В продължение на тема "Решение на уравненията", материалът на този член ще ви запознае с квадратни уравнения.
Разгледайте всичко в детайли: същността и записването на квадратното уравнение, настройте съпътстващите термини, ние ще анализираме схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, да се запознаем с формулата на корените и дискриминацията, да установявате връзки между корените и коефициентите, И разбира се, даваме визуално решение на практически примери.
Yandex.rtb r-a-339285-1
Квадратно уравнение, неговите видове
Определение 1.Квадратно уравнение - това е уравнението, записано като a · x 2 + b · x + c \u003d 0където Х. - променлива, a, b и ° С. - Някои числа, докато а.няма нула.
Често квадратните уравнения също се наричат \u200b\u200bимето на второстепенните уравнения, тъй като по същество квадратното уравнение е алгебричното уравнение на втората степен.
Даваме пример за илюстриране на дадена дефиниция: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 и т.н. - Това са квадратни уравнения.
Определение 2.
Числа А, Б и ° С. - това са коефициентите на квадратното уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0, с коефициента А. Нарича се първи или по-възрастен или коефициентът на X 2, B - втори коефициент или коефициент, когато Х., но ° С. Обадете се на свободен член.
Например, в квадратно уравнение 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Старшият коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 и свободният член е равен − 11 . Обърнете внимание на факта, че когато коефициентите Б.и / или С са отрицателни, след това се използва кратка форма на запис за преглед. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, но не 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.
Също така изясняваме този аспект: ако коефициентите А. и / или Б. равен 1 или − 1 , след това изрично участие в записването на квадратното уравнение, те може да не бъдат предприети, което се обяснява с характеристиките на рекорда на тези цифрови коефициенти. Например, в квадратно уравнение Y 2 - Y + 7 \u003d 0 Старшият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .
Определени и неженени квадратни уравнения
По стойността на първия коефициент, квадратните уравнения са разделени на горното и неплатено.
Определение 3.
Намаленото квадратно уравнение - Това е квадратно уравнение, където по-възрастният коефициент е равен на 1. За други стойности на по-стария коефициент, квадратното уравнение не е невалидно.
Ние даваме примери: квадратни уравнения x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 са представени във всеки от които по-старият коефициент е 1.
9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - интегрално квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .
Всяко уравнение от неспадното квадрат е възможно да се превърне в дадено уравнение, ако е разделено от двете части до първия коефициент (еквивалентна трансформация). Превързаното уравнение ще има същите корени като посоченото интелигентно уравнение или да не е корени изобщо.
Разглеждането на конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме прехода от интегрално квадратно уравнение на дадения.
Пример 1.
Уравнението е настроено 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Необходимо е да се преобразува първоначалното уравнение в горната форма.
Решение
Схемата на посочените по-горе е разделена и от двете части на първоначалното уравнение на старшия коефициент 6. Тогава получаваме: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3И това е същото като: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 И по-нататък: (6: 6) · X 2 + (18: 6) · X - 7: 6 \u003d 0. Оттук: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. По този начин се счита за уравнение.
Отговор: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.
Пълни и непълни квадратни уравнения
Обърнете се към определението на квадратното уравнение. В него изяснихме това A ≠ 0.. Такова условие е необходимо за уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0 Беше точно квадратно, защото A \u003d 0. По същество се превръща в линейно уравнение b · x + c \u003d 0.
В случая, когато коефициентите Б. и ° С.равна на нула (която е възможно, както индивидуално, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.
Определение 4.
Непълна квадратна уравнение - такова квадратно уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0,където поне един от коефициентите Б.и ° С.(или и двете) е нула.
Пълно квадратно уравнение - квадратно уравнение, в което всички цифрови коефициенти не са нула.
Наслаждаваме се защо вида на квадратните уравнения са дадени точно имената.
За b \u003d 0 квадратното уравнение поема формата A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0че същото е това a · x 2 + c \u003d 0. За C \u003d 0. Коравното уравнение се записва като a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0Това е еквивалентно a · x 2 + b · x \u003d 0. За B \u003d 0. и C \u003d 0. Уравнението ще бъде изглед a · x 2 \u003d 0. Уравненията, които получихме, са различни от пълното квадратно уравнение, тъй като левите им части не се съдържат или компонент от променливата на X или свободен елемент или и двете наведнъж. Всъщност този факт беше зададен името на такъв вид уравнения - непълна.
Например, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 и - 7 · x 2 - 2 · х + 1, 3 \u003d 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - непълни квадратни уравнения.
Решение на непълни квадратни уравнения
Горното определение позволява да се разграничат следните видове непълни квадратни уравнения:
- a · x 2 \u003d 0Това уравнение съответства на коефициентите B \u003d 0. и c \u003d 0;
- a · x 2 + c \u003d 0 за b \u003d 0;
- a · x 2 + b · x \u003d 0 при C \u003d 0.
Разгледайте решението на всеки вид непълна квадратно уравнение.
Разтвор на уравнението A · x 2 \u003d 0
Както бе споменато по-горе, уравнението съответства на коефициентите Б. и ° С.равен на нула. Уравнението a · x 2 \u003d 0 Възможно е да се конвертира уравнение до еквивалент на него x 2 \u003d 0които получаваме, споделяме двете части на уравнението на източника за броя А.не е равно на нула. Очевиден факт, че коренът на уравнението x 2 \u003d 0 Това е нула, защото 0 2 = 0 . Други корени, това уравнение няма, което се обяснява с свойствата на степента: за всеки номер p,не е равно на нула, вярно неравенство P2\u003e 0Какво следва, че кога P ≠ 0. Равенство P 2 \u003d 0никога няма да бъдат постигнати.
Определение 5.
По този начин, за непълно квадратно уравнение a · x 2 \u003d 0 има единственият корен x \u003d 0..
Пример 2.
Например, ние решаваме непълна квадратна уравнение - 3 · x 2 \u003d 0. Тя е еквивалентна на уравнението x 2 \u003d 0, единственият му корен е x \u003d 0., Тогава първоначалното уравнение има единствения корен - нула.
Накратко решението се състои от това:
- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.
Разтвор на уравнението a · x 2 + c \u003d 0
Върху опашката - решението на непълни квадратни уравнения, където b \u003d 0, c ≠ 0, т.е. уравненията на формата a · x 2 + c \u003d 0. Ние трансформираме това уравнение, извършил термина от една част от уравнението в друга, променяйки знака до обратното и разделянето на двете части на уравнението на номера, не е равно на нула:
- трансфер ° С. в дясната част, която дава уравнение A · x 2 \u003d - c;
- разделяме двете части на уравнението А., Получавам в края x \u003d - c a.
Нашите трансформации са еквивалентни, съответно, полученото уравнение е еквивалентно и на източника и този факт дава възможност да се сключат корените на уравнението. От това, което е значението А. и ° С.стойността на изразяването зависи - c a: може да има знак минус (да кажем дали A \u003d 1. и C \u003d 2., след това - C A \u003d - 2 1 \u003d - 2) или плюс знак (например, ако A \u003d - 2 и C \u003d 6.след това - С a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); не е нула, защото C ≠ 0.. Нека да живеем по-подробно в ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .
В случая, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа Пс. Равенство P 2 \u003d - C не може да е вярно.
Всичко иначе, когато - C A\u003e 0: Изземване на квадратния корен и ще бъде очевидно, че уравнението x 2 \u003d - c a ще бъде номерът - c a, тъй като - c a 2 \u003d - c a. Не е трудно да се разбере, че номерът е - С А е и коренът на уравнението x 2 \u003d - c a: наистина, - - c a 2 \u003d - c a.
Други уравнения на корените няма да имат. Можем да го демонстрираме с помощта на гаден метод. За да започнете, задайте обозначенията, намерени над корените като x 1. и - x 1.. Ще предложа това уравнение x 2 \u003d - c a също е корен x 2.който се различава от корените x 1. и - x 1.. Знаем, че вместо това заместваме уравнението Х. Неговите корени, ние превръщаме уравнението в справедливо числово равенство.
