Setelah mempertimbangkan gerak translasi dan rotasi, kita dapat membuat analogi di antara keduanya. Kinematika gerak translasi menggunakan lintasan S, kecepatan
dan akselerasi A. Perannya dalam gerak rotasi dimainkan oleh sudut rotasi , kecepatan sudut dan percepatan sudut ε. Dalam dinamika gerak translasi digunakan konsep gaya dan massa T dan momentumnya 
Dalam gerak rotasi, peran gaya dimainkan oleh momen 
gaya, peran massa - momen inersia SAYA z dan peran momentum – momentum sudut 
Mengetahui rumus gerak translasi, mudah untuk menuliskan rumus gerak rotasi. Misalnya, pada gerak beraturan, jarak yang ditempuh dihitung dengan rumus: S =
T, dan dengan sudut rotasi - sesuai dengan rumus = T. hukum kedua Newton 
Dan 
dan hukum dasar dinamika gerak rotasi adalah 
Dan 
Selama gerak translasi, momentum benda sama dengan 
dan selama gerak rotasi momentum sudutnya adalah 
Analogi ini dapat dilanjutkan lebih jauh.
Kerja gaya selama gerak translasi. Kekuatan
Biarkan suatu benda (titik material) berada di bawah aksi gaya konstan 
, membuat sudut tetap dengan arah gerak, bergerak lurus dalam sistem acuan tertentu dan melewati lintasan aku. Kemudian, sebagaimana diketahui dari mata pelajaran fisika sekolah, usaha A gaya ini ditemukan dengan rumus:
A= lantai· karena = F aku aku, (1)
Sekarang mari kita perhatikan kasus umum penghitungan usaha ketika sebuah benda bergerak secara translasi sepanjang jalur melengkung di bawah pengaruh gaya variabel. Dalam perjalanan aku pilih bagian dasar dl, di mana kekuatan dapat dipertimbangkan 
dan sudut adalah nilai konstan, dan bagian itu sendiri adalah bujursangkar. Kemudian bekerja da di bagian ini kita temukan menggunakan rumus (1): da
=
F·
dl·
cos. Pekerjaan A sepanjang seluruh jalur sama dengan jumlah usaha da, yaitu
(2)
Ikon aku dengan integral artinya integrasi dilakukan sepanjang keseluruhan jalur aku.
Rumus (2) dapat diberikan bentuk lain jika kita menggunakan hasil kali skalar vektor. Kemudian integran da akan ditulis dalam bentuk: da
=
F·
dl·
cos= 
Di mana 
adalah vektor perpindahan dasar, dan
(3)
Dari rumus (1) jelas bahwa usaha merupakan besaran aljabar. Tanda usaha bergantung pada sudut . Jika sudut lancip maka cos > 0 dan usahanya positif, tetapi jika sudut tumpul maka usahanya negatif.
Satuan SI untuk usaha adalah joule (J). Hal ini diperkenalkan dari rumus (1), di mana cos = 1 diasumsikan 1 J adalah usaha yang dilakukan oleh gaya sebesar 1 N pada lintasan sepanjang 1 m, asalkan arah gaya dan perpindahannya berimpit.
Untuk mengkarakterisasi kecepatan kerja, konsep daya diperkenalkan, sama dengan kerja yang dilakukan per satuan waktu. Jika periode waktu dasar dt pekerjaan dasar selesai da, lalu kekuatannya R sama dengan
(4)
Dalam satuan SI, daya diukur dalam watt (W). Sebagai berikut dari (4), 1 W = 1 J / 1 s, yaitu. 1 W- Ini adalah kekuatan di mana 1 J pekerjaan dilakukan dalam 1 s.
Kerja gaya selama gerak rotasi
Pertimbangkan benda tegar yang dipengaruhi oleh gaya variabel 
berputar pada suatu sumbu z pada sudut tertentu. Gaya ini menciptakan torsi M z, memutar tubuh. Gaya diarahkan secara tangensial terhadap lingkaran di mana titik penerapan gaya bergerak. Oleh karena itu, sudut = 0. Dengan mempertimbangkan hal ini, dengan analogi rumus kerja mekanik (lihat (2)), kita menemukan ekspresi yang digunakan untuk menghitung kerja selama gerak rotasi:
(5)
Usaha akan bernilai positif jika arah komponen tangensial gaya bertepatan dengan arah putaran, dan negatif jika arah komponen tangensialnya berlawanan.
