rezultă că infinitul în spațiu și infinitul în timp nu satisfac cerința invarianței. Aceasta înseamnă că conceptele de infinit temporal și spațial pe care le folosim în prezent nu reflectă pe deplin proprietățile reale ale lumii din jurul nostru. Prin urmare, aparent, însăși formularea întrebării infinitității Universului ca întreg (în spațiu și în timp) cu înțelegerea modernă a infinitului este lipsită de sens fizic.

Am primit încă o dovadă convingătoare că conceptele „teoretice” ale infinitului, care au fost folosite până acum de știința Universului, sunt foarte, foarte limitate. În general, s-ar fi putut ghici despre asta și mai devreme, deoarece lumea reală este întotdeauna mult mai complicată decât orice „model” și nu putem vorbi decât despre o aproximare mai mult sau mai puțin exactă a realității. Dar, în acest caz, a fost deosebit de greu de izolat, ca să spunem așa, cu ochii, cât de semnificativă este aproximarea realizată.

Acum măcar se conturează calea de urmat. Aparent, sarcina este în primul rând de a dezvolta însuși conceptul de infinit (matematic și fizic) pe baza studierii proprietăților reale ale Universului. Cu alte cuvinte: „a măsura” nu Universul la concepte teoretice ale infinitului, ci, dimpotrivă, aceste concepte teoretice la lumea reală. Doar o astfel de metodă de cercetare poate conduce știința la progrese semnificative în acest domeniu. Nici o cantitate de raționament logic abstract și concluzii teoretice nu poate înlocui faptele obținute din observații.

Probabil, este necesar, în primul rând, pe baza studierii proprietăților reale ale Universului, să se dezvolte un concept invariant de infinit.

Și, în general, aparent, nu există un astfel de standard matematic sau fizic universal al infinitului, care ar putea reflecta toate proprietățile Universului real. Pe măsură ce cunoașterea se dezvoltă, numărul de tipuri de infinit cunoscute de noi va crește în sine la infinit. Prin urmare, cel mai probabil, întrebarea dacă Universul este infinit nu va primi niciodată răspunsul cu un simplu da sau nu.

La prima vedere, poate părea că în acest sens, studiul problemei infinitului Universului își pierde în general orice sens. Cu toate acestea, în primul rând, această problemă, într-o formă sau alta, apare înaintea științei în anumite etape și trebuie rezolvată, iar în al doilea rând, încercările de a o rezolva duc la o serie de descoperiri fructuoase însoțitoare.

În cele din urmă, trebuie subliniat că problema infinitității Universului este mult mai amplă decât problema întinderii sale spațiale. În primul rând, putem vorbi nu numai despre infinit „în lățime”, ci, ca să spunem așa, și „în profunzime”. Cu alte cuvinte, este necesar să obținem un răspuns la întrebarea dacă spațiul este divizibil la infinit, continuu sau dacă există unele elemente minime în el.

În prezent, această problemă s-a confruntat deja cu fizicienii. Se discută serios chestiunea posibilității așa-numitei cuantizări a spațiului (precum și a timpului), adică selecția unor celule „elementare” din acesta, care sunt extrem de mici.

De asemenea, nu trebuie să uităm de varietatea infinită de proprietăți ale Universului. La urma urmei, Universul este, în primul rând, un proces, ale cărui trăsături caracteristice sunt mișcarea continuă și tranzițiile neîncetate ale materiei de la o stare la alta. Prin urmare, infinitul Universului este, de asemenea, o varietate infinită de forme de mișcare, tipuri de materie, procese fizice, interconexiuni și interacțiuni și chiar proprietăți ale unor obiecte specifice.

Există infinitul?

În legătură cu problema infinitului Universului, apare o întrebare aparent neașteptată. Are conceptul de infinit în sine un sens real? Nu este doar o construcție matematică condiționată, căreia nu îi corespunde deloc în lumea reală? Acest punct de vedere a fost respectat de unii cercetători în trecut și există susținători în prezent.

Dar datele științifice indică faptul că, atunci când studiem proprietățile lumii reale, întâlnim în orice caz ceea ce poate fi numit infinit fizic sau practic. De exemplu, întâlnim valori atât de mari (sau atât de mici) încât, dintr-un anumit punct de vedere, nu sunt diferite de infinit. Aceste valori se află dincolo de limita cantitativă dincolo de care orice modificări ulterioare ale acestora nu mai au niciun efect vizibil asupra esenței procesului luat în considerare.

