Резюме Урок

учители математика

MBou Sosh №2 G. Vorsma

Кисел Лариса Алексевна

Тема: "Намаленото квадратно уравнение. Vieta теорема "

Целта на урока:Въвеждане на концепцията за намалена квадратно уравнение, Теоремите на Виета и теоремата, обратна на нея.

Задачи:

Образование:

Въвеждане на концепцията за дадено квадратно уравнение,

Изход корен формула на уравнението на ядрото квадрат,

Формулират и доказват теоремата на Виета,

Формулират и доказват теорема, обратна теорема на Vieta,

Учете учениците да решават дадените квадратни уравнения, използвайки теоремата, обратната теорема на Vieta.

Разработване:

развитието на логическо мислене, памет, внимание, общи образователни умения, умения за сравняване и обобщаване;

Образование:

обучение на упорита работа, взаимна помощ, математическа култура.

Вид на урока: Учебен урок с нов материал.

Оборудване: Textbook Algebra Ed. Alimova et al., Преносим компютър, разпределителен материал, презентация на урока.

План на урока.

Етапски урок

Съдържание (цел) етап

Време (мин)

Организиране на времето

Проверка на домашното

Проверка на работата

Разпитване, отговори на въпроси.

Изучаване на нов материал

Формиране на референтни знания, формулиране на правила, решаване на задачи, анализ на резултатите, отговори на въпросите на учениците.

Асимилация на материала, изследван чрез прилагане при решаване на задачи по аналогия под контрола на учителя.

Обобщаване на урока

Оценка на познанията за тези, които отговарят на учениците. Проверете знанията и разбирането на формулировката на правилата по метода на предното проучване.

Домашна работа

Запознаване на учениците със съдържанието на задачата и получаване на необходимите обяснения.

Допълнителни задачи

Многостепенни задачи, за да се гарантира развитието на учениците.

По време на класовете.

Организиране на времето. Определяне на целта на урока. Създаване на благоприятни условия за успешни дейности. Мотивация на ученията.

Проверете домашното. Фронтална, индивидуална проверка и корекция на знанията и уменията на учениците.

Уравнението

Брой корени

Учител: Как, не решаване на квадратно уравнение, определете броя на корените му? (Студентски отговори)

Проверка на работата. Отговори на въпроси.

Текст за проверка на проверката:

Вариант номер 1.

Решете уравнения:

НО) ,

Б)

То има:

Един корен

Две различни корени.

Вариант номер 2.

Решете уравнения:

НО) ,

Б)

2. отговаря на стойността на параметъра А, в който уравнението То има:

Един корен

Две различни корени.

Работата по проверка се извършва на отделни листове, отказва се от тест учител.

След като поставите работата, на екрана се показва решението.

Изучаване на нов материал.

4.1. Франсоа Виет. - Френски математик 16-ти век. Той беше адвокат, по-късно - съветник на френските царе на Хайнрих III и Хайнрих II.

Веднъж успял да дешифрира много трудно испанско писмо, заловено от французите. Инквизицията почти го изгори в огъня, обвинявайки се към тайната с дявола.

Франсоа Вита се нарича "баща на Алвеската съвременна алгебра"

Как са корените на квадратна тротилен и нейните коефициенти p и q? Отговорът на този въпрос дава теорема, която носи името на "бащата на алгебра", френската математика F. Viet, която ще учим днес.

Известният теорема е публикуван през 1591 година.

4.2. Ние формулираме дефиницията на даденото квадратно уравнение.

Определение. Уравнение на квадрат наречен по-горе.

Това означава, че по-старото уравнение на коефициент е равно на едно.

Пример. .

Всяко квадратно уравнение може да се даде на ум . За да направите това, е необходимо да се разделят двете части на уравнението.

например, Уравнение 7x 2 - 12x + 14 \u003d 0 разделение с 7 се дава на ум

X 2 - 12 / 7x + 2 \u003d 0

4.3. Свалете формулата на корените на даденото квадратно уравнение.

a, B, C

a \u003d 1, b \u003d p, c \u003d q

Решете уравнение X 2 - 14x - 15 \u003d 0 (ученикът решава на дъската)

Въпроси:

Назовете коефициентите P и Q (-14, -15);

Запишете коренната формула на уравнението на ядрото;

Намерете корените на това уравнение (x 1 \u003d 15, x 2 \u003d -1)

4.4. Формулират и доказват теоремата на Виета.

Ако корените на уравнението , Формулите са валидни, т.е. Сумата от корените на дадено квадратна уравнение е равна на втория коефициент, взет с противоположния знак, а продуктът на корените е равен на свободен елемент.

След това учителят провежда доказателство за теоремата. Тогава, заедно със студентите, прави заключение.

Пример. . P \u003d -5, Q \u003d 6.

Означава номера и - цифри

положителен. Необходимо е да се намерят две положителни числа, чиято работа

също така 6, и количеството е 5. \u003d 2, \u003d 3 - корените на уравнението.

4.5. Прилагане на теорема .

С него можете:

 Намерете количеството и продукта на корените на квадратното уравнение, без да го решите,

 Знаейки един от корените, намери друг

 Определят корените на уравнението,

 Изберете корените на уравнението, без да го решите.

4.6. Ние формулираме теоремата на обратната теорема на Виета.

Ако номера p, q, и тези, които отговарят на съотношенията, - корените на квадратното уравнение .

Доказателството на теоремата, обратната теорема на Виета, е направена в къщата за самостоятелно учене със силни студенти.

4.7. Помислете за решаването на задачата 5 на страницата на урока 125.

Фиксиране на изследвания материал

№ 450 (1)

№ 451 (1, 3, 5) - орално

№ 452 (орално)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

Обобщаване на урока.

Отговори на въпросите:

Думата вита теорема.

 Защо се нуждаете от теоремата на Виета?

 Думата обратната теорема на теоремата на Виета.

Домашна работа.

§29 (преди задача 6), № 450 (2,4,6); 455 (2.4); 456 (2,4,6).

Допълнителни задачи.

Ниво А.

Намерете количеството и продукта на корените на уравнението:

2. Използване на теоремата, обратната теорема на Vieta, направете квадратно уравнение, корените на които са равни на 2 и 5.

Ниво Б.

1. Записване на количеството и продукта на корените на уравнението:

2. Използване на теоремата, обратната теорема на Vieta, направете квадратно уравнение, корените на които са равни и.

Ниво S.

1. Разглобете доказателството на теоремата, обратната теорема на Виета

2. Решете уравнението и проверете теоремата, обратната теорема на Vieta:

Схема на урока

Етапи на работа

Съдържание на сцени

Организиране на времето, включително:

целта на целта, която трябва да бъде постигната от учениците на този етап от урока (която трябва да се извършва от учениците, ще бъде допълнително да работи в урока)

описание на методите за организиране на ученици на началния етап на урока, отношението на учениците по образователни дейности, темата и темата на урока (като се вземат предвид реалните характеристики на класа, с който учителят работи)

Изискванията за математическо обучение на студентите по тази тема се крият при въвеждането на понятието за дадено квадратно уравнение, теоремата на Виета и обратната част на теоремата (от програмата за общи институции за образование).

Учениците от 8-ми клас са деца на юношеството, което се характеризира с нестабилност на вниманието. По най-добрия начин Да се \u200b\u200bорганизира вниманието е да се организират образователни дейности, така че учениците нямат нито време, нито желанието, нито възможността да бъдат разсеяни дълго време.

