În continuarea subiectului "Decizia ecuațiilor", materialul acestui articol vă va prezenta în ecuații pătrate.

Luați în considerare totul în detaliu: esența și înregistrarea ecuației pătrate, stabilesc termenii însoțiți, vom analiza schema pentru soluționarea ecuațiilor incomplete și complete, să vă familiarizați cu formula de rădăcini și discriminanți, să stabilească legături între rădăcini și coeficienți, Și, desigur, oferim o soluție vizuală de exemple practice.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Ecuația pătrată, tipurile sale

Definiție 1.

Ecuația patrată - Aceasta este ecuația înregistrată ca a · x 2 + b · x + c \u003d 0Unde X. - variabilă, A, B și C. - Unele numere, în timp ce a.nici un zero.

Adesea, ecuațiile pătrate sunt numite și numele ecuațiilor de gradul doi, deoarece, în esență, ecuația pătrată este ecuația algebrică a gradului al doilea.

Dăm un exemplu pentru a ilustra o definiție dată: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0, etc. - Acestea sunt ecuații pătrate.

Definiția 2.

Numerele A, B și C. - Aceștia sunt coeficienții ecuației pătrate a · x 2 + b · x + c \u003d 0, cu coeficientul A. Se numește primul sau mai în vârstă sau coeficientul la X2, B - cel de-al doilea coeficient sau coeficientul când X., dar C. Apelați membru gratuit.

De exemplu, într-o ecuație pătrată 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Coeficientul de rang înalt este de 6, al doilea coeficient este − 2 și membrul liber este egal − 11 . Acordați atenție faptului că atunci când coeficienții B.și / sau c sunt negative, apoi se utilizează o scurtă forma de înregistrare a vizualizării. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, dar nu 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

De asemenea, clarificăm acest aspect: dacă coeficienții A. și / sau B. egal 1 sau − 1 , apoi participarea explicită la înregistrarea ecuației pătrate, acestea nu pot fi luate, care se explică prin caracteristicile înregistrării acestor coeficienți numerici. De exemplu, într-o ecuație pătrată Y 2 - Y + 7 \u003d 0 Coeficientul de rang înalt este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații pătrate specificate și necăsătorite

Prin valoarea primului coeficient, ecuațiile pătrate sunt împărțite în cele de mai sus și neplătite.

Definiția 3.

Ecuația pătrată redusă - Aceasta este o ecuație pătrată în care coeficientul mai vechi este egal cu 1. Pentru alte valori ale coeficientului mai vechi, ecuația pătrată este nevalidă.

Dăm exemple: ecuații pătrate x 2 - 4, x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 sunt prezentate în fiecare dintre care coeficientul mai vechi este 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - o ecuație patrată integrală, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătrată nepermisă este posibilă transformarea într-o ecuație dată dacă este împărțită atât de la ambele părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația inteligentă specificată sau să nu aibă rădăcini deloc.

Considerarea unui exemplu specific ne va permite să demonstrăm în mod clar tranziția de la o ecuație patrată integrală la cea dată.

Exemplul 1.

Ecuația este setată 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Este necesar să se convertească ecuația inițială în formularul de mai sus.

Decizie

Schema specificată de mai sus este separată de ambele părți ale ecuației inițiale asupra coeficientului de rang înalt 6. Apoi primim: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3Și acest lucru este același cu: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 Și mai departe: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. De aici: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. Astfel, se consideră că este specificată o ecuație.

Răspuns: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

Ecuații pline și incomplete pătrate

Întoarceți-vă la definiția ecuației pătrate. În ea am clarificat acest lucru A ≠ 0.. O astfel de condiție este necesară pentru ecuație a · x 2 + b · x + c \u003d 0 Era exact pătrat pentru că A \u003d 0. Este, în esență, convertit în ecuație liniară b · x + c \u003d 0.

În cazul în care coeficienții B. și C.egal cu zero (care este posibil, atât individual, cât și împreună), ecuația pătrată se numește incompletă.

Definiție 4.

Ecuație pătrată incompletă - o ecuație pătrată a · x 2 + b · x + c \u003d 0,unde cel puțin unul dintre coeficienți B.și C.(sau ambele) este zero.

Ecuația plină de pătrat - o ecuație pătrată în care toți coeficienții numerici nu sunt zero.

Ne răsfățim de ce tipurile de ecuații pătrate sunt prezentate exact numele.

Pentru ecuația B \u003d 0 pătrate ia forma A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0că același lucru este acela a · x 2 + c \u003d 0. Pentru C \u003d 0. Ecuația pătrată este înregistrată ca A · x 2 + B · x + 0 \u003d 0Care este echivalent a · x 2 + b · x \u003d 0. Pentru B \u003d 0. și C \u003d 0. Ecuația va lua vederea A · x 2 \u003d 0. Ecuațiile pe care le-am primit sunt diferite de ecuația plină de pătrat în faptul că părțile lor stângi nu sunt conținute nici o componentă din variabila x sau un membru liber sau ambele simultan. De fapt, acest fapt a fost adresat numele unui astfel de tip de ecuații - incomplete.

De exemplu, x 2 + 3, x + 4 \u003d 0 și - 7, x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 sunt ecuații pătrate complete; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - Ecuații incomplete pătrate.

Decizia ecuațiilor incomplete pătrate

Definiția de mai sus face posibilă distingerile următoarelor tipuri de ecuații pătrate incomplete:

• A · x 2 \u003d 0, această ecuație corespunde coeficienților B \u003d 0. și c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 pentru b \u003d 0;
• a · x 2 + b · x \u003d 0 la c \u003d 0.

Luați în considerare decizia fiecărui tip de ecuație pătrată incompletă.