За x 1. и - x 1. Пишем: x 1 2 \u003d - c a, и за x 2. - x 2 2 \u003d - c a. Разчитайки на свойствата на числените равенства, попълват едно право равенство от друго, което ще ни даде: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Използвайте свойствата на действията с номера, за да пренапишете най-новото равенство като (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Известно е, че работата на две числа е нула тогава и само ако поне един от числата е нула. От казаното x 1 - x 2 \u003d 0 и / или x 1 + x 2 \u003d 0че едно и също нещо x 2 \u003d x 1 и / или x 2 \u003d - x 1. Имаше очевидно противоречие, защото в началото беше договорено, че коренът на уравнението x 2. се различава от x 1. и - x 1.. Така че, доказахме, че уравнението няма други корени, с изключение на X \u003d - C A и X \u003d - - C a.
Обобщаваме всички разсъждения по-горе.
Определение 6.
Непълна квадратна уравнение a · x 2 + c \u003d 0 еквивалент на уравнение x 2 \u003d - c a, което:
- няма да има корени, когато - c a< 0 ;
- ще има два корена x \u003d - c a и x \u003d - - c a с - c a\u003e 0.
Даваме примери за решаване на уравнения a · x 2 + c \u003d 0.
Пример 3.
Определя се квадратното уравнение 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Необходимо е да се намери решението си.
Решение
Прехвърляме свободен член в дясната част на уравнението, тогава уравнението ще бъде под формата 9 · x 2 \u003d - 7.
Разделяме двете части на полученото уравнение 9
, идват до x 2 \u003d - 7 9. В дясната част виждаме номер с минус знак, което означава: посоченото уравнение няма корени. След това оригиналната непълна квадратна уравнение 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Няма да има корени.
Отговор: уравнението 9 · x 2 + 7 \u003d 0той няма корени.
Пример 4.
Необходимо е да се реши уравнението - x 2 + 36 \u003d 0.
Решение
Преместваме 36 до дясната страна: - x 2 \u003d - 36.
Разделяме двете части на − 1
, x 2 \u003d 36. В дясната част - положително число, от тук можем да заключим това
x \u003d 36 или
X \u003d - 36.
Извадете корена и запишете крайния резултат: непълно квадратно уравнение - x 2 + 36 \u003d 0 Той има два корена x \u003d 6. или x \u003d - 6.
Отговор: x \u003d 6. или x \u003d - 6.
Разтвор на уравнението a · x 2 + b × \u003d 0
Ще разгледаме третия вид непълни квадратни уравнения, когато C \u003d 0.. Да се \u200b\u200bнамери решение на непълно плоско уравнение a · x 2 + b · x \u003d 0, Ние използваме метода на разлагане на мултипликатори. Разпространение на множители на полином, който е в лявата част на уравнението, като прави общ множител за скоби Х.. Тази стъпка ще предостави възможност за превръщане на първоначалния непълт квадратно уравнение на еквивалент x · (a · x + b) \u003d 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на съвместността уравнения x \u003d 0. и A · x + b \u003d 0. Уравнението A · x + b \u003d 0 Линеен и коренът му: x \u003d - b a.
Определение 7.
По този начин, непълно квадратно уравнение a · x 2 + b · x \u003d 0 ще има два корена x \u003d 0. и x \u003d - b a.
Закрепете материала чрез пример.
Пример 5.
Необходимо е да се намери разтвор на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.
Решение
Да водим Х. За скоби и получаване на уравнение X · 2 3 · X - 2 2 7 \u003d 0. Това уравнение е еквивалентно на уравненията x \u003d 0. и 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Сега е необходимо да се реши полученото линейно уравнение: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.
Накратко решаването на уравнението да се напише по този начин:
2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0
x \u003d 0 или 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0
x \u003d 0 или x \u003d 3 3 7
Отговор: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.
Дискриминантна, корените формула на квадратното уравнение
За да намерите решение на квадратни уравнения, има формула за корените:
Определение 8.
x \u003d - b ± d2 · a, където D \u003d b 2 - 4 · a · c - така наречената дискриминация на квадратно уравнение.
Записването x \u003d - b ± d2 · a по същество означава, че x 1 \u003d - b + d2 · a, x 2 \u003d - b - d2 · a.
Ще бъде полезно да се разбере как е получена посочената формула и как да го приложим.
Изхода на корените на квадратното уравнение
Нека бъдем оспорвани да решават квадратното уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Извършване на редица еквивалентни трансформации:
- разделяме двете части на уравнението за номера а.Освен нула, получаваме намаленото квадратно уравнение: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
- ние подчертаваме пълния квадрат в лявата страна на полученото уравнение:
X 2 + BA · X + Ca \u003d X 2 + 2 · B 2 · A · X + B 2 · А2 - В2 · А2 + СА \u003d х + В2 · А2 - В2 · A 2 + CA .
След това уравнението ще приеме формата: X + B 2 · А2 - В2 · А2 + С А \u003d 0; - сега е възможно да се направи прехвърлянето на последните две термини в дясната страна, като променя знака до обратното, след което получаваме: X + B 2 · А2 \u003d В2 · А2 - С А;
- и накрая, ние трансформираме израза, записан от дясната страна на последното равенство:
B 2 · А2 - С А \u003d В2 4 · А2 - С А \u003d В2 4 · А2-4 · А · С4 · А2 \u003d В2 - 4 · А · С4 · А2.
Така стигнахме до уравнението Х + В2 · А2 \u003d В2 - 4 · A · C4 · А2, равностоен източник a · x 2 + b · x + c \u003d 0.
Разбрахме решаването на такива уравнения в предишните параграфи (решение на непълни квадратни уравнения). Натрупаният опит дава възможност да се заключат по отношение на корените на уравнението X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:
- при B 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- за B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0, уравнението има форма X + B 2 · A 2 \u003d 0, след това X + B 2 · A \u003d 0.
Следователно единственият корен X \u003d - B 2 · А е очевиден;
- за B 2 - 4 · A · C4 · A 2\u003e 0, то ще бъде правилно: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 или X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · C4 · А2, което е същото като X + - B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 или X \u003d - B 2 · A - B 2 - 4 · A · c 4 · a 2, т.е. Уравнението има два корена.
Възможно е да се заключи, че присъствието или отсъствието на корените на уравнението X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 (и следователно първоначалното уравнение) зависи от признаците на експресия b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, записани от дясната страна. И знакът на този израз е зададен от броя на числителя (знаменател) 4 · А2 винаги ще бъде положително), т.е. признак на изразяване B 2 - 4 · А · C. Този израз B 2 - 4 · А · C Името е дискриминацията на квадратна евакуация и се определя като неговото определяне на буквата D. Тук можете да записвате същността на дискриминацията - по нейната стойност и знакът се заключава дали квадратното уравнение ще има валидни корени и ако е така, какъв е броят на корените - един или два.
Връщане към уравнението X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · a 2. Пренаписвам го с дискриминационно обозначение: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.
Ще формулираме отново заключения:
Определение 9.
- за Д.< 0 Уравнението няма валидни корени;
- за D \u003d 0. Уравнението има единствения корен X \u003d - B 2 · А;
- за D\u003e 0. Уравнението има два корена: x \u003d - b 2 · a + d4 · a 2 или x \u003d - b 2 · a - d4 · a 2. Тези корени, базирани на свойствата на радикалите, могат да бъдат написани във формата: X \u003d - B 2 · A + D2 · А или - В2 · А - D2 · a. И когато разкрием модулите и даваме фракциите на общия знаменател, получаваме: x \u003d - b + d2 · a, x \u003d - b - d2 · a.
Така резултатът от нашето разсъждение е премахването на формулата на корените на квадратното уравнение:
x \u003d - B + D2 · A, X \u003d - B - D2 · А, дискриминантна Д. Изчислени по формула D \u003d b 2 - 4 · a · c.
Тези формули правят възможно, когато е дискриминиран, за да се определят и двете валидни корени. Когато дискриминацията е нула, използването на двата формули ще даде същия корен като единственият разтвор на квадратното уравнение. В случая, когато дискриминацията е отрицателна, опитвайки се да използва основната формула на квадратното уравнение, ще се изправим пред необходимостта от отстраняване на квадратния корен от отрицателното число, което ще ни води извън действителните числа. С отрицателен дискриминант, квадратното уравнение няма да бъде валидни корени, но са възможни чифт изчерпателно конюгирани корени, определени от същите коренови формули, получени от нас.
Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения на корените на корените
Възможно е да се реши квадратното уравнение, веднага да се колоедизира формулата на корените, но основно те, ако е необходимо, намерете комплексни корени.
В основната маса на случаите обикновено се подразбира за търсенето на неделни, но валидни корени на квадратното уравнение. След това оптимално преди използването на формулите на корените на квадратното уравнение, първо определете дискриминацията и се уверете, че не е отрицателен (в противен случай заключаваме, че уравнението няма валидни корени) и след това продължава да изчислява стойността на корените.
Аргументите по-горе предоставят възможност за формулиране на алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.
Определение 10.
За решаване на квадратно уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0, необходимо е:
- според формулата D \u003d b 2 - 4 · a · c Намерете стойността на дискриминатора;
- с D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- в d \u003d 0 намерите единствения корен на уравнението съгласно формулата X \u003d - B 2 · А;
- за D\u003e 0 определете двата валидни корена на квадратното уравнение съгласно формулата X \u003d - B ± D2 · a.
Обърнете внимание, че когато дискриминацията е нула, можете да използвате формулата x \u003d - b ± d2 · a, тя ще даде същия резултат като формулата x \u003d - b 2 · a.
Разгледайте примери.
Примери за решения на квадратни уравнения
Представяме решаването на примерите при различни стойности на дискриминацията.
Пример 6.
Необходимо е да се намерят корените на уравнението x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.
Решение
Ние пишем номера коефициентите на квадратното уравнение: a \u003d 1, b \u003d 2 и C \u003d - 6. След това действаме на алгоритъма, т.е. Ще продължим да изчисляваме дискриминацията, за която ще заменим коефициентите A, B и ° С. Във формулата на дискриминацията: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.
Така че, получихме D\u003e 0 и това означава, че първоначалното уравнение ще има два валидни корена.
За да ги намерите, използваме кореновата формула X \u003d - B ± D2 · А и, замествайки съответните стойности, получаваме: X \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Опростяваме произтичащия израз, като правим множител за коренния знак, последван от рязането на фракцията:
x \u003d - 2 ± 2 · 7 2
x \u003d - 2 + 2,7 2 или X \u003d - 2 - 2,7 2
x \u003d - 1 + 7 или x \u003d - 1 - 7
Отговор: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.
Пример 7.
Необходимо е да се реши квадратното уравнение - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.
Решение
Определят дискриминацията: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. С тази дискриминационна стойност първоначалното уравнение ще има само един корен, определен с формулата X \u003d - B 2 · a.
x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5
Отговор: x \u003d 3, 5.
Пример 8.
Необходимо е да се реши уравнението 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0
Решение
Цифрираните коефициенти на това уравнение ще бъдат: a \u003d 5, b \u003d 6 и c \u003d 2. Използваме тези стойности, за да намерим дискриминантно: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4,5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Изчисленият дискриминант е отрицателен, следователно първоначалното квадратно уравнение няма валидни корени.
В случай, че задачата е да се уточнят сложни корени, прилагайте коренната формула, извършване на действия със сложни номера:
x \u003d - 6 ± - 4 2,5,
x \u003d - 6 + 2 · i 10 или x \u003d - 6 - 2 · i 10, \\ t
x \u003d - 3 5 + 1 5 · I или X \u003d - 3 5 - 1 5 · i.
Отговор: Няма валидни корени; Комплексните корени са както следва: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.
В училищна програма Стандартно няма изискване за търсене на сложни корени, така че ако по време на разтвора дискриминацията се определя като отрицателна, отговорът незабавно се записва, че няма валидни корени.
Корените с формула за дори втори коефициенти
Формулата на корените X \u003d - B ± D2 · А (d \u003d B 2 - 4 · A · с) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, позволяваща да се намерят разтвори на квадратни уравнения с черен коефициент при X (или с коефициент тип 2 · n, например, 2,3 или 14 · ln 5 \u003d 2,7 · ln 5). Ние показваме как се показва тази формула.
Нека бъдем задача да намерим разтвора на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Ние действаме върху алгоритъма: определят дискриминационния D \u003d (2 · N) 2 - 4 · C \u003d 4 · N2 - 4 · C \u003d 4 · (N2 - A · ° С) и след това използвайте Коренна формула:
x \u003d - 2 · N ± D2 · А, X \u003d - 2 · N ± 4 · N2 - A · С2 · А, X \u003d - 2 · N ± 2N2 - A · C 2 · A, X \\ t \u003d - N ± N2 - A · CA.
Оставете експресията N 2 - A · C да бъде посочена като D1 (понякога d "). Тогава формулата на корените на квадратното уравнение под внимание с втория коефициент 2 · n ще приеме формата:
x \u003d - N ± D1a, където d1 \u003d N2 - A · ° С.
Лесно е да се види, че това d \u003d 4 · d1, или d 1 \u003d d 4. С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминацията. Очевидно е, че знакът D1 е същият като знака D, което означава, че знакът D 1 може да служи и като индикатор за присъствието или отсъствието на корените на квадратното уравнение.
Определение 11.
Така, за да се намери разтвор на квадратното уравнение с втория коефициент 2 · n, е необходимо:
- намерете D1 \u003d N2 - A · C;
- с d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- за d 1 \u003d 0, определете единствения корен на уравнението съгласно формулата X \u003d - NA;
- за d 1\u003e 0, определете двата валидни корени съгласно формулата X \u003d - n ± d 1 a.
Пример 9.
Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.
Решение
Вторият коефициент на определеното уравнение може да бъде представен като 2 · (- 3). След това пренапишете посоченото квадратно уравнение като 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, където a \u003d 5, n \u003d - 3 и c \u003d - 32.
Изчисляваме четвъртата част на дискриминатора: D 1 \u003d N2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Получената стойност положително, това означава, че уравнението има две валидни корени. Ние ги определяме според съответната коренова формула:
x \u003d - n ± d1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,
x \u003d 3 + 13 5 или x \u003d 3 - 13 5
x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2
Би било възможно да се правят изчисления и по обичайната формула на корените на квадратното уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.
Отговор: x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2.
Опростяване на видовете квадратни уравнения
Понякога е възможно да се оптимизира вида на уравнението на източника, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.
Например, квадратно уравнение 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 е ясно по-удобно за решаване от 1200 · x 2 - 400 × - 700 \u003d 0.
По-често опростяването на вида на квадратното уравнение се извършва чрез умножение или разделяне на двете части в един вид номер. Например, ние показахме опростен запис на уравнението 1200 · X 2 - 400 · X - 700 \u003d 0, получено чрез разделяне на двете части със 100.
Такава конверсия е възможна, когато коефициентите на квадратното уравнение не са взаимно прости числа. След това обикновено се разделят и двете части на уравнението към най-големия общ делител на абсолютните стойности на нейните коефициенти.
Като пример, използвайте квадратно уравнение 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Ние определяме възела на абсолютните стойности на нейните коефициенти: възли (12, 42, 48) \u003d възел (възел (12, 42), 48) \u003d възел (6, 48) \u003d 6. Ще разделим двете части на първоначалното квадратно уравнение на 6 и получаваме еквивалентно квадратно уравнение 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.
Умножаването на двете части на квадратното уравнение обикновено се отървава от фракционните коефициенти. В същото време, умножено по най-малък общ знаменател на нейните коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение е 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 се размножава от NOC (6, 3, 1) \u003d 6, след което ще бъде записано в по-прост форма X 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.
И накрая, отбелязваме, че почти винаги се отърват от минус при първия коефициент на квадратното уравнение, като променят признаците на всеки член на уравнението, който се постига чрез умножаване (или разделения) на двете части от 1. Например, от квадратно уравнение - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, можете да отидете в опростената версия 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.
Комуникация между корените и коефициентите
Формулата на корените на квадратните уравнения X \u003d - B ± D2 · А вече известно на нас изразява корените на уравнението чрез числените коефициенти. Разчитайки на тази формула, имаме възможност да определим други зависимости между корените и коефициентите.
Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Виета:
x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.
По-специално, за намаленото квадратно уравнение, количеството на корените е вторият коефициент с противоположния знак и продуктът на корените е безплатен. Например, според вида на квадратното уравнение 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, възможно е незабавно да се определи, че сумата на корените му е 7 3, а продуктът на корените е 22 3.
Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, сумата от квадратите на корените на квадратното уравнение може да бъде изразена чрез коефициентите:
x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · х 2 \u003d - BA2-2 · Ca \u003d B 2 A2 - 2 · Ca \u003d B 2 - 2 · A · CA 2.
Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter
С тази математическа програма можете решаване на квадратно уравнение.
Програмата не само дава задачата на отговор, но и показва процеса на решение по два начина:
- с помощта на дискриминантност
- използване на теоремата на Vieta (ако е възможно).
Освен това отговорът е точен, не е приблизително.
Например, за уравнението (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0), отговорът се извежда в този формуляр:
Тази програма може да бъде полезна за студенти от гимназии на общи училища при подготовка за тестове и изпити, когато проверяват знанията пред изпита, родителите за наблюдение на решаването на много проблеми в математиката и алгебрата. Или може би сте прекалено скъпи за наемане на преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашното си по математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.
По този начин можете да провеждате собствено обучение и / или обучение на по-малките си братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решени задачи се увеличава.
Ако не сте запознати с правилата за влизане в квадратна полинома, препоръчваме ви да се запознаете с тях.
Правила за въвеждане на квадратни полиномиални вход
Като променлива може да бъде всяка латинска буква.
Например: (X, Y, Z, A, B, C, O, P, Q) и др.
Числата могат да влязат цялостно или частично.
Освен това, фракционните числа могат да се прилагат не само под формата на десетична, но и под формата на обикновена фракция.
Правилата за въвеждане на десетични фракции.
При десетични фракции частичната част на цялото може да бъде разделена като точка и запетая.
Например, можете да въведете десетични части като тази: 2.5x - 3.5x ^ 2
Правила за влизане на обикновени фракции.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от фракцията.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
Когато влизате в цифрова фракция, числителят се отделя от знаменателя към делената: /
Цялата част е отделена от Fraraty Ampersand Sign: &
Вход: 3 и 1/3 - 5 и 6 / 5Z + 1 / 7Z ^ 2
Резултат: (3 FRAC (1) (3) - 5 FRAC (6) (5) Z + RAC (1) (7) Z ^ 2)
При влизане в израза можете да използвате скоби. В този случай, когато решават квадратното уравнение, въведеният израз е първи опростен.
Например: 1/2 (Y - 1) (Y + 1) - (5Y-10 и 1/2)
Реши
Установено е, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не се зареждат, а програмата може да не работи.
Може да имате включен Adblock.
В този случай го изключете и актуализирайте страницата.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкциите, как да активирате JavaScript в браузъра ви.
Като Желаейки да решават задачата е много, заявката ви е в съответствие.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай Сек ...
Ако ти забеляза грешка в решаванетоМожете да пишете за него в формуляра за обратна връзка.
Не забравяй посочете каква задача Вие решавате и какво влезте в полето.
Нашите игри, пъзели, емулатори:
Малко теория.
Квадратно уравнение и корените му. Непълни квадратни уравнения
Всяко от уравненията
(- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, quad x ^ 2- frac (4) (9) \u003d 0)
Има външен вид
(AX ^ 2 + BX + C \u003d 0, \\ t
където x е променлива, a, b и c - номера.
При първото уравнение A \u003d -1, B \u003d 6 и C \u003d 1.4, във втория А \u003d 8, В \u003d -7 и С \u003d 0, в третия А \u003d 1, В \u003d 0 и С \u003d 4/9. Такива уравнения се наричат квадратни уравнения.
Определение.
Квадратно уравнение Уравнението на Axe Ax2 + BX + C \u003d 0, където X е променливата, А, В и С са някои числа, и (NEQ 0).
Числата А, В и С са коефициентите на квадратното уравнение. Броят А се нарича първият коефициент, числото Б е вторият коефициент и номер C - свободен член.
Във всяко от уравненията на формата AX 2 + BX + C \u003d 0, където (NEQ 0), най-голяма степен на променлива X - квадрат. Оттук и името: квадратно уравнение.
Обърнете внимание, че квадратното уравнение се нарича още уравнение на втората степен, тъй като лявата му част има полином от втора степен.
Квадратно уравнение, в което коефициентът при X 2 е 1, наречен дадено квадратно уравнение. Например, дадени квадратни уравнения са уравнения
(x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, quad x ^ 2-8 \u003d 0)
Ако в квадратната уравнение AX2 + BX + C \u003d 0, поне един от коефициентите В или С е нула, тогава такова уравнение се нарича непълна квадратна уравнение. Така че, уравненията -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 са непълни квадратни уравнения. В първия от тях b \u003d 0, във втория c \u003d 0, в третия b \u003d 0 и c \u003d 0.
Непълните квадратни уравнения са три вида:
1) AX 2 + C \u003d 0, където (C \\ t NEQ 0);
2) AX 2 + BX \u003d 0, където (b] 0);
3) AX 2 \u003d 0.
Помислете за решаването на уравненията на всеки от тези видове.
За решаване на непълна квадратна уравнение на формата AX 2 + C \u003d 0, с (C), тя се прехвърля в свободния си член в дясната страна и прави двете части на уравнението на:
(x ^ 2 \u003d - frac (c) (а) дясно x_ (1,2) \u003d pm sqrt (- frac (c) (a)) \\ t
Тъй като (C] 0), след това (- FRAC (C) (a) neq 0)
IF (- frac (c) (а)\u003e 0), уравнението има два корени.
IF (- - FRAC (с) (а), за решаване на непълно квадратно уравнение на формата 2 + bx \u003d 0, с (b] 0), те намаляват лявата си част на множителите и получават уравнението
(X (ax + b) \u003d 0 Радницата е ляво (начало (масив) (l) x \u003d 0 ax + b \u003d 0 край (масив) дясно. \\ T (Array) (l) x \u003d 0 x \u003d - frac (b) (a) край (масив) \\ t
Така че, непълното квадратно уравнение на формата 2 + bx \u003d 0 с (b] New) винаги има два корена.
Непълна квадратна уравнение на формата 2 \u003d 0 е еквивалентна на уравнение x 2 \u003d 0 и следователно има единствения корен 0.
Коренна формула за уравнение
Помислете сега как се решават квадратните уравнения, в които и двата коефициента с неизвестен и свободен елемент са различни от нула.
Space Square уравнение в общ И в резултат на това получаваме основната формула. След това тази формула може да се използва при решаване на всяко квадратно уравнение.
Resister Square уравнение AX 2 + BX + C \u003d 0
Отделяме двете части на него, ние получаваме еквивалента на представеното квадратно уравнение
(x ^ 2 + frac (b) (а) х + frac (c) (а) \u003d 0)
Ние трансформираме това уравнение, подчертавайки площада на отскочи:
(x ^ 2 + 2x cdot frac (b) (2a) + left (frac (b) (2a) вдясно) ^ 2- останали (frac (b) (2a) вдясно) ^ 2 + frac (c) (а) \u003d 0 дял)
Изявлението се нарича дискриминантно квадратно уравнение AX 2 + BX + C \u003d 0 ("дискриминантност" на латиница е различен). Той се обозначава с буквата D, т.е.
(D \u003d b ^ 2-4ac)
Сега, използвайки обозначението на дискриминацията, пренапишете формулата за корените на квадратното уравнение:
(x_ (1,2) \u003d frac (-b pm sqrt (d)) (2a)), където (d \u003d b ^ 2-4ac)
Очевидно е, че:
1) Ако D\u003e 0, квадратното уравнение има два корена.
2) Ако d \u003d 0, квадратното уравнение има един корен (x \u003d - frac (b) (2a)).
3) ако d е по този начин, в зависимост от дискриминантната стойност, квадратното уравнение може да има два корена (с d\u003e 0), един корен (при d \u003d 0) или да няма корени (с d, когато решават квадратното уравнение за Тази формула е препоръчително да се прилага по следния начин:
1) Изчислете дискриминацията и го сравнете с нула;
2) Ако дискриминацията е положителна или равна на нула, след това използвайте коренната формула, ако дискриминацията е отрицателна, след това напишете корените.