Въз основа на целта на урока по-горе, решението на следните задачи:
а) образование: въвеждането на концепцията за дадено квадратно уравнение, теоремата на Виета и обратната част на теоремата.

б) Развитие: развитието на логическото мислене, памет, внимание, общи образователни умения, умения за сравняване и обобщаване;
в) образование: възпитание на упорита работа, взаимна помощ, математическа култура.

За да могат учениците да възприемат урока като логично завършен, холистичен, ограничен във времето сегмент от образователния процес, той започва със създаването на задачите и завършва с обобщаване и задаване на задачи в следните уроци.

Проучване на учениците на посочения материалвключително:

определянето на целите, които учителят поставя на учениците на този етап от урока (какъв резултат трябва да бъде постигнат от учениците);

определяне на целите и задачите, които учителят иска да постигне на този етап от урока;

описание на методите, които допринасят за решаването на целите и задачите;

описание на критериите за постигане на целите и целите на този етап от урока;

определяне на възможните действия на учителя в случай, че той или учениците не успеят да постигнат целите си;

описание на методите за организиране на съвместни дейности на студентите, като се вземат предвид характеристиките на класа, с който работи учителят;

описание на методите за мотивация (стимулиране) образователна дейност на учениците по време на проучване;

описание на методите и критериите за оценка на отговорите на учениците по време на проучване.

На първия етап фронталната, индивидуалната проверка и корекцията на знанията и уменията на учениците се провеждат. В този случай решаването на квадратни уравнения и определяне на определянето на броя на корените чрез неговия дискриминант. Преходът към определянето на даденото квадратно уравнение се извършва.

Във втория етап се разглеждат уравненията на два вида. Така че учениците не са уморени от монотонната работа, се прилагат различни форми на работа и задачи, задачите са включени високо ниво (с параметър).

Устната работа на студентите се заместват с писмено, което трябва да обоснове избора на разтвор на квадратно уравнение, анализ на решението на уравнението

Една от техниките на педагогическата подкрепа е да се използва като яснота информационни технологиикоито помагат на учениците в различни нива на готовност лесно да асимилират материала, така че отделни моменти на урока се извършват с помощта на представянето (показващо решението независима работа, въпроси, домашна работа)

Изучаване на нови образователен материал. Този етап предполага:

представянето на основните разпоредби на новия образователен материал, който трябва да бъде усвоен от учениците;

описание на формите и методите за представяне (подаване) на нов образователен материал;

описание на основните форми и методи за организиране на индивидуални и групови дейности на студентите, като се вземат предвид характеристиките на класа, в който работи учителят;

описание на критериите за определяне на степента на внимание и интереса на учениците към образователния материал на обучението;

описание на методите за мотивация (стимулиране) образователна дейност на учениците по време на разработването на нови образователни материали

Определянето на даденото квадратно уравнение. Учителят, заедно със студентите, формулите на корена на даденото квадратно уравнение, са наясно със значението на образователния материал на урока. Анализът на формулировката и доказване на теоремата на Виета също се среща съвместно с учениците

Такава работа също консолидира проучването на нов материал.

Методи:

visual.

практичен;

глаголен;

частично търсене

Консолидиране на образователни материалиПредполага се:

определяне на специфична образователна цел пред учениците (кой резултат трябва да бъде постигнат от учениците на този етап от урока);

определянето на целите и задачите, които учителят поставя пред урока;

описание на формите и методите за постигане на целите по време на консолидирането на нов образователен материал, като се вземат предвид индивидуалните характеристики на учениците, с които работи учителят.

описание на критериите, позволяващи да се определи степента на обучение за научаване на нов образователен материал;

описание на възможните начини и методи за реагиране в ситуации, при които учителят определя, че част от учениците не е усвоила новия образователен материал.

Консолидирането на учебния материал възниква при отговаряне на въпроси и в работата с учебника:

Анализът на задачата номер 5 на страница 125;

Решаване на упражнения

№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) - орално, 452 (орално);

455 (1,3); 456 (1, 3)

По време на урока има висока активност на учениците, учителят има способността да интервюира всички ученици и някои повече от веднъж.

Резултатът от урока под формата на фронтално проучване на студентите по въпроси е обобщен:

Какви уравнения се наричат \u200b\u200bпредставени?

Възможно ли е да се направи конвенционално квадратно уравнение?

Запишете коренната формула на ядрото квадратно уравнение

Думата вита теорема.

Какво е количеството и продукта на корените на уравнението:

Задача у домавключително:

определяне на целите на независимата работа за студенти (която трябва да се извършва от студенти по време на изпълнението на домашното);

определянето на целите, които учителят иска да постигне, като зададе домашната задача;

определение и обяснение на учениците в критериите за успешна домашна работа.

При домашна работа се приема, че учениците работят в съответствие с техните способности. Силните ученици работят самостоятелно и в края на работата имат възможност да проверят коректността на своите решения, което ги прави с решения, записани на борда в началото на следващия урок. Други студенти могат да получат съвети от своите съученици или учители. Слабите студенти работят, разчитат на примерите, използват решения на уравнения, разглобени в класа. По този начин се създават условия за работа на различни нива на сложност.

В продължение на тема "Решение на уравненията", материалът на този член ще ви запознае с квадратни уравнения.

Разгледайте всичко в детайли: същността и записването на квадратното уравнение, настройте съпътстващите термини, ние ще анализираме схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, да се запознаем с формулата на корените и дискриминацията, да установявате връзки между корените и коефициентите, И разбира се, даваме визуално решение на практически примери.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Квадратно уравнение, неговите видове

Определение 1.

Квадратно уравнение - това е уравнението, записано като a · x 2 + b · x + c \u003d 0където Х. - променлива, a, b и ° С. - Някои числа, докато а.няма нула.

Често квадратните уравнения също се наричат \u200b\u200bимето на второстепенните уравнения, тъй като по същество квадратното уравнение е алгебричното уравнение на втората степен.

Даваме пример за илюстриране на дадена дефиниция: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 и т.н. - Това са квадратни уравнения.

Определение 2.

Числа А, Б и ° С. - това са коефициентите на квадратното уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0, с коефициента А. Нарича се първи или по-възрастен или коефициентът на X 2, B - втори коефициент или коефициент, когато Х., но ° С. Обадете се на свободен член.

Например, в квадратно уравнение 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Старшият коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 и свободният член е равен − 11 . Обърнете внимание на факта, че когато коефициентите Б.и / или С са отрицателни, след това се използва кратка форма на запис за преглед. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, но не 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Също така изясняваме този аспект: ако коефициентите А. и / или Б. равен 1 или − 1 , след това изрично участие в записването на квадратното уравнение, те може да не бъдат предприети, което се обяснява с характеристиките на рекорда на тези цифрови коефициенти. Например, в квадратно уравнение Y 2 - Y + 7 \u003d 0 Старшият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Определени и неженени квадратни уравнения

По стойността на първия коефициент, квадратните уравнения са разделени на горното и неплатено.

Определение 3.

Намаленото квадратно уравнение - Това е квадратно уравнение, където по-възрастният коефициент е равен на 1. За други стойности на по-стария коефициент, квадратното уравнение не е невалидно.

Ние даваме примери: квадратни уравнения x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 са представени във всеки от които по-старият коефициент е 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - интегрално квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко уравнение от неспадното квадрат е възможно да се превърне в дадено уравнение, ако е разделено от двете части до първия коефициент (еквивалентна трансформация). Превързаното уравнение ще има същите корени като посоченото интелигентно уравнение или да не е корени изобщо.