Soluția ecuației A · x 2 \u003d 0

După cum sa menționat mai sus, ecuația corespunde coeficienților B. și C.egală cu zero. Ecuația A · x 2 \u003d 0 Este posibil să convertiți ecuația la echivalentul acesteia x 2 \u003d 0pe care le primim, împărtășim ambelor părți ale ecuației sursei pentru numărul A.nu egală cu zero. Evident faptul că rădăcina ecuației x 2 \u003d 0 acesta este zero deoarece 0 2 = 0 . Alte rădăcini, această ecuație nu are, care este explicată prin proprietățile gradului: pentru orice număr P,nu egală cu zero, inegalitatea credincioasă P 2\u003e 0Ce urmează atunci când P ≠ 0. egalitate P 2 \u003d 0nu vor fi atinse niciodată.

Definiție 5.

Astfel, pentru o ecuație pătrată incompletă a · x 2 \u003d 0 există singura rădăcină x \u003d 0..

Exemplul 2.

De exemplu, rezolvăm o ecuație pătrată incompletă - 3 · x 2 \u003d 0. Este echivalent cu ecuația x 2 \u003d 0, singura lui rădăcină este x \u003d 0., Atunci ecuația inițială are singura rădăcină - zero.

Pe scurt, decizia este formată astfel:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Soluția ecuației A · x 2 + C \u003d 0

În coadă - soluția ecuațiilor pătrate incomplete, unde B \u003d 0, C ≠ 0, adică ecuațiile formei a · x 2 + c \u003d 0. Transformăm această ecuație efectuată termenul de la o parte a ecuației la altul, schimbând semnul la opusul și împărțirea ambelor părți ale ecuației la număr, nu egale cu zero:

• transfer C. în partea dreaptă, care dă ecuația A · x 2 \u003d - C;
• Împărțim ambele părți ale ecuației A., Am ajuns în capăt x \u003d - c a.

Transformările noastre sunt echivalente, respectiv, ecuația rezultată este echivalentă și cu sursa, iar acest fapt face posibilă încheierea rădăcinilor ecuației. Din ce înseamnă sensul A. și C.valoarea expresiei depinde - C A: Poate avea un semn minus (Să spunem dacă A \u003d 1. și C \u003d 2., apoi - C A \u003d - 2 1 \u003d - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă A \u003d - 2 și C \u003d 6., apoi - C A \u003d - 6 - 2 \u003d 3); Nu este zero deoarece C ≠ 0.. Să trăim mai detaliat în situațiile în care - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Egalitatea P 2 \u003d - C A nu poate fi adevărată.

Toate, atunci când - C A\u003e 0: amintiți rădăcina pătrată și va fi evidentă că ecuația X 2 \u003d - C A va fi numărul - C A, din moment ce - C A 2 \u003d - C a. Nu este dificil să înțelegeți că numărul este - C A este, de asemenea, rădăcina ecuației X 2 \u003d - C A: într-adevăr, - - C A 2 \u003d - Ca.

Alte ecuații rădăcini nu vor avea. Putem demonstra folosind metoda urâtă. Pentru a începe cu, setați denumirile găsite deasupra rădăcinilor ca X 1. și - x 1.. Voi sugera că ecuația X 2 \u003d - C A este, de asemenea, rădăcină X 2.care diferă de rădăcini X 1. și - x 1.. Știm asta, înlocuind în loc de ecuație X. Rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică echitabilă.

Pentru X 1. și - x 1. Noi scriem: X 1 2 \u003d - C A, și pentru X 2. - X2 2 \u003d - Ca. Bazându-se pe proprietățile egalității numerice, reluați o egalitate corectă de la altul, ceea ce ne va da: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Utilizați proprietățile acțiunilor cu numere pentru a rescrie cea mai recentă egalitate ca (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Se știe că lucrarea a două numere este zero atunci și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. De la a spus că rezultă asta x 1 - x 2 \u003d 0 și / sau x 1 + x 2 \u003d 0că același lucru x 2 \u003d x 1 și / sau x 2 \u003d - x 1. A existat o contradicție evidentă, deoarece la început sa convenit că rădăcina ecuației X 2. difera de X 1. și - x 1.. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini, cu excepția lui X \u003d - C A și X \u003d - - C a.

Rezumează tot raționamentul de mai sus.

Definiția 6.

Ecuație pătrată incompletă a · x 2 + c \u003d 0 Echivalent cu ecuația X 2 \u003d - C A, care:

• nu va avea rădăcini atunci când - c a< 0 ;
• vor exista două rădăcini x \u003d - C A și X \u003d - - C A cu - C A\u003e 0.

Dăm exemple de ecuații de rezolvare a · x 2 + c \u003d 0.

Exemplul 3.

Ecuația pătrată este specificată 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Este necesar să se găsească decizia.

Decizie

Transferăm un membru gratuit în partea dreaptă a ecuației, atunci ecuația va lua forma 9 · x 2 \u003d - 7.
Împărțim ambele părți ale ecuației obținute 9 , ajunge la x 2 \u003d - 7 9. În partea dreaptă, vedem un număr cu un semn minus, ceea ce înseamnă: ecuația specificată nu are rădăcini. Apoi, ecuația originală pătrată incompletă 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Nu vor avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 · x 2 + 7 \u003d 0nu are rădăcini.

Exemplul 4.

Este necesar să rezolvăm ecuația - x 2 + 36 \u003d 0.