Vieta теорема
Представеното квадратно уравнение AX 2-7x + 10 \u003d 0 има корени 2 и 5. количеството на корените е 7 и продуктът е 10. Виждаме, че количеството на корените е равно на втория коефициент, взет с обратното знака и продуктът на корените е равен на свободен член. Такъв имот има някакво квадратно уравнение с корен.
Сумата от корените на представеното квадратна уравнение е равна на втория коефициент, взет с противоположния знак, а продуктът на корените е равен на свободен елемент.
Тези. Теоремата на Vieta твърди, че корените на x 1 и x 2 от даденото квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0 имат имот:
(Започнете (arable) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\ t
Якупа М.И. 1
Smirnova yu.v. един
1 Общинска бюджетна образователна институция Средно училище № 11
Текстът на работата се поставя без изображения и формули.
Пълна версия Работи в раздела "Работни файлове" в PDF формат
Историята на квадратните уравнения
Вавилон
Необходимостта от решаване на уравнения не само до първа степен, но и втората в древността бе причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с площта на земните парцели, с развитието на самата астрономия и математика. Квадратни уравнения Написано за решаване на около 2000 години преди това. д. Вавилонски. Правилата за решаване на тези уравнения, посочени във вавилонските текстове, съвпадат по същество с модерни, но в тези текстове няма концепция за отрицателен брой и общи методи за решаване на квадратни уравнения.
Древна Гърция
Разтворът на квадратните уравнения бе включен Древна Гърция Такива учени като Diofant, Euclidean и Geron. Диофантът на Диофан Александрия е древен гръцки математик, който е живял вероятно през третия век на нашата епоха. Основната работа на Диофанта е "аритметика" в 13 книги. Евклид. Евклидовски древен гръцки математик, автор на първите от теоретичните трактати от математиката на Герон, който дойде при нас. Gereon - гръцки математик и инженер за първи път в Гърция в Република I век век дава чисто алгебричен метод за решаване на квадратно уравнение
Индия
Предизвикателствата на квадратни уравнения вече са открити в астрономическия трактат "Ариабхахат", съставен през 499. Индийски математик и астроном Ариабхата. Друг индийски учен, Брахмагупта (VII век), очерта общото правило за решаване на квадратните уравнения, дадени на една канонична форма: AX2 + BX \u003d C, A\u003e 0. (1) в уравнение (1) коефициентите могат да бъдат отрицателни. Правилото Brahmaguppta по същество съвпада с нашето. В Индия публичните състезания бяха разпределени в решаването на трудни задачи. В една от старите индийски книги се казва за такива състезания, както следва: "Тъй като слънцето свети със собствените си засензи, учредителят е засенчен с народни колекции, предлагане и решаване на алгебрични задачи." Задачите често се ползват в поетична форма.
Ето една от задачите на известната индийска математика XII век. Бхаскара.
"Проучване на маймуните маймуни
И дванайсет на Лиана до най-лошото, забавление
Започна да скача с висящ
Те са в квадратната част на осмата
Колко маймуни са били,
В поляната се забавляваше
Казвате ли ми, в този стак?
Решението на Бхаскара свидетелства, че авторът знае за двата маркирането на корените на квадратните уравнения. Съответната задача Уравнението Bhaskar пише под прикритието на X2 - 64x \u003d - 768 и за допълване на лявата страна на това уравнение на квадрата, добавя към двете части 322, получаване: X2 - B4X + 322 \u003d -768 + 1024, ( x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.
Квадратни уравнения в Европа XVII век
Формулите за решаване на квадратни уравнения за Al-Khorezmi в Европа бяха посочени за първи път в "Книгата на Абака", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази задълбочена работа, която отразява влиянието на математиката, двете страни на исляма и древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и яснота на представянето. Авторът разработи независимо някои нови алгебрични примери за решаване на проблеми и първата в Европа се обърна към въвеждането на отрицателни числа. Неговата книга популяризира разпространението на алгебрични познания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много предизвикателства от "Абака книга" преминаха почти всички европейски учебници XVI - XVII век. и частично XVIII. Изходът на формулата на разтвора на квадратното уравнение като цяло е наличен във Vieta, но Viet признава само положителни корени. Италиански математици Тарталия, Кардано, бомбено сред първите през XVI век. В допълнение към положителните и отрицателните корени. Само през XVII век. Благодарение на труда на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения приема модерен външен вид.
Определение на квадратно уравнение
Уравнението на формата AX 2 + BX + C \u003d 0, където A, B, C е числата, наречена квадрат.
Коефициенти на квадратно уравнение
Числа А, В, С - квадратни коефициенти. И първи коефициент (пред хх), a ≠ 0; b е вторият коефициент (преди x); c е свободен елемент (без х).
Кое от тези уравнения не е квадрат?
1. 4xqm + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2 / x² + 3x + 4 \u003d 0; 5. 1 x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² \u003d 0;
7. 4xQM + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 \u003d 0; 11. 7xqm + 5x \u003d 0; 12. -8x² \u003d 0; 13. 5x³ + 6x -8 \u003d 0.
Видове квадратни уравнения
|
Име |
Общ поглед върху уравнението |
Функция (кои коефициенти) |
Примери за уравнения |
|
aX 2 + BX + C \u003d 0 |
a, B, C - брой, различни от 0 |
1 / 3x 2 + 5x - 1 \u003d 0 |
|
|
Непълна |
|||
|
x 2 - 1 / 5x \u003d 0 |
|||
|
Представен |
x 2 + bx + c \u003d 0 |
x 2 - 3x + 5 \u003d 0 |
Квадратичното уравнение, в което старшият коефициент е равен на един. Такова уравнение може да бъде получено чрез разделяне на целия израз на старшия коефициент о:
х. 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a
Напълно наречено такова квадратно уравнение, всички коефициенти са различни от нула.
Непълно нареченото такова квадратно уравнение, в което поне един от коефициентите, в допълнение към по-старите (или втория коефициент или свободен елемент) е нула.
Методи за решаване на квадратни уравнения
I Метод. Обща формула за изчисляване на корените
Да намерите корените на квадратното уравнение брадва. 2 + B + C \u003d 0 Като цяло трябва да използвате алгоритъма по-долу:
Изчислете стойността на дискриминацията на квадратното уравнение: това се нарича израз D \u003d.б. 2 - 4ac.
Премахване на формулата:
Забележка: Очевидно е, че формулата за корена на множествеността 2 е специален случай с обща формула, той се оказва, когато заместващ в него е равенство d \u003d 0, и изхода на отсъствието на реални корени в D0, A (показване (DISPLOWN ( Sqrt (-1)) \u003d i) \u003d i.
Очертаният метод е универсален, но е далеч от единствения. За да разрешите едно уравнение, можете да се приближите по различни начини, предпочитанията обикновено зависят от решаването. Освен това, често за това някои от начините са значително по-елегантни, прости, по-малко отнемащи време от стандартния.
II начин. Корените на квадратното уравнение при дори коефициентб. III начин. Решение на непълни квадратни уравнения
IV метод. Използване на съотношения на частни коефициенти
Има специални случаи на квадратни уравнения, в които коефициентите са в отношенията между себе си, позволявайки им да ги решават много по-лесно.
Корените на квадратното уравнение, в които сумата на висшия коефициент и свободният елемент е равна на втория коефициент
Ако в квадратното уравнение брадва. 2 + BX + C \u003d 0 Сумата от първия коефициент и свободният елемент е равна на втория коефициент: a + b \u003d c, корените му са -1 и броя, противоположен на връзката на свободния член на по-стария коефициент ( -C / A.).
Следователно, преди да решите всяко квадратно уравнение, трябва да проверите възможността за използване на тази теорема към нея: сравнете сумата на старшия коефициент и свободния член с втория коефициент.
Корените на квадратното уравнение, сумата от всички коефициенти, чиято е нула
Ако в квадратното уравнение сумата от всички нейни коефициенти е нула, тогава корените на такива уравнения са 1 и съотношението на свободен член на по-стария коефициент ( c / A.).