Astfel, infinitul există fără îndoială în mod obiectiv. Mai mult, atât în ​​fizică, cât și în matematică, întâlnim aproape la fiecare pas conceptul de infinit. Aceasta nu este o coincidență. Ambele științe, în special fizica, în ciuda aparentului abstractism al multor poziții, în ultimă analiză, întotdeauna respinse de realitate. Aceasta înseamnă că natura, Universul are de fapt niște proprietăți care se reflectă în conceptul de infinit.

Totalitatea acestor proprietăți poate fi numită infinitatea reală a Universului.

Infinitul este un concept abstract folosit pentru a descrie sau a desemna ceva infinit sau nelimitat. Acest concept este important pentru matematică, astrofizică, fizică, filozofie, logică și artă.

Iată câteva fapte surprinzătoare despre acest concept complex, care poate exploda mintea oricui nu este foarte familiarizat cu matematica.

simbolul infinitului

Infinitul are propriul său simbol special: ∞. Simbolul, sau lemniscata, a fost introdus de clerul și matematicianul John Wallis în 1655. Cuvântul „lemniscata” provine din cuvântul latin lemniscus, care înseamnă „bandă”.

Wallis poate să fi bazat simbolul infinitului pe cifra romană 1000, lângă care romanii indicau „nenumărabil”, în plus față de număr. De asemenea, este posibil ca caracterul să se bazeze pe omega (Ω sau ω), ultima literă a alfabetului grecesc.

Un fapt interesant este că conceptul de infinit a apărut și a fost folosit cu mult înainte ca Wallis să-l acorde simbolul pe care îl folosim și astăzi.

În secolul al IV-lea î.Hr., un text matematic jainist numit Surya Prajnapti Sutra a împărțit toate numerele în trei categorii, fiecare dintre acestea fiind, la rândul lor, în trei subcategorii. În aceste categorii au fost specificate numere enumerabile, nenumerabile și infinite.

Aporia Zeno

Zenon din Elea, născut în jurul secolului al V-lea î.Hr e., a fost cunoscut pentru paradoxuri sau aporii, inclusiv pentru conceptul de infinit.

Dintre toate paradoxurile lui Zenon, cel mai faimos este Ahile și Țestoasa. În Aporia, țestoasa îl provoacă pe eroul grec Ahile, invitându-l la o cursă. Țestoasa pretinde că câștigă cursa dacă Ahile îi oferă un avantaj de o mie de pași. Potrivit paradoxului, în timpul în care Ahile va parcurge toată distanța, țestoasa va mai face o sută de pași în aceeași direcție. În timp ce Ahile a mai alergat încă o sută de pași, țestoasa va avea timp să facă încă zece și așa mai departe în ordine descrescătoare.

Într-un mod mai simplu, paradoxul este considerat astfel: încercați să traversați camera dacă fiecare pas următor este jumătate din dimensiunea celui precedent. În timp ce fiecare pas te aduce mai aproape de marginea camerei, nu vei ajunge niciodată la el, sau vei ajunge, dar este nevoie de un număr infinit de pași.

Potrivit uneia dintre interpretările moderne, acest paradox se bazează pe o idee falsă a divizibilității infinite a timpului și spațiului.

Pi este un exemplu de infinit

Pi este un exemplu grozav de infinit. Matematicienii folosesc simbolul pi pentru numărul pi, deoarece este imposibil să scrieți întregul număr. Pi este alcătuit dintr-un număr infinit de numere. Este adesea rotunjit la 3,14 sau chiar 3,14159, dar indiferent de câte cifre sunt scrise după virgulă, este imposibil să ajungeți la sfârșitul numărului.

Teorema Maimuței Infinite

Un alt mod de a gândi la infinit este să luăm în considerare Teorema Maimuței Infinite. Conform teoremei, dacă îi dai unei maimuțe o mașină de scris și o perioadă infinită de timp, în cele din urmă maimuța va putea tipări Hamlet sau orice altă lucrare.

În timp ce mulți oameni percep teorema ca pe o demonstrație a credinței că nimic nu este imposibil, matematicienii o văd ca o dovadă că un anumit eveniment este imposibil.

Fractali și infinit

Un fractal este un obiect matematic abstract folosit în matematică și artă, cel mai adesea simulează fenomene naturale. Un fractal este scris ca o ecuație matematică. Privind la un fractal, puteți vedea structura sa complexă la orice scară. Cu alte cuvinte, fractalul crește infinit.

Fulgul de zăpadă Koch este un exemplu interesant de fractal. Fulgul de zăpadă arată ca un triunghi echilateral care formează o curbă închisă de lungime infinită. Prin creșterea curbei, se pot vedea tot mai multe detalii pe ea. Procesul de creștere a curbei poate continua de un număr infinit de ori. Deși fulgul de zăpadă Koch are o zonă limitată, este limitat de o linie infinit de lungă.