4.6 Gerak rotasi suatu benda tegar. Momen kekuasaan.
Tentu saja, posisi suatu titik, bahkan titik “khusus” tidak sepenuhnya menggambarkan pergerakan seluruh sistem benda yang ditinjau, namun tetap saja, lebih baik mengetahui posisi setidaknya satu titik daripada tidak mengetahui apa pun. Namun, mari kita perhatikan penerapan hukum Newton pada deskripsi rotasi benda tegar pada sumbu tetap.
Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana: biarkan materi menjadi titik massa M diikat dengan batang kaku tanpa bobot yang panjangnya panjang R ke sumbu tetap OO'(Gbr. 46). Suatu titik material dapat bergerak mengelilingi suatu sumbu, dengan jarak yang tetap darinya, oleh karena itu lintasannya akan berbentuk lingkaran yang berpusat pada sumbu rotasi.
Tentu saja, gerak suatu titik mengikuti persamaan hukum kedua Newton \(~m \vec a = \vec F_0\). Namun, penerapan langsung persamaan ini tidak dapat dibenarkan: pertama, suatu titik memiliki satu derajat kebebasan, oleh karena itu lebih mudah menggunakan sudut rotasi sebagai satu-satunya koordinat, daripada dua koordinat Cartesian; kedua, sistem yang dipertimbangkan dikenai gaya reaksi pada sumbu rotasi, dan langsung pada titik material oleh gaya tarik batang. Menemukan gaya-gaya ini adalah masalah tersendiri, yang solusinya tidak diperlukan untuk menjelaskan rotasi. Oleh karena itu, masuk akal untuk memperoleh, berdasarkan hukum Newton, persamaan khusus yang secara langsung menggambarkan gerak rotasi.
Misalkan suatu saat suatu gaya tertentu \(~\vec F\) bekerja pada suatu titik material yang terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi (Gbr. 47). Dalam deskripsi kinematik gerak lengkung, vektor percepatan total \(~\vec a\) dengan mudah diuraikan menjadi dua komponen: normal \(~\vec a_n\), diarahkan ke sumbu rotasi, dan tangensial \(~\ vec a_(\tau)\ ) diarahkan sejajar dengan vektor kecepatan. Kita tidak memerlukan nilai percepatan normal untuk menentukan hukum gerak. Tentu saja percepatan ini juga disebabkan oleh gaya-gaya yang bekerja, salah satunya adalah gaya tegangan batang yang belum diketahui.
Mari kita tulis persamaan hukum kedua dalam proyeksi ke arah tangensial:
\(~m a_(\tau) = F_(\tau)\) , (1)
Perhatikan bahwa gaya reaksi batang tidak termasuk dalam persamaan ini, karena gaya tersebut diarahkan sepanjang batang dan tegak lurus terhadap proyeksi yang dipilih. Mengubah sudut rotasi φ ditentukan langsung oleh kecepatan sudut \(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t)\), yang perubahannya dijelaskan oleh percepatan sudut \(~\varepsilon = \frac( \Delta \omega)(\ Delta t)\) . Percepatan sudut berhubungan dengan komponen percepatan tangensial melalui relasi A τ = rε. Jika kita mengganti persamaan ini ke persamaan (9), kita memperoleh persamaan yang cocok untuk menentukan percepatan sudut. Lebih mudah untuk memperkenalkan kuantitas fisik baru yang menentukan interaksi benda ketika mereka berputar. Caranya, kalikan kedua ruas persamaan (1) dengan R
\(~m r^2 \varepsilon = F_(\tau) r\) . (2)
dan pertimbangkan ekspresi di sisi kanannya F τ R, yang mempunyai arti hasil kali komponen tangensial gaya dengan jarak dari sumbu rotasi ke titik penerapan gaya. Karya yang sama dapat disajikan dalam bentuk yang sedikit berbeda (lihat Gambar 48)
M = F τ R = Pdt karena α = Fd, Di Sini D- jarak dari sumbu rotasi ke garis kerja gaya, disebut juga bahu kekuatan. Kuantitas fisik ini hasil kali modulus gaya dan jarak dari garis kerja gaya ke sumbu rotasi (lengan gaya) M = Fd disebut momen kekuatan. Aksi gaya dapat menyebabkan putaran, baik searah jarum jam maupun berlawanan arah jarum jam. Sesuai dengan arah putaran positif yang dipilih, tanda momen gaya harus ditentukan. Perhatikan bahwa momen gaya ditentukan oleh komponen gaya yang tegak lurus terhadap vektor jari-jari titik penerapannya. Komponen vektor gaya yang diarahkan sepanjang segmen yang menghubungkan titik penerapan dan sumbu rotasi tidak menyebabkan rotasi benda. Ketika sumbunya tetap, komponen ini dikompensasi oleh gaya reaksi pada sumbu, sehingga tidak mempengaruhi rotasi benda.