Разглеждането на конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме прехода от интегрално квадратно уравнение на дадения.

Пример 1.

Уравнението е настроено 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Необходимо е да се преобразува първоначалното уравнение в горната форма.

Решение

Схемата на посочените по-горе е разделена и от двете части на първоначалното уравнение на старшия коефициент 6. Тогава получаваме: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3И това е същото като: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 И по-нататък: (6: 6) · X 2 + (18: 6) · X - 7: 6 \u003d 0. Оттук: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. По този начин се счита за уравнение.

Отговор: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

Пълни и непълни квадратни уравнения

Обърнете се към определението на квадратното уравнение. В него изяснихме това A ≠ 0.. Такова условие е необходимо за уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0 Беше точно квадратно, защото A \u003d 0. По същество се превръща в линейно уравнение b · x + c \u003d 0.

В случая, когато коефициентите Б. и ° С.равна на нула (която е възможно, както индивидуално, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4.

Непълна квадратна уравнение - такова квадратно уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0,където поне един от коефициентите Б.и ° С.(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнение - квадратно уравнение, в което всички цифрови коефициенти не са нула.

Наслаждаваме се защо вида на квадратните уравнения са дадени точно имената.

За b \u003d 0 квадратното уравнение поема формата A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0че същото е това a · x 2 + c \u003d 0. За C \u003d 0. Коравното уравнение се записва като a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0Това е еквивалентно a · x 2 + b · x \u003d 0. За B \u003d 0. и C \u003d 0. Уравнението ще бъде изглед a · x 2 \u003d 0. Уравненията, които получихме, са различни от пълното квадратно уравнение, тъй като левите им части не се съдържат или компонент от променливата на X или свободен елемент или и двете наведнъж. Всъщност този факт беше зададен името на такъв вид уравнения - непълна.

Например, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 и - 7 · x 2 - 2 · х + 1, 3 \u003d 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - непълни квадратни уравнения.

Решение на непълни квадратни уравнения

Горното определение позволява да се разграничат следните видове непълни квадратни уравнения:

• a · x 2 \u003d 0Това уравнение съответства на коефициентите B \u003d 0. и c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 за b \u003d 0;
• a · x 2 + b · x \u003d 0 при C \u003d 0.

Разгледайте решението на всеки вид непълна квадратно уравнение.

Разтвор на уравнението A · x 2 \u003d 0

Както бе споменато по-горе, уравнението съответства на коефициентите Б. и ° С.равен на нула. Уравнението a · x 2 \u003d 0 Възможно е да се конвертира уравнение до еквивалент на него x 2 \u003d 0които получаваме, споделяме двете части на уравнението на източника за броя А.не е равно на нула. Очевиден факт, че коренът на уравнението x 2 \u003d 0 Това е нула, защото 0 2 = 0 . Други корени, това уравнение няма, което се обяснява с свойствата на степента: за всеки номер P,не е равно на нула, вярно неравенство P2\u003e 0Какво следва, че кога P ≠ 0. Равенство P 2 \u003d 0никога няма да бъдат постигнати.

Определение 5.

По този начин, за непълно квадратно уравнение a · x 2 \u003d 0 има единственият корен x \u003d 0..

Пример 2.

Например, ние решаваме непълна квадратна уравнение - 3 · x 2 \u003d 0. Тя е еквивалентна на уравнението x 2 \u003d 0, единственият му корен е x \u003d 0., Тогава първоначалното уравнение има единствения корен - нула.

Накратко решението се състои от това:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Разтвор на уравнението a · x 2 + c \u003d 0

Върху опашката - решението на непълни квадратни уравнения, където b \u003d 0, c ≠ 0, т.е. уравненията на формата a · x 2 + c \u003d 0. Ние трансформираме това уравнение, извършил термина от една част от уравнението в друга, променяйки знака до обратното и разделянето на двете части на уравнението на номера, не е равно на нула:

• трансфер ° С. в дясната част, която дава уравнение A · x 2 \u003d - c;
• разделяме двете части на уравнението А., Получавам в края x \u003d - c a.

Нашите трансформации са еквивалентни, съответно, полученото уравнение е еквивалентно и на източника и този факт дава възможност да се сключат корените на уравнението. От това, което е значението А. и ° С.стойността на изразяването зависи - c a: може да има знак минус (да кажем дали A \u003d 1. и C \u003d 2., след това - C A \u003d - 2 1 \u003d - 2) или плюс знак (например, ако A \u003d - 2 и C \u003d 6.след това - С a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); не е нула, защото C ≠ 0.. Нека да живеем по-подробно в ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случая, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа Пс. Равенство P 2 \u003d - C не може да е вярно.

Всичко иначе, когато - C A\u003e 0: Изземване на квадратния корен и ще бъде очевидно, че уравнението x 2 \u003d - c a ще бъде номерът - c a, тъй като - c a 2 \u003d - c a. Не е трудно да се разбере, че номерът е - С А е и коренът на уравнението x 2 \u003d - c a: наистина, - - c a 2 \u003d - c a.

Други уравнения на корените няма да имат. Можем да го демонстрираме с помощта на гаден метод. За да започнете, задайте обозначенията, намерени над корените като x 1. и - x 1.. Ще предложа това уравнение x 2 \u003d - c a също е корен x 2.който се различава от корените x 1. и - x 1.. Знаем, че вместо това заместваме уравнението Х. Неговите корени, ние превръщаме уравнението в справедливо числово равенство.

За x 1. и - x 1. Пишем: x 1 2 \u003d - c a, и за x 2. - x 2 2 \u003d - c a. Разчитайки на свойствата на числените равенства, попълват едно право равенство от друго, което ще ни даде: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Използвайте свойствата на действията с номера, за да пренапишете най-новото равенство като (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Известно е, че работата на две числа е нула тогава и само ако поне един от числата е нула. От казаното x 1 - x 2 \u003d 0 и / или x 1 + x 2 \u003d 0че едно и също нещо x 2 \u003d x 1 и / или x 2 \u003d - x 1. Имаше очевидно противоречие, защото в началото беше договорено, че коренът на уравнението x 2. се различава от x 1. и - x 1.. Така че, доказахме, че уравнението няма други корени, с изключение на X \u003d - C A и X \u003d - - C a.

Обобщаваме всички разсъждения по-горе.

Определение 6.

Непълна квадратна уравнение a · x 2 + c \u003d 0 еквивалент на уравнение x 2 \u003d - c a, което:

• няма да има корени, когато - c a< 0 ;
• ще има два корена x \u003d - c a и x \u003d - - c a с - c a\u003e 0.

Даваме примери за решаване на уравнения a · x 2 + c \u003d 0.

Пример 3.

Определя се квадратното уравнение 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Необходимо е да се намери решението си.

Решение

Прехвърляме свободен член в дясната част на уравнението, тогава уравнението ще бъде под формата 9 · x 2 \u003d - 7.
Разделяме двете части на полученото уравнение 9 , идват до x 2 \u003d - 7 9. В дясната част виждаме номер с минус знак, което означава: посоченото уравнение няма корени. След това оригиналната непълна квадратна уравнение 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Няма да има корени.

Отговор: уравнението 9 · x 2 + 7 \u003d 0той няма корени.

Пример 4.

Необходимо е да се реши уравнението - x 2 + 36 \u003d 0.