Infinitate de diferite dimensiuni

Infinitul este nelimitat, dar se pretează la măsurare, deși comparativ. Numerele pozitive (mai mari decât 0) și numerele negative (mai mici de 0) se laudă cu seturi infinite de numere de dimensiuni egale. Ce se întâmplă când combini ambele seturi? Setul va fi de două ori mai mare. Sau un alt exemplu - toate numerele pare (există un număr infinit de ele). Și totuși este doar jumătate din numărul infinit al tuturor numerelor întregi. Un alt exemplu, adaugă doar unul la infinit. Învață numărul 1 mai mult decât infinitul.

Cosmologie și infinit

Cosmologii studiază Universul, nu este de mirare că conceptul de infinit joacă un rol important pentru ei. Universul are limite sau este infinit?

Această întrebare rămâne încă fără răspuns. Universul nostru se extinde, dar unde? Și unde este limita acestei expansiuni? Chiar dacă universul fizic are granițe, avem totuși o teorie a multiversului, care ia în considerare existența unui număr infinit de universuri, în care pot exista legi ale fizicii diferite de ale noastre.

Impartirea cu zero

Nu există împărțire la zero. Este imposibil, cel puțin în matematica obișnuită. În matematica noastră obișnuită, unul împărțit la zero este imposibil de definit. Aceasta este o greșeală. Cu toate acestea, acesta nu este întotdeauna cazul. În teoria extinsă a numerelor complexe, împărțirea unu la zero nu provoacă colaps inevitabil și este determinată de o formă de infinit. Cu alte cuvinte, matematica este diferită și nu toată este limitată de regulile din manuale.

În viața de zi cu zi, o persoană se confruntă cel mai adesea cu cantități finite. Prin urmare, poate fi foarte dificil să vizualizezi un infinit nelimitat. Acest concept este învăluit într-o aură de mister și neobișnuit, amestecată cu venerația față de Univers, ale cărui limite sunt aproape imposibil de definit.

Infinitatea spațială a lumii aparține celor mai complexe și controversate probleme științifice. Filosofii și astronomii antici au încercat să rezolve această întrebare prin intermediul celor mai simple construcții logice. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să admitem că se poate ajunge la presupusa margine a universului. Dar dacă întindeți mâna în acest moment, atunci granița se deplasează înapoi la o anumită distanță. Această operație poate fi repetată de nenumărate ori, ceea ce dovedește infinitul universului.

Infinitul universului este greu de imaginat, dar nu mai puțin dificil decât ar putea arăta o lume limitată. Chiar și cei care nu sunt foarte avansați în studiul cosmologiei, în acest caz, se ridică o întrebare firească: ce este dincolo de granița Universului? Cu toate acestea, un astfel de raționament, construit pe bunul simț și pe experiența de zi cu zi, nu poate servi drept bază solidă pentru concluzii științifice riguroase.

Concepte moderne ale infinitului universului

Oamenii de știință moderni, explorând multiple paradoxuri cosmologice, au ajuns la concluzia că existența unui univers finit, în principiu, contrazice legile fizicii. Lumea din afara planetei Pământ, aparent, nu are granițe nici în spațiu, nici în timp. În acest sens, infinitul presupune că nici cantitatea de substanță conținută în Univers, nici dimensiunile lui geometrice nu pot fi exprimate chiar și prin cel mai mare număr („Evoluția Universului”, ID Novikov, 1983).

Chiar dacă luăm în considerare ipoteza conform căreia Universul s-a format acum aproximativ 14 miliarde de ani ca urmare a așa-numitului Big Bang, aceasta poate însemna doar că în acele vremuri extrem de îndepărtate lumea a trecut printr-o altă etapă de transformare naturală. În general, Universul infinit nu a apărut niciodată în timpul impulsului inițial sau dezvoltării inexplicabile a unui obiect intangibil. Asumarea unui univers infinit pune capăt ipotezei creației divine a lumii.

În 2014, astronomii americani au publicat rezultatele celor mai recente studii care susțin ipoteza existenței unui univers infinit și plat. Cu mare precizie, oamenii de știință au măsurat distanța dintre galaxii situate la o distanță de câteva miliarde de ani lumină una de cealaltă. S-a dovedit că aceste grupuri de stele spațiale colosale sunt situate în cercuri cu o rază constantă. Modelul cosmologic construit de cercetători demonstrează indirect că Universul este infinit atât în ​​spațiu, cât și în timp.