Mari kita tuliskan ungkapan lain yang berguna untuk momen gaya. Biarkan gaya \(~\vec F\) diterapkan pada titik tersebut A , yang koordinat kartesiusnya sama X,kamu(Gbr. 49). Mari kita menguraikan gaya \(~\vec F\) menjadi dua komponen \(~\vec F_x, \vec F_y\) sejajar dengan sumbu koordinat yang bersesuaian. Momen gaya \(~\vec F\) relatif terhadap sumbu yang melalui titik asal koordinat jelas sama dengan jumlah momen komponen-komponen \(~\vec F_x, \vec F_y\), yaitu, M = xF kamu- kamuF X.
Dengan cara yang sama seperti kita memperkenalkan konsep vektor kecepatan sudut, kita juga dapat mendefinisikan konsep vektor torsi. Modulus vektor ini sesuai dengan definisi yang diberikan di atas, dan diarahkan tegak lurus terhadap bidang yang memuat vektor gaya dan segmen yang menghubungkan titik penerapan gaya dengan sumbu rotasi. Vektor momen gaya juga dapat didefinisikan sebagai hasil kali vektor vektor jari-jari titik penerapan gaya dan vektor gaya.
\(~\vec M = \vec r \kali \vec F\) .
Perhatikan bahwa ketika titik penerapan gaya dipindahkan sepanjang garis aksinya, momen gaya tidak berubah.
Mari kita nyatakan hasil kali massa suatu titik material dengan kuadrat jarak ke sumbu rotasi Tn. 2 = SAYA(besarnya ini disebut momen inersia suatu titik material terhadap sumbunya). Dengan menggunakan notasi ini, persamaan (2) mengambil bentuk yang secara formal sesuai dengan persamaan hukum kedua Newton untuk gerak translasi
\(~I \varepsilon = M\) . (3)
Persamaan ini disebut persamaan dasar dinamika gerak rotasi. Jadi, momen gaya pada gerak rotasi mempunyai peranan yang sama dengan gaya pada gerak translasi; Ternyata (dan hal ini diperkuat oleh pengalaman kita sehari-hari) pengaruh gaya terhadap kecepatan rotasi tidak hanya ditentukan oleh besarnya gaya, tetapi juga oleh titik penerapannya. Momen inersia menentukan sifat inersia suatu benda dalam kaitannya dengan rotasi (secara sederhana, ini menunjukkan apakah mudah untuk memutar benda) - semakin jauh suatu titik material dari sumbu rotasi, semakin sulit untuk memutarnya. memutarnya.