Решение

Преместваме 36 до дясната страна: - x 2 \u003d - 36.
Разделяме двете части на − 1 , x 2 \u003d 36. В дясната част - положително число, от тук можем да заключим това x \u003d 36 или X \u003d - 36.
Извадете корена и запишете крайния резултат: непълно квадратно уравнение - x 2 + 36 \u003d 0 Има два корена x \u003d 6. или x \u003d - 6.

Отговор: x \u003d 6. или x \u003d - 6.

Разтвор на уравнението a · x 2 + b × \u003d 0

Ще разгледаме третия вид непълни квадратни уравнения, когато C \u003d 0.. Да се \u200b\u200bнамери решение на непълно плоско уравнение a · x 2 + b · x \u003d 0, Ние използваме метода на разлагане на мултипликатори. Разпространение на множители на полином, който е в лявата част на уравнението, като прави общ множител за скоби Х.. Тази стъпка ще предостави възможност за превръщане на първоначалния непълт квадратно уравнение на еквивалент x · (a · x + b) \u003d 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на съвместността уравнения x \u003d 0. и A · x + b \u003d 0. Уравнението A · x + b \u003d 0 Линеен и коренът му: x \u003d - b a.

Определение 7.

По този начин, непълно квадратно уравнение a · x 2 + b · x \u003d 0 ще има два корена x \u003d 0. и x \u003d - b a.

Закрепете материала чрез пример.

Пример 5.

Необходимо е да се намери разтвор на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Решение

Да водим Х. За скоби и получаване на уравнение X · 2 3 · X - 2 2 7 \u003d 0. Това уравнение е еквивалентно на уравненията x \u003d 0. и 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Сега е необходимо да се реши полученото линейно уравнение: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Накратко решаването на уравнението да се напише по този начин:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 или 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 или x \u003d 3 3 7

Отговор: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Дискриминантна, корените формула на квадратното уравнение

За да намерите решение на квадратни уравнения, има формула за корените:

Определение 8.

x \u003d - b ± d2 · a, където D \u003d b 2 - 4 · a · c - така наречената дискриминация на квадратно уравнение.

Записването x \u003d - b ± d2 · a по същество означава, че x 1 \u003d - b + d2 · a, x 2 \u003d - b - d2 · a.

Ще бъде полезно да се разбере как е получена посочената формула и как да го приложим.

Изхода на корените на квадратното уравнение

Нека бъдем оспорвани да решават квадратното уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Извършване на редица еквивалентни трансформации:

• разделяме двете части на уравнението за номера а.Освен нула, получаваме намаленото квадратно уравнение: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• ние подчертаваме пълния квадрат в лявата страна на полученото уравнение:
  X 2 + BA · X + Ca \u003d X 2 + 2 · B 2 · A · X + B 2 · А2 - В2 · А2 + СА \u003d х + В2 · А2 - В2 · A 2 + CA .
  След това уравнението ще приеме формата: X + B 2 · А2 - В2 · А2 + С A \u003d 0;
• сега е възможно да се направи прехвърлянето на последните две термини в дясната страна, като променя знака до обратното, след което получаваме: X + B 2 · А2 \u003d В2 · А2 - С А;
• и накрая, ние трансформираме израза, записан от дясната страна на последното равенство:
  B 2 · А2 - С А \u003d В2 4 · А2 - С А \u003d В2 4 · А2-4 · А · С4 · А2 \u003d В2 - 4 · А · С4 · А2.

Така стигнахме до уравнението Х + В2 · А2 \u003d В2 - 4 · A · C4 · А2, равностоен източник a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Разбрахме решаването на такива уравнения в предишните параграфи (решение на непълни квадратни уравнения). Натрупаният опит дава възможност да се заключат по отношение на корените на уравнението X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:

• при B 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• за B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0, уравнението има форма X + B 2 · A 2 \u003d 0, след това X + B 2 · A \u003d 0.

Следователно единственият корен X \u003d - B 2 · А е очевиден;

• за B 2 - 4 · A · C4 · A 2\u003e 0, то ще бъде правилно: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 или X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · C4 · А2, което е същото като X + - B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 или X \u003d - B 2 · A - B 2 - 4 · A · c 4 · a 2, т.е. Уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че присъствието или отсъствието на корените на уравнението X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 (и следователно първоначалното уравнение) зависи от признаците на експресия b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, записани от дясната страна. И знакът на този израз е зададен от броя на числителя (знаменател) 4 · А2 винаги ще бъде положително), т.е. признак на изразяване B 2 - 4 · А · C. Този израз B 2 - 4 · А · C Името е дискриминацията на квадратна евакуация и се определя като неговото определяне на буквата D. Тук можете да записвате същността на дискриминацията - по нейната стойност и знакът се заключава дали квадратното уравнение ще има валидни корени и ако е така, какъв е броят на корените - един или два.

Връщане към уравнението X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · a 2. Пренаписвам го с дискриминационно обозначение: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Ще формулираме отново заключения:

Определение 9.

• за Д.< 0 Уравнението няма валидни корени;
• за D \u003d 0. Уравнението има единствения корен X \u003d - B 2 · А;
• за D\u003e 0. Уравнението има два корена: x \u003d - b 2 · a + d4 · a 2 или x \u003d - b 2 · a - d4 · a 2. Тези корени, базирани на свойствата на радикалите, могат да бъдат написани във формата: X \u003d - B 2 · A + D2 · А или - В2 · А - D2 · a. И когато разкрием модулите и даваме фракциите на общия знаменател, получаваме: x \u003d - b + d2 · a, x \u003d - b - d2 · a.

Така резултатът от нашето разсъждение е премахването на формулата на корените на квадратното уравнение:

x \u003d - B + D2 · A, X \u003d - B - D2 · А, дискриминантна Д. Изчислени по формула D \u003d b 2 - 4 · a · c.

Тези формули правят възможно, когато е дискриминиран, за да се определят и двете валидни корени. Когато дискриминацията е нула, използването на двата формули ще даде същия корен като единственият разтвор на квадратното уравнение. В случая, когато дискриминацията е отрицателна, опитвайки се да използва основната формула на квадратното уравнение, ще се изправим пред необходимостта от отстраняване на квадратния корен от отрицателното число, което ще ни води извън действителните числа. С отрицателен дискриминант, квадратното уравнение няма да бъде валидни корени, но са възможни чифт изчерпателно конюгирани корени, определени от същите коренови формули, получени от нас.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения на корените на корените

Възможно е да се реши квадратното уравнение, веднага да се колоедизира формулата на корените, но основно те, ако е необходимо, намерете комплексни корени.

В основната маса на случаите обикновено се подразбира за търсенето на неделни, но валидни корени на квадратното уравнение. След това оптимално преди използването на формулите на корените на квадратното уравнение, първо определете дискриминацията и се уверете, че не е отрицателен (в противен случай заключаваме, че уравнението няма валидни корени) и след това продължава да изчислява стойността на корените.

Аргументите по-горе предоставят възможност за формулиране на алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10.

За решаване на квадратно уравнение a · x 2 + b · x + c \u003d 0, необходимо е:

• според формулата D \u003d b 2 - 4 · a · c Намерете стойността на дискриминацията;
• с D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• в d \u003d 0 намерите единствения корен на уравнението съгласно формулата X \u003d - B 2 · А;
• за D\u003e 0 определете двата валидни корена на квадратното уравнение съгласно формулата X \u003d - B ± D2 · a.

Обърнете внимание, че когато дискриминацията е нула, можете да използвате формулата x \u003d - b ± d2 · a, тя ще даде същия резултат като формулата x \u003d - b 2 · a.

Разгледайте примери.

