Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.
Anda dapat menggambar banyak garis lurus tanpa batas melalui titik mana pun.
Sebuah garis lurus tunggal dapat ditarik melalui dua titik yang tidak bertepatan.
Dua garis lurus yang tidak serasi pada bidang berpotongan di satu titik, atau
paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).
Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga opsi untuk posisi relatif dua garis lurus:
- garis lurus berpotongan;
- garis lurus sejajar;
- garis lurus berpotongan.
Lurus garis- kurva aljabar orde pertama: dalam sistem koordinat Cartesian, garis lurus
diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).
Persamaan umum garis lurus.
Definisi... Setiap garis lurus pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama
Kapak + Wu + C = 0,
dengan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum
persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B dan DENGAN kasus khusus berikut mungkin terjadi:
. C = 0, A 0, B 0- garis lurus melewati titik asal
. A = 0, B 0, C 0 (By + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh
. B = 0, A 0, C 0 (Ax + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu OU
. B = C = 0, A 0- garis lurus bertepatan dengan sumbu OU
. A = C = 0, B 0- garis lurus bertepatan dengan sumbu Oh
Persamaan garis lurus dapat direpresentasikan dalam bentuk yang berbeda, tergantung pada yang diberikan
kondisi awal.
Persamaan garis lurus sepanjang titik dan vektor normal.
Definisi... Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian, vektor dengan komponen (A, B)
tegak lurus terhadap garis lurus yang diberikan oleh persamaan
Kapak + Wu + C = 0.
Contoh... Tentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A (1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).
Larutan... Pada A = 3 dan B = -1, kita buat persamaan garis lurusnya: 3x - y + C = 0. Untuk mencari koefisien C
substitusikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ekspresi yang dihasilkan, Kita mendapatkan: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu
C = -1. Total: persamaan yang dibutuhkan: 3x - y - 1 = 0.
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.
Biarkan dua poin diberikan dalam ruang M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M2 (x 2, y 2, z 2), kemudian persamaan garis lurus,
melewati titik-titik ini:
Jika salah satu penyebutnya adalah nol, pembilang yang sesuai harus disamakan dengan nol. pada
bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:
jika x 1 x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2 .
Pecahan = k dipanggil lereng lurus.
Contoh... Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A (1, 2) dan B (3, 4).
Larutan... Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:
Persamaan garis lurus dengan titik dan kemiringan.
Jika persamaan umum garis lurus Kapak + Wu + C = 0 bawa ke formulir:
dan menunjuk 
, maka persamaan yang dihasilkan disebut
persamaan garis lurus dengan kemiringan k.
Persamaan garis lurus sepanjang titik dan vektor arah.
Dengan analogi dengan paragraf yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas
garis lurus melalui suatu titik dan vektor pengarah garis lurus.
Definisi... Setiap vektor bukan nol (α 1, 2) yang komponennya memenuhi kondisi
1 + 2 = 0 dipanggil vektor pengarah garis lurus.
Kapak + Wu + C = 0.
Contoh... Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A (1, 2).
Larutan... Persamaan garis lurus yang dibutuhkan akan dicari dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Menurut definisi,
koefisien harus memenuhi syarat:
1 * A + (-1) * B = 0, mis. A = B
Maka persamaan garis lurus memiliki bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.
pada x = 1, y = 2 kita mendapatkan C / A = -3, yaitu persamaan yang dibutuhkan:
x + y - 3 = 0
Persamaan garis lurus dalam segmen.
Jika dalam persamaan umum garis lurus Ax + Vy + C = 0 C 0, maka, dibagi dengan -C, kita peroleh:
atau dimana
Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien a adalah koordinat titik perpotongan
lurus dengan sumbu Oh, tetapi B- koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu OU.
Contoh... Persamaan umum garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis lurus ini dalam segmen.
= 1, a = -1, b = 1.
Persamaan normal garis lurus.
Jika kedua ruas persamaan Kapak + Wu + C = 0 bagi dengan angka 
yang disebut
faktor normalisasi, maka kita dapatkan
xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan garis normal.
Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga * C< 0.
R- panjang tegak lurus turun dari titik asal ke garis lurus,
tetapi φ - sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.