Decizie

Mișcăm 36 în partea dreaptă: - x 2 \u003d - 36.
Am împărțit ambele părți − 1 , obține X 2 \u003d 36. În partea dreaptă - un număr pozitiv, de aici putem concluziona că x \u003d 36 sau X \u003d - 36.
Scoateți rădăcina și scrieți rezultatul final: o ecuație pătrată incompletă - x 2 + 36 \u003d 0 Are două rădăcini x \u003d 6. sau X \u003d - 6.

Răspuns: x \u003d 6. sau X \u003d - 6.

Soluția ecuației A · x 2 + B · x \u003d 0

Vom examina cel de-al treilea tip de ecuații pătrate incomplete când C \u003d 0.. Pentru a găsi o decizie a unei ecuații pătrate incomplete a · x 2 + b · x \u003d 0, Folosim metoda de descompunere pe multiplicatori. Răspândit pe multiplicatori ai polinomului, care este în partea stângă a ecuației, făcând un multiplicator general pentru paranteze X.. Acest pas va oferi o oportunitate de a converti ecuația originală a pătratului incomplet la echivalentul x · (a · x + b) \u003d 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu totalitatea ecuațiilor x \u003d 0. și A · x + b \u003d 0. Ecuația A · x + b \u003d 0 Liniar și rădăcina ei: X \u003d - B A.

Definiție 7.

Astfel, o ecuație incompletă pătrată a · x 2 + b · x \u003d 0 va avea două rădăcini x \u003d 0. și X \u003d - B A.

Fixați materialul printr-un exemplu.

Exemplul 5.

Este necesar să se găsească soluția ecuației 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Decizie

Să conducem X. Pentru paranteze și obțineți ecuația X · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x \u003d 0. și 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Acum este necesar să se rezolve ecuația liniară rezultată: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Rezolvarea pe scurt a ecuației de a scrie astfel:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 sau 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 sau x \u003d 3 3 7

Răspuns: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Discriminant, formula rădăcină a ecuației pătrate

Pentru a găsi o soluție de ecuații pătrate, există o formulă pentru rădăcini:

Definiția 8.

x \u003d - B ± D 2 · A Unde D \u003d b 2 - 4 · A · C - așa-numitul discriminant al unei ecuații pătrate.

Înregistrarea X \u003d - B ± D 2 · A În esență înseamnă că X1 \u003d - B + D 2 · A, X2 \u003d - B - D 2 · A.

Va fi util să înțelegem modul în care a fost derivată formula specificată și cum să o aplicați.

Ieșirea rădăcinilor ecuației pătrate

Să fim provocați să rezolvăm ecuația pătrată a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Efectuați o serie de transformări echivalente:

• am împărțit ambele părți ale ecuației pentru numărul a.În afară de zero, obținem ecuația pătrată redusă: X2 + B A · x + C A \u003d 0;
• evidențiați pătratul complet în partea stângă a ecuației primite:
  x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2,2 · A · x + B2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA \u003d x + B2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA .
  După aceasta, ecuația va lua forma: X + B2 · A 2 - B2 · A 2 + C A \u003d 0;
• acum este posibil să faceți transferul ultimilor doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul la opusul, după care obținem: X + B2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
• În cele din urmă, transformăm expresia înregistrată în partea dreaptă a ultimei egalități:
  B 2 · A 2 - C A \u003d B2 4 · A 2-C A \u003d B2 4 · A 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Astfel, am ajuns la ecuația X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, echivalență echivalentă sursă a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Am înțeles soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (decizia ecuațiilor pătrate incomplete). Experiența dobândită face posibilă încheierea cu privire la rădăcinile ecuației X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:

• la B 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pentru B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0, ecuația are forma X + B2 · A 2 \u003d 0, apoi X + B2 · A \u003d 0.

Prin urmare, singura rădăcină X \u003d - B 2 · A este evidentă;

• pentru B 2 - 4 · A · C 4 · A 2\u003e 0, acesta va fi corect: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 sau X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · A 2, care este același ca X + - B2 · A \u003d B2-4 · A · C 4 · A 2 sau X \u003d - B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, adică. Ecuația are două rădăcini.

Este posibil să se concluzioneze că prezența sau absența rădăcinilor ecuației X + B2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 · A · C 4 · A 2, înregistrate pe partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este setat de numărul numărătorului (denominator 4 · A 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică un semn de exprimare B 2 - 4 · A · C. Această expresie B 2 - 4 · A · C Numele este discriminanța unei evacuări pătrate și este definită ca desemnare a literei D. Aici puteți înregistra esența discriminatorului - prin valoarea sa și semnul se încheie dacă ecuația pătrată va avea rădăcini valide și, dacă este, care este numărul de rădăcini - unul sau două.

Revenind la ecuația X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2. Îl rescriu folosind denumirea discriminantă: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Vom formula din nou concluzii:

Definiția 9.

• pentru D.< 0 Ecuația nu are rădăcini valide;
• pentru D \u003d 0. Ecuația are singura rădăcină x \u003d - B 2 · A;
• pentru D\u003e 0. Ecuația are două rădăcini: X \u003d - B2 · A + D 4 · A 2 sau X \u003d - B2 · A - D 4 · A 2. Aceste rădăcini bazate pe proprietățile radicalilor pot fi scrise în forma: X \u003d - B2 · A + D 2 · A Or - B 2 · A - D 2 · a. Și când dezvăluim modulele și dau fracțiile denominatorului comun, obținem: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · a.

Astfel, rezultatul raționamentului nostru a fost eliminarea formulării rădăcinilor ecuației pătrate:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, discriminator D. Calculată prin formula D \u003d b 2 - 4 · A · C.