Примери за решения на квадратни уравнения

Представяме решаването на примерите при различни стойности на дискриминацията.

Пример 6.

Необходимо е да се намерят корените на уравнението x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Решение

Ние пишем номера коефициентите на квадратното уравнение: a \u003d 1, b \u003d 2 и C \u003d - 6. След това действаме на алгоритъма, т.е. Ще продължим да изчисляваме дискриминацията, за която ще заменим коефициентите A, B и ° С. Във формулата на дискриминацията: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Така че, получихме D\u003e 0 и това означава, че първоначалното уравнение ще има два валидни корена.
За да ги намерите, използваме кореновата формула X \u003d - B ± D2 · А и, замествайки съответните стойности, получаваме: X \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Опростяваме произтичащия израз, като правим множител за коренния знак, последван от рязането на фракцията:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2,7 2 или X \u003d - 2 - 2,7 2

x \u003d - 1 + 7 или x \u003d - 1 - 7

Отговор: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Пример 7.

Необходимо е да се реши квадратното уравнение - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Решение

Определят дискриминацията: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. С тази дискриминационна стойност първоначалното уравнение ще има само един корен, определен с формулата X \u003d - B 2 · a.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Отговор: x \u003d 3, 5.

Пример 8.

Необходимо е да се реши уравнението 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Решение

Цифрираните коефициенти на това уравнение ще бъдат: a \u003d 5, b \u003d 6 и c \u003d 2. Използваме тези стойности, за да намерим дискриминантно: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4,5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Изчисленият дискриминант е отрицателен, следователно първоначалното квадратно уравнение няма валидни корени.

В случай, че задачата е да се уточнят сложни корени, прилагайте коренната формула, извършване на действия със сложни номера:

x \u003d - 6 ± - 4 2,5,

x \u003d - 6 + 2 · i 10 или x \u003d - 6 - 2 · i 10, \\ t

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I или X \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Отговор: Няма валидни корени; Комплексните корени са както следва: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

В училищна програма Стандартно няма изискване за търсене на сложни корени, така че ако по време на разтвора дискриминацията се определя като отрицателна, отговорът незабавно се записва, че няма валидни корени.

Корените с формула за дори втори коефициенти

Формулата на корените X \u003d - B ± D2 · А (d \u003d B 2 - 4 · A · с) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, позволяваща да се намерят разтвори на квадратни уравнения с черен коефициент при X (или с коефициент тип 2 · n, например, 2,3 или 14 · ln 5 \u003d 2,7 · ln 5). Ние показваме как се показва тази формула.

Нека бъдем задача да намерим разтвора на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Ние действаме върху алгоритъма: определят дискриминационния D \u003d (2 · N) 2 - 4 · C \u003d 4 · N2 - 4 · C \u003d 4 · (N2 - A · ° С) и след това използвайте Коренна формула:

x \u003d - 2 · N ± D2 · А, X \u003d - 2 · N ± 4 · N2 - A · С2 · А, X \u003d - 2 · N ± 2N2 - A · C 2 · A, X \\ t \u003d - N ± N2 - A · CA.

Оставете експресията N 2 - A · C да бъде посочена като D1 (понякога d "). Тогава формулата на корените на квадратното уравнение под внимание с втория коефициент 2 · n ще приеме формата:

x \u003d - N ± D1a, където d1 \u003d N2 - A · ° С.

Лесно е да се види, че това d \u003d 4 · d1, или d 1 \u003d d 4. С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминацията. Очевидно е, че знакът D1 е същият като знака D, което означава, че знакът D 1 може да служи и като индикатор за присъствието или отсъствието на корените на квадратното уравнение.

Определение 11.

Така, за да се намери разтвор на квадратното уравнение с втория коефициент 2 · n, е необходимо:

• намерете D1 \u003d N2 - A · C;
• с d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• за d 1 \u003d 0, определете единствения корен на уравнението съгласно формулата X \u003d - NA;
• за d 1\u003e 0, определете двата валидни корени съгласно формулата X \u003d - n ± d 1 a.

Пример 9.

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Решение

Вторият коефициент на определеното уравнение може да бъде представен като 2 · (- 3). След това пренапишете посоченото квадратно уравнение като 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, където a \u003d 5, n \u003d - 3 и c \u003d - 32.

Изчисляваме четвъртата част на дискриминатора: D 1 \u003d N2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Получената стойност положително, това означава, че уравнението има две валидни корени. Ние ги определяме според съответната коренова формула:

x \u003d - n ± d1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 или x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2

Би било възможно да се правят изчисления и по обичайната формула на корените на квадратното уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2.

Опростяване на видовете квадратни уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира вида на уравнението на източника, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например, квадратно уравнение 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 е ясно по-удобно за решаване от 1200 · x 2 - 400 × - 700 \u003d 0.

По-често опростяването на вида на квадратното уравнение се извършва чрез умножение или разделяне на двете части в един вид номер. Например, ние показахме опростен запис на уравнението 1200 · X 2 - 400 · X - 700 \u003d 0, получено чрез разделяне на двете части със 100.

Такава конверсия е възможна, когато коефициентите на квадратното уравнение не са взаимно прости числа. След това обикновено се разделят и двете части на уравнението към най-големия общ делител на абсолютните стойности на нейните коефициенти.

Като пример, използвайте квадратно уравнение 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Ние определяме възела на абсолютните стойности на нейните коефициенти: възли (12, 42, 48) \u003d възел (възел (12, 42), 48) \u003d възел (6, 48) \u003d 6. Ще разделим двете части на първоначалното квадратно уравнение на 6 и получаваме еквивалентно квадратно уравнение 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Умножаването на двете части на квадратното уравнение обикновено се отървава от фракционните коефициенти. В същото време, умножено по най-малък общ знаменател на нейните коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение е 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 се размножава от NOC (6, 3, 1) \u003d 6, след което ще бъде записано в по-прост форма X 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

И накрая, отбелязваме, че почти винаги се отърват от минус при първия коефициент на квадратното уравнение, като променят признаците на всеки член на уравнението, който се постига чрез умножаване (или разделения) на двете части от 1. Например, от квадратно уравнение - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, можете да отидете в опростената версия 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Комуникация между корените и коефициентите

Формулата на корените на квадратните уравнения X \u003d - B ± D2 · А вече известно на нас изразява корените на уравнението чрез числените коефициенти. Разчитайки на тази формула, имаме възможност да определим други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Виета:

x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.

По-специално, за намаленото квадратно уравнение, количеството на корените е вторият коефициент с противоположния знак и продуктът на корените е безплатен. Например, според вида на квадратното уравнение 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, възможно е незабавно да се определи, че сумата на корените му е 7 3, а продуктът на корените е 22 3.

Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, сумата от квадратите на корените на квадратното уравнение може да бъде изразена чрез коефициентите:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · х 2 \u003d - BA2-2 · Ca \u003d B 2 A2 - 2 · Ca \u003d B 2 - 2 · A · CA 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

В тази статия ще разгледаме решението на непълни квадратни уравнения.

Но първо повтаряме кои уравнения се наричат \u200b\u200bквадрат. Уравнение на формата AH2 + BX + C \u003d 0, където X е променлива и коефициентите А, В и с някои числа, и ≠ 0, наречени квадрат. Както виждаме коефициентът при X 2 не е нула и следователно коефициентите на x или свободен елемент могат да бъдат нула, в този случай получаваме непълно квадратно уравнение.