In contact cu

Există infinitul

Este Universul infinit și dacă - da, atunci „acest lucru nu poate fi”. Si daca nu, ce e pe cealaltă parte? Și cine iubește basmele despre limitatvarietati fără margine, cum ar fi o sferă - lăsați gândul să o trimită perpendicular pe margine.Ce este acolo? Sau cine. Infinitul fictiv nu este atât de emoționant, dar șide neînțeles, pe alocuri. Georg Cantor. Comparația infinităților. Continuum. Pepătratul are același număr de puncte ca și segmentul de dreaptă.

Senzația de arsură incinerătoare a eternității spațiale este șocantă atâta timp cât problemele Imperiului Celest sunt percepute de intestin, și nu de minte. Apoi un apel pătrunzător " inepuizabilitatea„Asurzește treptat și fiind ars de realitate, o persoană se ascunde într-o lume fictivă. Tot nu te poți ascunde bine.

În lumea ideilor, infinitul apare într-o altă formă. În ce sens există o serie naturală? Ca proces de desfășurare sau ca proces finalizat? Numerele naturale pot fi construite sau sunt deja disponibile? La început problema

miroase a scolastică. Este tot la fel, s-ar părea. Nu există consecințe.

Consecințele sunt însă enorme. Alternativ, se obțin două matematici diferite. Unul este constructiv, care nu permite realizarea infinitului în toată imensitatea lui. Celălalt este obișnuit, omnivor.

Mici necazuri din prezența infinitului apar deja în elementar

situații precum prezența unei corespondențe unu-la-unu n ↔ n ^ 2 determină ideea că există atâtea numere întregi câte pătrate sunt. Exemplul a pus dinții de mult în urmă, dar în forma sa cea mai simplă reflectă existența unei probleme. Se dovedește, la urma urmei, dacă cineva ia 10 ruble de la mine în fiecare zi și dă - una, atunci când procesul se termină, vom renunța. Căci dacă rândul a avut deja loc, a n-a rublă mi-a fost dată în a n-a zi. Paradoxul, desigur, nu merită deloc, pentru că procesul nu se va termina niciodată, crede elevul de clasa a cincea.

Dar fracțiile p/q? Toate „există deja” pe segment. Sunt aici, nu trebuie adăugate unul câte unul. Astfel încât - " capcană de dimensiune finită pentru infinit". Puțin

un portofel în care sunt plasate toate fracțiile. Și rădăcina a doi, ca o infinitate completată, din cauza infinitului fracției zecimale. Prin urmare, teoria mulțimilor are toate motivele să considere infinitul ca „ dat". Un alt lucru este că asupra acestui dat se impun anumite cerințe, astfel încât să nu existe contradicții.

Totuși, de îndată ce recunoști ceva, începe bătaia de cap. Infinități roiesc, și cu

ele trebuie gestionate cumva. Acest lucru a fost făcut Georg Cantor, care a creat teoria multimilor. Revoluția care a avut loc confirmă cunoscuta teză „ adevărul se naște ca o erezie și moare ca un loc obișnuit". Ideile principale sunt disponibile pentru toată lumea astăzi. A " atunci" imposibil

era să explic cuiva. Intuiția a rezistat. Acum boala a prins rădăcini, nedumerirea s-a secat.

Studiul mulțimilor sa bazat pe instrumentul Kantor de corespondență unu-la-unu. Mulțimile X, Y sunt echivalente dacă se poate stabili o corespondență unu-la-unu între elementele lor.

Relația de echivalență reflexivși tranzitiv care te lasă să spargi totul

se stabilește în clase de echivalență. Clasa de echivalență a unei mulțimi X se numește cardinalitate și se notează cu | X |. Seturile sunt ordonate după cardinalitate folosind un truc natural.

Seturile echivalente cu o serie naturală sunt numite numărabile. Orice secvențe sunt numărabile. Considerarea fracțiilor zecimale se confruntă cu un nou fenomen. Setul de astfel de numere (continuum) se dovedește a fi de nenumărat.

Încercarea istorică de a stabili că un segment și un pătrat x au puteri diferite a fost foarte dureroasă. S-a dovedit - la fel. Lumea nu a primit o asemenea zdruncinare de pe vremea lui Galileo, când s-a descoperit că toate corpurile cad cu același

accelerare.

Oricum ar fi, infinitul și-a câștigat un loc în soare. Fără el, totul în matematică ar „sta nemișcat”. Da ~ stă - în matematică constructivă, unde nu se potrivește - obișnuit. Egalitățile și inegalitățile numerelor constructive de cele mai multe ori nu sunt verificate, secvențele nu au unde să convergă, limitele nu există, continuitatea este doar un vis și, în general, totul se prăbușește. O poză groaznică. Este chiar dificil de evaluat amploarea dezastrului. Prin urmare, infinitul este aproape la fel de util ca „unu”. Cealaltă parte a monedei, parcă. Un fel de receptacul pentru ceva care „nu există”.