Следователно, преди решаването на уравнението със стандартни методи, е необходимо да се провери приложимостта на тази теорема: да се сгънат всички коефициенти на това уравнение и да се види дали не е равно на нула.
В. Разлагане на квадрата троен до линейни мултипликатори
Ако изпитания вид (DisplayStyle AX ^ (2) + BX + C (Anot \u003d 0)) 2 + BX + C (a ≠ 0)възможно е по някакъв начин като продукт на линейни мулти (DisplaySyle (KX + m) (LX + N) \u003d 0) (KX + m) (LX + N), след което можете да намерите корените на уравнението брадва. 2 + BX + C \u003d 0 - Те ще бъдат наистина / k и n / l, защото (DisplaySley (KX + m) (LX + N) \u003d 0LongGeFtrotharRow KX + m \u003d 0CUP LX + n \u003d 0) (KX + m) (LX + N) \u003d 0 kx + mulx +n, и решаване на посочените линейни уравнения, ние получаваме описания по-горе. Обърнете внимание, че квадратната тройна не винаги е била изложена на линейни мулти и валидни коефициенти: това е възможно, ако уравнението съответства на него, е валидни корени.
Разгледайте някои конкретни случаи
Използване на сумата от сумата на сумата (разликата)
Ако квадратният праг е имал формата (дисплея (AX) ^ (2) + 2ABX + B ^ (2))))) AX2 + 2BX + B 2, след това прилагане на имената към нея, ние можем да го разложим на линейни мулти и, \\ t Това означава да се намери корените:
(AX) 2 + 2ABX + B 2 \u003d (AX + B) 2
Избор на пълен квадратен размер (разлика)
Също така се използва посочената формула, използвайки метода, който е получил името "изолиране на пълен квадратен размер (разлика)". Във връзка с посоченото квадратно уравнение с въведени по-рано означения, това означава следното:
Забележка: Ако сте забелязали, че тази формула съвпада с "корените на дадено квадратно уравнение", предложено в раздела "корените на дадено квадратно уравнение", което от своя страна може да бъде получено от общата формула (1) чрез заместване на равенството A \u003d 1. Този факт не е само съвпадение: описаният метод, който произвежда обаче някои допълнителни мотиви могат също да изтеглят общата формула, както и да докажат свойствата на дискриминацията.
VI начин. Използване на теоремата за директна и обратна вита
Директната теорема за вино (виж по-долу в раздела със същото име) и теоремата, обратна на нея, ви позволява да решите горните квадратни уравнения устно, без да се прибягват до достатъчно обемисти изчисления съгласно формула (1).
Според обратната теорема, всяка двойка числа (номер) (DisplaySyle x_ (1), x_ (2)) x 1, x 2 е разтворът под системата на уравненията, са корени на уравнението
Като цяло, т.е. за незабелязано квадратно уравнение AX 2 + BX + C \u003d 0
x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a
Изборът на орално числа, които отговарят на тези уравнения, ще помогнат за директен теорема. С него можете да дефинирате признаците на корените, без да знаете самите корени. За да направите това, бъдете ръководени от правилото:
1) Ако свободният елемент е отрицателен, корените имат различен знак, а най-големият модул от корените е знак, противоположен на знака на втория коефициент на уравнението;
2) Ако свободен член е положителен, и двата корен имат същия знак и това е знак, противоположен на знака на втория коефициент.
VII път. Метод "Намаляване"
Така нареченият "транзитен" метод позволява да се намали решението на предвиденото и непроходимо за вида на тяхното разделение до висшия коефициент на уравнения за решаване на решенията, дадени с цели коефициенти. Това е както следва:
Освен това, уравнението се решава орално описано в метода, след това се връща към оригиналната променлива и намерете корените на уравненията (DisplaySley Y_ (1) \u003d AX_ (1)) y. 1 \u003d AX. 1 и y. 2 \u003d AX. 2 , (DisplaySyle Y_ (2) \u003d AX_ (2))
Геометрично значение
Градът на квадратичната функция е Parabola. Решенията (корени) на квадратното уравнение се наричат \u200b\u200bабсцизации на точките на пресичане на парабола с ос от абсциса. Ако параболата, описана от квадратична функция, не се пресича със ос от абсциса, уравнението няма реални корени. Ако Parabola се пресича с ос на абсциса в една точка (в горната част на парабола), уравнението има един истински корен (също така казва, че уравнението има два съвпадащи корен). Ако Parabola пресича оста на абсциса в две точки, уравнението има два реални корена (вижте изображението вдясно.)
Ако коефициентът (дисплей a) а. Положителните клонове на Parabola са насочени и напротив. Ако коефициентът DisplaySley B)пейка (с положителен (дисплей а) а., с отрицателен напротив), горната част на парабола се намира в лявата половина на самолета и обратно.
Използването на квадратни уравнения в живота
Коравното уравнение е широко разпространено. Използва се в много изчисления, структури, спорт, както и около нас.
Помислете и представяйте някои примери за прилагането на квадратното уравнение.
Спорт. Скачане на височина: Когато се движи с джъмпер за максимално изчистване на отблъскването и високия полет, се използват изчисленията, свързани с Parabola.
Също така са необходими такива изчисления при хвърлянето. Обхватът на обекта зависи от квадратното уравнение.
Астрономия. Траекторията на движението на планетите може да бъде намерена с помощта на квадратно уравнение.
Летящи самолети. Излезте от самолета основният компонент на полета. Това отнема изчисление за малка съпротива и ускоряване на излитането.
Също така, квадратните уравнения се използват в различни икономически дисциплини, в програми за обработка на звук, видео, вектор и растерни графики.
Заключение
В резултат на извършената работа се оказа, че квадратните уравнения привличат учени в древни времена, те вече са ги срещали, когато решават някои задачи и се опитаха да ги решат. Като се има предвид различни начини за решаване на квадратни уравнения, стигнах до заключението, че не всички са прости. Според мен най-много най-добрия начин Решенията на квадратните уравнения са разтвор чрез формули. Формулите лесно се запомнят, този метод е универсален. Хипотезата, която уравненията са широко използвани в живота и математиката, потвърдена. Изследвайки темата, научих много интересни факти На квадратни уравнения, тяхното използване, приложение, видове, решения. И ще се радвам да продължа да ги изучавам. Надявам се, че това ще ми помогне да преминат изпитите.
Списък на използваната литература
Уебсайт Материали:
Уикипедия
Отворете урока
Директория на елементарна математика печеливша M. Ya.
Квадратични уравнения. Главна информация.
В квадратно уравнение Тя трябва да присъства на площада (затова се нарича
"Квадрат"). Освен него, в уравнението може да бъде (и може да не е!) Просто x (в първа степен) и
само номер (безплатен пик). И не трябва да има ICS до степен, повече две.
Алгебрично уравнение на обща форма.
където х. - безплатна променлива, а., б., ° С. - коефициенти, и а.≠0 .
например: 
Изразяване 
Обади се квадратна трептена.
Елементите на квадратното уравнение имат свои имена:
· Обадете се на първия или старшия коефициент,
· Обадете се на втория или коефициент, когато
· Безплатен член на повикване.
Пълно квадратно уравнение.
В тези квадратни уравнения, отляво има пълен набор от членове. X площад с
коефициент но, X в първа степен с коефициента б. и безплатно член от. ВcE коефициенти
трябва да бъде различно от нула.
Непълна Тя се нарича такова квадратно уравнение, в което поне един от коефициентите освен
старши (или вторият коефициент или свободен елемент) е нула.
Нека се преструваме това б. \u003d 0, - първата степен ще изчезне. Оказва се, например:
2x 2 -6x \u003d 0,
И т.н. И ако и двете коефициенти са б. и ° С. Равна нула, тя все още е по-проста, например:
2x 2 \u003d 0,
Моля, обърнете внимание, че X присъства на площада във всички уравнения.
Защо но Не може да бъде нула? Тогава IX ще изчезне на площада и уравнението ще стане линеен .
И вече е решен доста различно ...