Aceste formule fac posibilă când este discriminată este mai mare pentru a determina atât rădăcinile valide. Când discriminatorul este zero, utilizarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătrate. În cazul în care discriminatorul este negativ, încercând să folosească formula rădăcină a ecuației pătrate, ne vom confrunta cu nevoia de a îndepărta rădăcina pătrată de la numărul negativ, care ne va conduce dincolo de numerele reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătrată nu va fi rădăcini valide, dar o pereche de rădăcini conjugate cuprinzător, determinată de aceleași formule de rădăcină obținute de noi.

Algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate pe formulele de root

Este posibil să rezolvăm ecuația pătrată, imediat ciclarea formulării rădăcinilor, dar practic ei fac, dacă este necesar, găsiți rădăcini complexe.

În masa principală a cazurilor, este de obicei implicată pentru căutarea unor rădăcini necomplexe, dar valabile ale ecuației pătrate. Apoi, în mod optim înainte de a utiliza formulele rădăcinilor ecuației pătrate, determinați mai întâi discriminatorul și asigurați-vă că nu este negativ (în caz contrar, concluzionăm că ecuația nu are rădăcini valide) și apoi continuați să calculați valoarea rădăcinilor.

Argumentele de mai sus furnizează capacitatea de a formula un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătrate.

Definiția 10.

Pentru a rezolva o ecuație pătrată a · x 2 + b · x + c \u003d 0, este necesar:

• conform formulei D \u003d b 2 - 4 · A · C găsiți valoarea discriminatorului;
• cu D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• la d \u003d 0 găsiți singura rădăcină a ecuației conform formulei X \u003d - B 2 · A;
• pentru d\u003e 0, determinați cele două rădăcini valide ale ecuației pătrate conform formulei X \u003d - B ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminanța este zero, puteți utiliza Formula X \u003d - B ± D 2 · A, va da același rezultat ca formula X \u003d - B 2 · a.

Luați în considerare exemplele.

Exemple de soluții de ecuații pătrate

Prezentăm soluția de exemple la valori diferite ale discriminatorului.

Exemplul 6.

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Decizie

Noi scriem coeficienții de număr al ecuației pătrate: a \u003d 1, b \u003d 2 și C \u003d - 6. Apoi, acționăm pe algoritm, adică. Vom proceda la calcularea discriminatorului, pentru care vom înlocui coeficienții A, B și C. În formula discriminatorului: D \u003d B2-4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Deci, am obținut d\u003e 0, și acest lucru înseamnă că ecuația inițială va avea două rădăcini valide.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină X \u003d - B ± D 2 · A și, substituirea valorilor corespunzătoare, obținem: X \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Simplificăm expresia rezultată, făcând un multiplicator pentru semnul rădăcinii, urmat de tăierea fracțiunii:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2,7 2 sau x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 sau x \u003d - 1 - 7

Răspuns: X \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Exemplul 7.

Este necesar să rezolvăm ecuația pătrată - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Decizie

Determinați discriminatorul: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Cu această valoare discriminantă, ecuația inițială va avea doar o singură rădăcină definită de formula X \u003d - B 2 · a.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Răspuns: x \u003d 3, 5.

Exemplul 8.

Este necesar să rezolvăm ecuația 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0

Decizie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a \u003d 5, b \u003d 6 și c \u003d 2. Folosim aceste valori pentru a găsi un discriminator: d \u003d b 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4,5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Discriminanța calculată este negativă, astfel, ecuația inițială pătrată nu are rădăcini valide.

În cazul în care sarcina este de a specifica rădăcinile complexe, aplicați formula rădăcină, efectuarea de acțiuni cu numere complexe:

x \u003d - 6 ± 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 sau x \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I sau x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Răspuns: Nu există rădăcini valide; Rădăcinile complexe sunt după cum urmează: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

ÎN programul școlii În mod standard, nu există nicio cerință de a căuta rădăcini complexe, deci dacă în timpul soluției, discriminatorul este definit ca negativ, răspunsul este înregistrat imediat că nu există rădăcini valide.

Formula rădăcini pentru al doilea coeficienți

Formula rădăcinilor X \u003d - B ± D 2 · A (D \u003d B 2 - 4 · A · C) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compactă, permițând găsirea de soluții de ecuații pătrate cu un coeficient chiar la x (sau cu un coeficient de tip 2, de exemplu, 2,3 sau 14 · LN 5 \u003d 2,7 · LN 5). Arătăm cum este afișată această formulă.

Să fim sarcina de a găsi soluția ecuației pătrate a · x 2 + 2 · N · x + c \u003d 0. Acționăm asupra algoritmului: Determinați Discriminanța D \u003d (2,N) 2-4 · A · C \u003d 4,2-4 · A · C \u003d 4 · (n2 - a · C) și apoi utilizați Formula rădăcină:

. \u003d - N ± N2 - A · CA.

Lăsați expresia N2 - A · C să fie indicată ca D 1 (uneori D "). Apoi formula rădăcinilor ecuației pătrate luate în considerare cu cel de-al doilea coeficient 2 · n va lua forma:

x \u003d - N ± D 1a, unde D 1 \u003d N2 - A · C.

Este ușor de văzut că d \u003d 4 · d 1 sau d 1 \u003d d 4. Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminator. Este evident că semnul D 1 este același cu semnul D, ceea ce înseamnă că semnul D 1 poate servi, de asemenea, ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor ecuației pătrate.

Definiția 11.

Astfel, pentru a găsi soluția ecuației pătrate cu al doilea coeficient 2 · n, este necesar:

• găsiți D 1 \u003d N2 - A · C;
• cu d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pentru D 1 \u003d 0, determinați singura rădăcină a ecuației conform formulei X \u003d - N A;
• pentru D 1\u003e 0, determinați cele două rădăcini valide conform formulei X \u003d - N ± D 1a.

Exemplul 9.