Непълни квадратни уравнения са три вида:

1) ако b \u003d 0, c ≠ 0, след това ah2 + c \u003d 0;

2) ако b ≠ 0, c \u003d 0, след това ah2 + bx \u003d 0;

3) ако b \u003d 0, c \u003d 0, след това ah2 \u003d 0.

• Нека да разберем как да решим уравнения на формата AH2 + C \u003d 0.

За решаване на уравнението, като отложи свободен член с дясната част на уравнението, ние получаваме

aH2 \u003d -C. Тъй като ≠ 0, тогава разделяме двете части на уравнението при, след това X 2 \u003d -C / a.

Ако уравнението има два корена

x \u003d ± √ (-C / a).

Ако -C / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Нека се опитаме да разберем примерите как да решават такива уравнения.

Пример 1.. Решете уравнение 2x 2 - 32 \u003d 0.

Отговор: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Пример 2.. Решете уравнение 2x 2 + 8 \u003d 0.

Отговор: Уравнението на решенията няма.

• Ще разберем как да решим уравнения на формата AH2 + BX \u003d 0.

За да разрешите уравнението AH 2 + BX \u003d 0, ние ще го разложим на множителите, т.е. ние ще го донесем на скоби X, получаваме x (AH + b) \u003d 0. Продуктът е нула, ако поне един на мултипликателите са нула. След това или X \u003d 0, или AH + B \u003d 0. Разширяване на уравнението AH + B \u003d 0, ние получаваме AH \u003d - B, където x \u003d - b / a. Уравнението на формата AH2 + BX \u003d 0, винаги има два корена x 1 \u003d 0 и x 2 \u003d - b / a. Вижте как изглежда като решение на решаването на уравненията на този вид.

Осигурете знанията ни в конкретен пример.

Пример 3.. Решаване на уравнение 3x 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 или 3x - 12 \u003d 0

Отговор: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Уравнения от трети тип AH 2 \u003d 0 Решен много прост.

Ако ah 2 \u003d 0, след това x 2 \u003d 0. Уравнението има два равни корени x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

За яснота, помислете за схемата.

Ще бъдем убедени при вземането на проби от пример 4, че уравненията на този вид са решени много просто.

Пример 4. Разрешаване на уравнение 7x 2 \u003d 0.

Отговор: x 1, 2 \u003d 0.

Не винаги е възможно незабавно да се разбере какъв вид непълно плоско уравнение трябва да решим. Помислете за следния пример.

Пример 5. Решаване на уравнение

Умножете двете части на уравнението на общ знаменател, т.е. при 30

Социо

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Извикващи скоби

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Нека дадем подобни

Ние прехвърляме 99 от лявата част на уравнението вдясно, променяйки знака до обратното

Отговор: Няма корени.

Ние демонтирахме как са решени непълни квадратни уравнения. Надявам се, че сега няма да имате трудности със сходни задачи. Бъдете внимателни, когато определяте вида на непълното квадратно уравнение, тогава ще успеете.

Ако имате въпроси относно тази тема, регистрирайте се за моите уроци, решаваме проблемите заедно.

сайтът, с пълно или частично копиране на позоваването на материала към оригиналния източник.

В съвременното общество способността за извършване на действия с уравненията, съдържащи променливата, събрани до площада, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко на практика в научното и техническото развитие. Доказателство за това може да обслужва дизайна на морски и речни плавателни съдове, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления траекторите на движението на различни тела, включително космически обекти. Примери с разтвор на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, в проектирането и изграждането на сгради, но и в най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те могат да са необходими в туристическите кампании в спорта, в магазините за пазаруване и в други много общи ситуации.

Ние нарушаваме изразяването на компонентите на множителите

Степента на уравнение се определя чрез максималната стойност на степента в променливата, която съдържа този израз. В случай, че е 2, тогава такова уравнение се нарича точно площад.

Ако езикът на формулите изразява, тогава посочените изрази, без значение как изглеждат, винаги могат да бъдат причинени от формата, когато лявата част на изразяването се състои от три термина. Сред тях: AX 2 (т.е. променливата, издигната на квадрат с нейния коефициент), BX (неизвестен без квадрат със своя коефициент) и C (свободен компонент, т.е. обичайното число). Всичко това в дясната страна е равно на 0. в случая, когато няма нито един от неговите компоненти на термините, с изключение на AX 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Примери с решаването на такива задачи, стойността на променливите, в които е лесно да се намери, трябва да се разглежда първо.

Ако експресията се появи във формата, изглежда по такъв начин, че две, по-точно, Ax 2 и BX, изразът на експресията върху експресията от дясната страна, е най-лесно да се намери променлива за скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x (AX + B). След това става очевидно, че или x \u003d 0 или задачата се намалява до намиране на променлива от следния израз: AX + B \u003d 0. Определеното диктува един от свойствата на умножение. Правилото се казва, че продуктът от два фактора дава в резултат на 0 само ако един от тях е нула.

Пример

x \u003d 0 или 8x - 3 \u003d 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0.375.

Уравненията от този вид могат да опишат движението на тела под влиянието на тежестта, което започва движение от определена точка, приета в началото на координатите. Тук математическият запис приема следната форма: Y \u003d V 0 T + GT 2/2. Заместването на необходимите стойности, приравняване на дясната страна 0 и намирането на възможни неизвестни, можете да откриете времето, което минава от момента на повишаването на тялото до падането му, както и много други ценности. Но по-късно ще говорим за това.

Разлагане на изразяването на мултипликатори

Описаното по-горе правило прави възможно решаването на задачите и в по-сложни случаи. Разгледайте примери с решаване на квадратни уравнения от този тип.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Тази квадратна тройна е пълна. За да започнем, ние трансформираме израза и го разлагаме за множители. Те се получават две: (x-8) и (x-25) \u003d 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решаване на квадратни уравнения в 9 клас позволяват този метод да намери променлива в изрази не само втората, но дори и третата и четвъртата поръча.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. С разлагането на дясната част на множителите с променлива, те се получават три, т.е. (x + 1), (x-3) и (x-3) и (\\ t X + 3).

В резултат на това става ясно, че това уравнение има три корени: -3; - 3.

Извличане на квадратен корен

Друг случай на непълното уравнение на втория ред е изразът, на езика на писмата, представени по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите на AX 2 и C. Тук, за стойността на променливата, свободният елемент се прехвърля в дясната страна, а след това квадратен корен се извлича от двете части на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай корените на уравнението обикновено са две. Изключение може да бъде равно на равенството, обикновено не съдържащ термина С, когато променливата е нула, както и опциите за изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последния случай решенията изобщо не съществуват, тъй като горното действие не може да бъде произведено с корени. Трябва да се обмислят примери за разтвори на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат -4 и 4.

Изчисляване на парцел

Необходимостта от такива изчисления се появи в дълбока античност, защото развитието на математиката в много отношения в тези далечни времена се дължи на необходимостта от определяне на най-точността на района и периметъра на парцелите.

Примери с решаване на квадратни уравнения, изготвени въз основа на задачи от този вид, трябва да се разглеждат на нас.

Така че, да кажем, че има правоъгълен парцел, чиято дължина е на 16 метра повече от ширината. Трябва да се намери дължина, ширина и периметър на обекта, ако е известно, че площта му е равна на 612 m 2.

Започване на въпрос, първо направете необходимото уравнение. Обозначава с ширината на сайта, след което дължината му ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), която според състоянието на нашия проблем е 612. Това означава, че X (X + 16) \u003d 612.