Contoh... Persamaan umum garis lurus diberikan 12x - 5y - 65 = 0... Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan
garis lurus ini.
Persamaan garis ini dalam segmen:
Persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi 5)
Persamaan garis lurus:
cos = 13/12; dosa = -5/13; p = 5.
Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus,
sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.
Sudut antara garis lurus pada bidang.
Definisi... Jika diberikan dua garis y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis ini
akan didefinisikan sebagai
Dua garis sejajar jika k1 = k2... Dua garis lurus saling tegak lurus,
jika k 1 = -1 / k 2 .
Dalil.
Langsung Kapak + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sejajar jika koefisiennya proporsional
1 = , 1 =... Jika juga 1 =, maka garis lurus bertepatan. Koordinat titik potong dua garis
ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan garis lurus ini.
Persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis lurus tertentu.
Definisi... Garis melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis lurus y = kx + b
diwakili oleh persamaan:
Jarak dari titik ke garis.
Dalil... Jika diberikan poin M (x 0, y 0), jarak ke garis lurus Kapak + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:
Bukti... Biar intinya M 1 (x 1, y 1)- dasar tegak lurus turun dari titik M untuk diberikan
garis lurus. Maka jarak antar titik M dan M 1:
(1)
Koordinat x 1 dan pada 1 dapat ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan:
Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap
garis lurus yang diberikan. Jika kita ubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,
maka, penyelesaiannya, kita peroleh:
Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:
Teorema terbukti.
Diberikan dua poin M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2)... Kami menulis persamaan garis lurus dalam bentuk (5), di mana k koefisien yang masih belum diketahui:
Sejak titik M 2 milik garis lurus tertentu, maka koordinatnya memenuhi persamaan (5):. Mengekspresikan dari ini dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan (5), kami memperoleh persamaan yang diperlukan:
Jika 
persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih nyaman untuk dihafal:
(6)
Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 (1.2) dan M 2 (-2.3)
Larutan. 
... Menggunakan properti proporsi, dan melakukan transformasi yang diperlukan, kami memperoleh persamaan umum garis lurus:
Sudut antara dua garis lurus
Pertimbangkan dua baris l 1 dan l 2:
l 1: , , dan
l 2: , ,
adalah sudut antara keduanya (). Gambar 4 menunjukkan:.
 |
Dari sini 
, atau
Dengan menggunakan rumus (7), salah satu sudut antara garis lurus dapat ditentukan. Sudut kedua adalah.
Contoh... Dua garis lurus diberikan oleh persamaan y = 2x + 3 dan y = -3x + 2. tentukan sudut antara garis-garis tersebut.
Larutan... Dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa k 1 = 2, dan k 2 = -3. mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus (7), kami menemukan
... Dengan demikian, sudut antara garis-garis ini adalah sama.
Syarat paralelisme dan tegak lurus dua garis lurus
Jika lurus l 1 dan l 2 sejajar, maka φ=0 dan tgφ = 0... berikut dari rumus (7) bahwa, dari mana k2 = k1... Dengan demikian, kondisi paralelisme dua garis lurus adalah persamaan kemiringannya.
Jika lurus l 1 dan l 2 tegak lurus, maka = / 2, 2 = / 2 + 1. 
... Dengan demikian, syarat tegak lurus dua garis lurus adalah bahwa gradiennya saling berlawanan besar dan berlawanan tanda.
Jarak dari titik ke garis
Dalil. Jika diberikan titik M (x 0, y 0), maka jarak ke garis lurus Ax + Vy + C = 0 ditentukan sebagai
Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke garis lurus tertentu. Maka jarak antara titik M dan M 1 :
Koordinat x 1 dan y 1 dapat dicari sebagai solusi dari sistem persamaan:
Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap garis lurus tertentu.
Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,
maka, penyelesaiannya, kita peroleh:
Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:
Teorema terbukti.
Contoh. Tentukan sudut antara garis lurus: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2 tgj =; j = p / 4.
Contoh. Tunjukkan bahwa garis lurus 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 tegak lurus.
Kami menemukan: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, oleh karena itu, garis lurus tegak lurus.