Persamaan (3) dapat digeneralisasikan pada kasus rotasi benda sembarang. Ketika sebuah benda berputar pada sumbu tetap, percepatan sudut semua titik pada benda tersebut adalah sama. Oleh karena itu, mirip dengan apa yang kita lakukan ketika menurunkan persamaan Newton untuk gerak translasi suatu benda, kita dapat menulis persamaan (3) untuk semua titik pada benda yang berputar dan kemudian menjumlahkannya. Hasilnya, kita memperoleh persamaan yang secara lahiriah bertepatan dengan (3), di mana SAYA- momen inersia seluruh benda, sama dengan jumlah momen titik-titik material penyusunnya, M- jumlah momen gaya luar yang bekerja pada benda.
Mari kita tunjukkan bagaimana momen inersia suatu benda dihitung. Penting untuk ditekankan bahwa momen inersia suatu benda tidak hanya bergantung pada massa, bentuk dan ukuran benda, tetapi juga pada posisi dan orientasi sumbu rotasi. Secara formal, prosedur perhitungannya adalah dengan membagi benda menjadi bagian-bagian kecil, yang dapat dianggap sebagai titik material (Gbr. 51), dan menjumlahkan momen inersia titik material tersebut, yang sama dengan hasil kali massa dikalikan dengan kuadrat. dari jarak ke sumbu rotasi
\(~I = m_1 r^2_1 + m_2 r^2_2 + m_3 r^2_3 + \ldots\) .
Untuk benda yang bentuknya sederhana, jumlah tersebut telah dihitung sejak lama, sehingga seringkali cukup dengan mengingat (atau menemukan di buku referensi) rumus yang sesuai untuk momen inersia yang diperlukan. Sebagai contoh: momen inersia sebuah silinder bermassa homogen berbentuk lingkaran M dan radius R untuk sumbu rotasi yang bertepatan dengan sumbu silinder sama dengan \(~I = \frac(1)(2) m R^2\) .
Topik ini akan dikhususkan untuk pertimbangan jenis gaya khusus - gaya inersia. Keunikan gaya-gaya tersebut adalah sebagai berikut. Semua gaya mekanis - baik itu gaya gravitasi, elastis, atau gesekan - muncul ketika suatu benda dipengaruhi oleh benda lain. Situasinya berbeda dengan gaya inersia.
Pertama, mari kita ingat apa itu inersia. Inersia adalah fenomena fisika yang terdiri dari kenyataan bahwa suatu benda selalu berusaha mempertahankan kecepatan aslinya. Dan gaya inersia muncul ketika kecepatan benda berubah – mis. percepatan muncul. Bergantung pada gerakan yang dilakukan benda, ia mengalami satu atau beberapa percepatan, dan menghasilkan satu atau beberapa gaya inersia. Namun semua kekuatan ini disatukan oleh pola yang sama: gaya inersia selalu berlawanan arah dengan percepatan yang ditimbulkannya.
Berdasarkan sifatnya, gaya inersia berbeda dengan gaya mekanik lainnya. Semua gaya mekanis lainnya muncul sebagai akibat aksi suatu benda terhadap benda lain. Sedangkan gaya inersia disebabkan oleh sifat gerak mekanis benda. Ngomong-ngomong, tergantung pada gerakan yang dilakukan benda, satu atau beberapa gaya inersia muncul:
Gerakannya bisa lugas, lalu percakapan akan berlanjut tentang gaya inersia gerak translasi;
Gerakannya bisa berbentuk lengkung, dan kemudian akan menjadi lengkung tentang gaya sentrifugal inersia;
Terakhir, geraknya bisa lurus dan lengkung (jika benda bergerak dalam sistem berputar atau bergerak sambil berputar), baru kita bicara tentang gaya Coriolis.
Mari kita perhatikan lebih detail jenis-jenis gaya inersia dan kondisi terjadinya.