Разтворът на пълни квадратни уравнения и този израз е именно такъв, не може да се извърши по същия начин. Защо? Въпреки че лявата страна на нея все още съдържа два фактора, продуктът изобщо не е равен на 0, така че тук се използват други методи.

Дискриминанта

Първо, тогава ще произведем необходимите трансформации, тогава външен вид Този израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Това означава, че сме получили експресия във формата, съответстваща на предварително определен стандарт, където a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминантно. Тук необходими изчисления Произведени съгласно схемата: D \u003d B 2 - 4AC. Тази спомагателна стойност не само дава възможност да се намерят желаните стойности във второто уравнение на втори ред, той определя броя възможни опции. В случай d\u003e 0, има две; Когато D \u003d 0 има един корен. В случай на D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминацията е: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Това предполага, че отговорът на нашата задача съществува. Ако знаете, k, разтворът на квадратните уравнения трябва да продължи да използва формулата по-долу. Тя ви позволява да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Втората версия в тази дилема не може да бъде разтвор, тъй като размерите на земята не могат да бъдат измерени в отрицателни стойности, това означава X (т.е. ширината на площадката) е 18 m. Оттук, изчисляваме дължината: 18 + 16 \u003d 34 и периметри 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Примери и цели

Ние продължаваме да проучваме квадратни уравнения. Ще бъдат дадени допълнителни примери и подробно решение на няколко от тях.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Ние прехвърляме всичко в лявата част на равенството, ще направим трансформация, т.е. получаваме формата на уравнението, което се нарича стандарт, и го изравнява с нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

След сгъване, ние определяме дискриминацията: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги според горната формула, което означава, че първият от тях е 4/3, а вторият.

2) Сега разкриват загадките от друг вид.

Разберете, има ли корени тук x 2 - 4x + 5 \u003d 1? За да получите всеобхватен отговор, даваме полином към подходящото познаване и изчисляваме дискриминацията. В посочения пример, разтворът на квадратното уравнение не е необходимо, защото същността на задачата изобщо не е това. В този случай, D \u003d 16 - 20 \u003d 4, което означава, че наистина няма корени.

Vieta теорема

Квадратните уравнения са удобно решени през горните формули и дискриминационни, когато квадратният корен се извлича от последната стойност. Но това не винаги. Въпреки това, има много начини за получаване на променливи в този случай. Пример: решения на квадратни уравнения на теоремата на Виета. Тя е кръстена, след която е живяла през XVI век във Франция и е направила брилянтна кариера поради математическия си талант и дворове. Портрет на него може да се види в статията.

Моделът, който известят известният френски език, е следният. Той доказа, че корените на уравнението в количеството са числено равни на -P \u003d B / A, а техният продукт съответства на Q \u003d C / a.

Сега разгледайте конкретни задачи.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

За простота превръщаме изразяването:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Ние използваме теоремата на Виета, тя ще ни даде следното: количеството на корените е -7 и тяхната работа -18. Оттук, получаваме, че корените на уравнението са числа -9 и 2. Направете чек, уверете се, че тези стойности на променливи са наистина подходящи в изразяването.

Графика и рабола уравнение

Концепции Квадратичната функция и квадратните уравнения са тясно свързани. Примерите за това вече са показани по-рано. Сега помислете малко по-математически загадки. Всяко уравнение на описания тип може да бъде представено. Подобна зависимост, изтеглена под формата на графика, се нарича парабола. Различните й типове са показани на фигурата по-долу.

Всяка Parabola има върха, т.е. точката, от която излизат нейните клонове. В случай, че а\u003e 0, те оставят високо в безкрайност и когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните изображения на функциите помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадрат. Този метод се нарича графика. И стойността на променливата X е координата на абсцисата в точки, където графиката на графиката преминава от 0x. Координатите на върховете могат да бъдат намерени съгласно дадената единствена формула X 0 \u003d -B / 2A. И, заместване на получената стойност към първоначалното уравнение на функцията, можете да научите Y 0, т.е. вторият координат от върховете на Peyabol, принадлежащи към ордината.

Пресичане на клоните на парабола с ос от абсциса

Примери с решения на квадратните уравнения са много, но има общи модели. Помислете за тях. Ясно е, че пресичането на графиката с ос 0x при\u003e 0 е възможно само ако 0 получава отрицателни стойности. И за А.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Според графиката, параболите могат да бъдат идентифицирани и корени. Обратното също е вярно. Това означава, че ако получите визуален образ на квадратична функция не е лесно, можете да приравните дясната страна на експресията до 0 и да решите полученото уравнение. И познаването на точките на пресичане с ос 0x, по-лесно е да се изгради график.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи променливата до квадрата, в старите дни не само правят математически изчисления и определяха областта на геометричните фигури. Подобни изчисления на древните бяха необходими за велики открития в областта на физиката и астрономията, както и за компилиране на астрологични прогнози.

Тъй като съвременните данни предлагат, сред първите решения на квадратните уравнения, жителите на Вавилон поемат. Това се случи в четири века преди началото на нашата епоха. Разбира се, техните изчисления в корена се различават от сега приети и се оказаха много примитивни. Например, мезопотамийските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Непознатите също имаха други тънкости от тези, които познават всеки ученик на нашето време.

Може би дори по-рано учени от Вавилон, решението на квадратните уравнения, мъдрец на Индия Будхояма се занимаваше. Това се случи в около осем века преди ерата на Христос. Вярно е, че уравнението на втория ред, методите за решаване, които той води, е най-силно едновременно. В допълнение към него, такива въпроси се интересуват от стари и китайски математици. В Европа уравненията на площад започнаха да се решават само в началото на XIII век, но по-късно те са били използвани в работата си толкова велики учени като Нютон, Декарт и много други.

С тази математическа програма можете решаване на квадратно уравнение.

Програмата не само дава задачата на отговор, но и показва процеса на решение по два начина:
- с помощта на дискриминантност
- използване на теоремата на Vieta (ако е възможно).

Освен това отговорът е точен, не е приблизително.
Например, за уравнението (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0), отговорът се извежда в този формуляр:

$ x x_1 \u003d frac (8+ sqrt (145)) (81), quad x_2 \u003d frac (8-1 sqrt (145)) (81) $ $ и не в това: \\ t (x_1 \u003d 0.247 quad x_2 \u003d -0.05)

Тази програма може да бъде полезна за студенти от гимназии на общи училища при подготовка за тестове и изпити, когато проверяват знанията пред изпита, родителите за наблюдение на решаването на много проблеми в математиката и алгебрата. Или може би сте прекалено скъпи за наемане на преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашното си по математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и / или обучение на по-малките си братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решени задачи се увеличава.

Ако не сте запознати с правилата за влизане в квадратна полинома, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на квадратни полиномиални вход

Като променлива може да бъде всяка латинска буква.
Например: (X, Y, Z, A, B, C, O, P, Q) и др.

Числата могат да влязат цялостно или частично.
Освен това, фракционните числа могат да се прилагат не само под формата на десетична, но и под формата на обикновена фракция.