Първо ниво
Квадратични уравнения. Изчерпателен водач (2019)
По отношение на "квадратно уравнение", ключът е думата "квадрат". Това означава, че променливата трябва да присъства в уравнението (същото IX) на площада и не трябва да има ICS в третата (и по-голяма) степен.
Решението на много уравнения се намалява до решаването на точно квадратни уравнения.
Нека да научим как да определим, че имаме квадратно уравнение, а не друго.
Пример 1.
Всеки член на уравнението на знаменателя и домирността ще се отърве от
Ние прехвърляме всичко вляво и поставяме членове в низходящ ред на степени на ICA
Сега можете да кажете с увереност, че това уравнение е квадрат!
Пример 2.
Вътрешна лявата и дясната страна на:
Това уравнение, въпреки че първоначално е в него, не е квадрат!
Пример 3.
Дограждане на всички:
Страшен? Четвъртата и втора степен ... Въпреки това, ако сме заменим, тогава ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:
Пример 4.
Изглежда, но нека погледнем внимателно. Ние прехвърляме всичко вляво:
Виж, намален - и сега е просто линейно уравнение!
Сега се опитайте да определите кои от следните уравнения са квадратни и които не:
Примери:
Отговори:
- квадрат;
- квадрат;
- не квадрат;
- не квадрат;
- не квадрат;
- квадрат;
- не квадрат;
- квадрат.
Математика Обикновено разделяйте всички квадратни уравнения на типа:
- Пълни квадратни уравнения - уравнения, в които коефициентите и, както и свободен елемент не са равни на нула (както в примера). В допълнение, сред пълните квадратни уравнения разпределяйте представен - Това са уравнения, в които коефициентът (уравнение от примера е не само пълен, но и даден!)
- Непълни квадратни уравнения - уравнения, в които коефициентът и свободният елемент са нула: \\ t
Непълно, защото им липсва някаква позиция. Но уравнението винаги трябва да присъства на площада !!! В противен случай тя няма да бъде квадрат, а друго уравнение.
Защо измислихте такова разделение? Изглежда, че има X на площада и добре. Такова разделение се дължи на методите на решенията. Помислете за повече от тях.
Решение на непълни квадратни уравнения
За да започнем, ще спрем при решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!
Непълни квадратни уравнения са видове:
- В това уравнение коефициентът е равен.
- В това уравнение свободният елемент е равен.
- В това уравнение коефициентът и свободният елемент са равни.
1. и. Както знаем как да извлечем квадратен корен, нека изразим от това уравнение
Изразът може да бъде отрицателен и положителен. Номерът, издигнат в квадрата, не може да бъде отрицателен, защото с умножаване на две отрицателни или две положителни числа - резултатът винаги ще бъде положително число, така че ако уравнението няма решения.
И ако получите два корена. Тези формули не трябва да запомнят. Основното нещо, което трябва да знаете и помните винаги, че може да не е по-малко.
Нека се опитаме да решим няколко примера.
Пример 5:
Решават уравнение
Сега остава да се отстрани от лявата и дясната страна. В края на краищата, помните ли как да извличате корените?
Отговор:
Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак !!!
Пример 6:
Решават уравнение
Отговор:
Пример 7:
Решават уравнение
О! Квадратът на броя не може да бъде отрицателен, което означава уравнението
няма корени!
За такива уравнения, в които няма корени, математиката излезе със специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан като:
Отговор:
Така, това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме премахнали корена.
Пример 8:
Решават уравнение
Ще обобщя скобите:
По този начин,
Това уравнение има два корена.
Отговор:
Най-лесният вид непълни квадратни уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:
Тук ще го направим без примери.
Решаване на пълни квадратни уравнения
Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнението на уравнението, където
Решението на пълните квадратни уравнения е малко по-сложно (много леко) от горното.
Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминантно! Дори непълна.
Останалите пътища ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратните уравнения, да започнете, решението се нарича с помощта на дискриминантно.
1. Решението на квадратните уравнения с помощта на дискриминантна.
Решението на квадратните уравнения по този начин е много прост, най-важното е да помните последователността на действията и няколко формули.
Ако уравнението има корен от особено внимание, за да плати стъпка. Дискриминант () показва ни за броя на корените на уравнението.
- Ако, тогава формулата се свежда до. Така уравнението ще има цял корен.
- Ако, ние няма да можем да извлечем корена от дискриминацията в стъпка. Това показва, че уравнението няма корени.
Нека да се върнем към нашите уравнения и да обмислим няколко примера.
Пример 9:
Решават уравнение
Етап 1 Прескачаме.
Стъпка 2.
Ние намираме дискриминантност:
Така уравнението има два корена.
Стъпка 3.
Отговор:
Пример 10:
Решават уравнение
Уравнението е представено в стандартен формуляр, така че Етап 1 Прескачаме.
Стъпка 2.
Ние намираме дискриминантност:
Така уравнението има един корен.
Отговор:
Пример 11:
Решават уравнение
Уравнението е представено в стандартен формуляр, така че Етап 1 Прескачаме.
Стъпка 2.
Ние намираме дискриминантност:
Тя няма да може да извлече корена от дискриминацията. Корените на уравнението не съществуват.
Сега знаем как да напишем такива отговори на правилно.
Отговор:Няма корени
2. Разтвор на квадратни уравнения, използвайки теоремата Vieta.
Ако си спомняте, това е такъв вид уравнения, които се наричат \u200b\u200bпредставени (когато коефициентът А е равен на):
Такива уравнения са много лесни за решаване на използването на теоремата на Vieta:
Сумата на корените посочен Квадратното уравнение е равно на и продуктът на корените е равен.
Пример 12:
Решават уравнение
Това уравнение е подходящо за решаване, използвайки теоремата на Vieta, защото .
Количеството на корените на уравнението е равно, т.е. Получаваме първото уравнение:
И работата е:
Ще решим и системата:
- и. Сумата е еднаква;
- и. Сумата е еднаква;
- и. Сумата е еднаква.
и са решението на системата:
Отговор: ; .
Пример 13:
Решават уравнение
Отговор:
Пример 14:
Решават уравнение
Уравнението е дадено и следователно:
Отговор:
Квадратични уравнения. Средно ниво
Какво е квадратно уравнение?
С други думи, квадратното уравнение е уравнението на видовете, където неизвестното е някои числа, и.
Номерът се нарича старейшина или първи коефициент квадратно уравнение - втория коефициент, но - безплатен член.
Защо? Защото ако уравнението веднага стане линейно, защото изчезва.
В същото време и може да бъде нула. В този стол уравнението се нарича непълно. Ако всички компоненти са налице, това е, че уравнението е завършено.
Разтвори на различни видове квадратни уравнения
Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:
Ще започнем с това, ще анализираме методите за решения на непълни квадратни уравнения - те са по-лесни.
Можете да изберете вида на тези уравнения:
I. В това уравнение коефициентът и свободният член са равни.
II. В това уравнение коефициентът е равен.
III. В това уравнение свободният елемент е равен.
Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.
Очевидно това уравнение винаги има само един корен:
Номерът, издигнат в квадрата, не може да бъде отрицателен, защото с умножаване на два отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Следователно:
ако уравнението няма решения;
ако сме научили два корена
Тези формули не трябва да запомнят. Основното нещо, което трябва да помните, че може да не е по-малко.
Примери:
Решения:
Отговор:
Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!
Квадратът на броя не може да бъде отрицателен, което означава уравнението
няма корени.
За да запишете накратко, че задачата няма решения, използвайте празна икона.
Отговор:
Така че това уравнение има два корена: и.
Отговор:
Ще обобщя фабриката за скоби:
Продуктът е нула, ако поне един от мултипликателите е нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:
Така че, това квадратно уравнение има два корена: и.
Пример:
Решават уравнение.
Решение:
Разстелете лявата част на фабричното уравнение и намерете корените:
Отговор:
Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:
1. Дискриминантност
Разрешаване на квадратни уравнения по този начин лесно, най-важното е да запомните последователността на действията и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминантна! Дори непълна.
Забелязахте ли корена от дискриминацията в коренната формула? Но дискриминацията може да бъде отрицателна. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминацията ни показва за броя на корените на уравнението.