Este necesar să se rezolve ecuația pătrată 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Decizie

Al doilea coeficient al ecuației specificate poate fi reprezentat ca 2 · (- 3). Apoi rescrieți ecuația pătrată specificată ca 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, unde a \u003d 5, n \u003d - 3 și c \u003d - 32.

Calculăm cea de-a patra parte a discriminatorului: D 1 \u003d N2 - A · C \u003d (- 3) 2-5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Valoarea obținută pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini valide. Le definim în funcție de formula de rădăcină corespunzătoare:

x \u003d - N ± 1 A, X \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 sau x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 sau x \u003d - 2

Ar fi posibil să se facă calcule și de formula obișnuită a rădăcinilor ecuației pătrate, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x \u003d 3 1 5 sau x \u003d - 2.

Simplificarea speciilor de ecuații pătrate

Uneori este posibilă optimizarea tipului de ecuație sursă, care va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, o ecuație pătrată 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 este în mod clar mai convenabil pentru rezolvarea de 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Mai des simplificarea speciilor de ecuație pătrată este efectuată de multiplicarea sau împărțirea ambelor părți într-un fel de număr. De exemplu, am arătat o înregistrare simplificată a ecuației 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, obținută prin împărțirea ambelor părți cu 100.

O astfel de conversie este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătrate nu sunt numere reciproc simple. Apoi, de obicei, împărțind ambele părți ale ecuației cu cel mai mare divizor comun al valorilor absolute ale coeficienților săi.

De exemplu, utilizați o ecuație pătrată 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Definim nodul valorilor absolute ale coeficienților săi: noduri (12, 42, 48) \u003d nod (nod (12, 42), 48) \u003d nod (6, 48) \u003d 6. Vom împărți cele două părți ale ecuației pătrate originale la 6 și obținem ecuația pătrată echivalentă 2 · x 2 - 7, x + 8 \u003d 0.

Multiplicarea ambelor părți ale ecuației pătrate este de obicei scăpată de coeficienții fracționați. În același timp înmulțită cu cel mai mic numitor general multiplu al coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătrate este de 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 multiplicați de la NOC (6, 3, 1) \u003d 6, atunci se va înregistra într-o formă mai simplă X 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scapă de minus la primul coeficient al ecuației pătrate, schimbând semnele fiecărui membru al ecuației, care se realizează prin multiplicarea (sau diviziunile) ambelor părți ale 1. De exemplu, de la o ecuație pătrată - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, puteți merge la versiunea simplificată 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Comunicarea între rădăcini și coeficienți

Formula rădăcinilor ecuațiilor pătrate X \u003d - B ± D 2 · Un deja cunoscut de noi exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi numerici. Bazându-se pe această formulă, avem posibilitatea de a stabili alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai renumite și aplicabile sunt formulele teoremei Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - B A și X2 \u003d C A.

În special, pentru ecuația pătrată redusă, cantitatea de rădăcini este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este gratuit. De exemplu, în conformitate cu specia ecuației pătrate 3 · x 2 - 7, x + 22 \u003d 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este de 7 3, iar produsul rădăcinilor este de 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte link-uri între rădăcinile și coeficienții ecuației pătrate. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor ecuației pătrate poate fi exprimată prin coeficienți:

x 1 2 + X22 \u003d (x 1 + x2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - BA2 - 2 · CA \u003d B2 A 2 - 2 · CA \u003d B 2 - 2 · A · ca 2.

Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER

Cu acest program matematic puteți rezolvați ecuația pătrată.

Programul nu numai că dă sarcina de răspuns, ci și afișează procesul de soluție în două moduri:
- cu ajutorul discriminatorului
- Utilizarea teoremei Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este de ieșire precis, nu aproximativ aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\), răspunsul este de ieșire în acest formular:

$$ x_1 \u003d \\ frac (8+ \\ sqrt (145)) (81), quad x_2 \u003d \\ frac (8-1 \\ sqrt (145)) (81) $$ și nu în acest: \\ (x_1 \u003d 0.247 ; \\ quad x_2 \u003d -0.05 \\)

Acest program poate fi util pentru studenții de licee din școlile de învățământ general atunci când se pregătesc pentru teste și examene, atunci când verificați cunoștințele înainte de examen, părinții pentru monitorizarea soluției multor probleme în matematică și algebră. Sau poate că sunteți prea scump să angajați un tutore sau să cumpărați noi manuale? Sau doriți doar să vă faceți temele în matematică sau algebră cât mai posibil? În acest caz, puteți utiliza, de asemenea, programele noastre cu o soluție detaliată.

Astfel, puteți efectua propria instruire și / sau instruirea fraților sau surorilor mai tineri, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor rezolvate crește.

Dacă nu sunteți familiarizați cu regulile de a intra într-un polinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ei.

Reguli de intrare polinomice pătrate

Ca o variabilă poate fi orice scrisoare latină.
De exemplu: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\), etc.

Numerele pot intra în întregime sau fracționate.
Mai mult, numerele fracționate pot fi administrate nu numai sub formă de zecimal, ci și sub forma unei fracții obișnuite.

Regulile de introducere a fracțiilor zecimale.
În fracțiunile zecimale, partea fracțională a întregului poate fi separată ca punct și virgulă.
De exemplu, puteți introduce fracțiuni zecimale ca acesta: 2.5x - 3.5x ^ 2

Reguli pentru intrarea în fracțiuni obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și o întreagă parte a fracției.

Numitorul nu poate fi negativ.