1. KEKUATAN INERTIA GERAK MAJUF i . Itu terjadi ketika suatu benda bergerak sepanjang jalan lurus. Aksi gaya ini terus-menerus kita jumpai pada kendaraan yang bergerak di jalan lurus, saat mengerem, dan saat berakselerasi. Saat mengerem, kita terlempar ke depan karena... kecepatan gerakan menurun tajam, dan tubuh kita berusaha mempertahankan kecepatannya. Saat menambah kecepatan, kita terdesak ke bagian belakang jok karena alasan yang sama. Pada Gambar. 2.1
Arah percepatan dan gaya inersia gerak translasi jika terjadi penurunan kecepatan digambarkan: percepatan diarahkan berlawanan dengan gerak, dan gaya inersia diarahkan berlawanan dengan percepatan. Rumus gaya inersia diberikan oleh hukum kedua Newton: . Tanda minus disebabkan oleh fakta bahwa vektor-vektor tersebut memiliki arah yang berlawanan. Nilai numerik (modulus) gaya ini dihitung dengan rumus:
F = bu (3.1)
2. GAYA SENTRIFUGAL INERTIAF i . Untuk memahami bagaimana gaya ini muncul, perhatikan Gambar. 3.2, yang menunjukkan sebuah piringan yang berputar pada bidang horizontal dengan sebuah bola menempel pada bagian tengah piringan tersebut melalui sambungan tarik (misalnya karet gelang). Ketika piringan mulai berputar, bola cenderung menjauh
tengahkan dan kencangkan karet gelangnya. Selain itu, semakin cepat piringan berputar, semakin jauh bola menjauh dari pusat piringan. Pergerakan bola sepanjang bidang piringan disebabkan oleh aksi gaya yang disebut gaya inersia sentrifugal (F cb) . Dengan demikian, gaya sentrifugal timbul selama rotasi dan diarahkan sepanjang jari-jari dari pusat rotasi merupakan gaya inersia, artinya kemunculannya disebabkan oleh adanya percepatan yang arahnya harus berlawanan dengan gaya tersebut. Jika gaya sentrifugal diarahkan dari pusat, maka jelas penyebab gaya tersebut adalah percepatan normal (sentripetal). sebuah , karena justru diarahkan ke pusat rotasi (lihat Topik 1, §1.2, paragraf 3). Berdasarkan hal tersebut diperoleh rumus gaya sentrifugal. Menurut hukum kedua Newton F=ma , Di mana M - massa tubuh. Maka hubungan tersebut berlaku untuk gaya sentrifugal inersia:
F cb = ma n.
Dengan mempertimbangkan (1.18) dan (1.19), kita memperoleh:
(3.2) dan F cb = mω 2 r (3.3).
3. KEKUATAN CORIOLIS F K . Ketika dua jenis gerak digabungkan: rotasi dan translasi, muncul gaya lain, yang disebut gaya Coriolis (atau gaya Coriolis) dinamai mekanik Perancis Gustav Gaspard Coriolis (1792-1843), yang menghitung gaya ini.
Kemunculan gaya Coriolis dapat dideteksi dengan contoh percobaan yang ditunjukkan pada Gambar. 3.3. Ini menggambarkan disk yang berputar secara horizontal
Beras. 3.3 tampilan atas
pesawat. Mari kita menggambar garis lurus radial OA pada piringan dan meluncurkan bola ke arah dari O ke A dengan kecepatan v. Jika piringan tidak berputar maka bola akan menggelinding sepanjang garis lurus yang telah kita gambar. Jika piringan diputar ke arah yang ditunjukkan oleh panah, maka bola akan menggelinding sepanjang kurva OB yang ditunjukkan oleh garis putus-putus, dan kecepatannya akan berubah arah (lihat Gambar 3.3 (b)). Akibatnya, terhadap kerangka acuan yang berputar (dan dalam hal ini adalah piringan), bola berperilaku seolah-olah dikenakan gaya tertentu yang tegak lurus dengan kecepatan v. Ini adalah gaya Coriolis F K . Hal inilah yang menyebabkan bola menyimpang dari lintasan lurus OA. Rumus yang menjelaskan gaya ini ditentukan lagi oleh hukum kedua Newton, hanya saja kali ini yang disebut percepatan bertindak sebagai Percepatan coriolis K : ,F K =2mυω (3.5).