Правилата за въвеждане на десетични фракции.
При десетични фракции частичната част на цялото може да бъде разделена като точка и запетая.
Например, можете да въведете десетични части като тази: 2.5x - 3.5x ^ 2

Правила за влизане на обикновени фракции.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от фракцията.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

Когато влизате в цифрова фракция, числителят се отделя от знаменателя към делената: /
Цялата част е отделена от Fraraty Ampersand Sign: &
Вход: 3 и 1/3 - 5 и 6 / 5Z + 1 / 7Z ^ 2
Резултат: (3 FRAC (1) (3) - 5 FRAC (6) (5) Z + RAC (1) (7) Z ^ 2)

При влизане в израза можете да използвате скоби. В този случай, когато решават квадратното уравнение, въведеният израз е първи опростен.
Например: 1/2 (Y - 1) (Y + 1) - (5Y-10 и 1/2)

=0

Реши

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не се зареждат, а програмата може да не работи.
Може да имате включен Adblock.
В този случай го изключете и актуализирайте страницата.

Имате изпълнението на JavaScript в браузъра си.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкциите, как да активирате JavaScript в браузъра си.

Като Желаейки да решават задачата е много, заявката ви е в съответствие.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай Сек ...

Ако ти забеляза грешка в решаванетоМожете да пишете за него в формуляра за обратна връзка.
Не забравяй посочете каква задача Вие решавате и какво влезте в полето.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Квадратно уравнение и корените му. Непълни квадратни уравнения

Всяко от уравненията
(- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, quad x ^ 2- frac (4) (9) \u003d 0)
Има външен вид
(AX ^ 2 + BX + C \u003d 0, \\ t
където x е променлива, a, b и c - номера.
При първото уравнение A \u003d -1, B \u003d 6 и C \u003d 1.4, във втория А \u003d 8, В \u003d -7 и С \u003d 0, в третия А \u003d 1, В \u003d 0 и С \u003d 4/9. Такива уравнения се наричат квадратни уравнения.

Определение.
Квадратно уравнение Уравнението на Axe Ax2 + BX + C \u003d 0, където X е променливата, А, В и С са някои числа, и (NEQ 0).

Числата А, В и С са коефициентите на квадратното уравнение. Броят А се нарича първият коефициент, числото Б е вторият коефициент и номер C - свободен член.

Във всяко от уравненията на формата AX 2 + BX + C \u003d 0, където (NEQ 0), най-голяма степен на променлива X - квадрат. Оттук и името: квадратно уравнение.

Обърнете внимание, че квадратното уравнение се нарича още уравнение на втората степен, тъй като лявата му част има полином от втора степен.

Квадратно уравнение, в което коефициентът при X 2 е 1, наречен дадено квадратно уравнение. Например, дадени квадратни уравнения са уравнения
(x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, quad x ^ 2-8 \u003d 0)

Ако в квадратната уравнение AX2 + BX + C \u003d 0, поне един от коефициентите В или С е нула, тогава такова уравнение се нарича непълна квадратна уравнение. Така че, уравненията -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 са непълни квадратни уравнения. В първия от тях b \u003d 0, във втория c \u003d 0, в третия b \u003d 0 и c \u003d 0.

Непълните квадратни уравнения са три вида:
1) AX 2 + C \u003d 0, където (C \\ t NEQ 0);
2) AX 2 + BX \u003d 0, където (b] 0);
3) AX 2 \u003d 0.

Помислете за решаването на уравненията на всеки от тези видове.

За решаване на непълна квадратна уравнение на формата AX 2 + C \u003d 0, с (C), тя се прехвърля в свободния си член в дясната страна и прави двете части на уравнението на:
(x ^ 2 \u003d - frac (c) (а) дясно x_ (1,2) \u003d pm sqrt (- frac (c) (a)) \\ t

Тъй като (C] 0), след това (- FRAC (C) (a) neq 0)

IF (- frac (c) (а)\u003e 0), уравнението има два корени.

IF (- - FRAC (с) (а), за решаване на непълно квадратно уравнение на формата 2 + bx \u003d 0, с (b] 0), те намаляват лявата си част на множителите и получават уравнението
(X (ax + b) \u003d 0 Радницата е ляво (начало (масив) (l) x \u003d 0 ax + b \u003d 0 край (масив) дясно. \\ T (Array) (l) x \u003d 0 x \u003d - frac (b) (a) край (масив) \\ t

Така че, непълното квадратно уравнение на формата 2 + bx \u003d 0 с (b] New) винаги има два корена.

Непълна квадратна уравнение на формата 2 \u003d 0 е еквивалентна на уравнение x 2 \u003d 0 и следователно има единствения корен 0.

Коренна формула за уравнение

Помислете сега как се решават квадратните уравнения, в които и двата коефициента с неизвестен и свободен елемент са различни от нула.

Space Square уравнение в общ И в резултат на това получаваме основната формула. След това тази формула може да се използва при решаване на всяко квадратно уравнение.

Resister Square уравнение AX 2 + BX + C \u003d 0

Отделяме двете части на него, ние получаваме еквивалента на представеното квадратно уравнение
(x ^ 2 + frac (b) (а) х + frac (c) (а) \u003d 0)

Ние трансформираме това уравнение, подчертавайки площада на отскочи:
(x ^ 2 + 2x cdot \\ t 2 + frac (c) (а) \u003d 0 дял)

(x ^ 2 + 2x cdot frac (b) (2a) + останали (frac (b) (2a) вдясно) ^ 2 \u003d ляво (frac (b) (2a) вдясно) ^ 2 - FRAC (c) (a) дясно) (ляво (X + \\ t frac (b) (2a) ^ 2 \u003d frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - frac \\ t (в) (а) дясното ляво (x + \\ t frac (b) (2a)] ^ 2 \u003d frac (b ^ 2) (4a ^ 2) дясно) \\ t (x + \\ t Frac (b) (2a) \u003d pm (frac (b ^ 2-4Ac) (4a ^ 2)) дясното радство x \u003d - frac (b) (2a) + frac (pm sqrt (pm \\ t b ^ 2 -4ac)) (2a) дясно) (x \u003d frac (-b pm) (b ^ 2-4ac)) (2а) \\ t

Изявлението се нарича дискриминантно квадратно уравнение AX 2 + BX + C \u003d 0 ("дискриминантност" на латиница е различен). Той се обозначава с буквата D, т.е.
(D \u003d b ^ 2-4ac)

Сега, използвайки обозначението на дискриминацията, пренапишете формулата за корените на квадратното уравнение:
(X_ (1,2) \u003d frac (-b pm sqrt (d)) (2a)), където (d \u003d b ^ 2-4ac)

Очевидно е, че:
1) Ако D\u003e 0, квадратното уравнение има два корена.
2) Ако d \u003d 0, квадратното уравнение има един корен (x \u003d - frac (b) (2a)).
3) ако d е по този начин, в зависимост от дискриминантната стойност, квадратното уравнение може да има два корена (с d\u003e 0), един корен (при d \u003d 0) или да няма корени (с d, когато решават квадратното уравнение за Тази формула е препоръчително да се прилага по следния начин:
1) Изчислете дискриминацията и го сравнете с нула;
2) Ако дискриминацията е положителна или равна на нула, след това използвайте коренната формула, ако дискриминацията е отрицателна, след това напишете корените.

Vieta теорема

Представеното квадратно уравнение AX 2-7x + 10 \u003d 0 има корени 2 и 5. количеството на корените е 7 и продуктът е 10. Виждаме, че количеството на корените е равно на втория коефициент, взет с обратното знака и продуктът на корените е равен на свободен член. Такъв имот има някакво квадратно уравнение с корен.

Сумата от корените на представеното квадратна уравнение е равна на втория коефициент, взет с противоположния знак, а продуктът на корените е равен на свободен елемент.

Тези. Теоремата на Vieta твърди, че корените на x 1 и x 2 от даденото квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0 имат свойство:
(Започнете (arable) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\ t