Contoh. Titik sudut segitiga A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) diberikan. Tentukan persamaan tinggi yang ditarik dari titik C.
Kami menemukan persamaan sisi AB :; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Persamaan tinggi yang dibutuhkan adalah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b.
k =. Maka y =. Karena ketinggian melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dari mana b = 17. Total:.
Jawaban: 3x + 2y - 34 = 0.
Jarak suatu titik ke garis lurus ditentukan oleh panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik ke garis lurus.
Jika garis sejajar dengan bidang proyeksi (h | | P 1), maka untuk menentukan jarak dari titik TETAPI lurus H perlu untuk menurunkan tegak lurus dari titik TETAPI pada horisontal H.
Mari kita pertimbangkan contoh yang lebih kompleks, ketika garis lurus menempati posisi umum. Biarkan perlu untuk menentukan jarak dari titik M lurus tetapi posisi umum.
Tugas menentukan jarak antara garis sejajar diselesaikan mirip dengan yang sebelumnya. Sebuah titik diambil pada satu garis lurus, sebuah garis tegak lurus diturunkan darinya ke garis lurus lainnya. Panjang garis tegak lurus sama dengan jarak antara garis sejajar.
Kurva orde kedua disebut garis yang ditentukan oleh persamaan derajat kedua relatif terhadap koordinat Cartesian saat ini. Dalam kasus umum, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
di mana A, B, C, D, E, F adalah bilangan real dan setidaknya salah satu dari bilangan A 2 + B 2 + C 2 0.
Lingkaran
Pusat lingkaran Apakah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama dari titik bidang C (a,b).
Lingkaran diberikan oleh persamaan berikut:
Dimana x, y adalah koordinat titik sembarang lingkaran, R adalah jari-jari lingkaran.
persamaan keliling
1. Tidak ada suku dengan x, y
2. Koefisien yang Sama pada x 2 dan y 2
Elips
Elips disebut tempat kedudukan titik-titik pada bidang, jumlah jarak masing-masing dari dua titik tertentu pada bidang ini disebut fokus (nilai konstan).
Persamaan Elips Kanonik:
X dan y termasuk dalam elips.
a - sumbu semi-mayor dari elips
b - sumbu semi-kecil dari elips
Elips memiliki 2 sumbu simetri OX dan OY. Sumbu simetri elips adalah sumbunya, titik potongnya adalah pusat elips. Sumbu di mana fokus berada disebut sumbu fokus... Titik potong elips dengan sumbu adalah titik sudut elips.
Rasio kompresi (peregangan): = s / a- eksentrisitas (mencirikan bentuk elips), semakin kecil, semakin sedikit elips memanjang di sepanjang sumbu fokus.
Jika pusat elips tidak berada di pusat C (α, )
Hiperbola
hiperbola disebut tempat kedudukan titik-titik pada bidang, nilai absolut dari perbedaan jarak, yang masing-masing dari dua titik tertentu pada bidang ini, yang disebut fokus, adalah nilai konstan selain nol.
Persamaan Hiperbola Kanonik
Hiperbola memiliki 2 sumbu simetri:
a adalah setengah sumbu simetri nyata
b - sumbu simetri imajiner
Asimtot hiperbola:
Parabola
Parabola disebut tempat kedudukan titik-titik pada bidang, yang berjarak sama dari titik F tertentu, yang disebut fokus dan garis lurus tertentu, yang disebut direktriks.
Persamaan parabola kanonik:
Y 2 = 2px, di mana p adalah jarak dari fokus ke direktriks (parabola parabola)
Jika titik puncak parabola C (α, ), maka persamaan parabola (y-β) 2 = 2p (x-α)
Jika sumbu fokus diambil sebagai sumbu ordinat, maka persamaan parabola akan berbentuk: x 2 = 2qу
Artikel ini mengungkapkan turunan dari persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang yang terletak pada bidang. Mari kita turunkan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang. Kami akan dengan jelas menunjukkan dan memecahkan beberapa contoh terkait dengan materi yang dibahas.