Jadi, seperti yang telah disebutkan, agar gaya Coriolis dapat terwujud, diperlukan kombinasi 2 jenis gerakan. Dan di sini ada dua pilihan: 1). Benda bergerak relatif terhadap kerangka acuan yang berputar. Kasus inilah yang digambarkan pada Gambar 3.3. 2). Sebuah benda yang berputar melakukan gerakan translasi. Sebagai contoh, kita dapat memperhatikan apa yang disebut bola “melengkung” - sebuah teknik yang digunakan dalam sepak bola - ketika bola dipukul sedemikian rupa sehingga berputar selama penerbangannya.
« Fisika - kelas 10"
Akselerasi sudut.
Sebelumnya, kita memperoleh rumus yang menghubungkan kecepatan linier υ, kecepatan sudut ω dan jari-jari R lingkaran di mana elemen yang dipilih (titik material) dari benda tegar mutlak bergerak, yang berputar pada sumbu tetap:
Kami tahu itu linier kecepatan dan percepatan titik-titik benda tegar berbeda-beda. Dalam waktu yang bersamaan kecepatan sudut adalah sama untuk semua titik benda tegar.
Kecepatan sudut merupakan besaran vektor. Arah kecepatan sudut ditentukan oleh aturan gimlet. Jika arah putaran gagang gimlet bertepatan dengan arah putaran benda, maka gerak translasi gimlet menunjukkan arah vektor kecepatan sudut (Gbr. 6.1).
Namun gerak rotasi beraturan jarang terjadi. Lebih sering kita berhadapan dengan gerak yang kecepatan sudutnya berubah, tentunya hal ini terjadi pada awal dan akhir gerak.
Alasan perubahan kecepatan sudut rotasi adalah aksi gaya pada benda. Perubahan kecepatan sudut terhadap waktu menentukan percepatan sudut.
Vektor kecepatan sudut merupakan vektor geser. Terlepas dari titik penerapannya, arahnya menunjukkan arah putaran benda, dan modul menentukan kecepatan putaran,
Percepatan sudut rata-rata sama dengan perbandingan perubahan kecepatan sudut dengan selang waktu terjadinya perubahan tersebut:
Dengan gerak dipercepat beraturan, percepatan sudutnya konstan dan dengan sumbu rotasi stasioner mencirikan perubahan kecepatan sudut dalam nilai absolut. Ketika kecepatan sudut rotasi suatu benda meningkat, percepatan sudut diarahkan ke arah yang sama dengan kecepatan sudut (Gbr. 6.2, a), dan ketika menurun, ke arah yang berlawanan (Gbr. 6.2, b).
Karena kecepatan sudut berhubungan dengan kecepatan linier melalui hubungan υ = ωR, maka perubahan kecepatan linier selama periode waktu tertentu Δt sama dengan Δυ =ΔωR. Membagi ruas kiri dan kanan persamaan dengan Δt, kita mendapatkan a = εR, dimana a - garis singgung(linier) percepatan, diarahkan secara tangensial terhadap lintasan gerak (lingkaran).
Jika waktu diukur dalam detik dan kecepatan sudut diukur dalam radian per detik, maka satu satuan percepatan sudut sama dengan 1 rad/s 2 , yaitu percepatan sudut dinyatakan dalam radian per detik kuadrat.
Benda apa pun yang berputar, misalnya rotor pada motor listrik, piringan bubut, roda mobil saat akselerasi, dll., bergerak tidak merata saat memulai dan berhenti.
Momen kekuasaan.
Untuk menciptakan gerak rotasi, tidak hanya besarnya gaya yang penting, tetapi juga titik penerapannya. Sangat sulit untuk membuka pintu dengan memberikan tekanan di dekat engselnya, tetapi pada saat yang sama Anda dapat dengan mudah membukanya dengan menekan pintu sejauh mungkin dari sumbu putaran, misalnya pada pegangan. Oleh karena itu, untuk gerak rotasi yang penting tidak hanya besarnya gaya, tetapi juga jarak dari sumbu rotasi ke titik penerapan gaya. Selain itu, arah gaya yang diterapkan juga penting. Anda dapat menarik roda dengan tenaga yang sangat besar, namun tetap tidak menyebabkannya berputar.