La intrarea într-o fracțiune numerică, numitorul separat de numitor al mărcii de fisiune: /
Întreaga parte este separată de semnul Fraray Ampersand: &
Intrare: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultat: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

Când intri în expresie puteți utiliza paranteze. În acest caz, la rezolvarea ecuației pătrate, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2 (Y - 1) (Y + 1) - (5Y-10 & 1/2)

=0

Decide

Se constată că unele scripturi necesare pentru rezolvarea acestei sarcini nu sunt încărcate, iar programul nu poate funcționa.
Este posibil să aveți ADBLOCK inclus.
În acest caz, deconectați-l și actualizați pagina.

Aveți execuția JavaScript în browser-ul dvs.
Pentru a face soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiunile, cum să activați JavaScript în browser-ul dvs.

pentru că Dorind să rezolve sarcina este foarte mult, cererea dvs. este în linie.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Te rog asteapta Sec ...

daca tu a observat o greșeală în rezolvarePuteți scrie despre el în formularul de feedback.
Nu uita specificați ce sarcină Voi decideți și ce introduceți în câmp.

Jocurile noastre, puzzle-uri, emulatori:

Un pic de teorie.

Ecuația pătrată și rădăcinile sale. Ecuații incomplete pătrate

Fiecare dintre ecuații
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
Are apariția
\\ (Ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
unde x este variabilă, numere A, B și C.
În prima ecuație a \u003d -1, b \u003d 6 și c \u003d 1,4, în cel de-al doilea A \u003d 8, B \u003d7 și C \u003d 0, în al treilea A \u003d 1, B \u003d 0 și C \u003d 4/9. Aceste ecuații sunt numite ecuații pătrate..

Definiție.
Ecuație pătrată. Ecuația formei axului 2 + BX + C \u003d 0, unde X este variabila, A, B și C sunt unele numere și \\ (A \\ Neq 0 \\).

Numerele A, B și C sunt coeficienții ecuației pătrate. Numărul A se numește primul coeficient, numărul B este al doilea coeficient și numărul C - un membru gratuit.

În fiecare dintre ecuațiile formularului axei 2 + BX + C \u003d 0, unde \\ (A \\ Neq 0 \\), cel mai mare grad de variabilă X-pătrat. Prin urmare, numele: ecuația pătrată.

Rețineți că ecuația pătrată este numită și ecuația gradului al doilea, deoarece partea stângă are un polinom al doilea grad.

Ecuația pătrată în care coeficientul de la X2 este 1, numit având în vedere ecuația pătrată. De exemplu, ecuațiile pătrate date sunt ecuații
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Dacă în axul de ecuație pătrat 2 + bx + c \u003d 0, cel puțin unul dintre coeficienții B sau C este zero, atunci se numește o astfel de ecuație ecuație pătrată incompletă. Deci, ecuațiile -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 sunt ecuații pătrate incomplete. În primul dintre ele b \u003d 0, în al doilea c \u003d 0, în al treilea b \u003d 0 și c \u003d 0.

Ecuațiile incomplete pătrate sunt trei specii:
1) AX 2 + C \u003d 0, unde \\ (C \\ Neq 0 \\);
2) AX 2 + BX \u003d 0, unde \\ (b \\ neq 0 \\);
3) AX 2 \u003d 0.

Luați în considerare soluția ecuațiilor fiecărei specii.

Pentru a rezolva o ecuație pătrată incompletă a formularului Ax 2 + C \u003d 0, cu \\ (C \\ Neq 0 \\), acesta este transferat membrului său liber în partea dreaptă și face ambele părți ale ecuației pe:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ dreaptarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Deoarece \\ (C \\ Neq 0 \\), atunci \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Dacă \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), ecuația are două rădăcini.

Dacă \\ (- Frac (C) (a), pentru a rezolva o ecuație incompletă a formularului axul 2 + bx \u003d 0, cu \\ (b \\ neq 0 \\), ei refuză partea stângă la multiplicatori și să primească ecuația
\\ (X (ax + b) \u003d 0 \\ dreapta \\ stânga \\ (\\ începe (matrice) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\ Dreapta \\ stânga \\ (\\ începe (Matrice) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\)

Deci, o ecuație incompletă pătrată a formularului Ax 2 + BX \u003d 0 cu \\ (B \\ Neq 0 \\) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătrată incompletă a formularului axul 2 \u003d 0 este echivalentă cu ecuația x 2 \u003d 0 și, prin urmare, are singura rădăcină 0.

Formula rădăcină a ecuației pătrate

Luați în considerare modul în care s-au rezolvat ecuațiile pătrate în care atât coeficienții cu un membru necunoscut, cât și cel liber, sunt diferiți de zero.

Squație Square Square în general Și, ca urmare, obținem formula rădăcină. Apoi, această formulă poate fi utilizată la rezolvarea oricărei ecuații pătrate.

Resisister Square Ecuație AX 2 + BX + C \u003d 0

Separând ambele părți ale acestuia pe A, obținem echivalentul ecuației pătrate prezentate
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Transformăm această ecuație, subliniind pătratul Bounced:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2- \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ dreaptaRrow \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 \u003d \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 - \\ frac (c) (a) \\ dreapta \\) \\ (\\ stânga (x + \\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \\ frac (c) (a) \\ dreapta \\ stânga (x + \\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \\ dreapta \\) \\ (x + \\ Frac (b) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (b ^ 2-4Ac) (4a ^ 2)) \\ dreaptarrow x \u003d - \\ frac (b) (2a) + \\ frac (\\ pm \\ sqrt ( b ^ 2 -4Ac)) (2a) \\ dreapta \\) \\ (x \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \\)

Expresia ghidată este numită ecuația pătratică discriminantă AX 2 + BX + C \u003d 0 ("Discriminant" în latină este un distinctor). Acesta este notat de litera D, adică.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Acum, folosind desemnarea discriminatorului, rescrie formula pentru rădăcinile ecuației pătrate:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (d)) (2a) \\), unde \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)

Este evident că:
1) Dacă d\u003e 0, ecuația pătrată are două rădăcini.
2) Dacă d \u003d 0, ecuația pătrată are o rădăcină \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Dacă d este, în funcție de valoarea discriminantă, ecuația pătrată poate avea două rădăcini (cu d\u003e 0), o rădăcină (la d \u003d 0) sau să nu aibă rădăcini (cu D, când rezolvați ecuația pătrată Această formulă, este recomandabilă să se aplice în felul următor:
1) Calculați discriminanța și comparați-o cu zero;
2) Dacă discriminatorul este pozitiv sau egal cu zero, utilizați formula rădăcină, dacă discriminatorul este negativ, apoi scrieți rădăcinile.