- Ако уравнението има корен:
- Ако уравнението има същия корен и в действителност един корен:
Такива корени се наричат \u200b\u200bдвойно.
- Ако коренът на дискриминацията не се отстранява. Това показва, че уравнението няма корени.
Защо е възможно различен брой корени? Нека се обърнем към геометричното значение на квадрата уравнение. Функционалната графика е Parabola:
В конкретен случай, което е квадратно уравнение. И това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с оста на абсцисата (ос). Parabola може да не прекоси ос или да го прекоси в един (когато върхът на параболата се намира на оста) или две точки.
Освен това коефициентът е отговорен за посоката на клоните на Парабола. Ако клоновете на Parabola са насочени нагоре и ако е надолу.
Примери:
Решения:
Отговор:
Отговор:.
Отговор:
Така че няма решения.
Отговор:.
2. Теорема във Виета
Теоремата на Виета е много лесна за използване: просто трябва да вземете такава няколко числа, чийто продукт е равен на свободен член на уравнението, а сумата е вторият коефициент, взет с противоположния знак.
Важно е да се помни, че теоремата на Vieta може да се използва само в намалени квадратни уравнения ().
Помислете за няколко примера:
Пример номер 1:
Решават уравнение.
Решение:
Това уравнение е подходящо за решаване, използвайки теоремата на Vieta, защото . Останалите коефициенти:; .
Количеството на корените на уравнението е:
И работата е:
Ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен и проверим дали сумата им е равна:
- и. Сумата е еднаква;
- и. Сумата е еднаква;
- и. Сумата е еднаква.
и са решението на системата:
По този начин корените на нашето уравнение.
Отговор:; .
Пример номер 2:
Решение:
Ще изберем такива двойки числа, които са дадени в работата, и след това проверяват дали тяхната сума е равна:
и: в сумата, която дават.
и: в сумата, която дават. За да смените само за да промените признаците на предполагаемите корени: и, защото работата.
Отговор:
Пример номер 3:
Решение:
Свободният член на уравнението е отрицателен, което означава продукта на корените - отрицателно число. Това е възможно само ако един от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно количеството на корените е равни разликите на техните модули.
Ние ще изберем такива чифтове, които са дадени в работата, а разликата е равна на:
и: тяхната разлика е еднаква - не е подходяща;
и: - не е подходящо;
и: - не е подходящо;
и: - подходящ. Остава само да си спомня, че един от корените е отрицателен. Тъй като тяхната сума трябва да бъде еднаква, тогава отрицателен трябва да бъде по-малък корен модул :. Проверка:
Отговор:
Пример номер 4:
Решават уравнение.
Решение:
Уравнението е дадено и следователно:
Свободният елемент е отрицателен и следователно продуктът на корените е отрицателен. И това е възможно само когато един корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.
Ние ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен, а след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:
Очевидно е, че само корените са подходящи за първото условие и:
Отговор:
Пример номер 5:
Решават уравнение.
Решение:
Уравнението е дадено и следователно:
Количеството на корените е отрицателно, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като работата им е положителна, това означава и двете корени с минус знак.
Ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е:
Очевидно корените са числа и.
Отговор:
Съгласен съм, е много удобно - да измисляте корени орално, вместо да обмисляме този гаден дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta колкото е възможно повече.
Но теоремата на Vieta е необходима, за да се улесни и ускори констатацията на корените. За да ви помогне да го използвате, трябва да въведете действия в автоматизма. И за това, клевети повече пети от примери. Но не и мащабиране: дискриминацията не може да се използва! Само теорема на Виета:
Задачи решения за независима работа:
Задача 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0
На теоремата на Виета:
Както обикновено, започваме избора на работата:
Не се вписва, защото сумата;
: Сума - това, от което се нуждаете.
Отговор:; .
Задача 2.
И отново, нашата любима теорема на Виета: в сумата трябва да се окаже, а работата е еднаква.
Но тъй като не трябва да бъде, но променете признаците на корените: и (в сумата).
Отговор:; .
Задача 3.
Хм ... и къде е какво?
Необходимо е да се прехвърлят всички термини в една част:
Размерът на корените е равен, работата.
Така че, спрете! Уравнението не е дадено. Но теоремата Vieta е приложима само в горните уравнения. Така че първо трябва да донесете уравнението. Ако не работите, хвърлете тази идея и вземете решение по различен начин (например чрез дискриминантно). Позволете ми да ви напомня, че донесете квадратното уравнение - това означава да направите старши коефициент на:
Отлично. Тогава количеството на корените е равни и работата.
Тук е по-лесно да се приберете просто: в края на краищата, прост номер (съжалявам за тавтологията).
Отговор:; .
Задача 4.
Свободният член е отрицателен. Какво е специално в това? И факта, че корените ще бъдат различни знаци. И сега по време на подбора, ние не проверяваме количеството на корените, но разликата между техните модули: тази разлика е еднаква и работата.
Така корените са равни и, но един от тях с минус. Теоремата на Виета ни казва, че количеството на корените са равни на втория коефициент с противоположния знак, т.е. Така минус ще бъде в по-малък корен: и оттогава.
Отговор:; .
Задача 5.
Какво трябва да се направи първо? Право, донесете уравнението:
Отново: ние избираме множителите на броя и разликата им трябва да бъде равна:
Корените са равни и, но един от тях с минус. Какво? Тяхната сума трябва да бъде еднаква, това означава, че минусът ще бъде по-голям корен.
Отговор:; .
Ще обобщя:
- Теоремата на Vieta се използва само в дадените квадратни уравнения.
- Използвайки теоремата Vieta, можете да намерите корените по избор, устно.
- Ако уравнението не е дадено или няма подходяща двойка множители на свободен елемент, което означава, че няма цели корени и е необходимо да се реши друг метод (например чрез дискриминантно).
3. Метод за разпределение на пълен квадрат
Ако всички термини, съдържащи неизвестно, да представят под формата на компонентите на съкратеното умножение на сумата от сумата или разликата, след това след подмяна на променливите, може да бъде представена уравнение под формата на непълно квадратно уравнение от тип може да бъде представен .
Например:
Пример 1:
Решете уравнение :.
Решение:
Отговор:
Пример 2:
Решете уравнение :.
Решение:
Отговор:
Като цяло, трансформацията ще изглежда така:
Това предполага: .
Нищо не напомня? Това е дискриминацията! Това е, формулата на дискриминацията и има.
Квадратични уравнения. Накратко за най-важното нещо
Квадратно уравнение- Това е уравнението на вида, където - неизвестното, - коефициентите на квадратното уравнение, е свободен член.
Пълно квадратно уравнение - уравнение, при което коефициентите не са равни на нула.
Намаленото квадратно уравнение - уравнение, в което коефициентът, т.е.
Непълна квадратна уравнение - уравнение, при което коефициентът и свободният елемент са нула: \\ t
- ако коефициентът уравнението е:
- ако е свободен елемент, уравнението има формата:,
- ако уравнението има формата :.
1. Алгоритъм решаване на непълни квадратни уравнения
1.1. Непълен квадрат уравнение на вида, където:
1) изразяват неизвестното:
2) Проверка на знака на изразяване:
- ако уравнението няма решения,
- ако уравнението има два корена.
1.2. Непълен квадрат уравнение на вида, където:
1) Ще обобщя фабриката за скоби:
2) Продуктът е нула, ако поне един от мултипликателите е нула. Следователно уравнението има два корена:
1.3. Непълна квадратна уравнение на вида, където:
Това уравнение винаги има само един корен :.
2. алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения на вида, където
2.1. Решение с помощта на дискриминантна
1) даваме уравнението на стандартния формуляр:,
2) Изчислете дискриминацията по формулата: която показва броя на корените на уравнението:
3) Намерете корените на уравнението:
- ако уравнението има корен, който е във формулата:
- ако уравнението има корен, който е по формулата:
- ако уравнението няма корени.
2.2. Решение, използвайки теоремата на Vieta
Сумата от корените на намаленото квадратно уравнение (уравнение на формата, където) е еднаква и продуктът на корените е равен, т.е. , но.
2.3. Решаване на пълен квадратен метод за разпределение