Momen gaya adalah besaran fisis yang sama dengan hasil kali gaya per lengan:
M = Fd,
di mana d adalah lengan gaya, sama dengan jarak terpendek dari sumbu rotasi ke garis kerja gaya (Gbr. 6.3).
Jelasnya, momen gaya adalah maksimum jika gaya tersebut tegak lurus terhadap vektor jari-jari yang ditarik dari sumbu rotasi ke titik penerapan gaya tersebut.
Jika beberapa gaya bekerja pada suatu benda, maka momen total sama dengan jumlah aljabar momen masing-masing gaya terhadap sumbu rotasi tertentu.
Dalam hal ini, momen gaya yang menyebabkan rotasi benda berlawanan arah jarum jam akan dipertimbangkan positif(gaya 2), dan momen gaya yang menyebabkan putaran searah jarum jam adalah negatif(gaya 1 dan 3) (Gbr. 6.4).
Persamaan dasar dinamika gerak rotasi. Seperti yang ditunjukkan secara eksperimental bahwa percepatan suatu benda berbanding lurus dengan gaya yang bekerja padanya, ditemukan bahwa percepatan sudut berbanding lurus dengan momen gaya:
Biarkan suatu gaya bekerja pada suatu titik material yang bergerak melingkar (Gbr. 6.5). Menurut hukum kedua Newton, dalam proyeksi ke arah singgung kita mempunyai ma k = F k. Mengalikan ruas kiri dan kanan persamaan dengan r, kita mendapatkan ma k r = F k r, atau
tuan 2 ε = M. (6.1)
Perhatikan bahwa dalam kasus ini, r adalah jarak terpendek dari sumbu rotasi ke titik material dan, karenanya, titik penerapan gaya.
Hasil kali massa suatu titik suatu benda dengan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi disebut momen inersia suatu titik material dan dilambangkan dengan huruf I.
Jadi, persamaan (6.1) dapat ditulis dalam bentuk I ε = M, dimana
Persamaan (6.2) disebut persamaan dasar dinamika gerak rotasi.
Persamaan (6.2) juga berlaku untuk gerak rotasi padat, mempunyai sumbu rotasi tetap, dimana I adalah momen inersia benda padat, dan M adalah momen total gaya yang bekerja pada benda. Dalam bab ini, ketika menghitung momen gaya total, kita hanya mempertimbangkan gaya-gaya atau proyeksinya pada bidang yang tegak lurus sumbu rotasi.
Percepatan sudut rotasi suatu benda berbanding lurus dengan jumlah momen gaya yang bekerja padanya, dan berbanding terbalik dengan momen inersia benda terhadap sumbu rotasi tertentu.
Jika sistem terdiri dari sekumpulan titik material (Gbr. 6.6), maka momen inersia sistem ini terhadap sumbu rotasi tertentu OO" sama dengan jumlah momen inersia setiap titik material relatif terhadap titik tersebut. sumbu rotasi: I = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + ... .
Momen inersia suatu benda tegar dapat dihitung dengan membagi benda tersebut menjadi volume-volume kecil, yang dapat dianggap sebagai titik-titik material, dan menjumlahkan momen inersianya terhadap sumbu rotasi. Jelasnya, momen inersia bergantung pada posisi sumbu rotasi.
Dari definisi momen inersia dapat disimpulkan bahwa momen inersia mencirikan distribusi massa relatif terhadap sumbu rotasi.
Mari kita sajikan nilai momen inersia untuk beberapa benda homogen yang benar-benar kaku bermassa m.
1. Momen inersia benda tipis batang lurus panjang aku relatif terhadap sumbu tegak lurus batang dan melewati bagian tengahnya (Gbr. 6.7) sama dengan:
2. Momen inersia silinder lurus(Gbr. 6.8), atau piringan relatif terhadap sumbu OO", bertepatan dengan sumbu geometri silinder atau piringan:
3. Momen inersia bola
4. Momen inersia lingkaran tipis radius R relatif terhadap sumbu yang melalui pusatnya:
Dalam pengertian fisiknya, momen inersia dalam gerak rotasi berperan sebagai massa, yaitu mencirikan inersia suatu benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi. Semakin besar momen inersia maka semakin sulit membuat suatu benda berputar atau sebaliknya menghentikan benda yang berputar.