Sebelum memperoleh persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu, perlu diperhatikan beberapa fakta. Ada aksioma yang mengatakan bahwa melalui dua titik yang tidak bertepatan di pesawat dimungkinkan untuk menggambar garis lurus dan hanya satu. Dengan kata lain, dua titik tertentu pada bidang ditentukan oleh garis lurus yang melalui titik-titik ini.
Jika bidang ditentukan oleh sistem koordinat persegi panjang Oxy, maka setiap garis lurus yang digambarkan di dalamnya akan sesuai dengan persamaan garis lurus pada bidang tersebut. Ada juga hubungan dengan vektor arah garis lurus.Data ini cukup untuk membuat persamaan garis lurus melalui dua titik yang diberikan.
Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian masalah serupa. Perlu untuk membuat persamaan garis lurus a yang melalui dua titik yang tidak bertepatan M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2), yang berada dalam sistem koordinat Cartesian.
Dalam persamaan kanonik garis lurus pada bidang, yang memiliki bentuk x - x 1 ax = y - y 1 ay, ditentukan sistem koordinat persegi panjang O xy dengan garis lurus, yang berpotongan dengannya di suatu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dengan vektor pemandu a → = (ax, ay).
Hal ini diperlukan untuk menyusun persamaan kanonik dari garis lurus a, yang melewati dua titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2).
Garis a memiliki vektor arah M 1 M 2 → dengan koordinat (x 2 - x 1, y 2 - y 1), karena memotong titik M 1 dan M 2. Kami memperoleh data yang diperlukan untuk mengubah persamaan kanonik dengan koordinat vektor arah M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dan koordinat titik M 1 (x 1, y 1) berbaring di atasnya dan M 2 (x 2, y 2). Kita mendapatkan persamaan dalam bentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 atau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Perhatikan gambar di bawah ini.
Setelah perhitungan, kami menulis persamaan parametrik garis lurus pada bidang yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2). Kami memperoleh persamaan bentuk x = x 1 + (x 2 - x 1) y = y 1 + (y 2 - y 1) atau x = x 2 + (x 2 - x 1) y = y 2 + (y 2 - y 1) .
Mari kita lihat lebih dekat solusi dari beberapa contoh.
Contoh 1
Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui 2 titik tertentu dengan koordinat M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Larutan
Persamaan kanonik untuk garis lurus yang berpotongan di dua titik dengan koordinat x 1, y 1 dan x 2, y 2 berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Dengan kondisi masalah, kita mendapatkan bahwa x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Substitusikan nilai numerik ke dalam persamaan x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Dari sini kita mendapatkan bahwa persamaan kanonik berbentuk x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Jawaban: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dengan jenis persamaan yang berbeda, maka sebagai permulaan Anda dapat beralih ke persamaan kanonik, karena lebih mudah untuk beralih dari persamaan tersebut ke persamaan lainnya.
Contoh 2
Buatlah persamaan umum garis lurus yang melalui titik-titik dengan koordinat M 1 (1, 1) dan M 2 (4, 2) dalam sistem koordinat O y.
Larutan
Pertama, Anda perlu menuliskan persamaan kanonik dari garis lurus tertentu yang melalui dua titik tertentu. Kami mendapatkan persamaan dalam bentuk x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 x - 1 3 = y - 1 1.
Mari kita bawa persamaan kanonik ke bentuk yang diperlukan, maka kita mendapatkan:
x - 1 3 = y - 1 1 1 x - 1 = 3 y - 1 x - 3 y + 2 = 0
Menjawab: x - 3 y + 2 = 0.
Contoh tugas seperti itu dipertimbangkan dalam buku pelajaran sekolah dalam pelajaran aljabar. Masalah sekolah dibedakan oleh fakta bahwa persamaan garis lurus dengan kemiringan diketahui, yang memiliki bentuk y = k x + b. Jika Anda perlu mencari nilai kemiringan k dan bilangan b yang persamaan y = kx + b mendefinisikan sebuah garis dalam sistem O xy yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 ( x 2, y 2) , dimana x 1 x 2. Ketika x 1 = x 2 , maka kemiringan mengambil nilai tak terhingga, dan garis lurus 1 2 ditentukan oleh persamaan umum tidak lengkap dalam bentuk x - x 1 = 0 .