Teorema Vieta.

Axa de ecuație pătrată prezentată 2 -7x + 10 \u003d 0 are rădăcini 2 și 5. Cantitatea rădăcinilor este de 7, iar produsul este 10. Vedem că cantitatea rădăcinilor este egală cu cel de-al doilea coeficient luat cu opusul semn, și produsul rădăcinilor este egal cu un membru gratuit. O astfel de proprietate are o ecuație pătrată având o rădăcină.

Suma rădăcinilor ecuației pătrate prezentate este egală cu cel de-al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu un membru gratuit.

Acestea. Teorema Vieta susține că rădăcinile X1 și X2 din ecuația patratului sau X 2 + Px + Q \u003d 0 au o proprietate:
\\ (\\ stânga \\ (\\ început (matrice) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d Q \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\)

Yakupova M.I. 1

Smirnova yu.v. unu

1 Instituție de învățământ bugetar municipal Școala secundară № 11

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completa Lucrări disponibile în fila "Fișiere de lucru" din format PDF

Istoria ecuațiilor pătrate

Babylon.

Necesitatea de a rezolva ecuațiile nu numai la gradul I, dar și cea de-a doua în antichitate a fost cauzată de necesitatea de a rezolva problemele legate de zona terenurilor, cu dezvoltarea astronomiei și matematicii în sine. Ecuații patrate Speriat pentru a rezolva cu aproximativ 2000 de ani înainte. e. Babilonian. Regulile de rezolvare a acestor ecuații stabilite în textele babiloniene coincide în esență cu modern, dar în aceste texte nu există nici un concept de un număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătrate.

Grecia antică

Soluția ecuațiilor pătrate a fost angajată Grecia antică Astfel de oameni de știință, cum ar fi Diofantul, Euclidean și Geron. Diophant Diofant Alexandria este un matematician grec vechi, care a trăit probabil în secolul al treilea al epocii noastre. Lucrarea principală a orașului DioPhanta este "aritmetică" în 13 cărți. Euclid. Euclidian antic matematician grec, autorul primei dintre tratate teoretice din matematica Geronului care a venit la noi. GEREON - Matematician și inginer grec pentru prima dată în Grecia în secolul I Century AD oferă o metodă pur algebrică de rezolvare a unei ecuații pătrate

India

Provocările pe ecuații pătrate se găsesc deja în tratatul astronomic "Ariabhahatyam", compilate în 499. Matematician indian și astronomer Ariabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul VII), a subliniat regula generală de rezolvare a ecuațiilor pătrate administrate unei singure forme canonice: AX2 + BX \u003d C, A\u003e 0. (1) în coeficienții de ecuație (1), poate fi negativă. Regula Brahmagupta coincide în mod esențial cu noi. În India, concursurile publice au fost distribuite în rezolvarea sarcinilor dificile. Într-una din vechile cărți indiene se spune despre astfel de competiții după cum urmează: "Pe măsură ce soarele strălucește cu propriile sale umbri, așa că omul de știință este umbrit cu colecții populare, oferind și rezolvând sarcini algebrice". Sarcinile se bucură adesea într-o formă poetică.

Iată una dintre sarcinile celebrului secol al matematicii indiene. Bhaskara.

"Studiu maimuțe de strung

Și doisprezece pe Lianam la cel mai rău, se distrează

A început să sară prin agățare

Ei se află în partea stângă a celui de-al optulea

Câte maimuțe au fost,

În poiana a fost amuzată

Spuneți-mi, în acest stack?

Decizia din Bhaskara mărturisește că autorul știa despre cele două etichete ale rădăcinilor ecuațiilor pătrate. Sarcina corespunzătoare Ecuația Bhaskar scrie sub Guise of X2 - 64x \u003d - 768 și pentru a suplimenta partea stângă a acestei ecuații la pătrat, se adaugă la ambele părți 322, obținând: X2 - B4x + 322 \u003d -768 + 1024, ( X - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

Ecuații pătrate în Europa secolului XVII

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate pentru al-Khorezmi din Europa au fost mai întâi prezentate în "Cartea Abaka", scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare amănunțită, care reflectă influența matematicii, a ambelor țări ale islamului și a Greciei antice, se deosebește atât prin exhaustivitate, cât și de claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor, iar primele din Europa a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a promovat răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe provocări din "Book Abaka" au trecut aproape toate manualele europene XVI - XVII secole. și parțial XVIII. Producția de formula soluției ecuației pătrate în general este disponibilă în Vieta, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartalia, Kardano, Bombally printre primele din secolul al XVI-lea. Dat, în plus față de rădăcinile pozitive și negative. Numai în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătrate ia un aspect modern.

Definiția unei ecuații pătrate

Ecuația formei axului 2 + BX + C \u003d 0, unde A, B, C este numere, numită pătrat.