Momen kekuasaan F, bekerja pada benda relatif terhadap sumbu rotasi
,
Di mana 
-
proyeksi kekuatan F pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi; aku - kekuatan bahu F(jarak terpendek dari sumbu rotasi ke garis kerja gaya).
Momen inersia terhadap sumbu rotasi:
a) poin materi
J= Tn. 2 ,
Di mana T - massa titik; R - jaraknya dari sumbu rotasi;
b) benda padat diskrit
Di mana 
- berat saya-itu elemen tubuh; R i adalah jarak elemen ini dari sumbu rotasi; P
-
jumlah elemen tubuh;
c) benda padat
Jika benda itu homogen, yaitu kepadatannya 
adalah sama di seluruh volume, kalau begitu
dm=
dV Dan 
Di mana V- volume tubuh.
Momen inersia beberapa benda yang berbentuk geometri beraturan:
|
Sumbu yang menentukan momen inersia |
Rumus Momen Inersia |
|
|
Sebuah batang tipis bermassa homogen T dan panjang aku Cincin tipis, lingkaran, pipa radius R dan massa T, radius roda gila R dan massa T, didistribusikan di sepanjang tepinya Piringan bulat homogen (silinder) dengan jari-jari R dan massa T Bola bermassa homogen T dan radius R |
Melewati pusat gravitasi batang yang tegak lurus terhadap batang Melewati ujung batang yang tegak lurus terhadap batang Melewati pusat tegak lurus bidang alas Melewati bagian tengah piringan yang tegak lurus terhadap bidang alasnya Melewati bagian tengah bola |
1/12ml 2 |
teorema Steiner. Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang
J= J 0 + bu 2 ,
Di mana J 0 - momen inersia suatu benda terhadap suatu sumbu yang melalui pusat gravitasi suatu benda yang sejajar dengan sumbu tertentu; A - jarak antar gandar; M- massa tubuh.
Momentum momentum suatu benda yang berputar relatif terhadap sumbunya
L=
J
.
Hukum kekekalan momentum sudut
Di mana L Saya - momentum sudut benda ke-i yang termasuk dalam sistem. Hukum kekekalan momentum sudut dua benda yang berinteraksi
Di mana 
- momen inersia dan kecepatan sudut benda sebelum interaksi: 
- nilai yang sama setelah interaksi.
Hukum kekekalan momentum sudut suatu benda yang momen inersianya berubah,
Di mana 
- momen inersia awal dan akhir; 
- kecepatan sudut awal dan akhir benda.
Persamaan dasar dinamika gerak rotasi suatu benda tegar terhadap sumbu tetap
M D T=d(J 
), Di mana M- momen gaya yang bekerja pada suatu benda terhadap waktu dt;
J
-
momen inersia benda;
- kecepatan sudut; J
-
momen impuls.
Jika momen gaya dan momen inersia konstan, maka persamaan ini dituliskan sebagai
M
T=J
.
Dalam kasus momen inersia konstan, persamaan dasar dinamika gerak rotasi berbentuk
M=J
, Di mana 
- percepatan sudut.
Pekerjaan momen kekuatan yang konstan M, bekerja pada benda yang berputar
dimana adalah sudut rotasi benda.
Tenaga seketika berkembang selama rotasi tubuh
N=
M
.
Energi kinetik benda yang berputar
T=1/2
J
.
Energi kinetik suatu benda yang menggelinding pada suatu bidang tanpa tergelincir adalah
T== 1 / 2
mv 2
+aku/2 J
,
Di mana aku /
2
mv 2
-
energi kinetik gerak translasi suatu benda; ay
-
kecepatan pusat inersia benda; aku/2 J
, adalah energi kinetik dari gerak rotasi suatu benda mengelilingi sumbu yang melalui pusat inersia.
Usaha yang dilakukan selama rotasi suatu benda dan perubahan energi kinetiknya dihubungkan oleh hubungan