Karena poin M 1 dan M 2 berada pada garis lurus, maka koordinatnya memenuhi persamaan y 1 = k x 1 + b dan y 2 = k x 2 + b. Diperlukan untuk menyelesaikan sistem persamaan y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b untuk k dan b.
Untuk melakukannya, cari k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 atau k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Dengan nilai k dan b yang demikian, persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan berbentuk y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 atau y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Mengingat sejumlah besar formula sekaligus tidak akan berhasil. Untuk melakukan ini, Anda perlu meningkatkan jumlah pengulangan dalam solusi masalah.
Contoh 3
Tuliskan persamaan garis lurus dengan kemiringan yang melalui titik-titik dengan koordinat M 2 (2, 1) dan y = k x + b.
Larutan
Untuk menyelesaikan masalah, kami menggunakan rumus dengan kemiringan, yang memiliki bentuk y = k x + b. Koefisien k dan b harus mengambil nilai sedemikian rupa sehingga persamaan ini sesuai dengan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (- 7, - 5) dan M 2 (2, 1).
Poin M 1 dan M 2 terletak pada garis lurus, maka koordinatnya harus membalikkan persamaan y = k x + b persamaan sejati. Dari sini kita peroleh bahwa - 5 = k (- 7) + b dan 1 = k 2 + b. Gabungkan persamaan ke dalam sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dan selesaikan.
Dengan substitusi, kita peroleh
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 b = - 1 3 k = 2 3
Sekarang nilai k = 2 3 dan b = - 1 3 disubstitusikan ke dalam persamaan y = k x + b. Kami mendapatkan bahwa persamaan yang diperlukan melalui titik-titik yang diberikan akan menjadi persamaan bentuk y = 2 3 x - 1 3.
Metode solusi ini telah menentukan pemborosan banyak waktu. Ada cara di mana tugas diselesaikan secara harfiah dalam dua langkah.
Kami menulis persamaan kanonik dari garis yang melewati M 2 (2, 1) dan M 1 (- 7, - 5), yang memiliki bentuk x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) x + 7 9 = y + 5 6.
Sekarang kita beralih ke persamaan di lereng. Kita peroleh: x + 7 9 = y + 5 6 6 (x + 7) = 9 (y + 5) y = 2 3 x - 1 3.
Jawaban: y = 2 3 x - 1 3.
Jika dalam ruang tiga dimensi terdapat sistem koordinat persegi panjang O xyz dengan dua titik yang diberikan tidak bertepatan dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), garis lurus M 1 M 2, maka perlu diperoleh persamaan garis lurus ini.
Kami memiliki persamaan kanonik dalam bentuk x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az dan persamaan parametrik dalam bentuk x = x 1 + ax y = y 1 + ay z = z 1 + az mampu menentukan garis pada sistem koordinat O x y z yang melalui titik-titik yang memiliki koordinat (x 1, y 1, z 1) dengan vektor arah a → = (ax, ay, az).
Lurus M 1 M 2 memiliki vektor arah berbentuk M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), dimana garis melalui titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka persamaan kanoniknya dapat berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 atau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, selanjutnya parametrik x = x 1 + (x 2 - x 1) y = y 1 + (y 2 - y 1) z = z 1 + (z 2 - z 1) atau x = x 2 + (x 2 - x 1) y = y 2 + (y 2 - y 1) z = z 2 + (z 2 - z 1) .
Pertimbangkan gambar yang menunjukkan 2 titik yang diberikan dalam ruang dan persamaan garis lurus.
Contoh 4
Tulis persamaan garis lurus yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang O xyz ruang tiga dimensi, melalui dua titik yang diberikan dengan koordinat M 1 (2, - 3, 0) dan M 2 (1, - 3, - 5) .
Larutan
Hal ini diperlukan untuk menemukan persamaan kanonik. Karena kita berbicara tentang ruang tiga dimensi, ini berarti bahwa ketika sebuah garis lurus melalui titik-titik tertentu, persamaan kanonik yang diinginkan akan berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...
Dengan hipotesis, kita memiliki bahwa x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Dari sini maka persamaan yang diperlukan dapat ditulis sebagai berikut:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Jawaban: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, silakan pilih dan tekan Ctrl + Enter