Coeficienții de ecuații pătrați

Numere a, b, c - coeficienți pătrați. Și primul coeficient (în fața xx), A ≠ 0; B este al doilea coeficient (înainte de X); C este un membru gratuit (fără x).

Care dintre aceste ecuații nu sunt pătrate?

1. 4xqm + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2 / x² + 3x + 4 \u003d 0; 5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² \u003d 0;

7. 4xqm + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 \u003d 0; 11. 7xqm + 5x \u003d 0; 12. -8x² \u003d 0; 13. 5x³ + 6x -8 \u003d 0.

Tipuri de ecuații pătrate

Nume	Vedere generală a ecuației	Caracteristică (care coeficienți)	Exemple de ecuații
	aX 2 + BX + C \u003d 0	a, B, C - alte numere decât 0	1 / 3x 2 + 5x - 1 \u003d 0
Incomplet
			x 2 - 1 / 5x \u003d 0
Prezentat	x 2 + bx + c \u003d 0		x 2 - 3x + 5 \u003d 0

Ecuația patrată în care coeficientul de rang înalt este egal cu unul. O astfel de ecuație poate fi obținută prin împărțirea întregii expresii asupra coeficientului de rang înalt a:

x. 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a

Foarte numit o astfel de ecuație pătrată, dintre care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Incomplet denumit o astfel de ecuație pătrată, în care cel puțin unul dintre coeficienți, în plus față de cei mai în vârstă (sau al doilea coeficient sau un membru liber) este zero.

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătrate

Metoda mea. Formula generală pentru calcularea rădăcinilor

Pentru a găsi rădăcinile ecuației pătrate tOPOR. 2 + B + C \u003d 0 În general, ar trebui să utilizați algoritmul de mai jos:

Calculați valoarea discriminatorului ecuației pătrate: aceasta se numește o expresie D \u003d.b. 2 - 4AC.

Îndepărtarea formulei:

Notă: Este evident că formula pentru rădăcina multiplicității 2 este un caz special cu o formulă generală, se dovedește la înlocuirea în ea este egalitatea d \u003d 0 și ieșirea absenței rădăcinilor reale la D0, A (afișe (afișare Sqrt (-1)) \u003d i) \u003d i.

Metoda descrisă este universală, dar este departe de cea a singurii. Pentru a rezolva o ecuație, puteți aborda în diferite moduri, preferințele depind de obicei de decisiv. În plus, adesea pentru acest lucru unele dintre modalități este semnificativ mai elegantă, simplă, mai puțin consumatoare de timp decât cea standard.

Calea ii. Rădăcini de o ecuație pătrată la un coeficient egalb. Iii. Decizia ecuațiilor incomplete pătrate

Metoda IV. Utilizarea ratelor coeficienților privați

Există cazuri speciale de ecuații pătrate în care coeficienții sunt în relațiile dintre ei înșiși, permițându-i să le rezolve mult mai ușor.

Rădăcinile ecuației pătrate în care suma coeficientului de rang înalt și membru liber este egală cu cel de-al doilea coeficient

Dacă în ecuația pătrată tOPOR. 2 + Bx + c \u003d 0 Suma primului coeficient și membru gratuit este egală cu cel de-al doilea coeficient: a + B \u003d C, rădăcinile sale sunt -1 și numărul opus relației unui membru liber la coeficientul mai vechi ( -C / A.).

Prin urmare, înainte de a rezolva orice ecuație pătrată, trebuie să verificați posibilitatea de a utiliza această teoremă: comparați suma coeficientului de rang înalt și a membrilor liberi cu al doilea coeficient.

Rădăcinile ecuației pătrate, suma tuturor coeficienților din care este zero

Dacă în ecuația pătrată, suma tuturor coeficienților săi este zero, atunci rădăcinile unor astfel de ecuații sunt 1 și raportul unui membru liber la coeficientul mai vechi ( c / A.).

Prin urmare, înainte de a rezolva ecuația cu metode standard, este necesar să se verifice aplicabilitatea acestei teoreme: să pliați toți coeficienții acestei ecuații și să vedeți dacă nu este egal cu zero.

V. Descompunerea pătratului triplă la multiplicatori liniari

Dacă speciile încercate (DisplayStyle ax ^ (2) + bx + c (anot \u003d 0)) AX 2 + BX + C (A ≠ 0)va fi posibil să se prezinte în nici un fel ca un produs al multiplicatorilor liniari (DisplayStyle (KX + N) (LX + N) \u003d 0) (KX + M) (LX + N), apoi puteți găsi rădăcinile ecuației tOPOR. 2 + Bx + c \u003d 0 - vor fi -m / k și n / l, într-adevăr, pentru că (DisplayStyle (KX + M) (LX + N) \u003d 0LONGGEFTRPARROW KX + M \u003d 0CUP LX + N \u003d 0) (KX + M) (LX + N) \u003d 0 KX + MULX +n, și rezolvarea ecuațiilor liniare specificate, obținem cele descrise mai sus. Rețineți că tripleul pătrat nu este întotdeauna stabilit pe multiplicatori liniari cu coeficienți valabili: acest lucru este posibil dacă ecuația corespunde că este vorba de rădăcini valide.

Ia în considerare anumite cazuri

Utilizarea sumei sumei sumei (diferența)

Dacă shoesul pătrat are forma (DisplayStyle (AX) ^ (2) + 2ABX + B ^ (2)) Axa 2 + 2ABX + B2, apoi aplicarea formulei numite, putem descompune-o pe multiplicatori liniari și, înseamnă să-l găsești rădăcini:

(AX) 2 + 2ABX + B 2 \u003d (AX + B) 2

Selectarea unei sume pline de pătrat (diferență)

De asemenea, se utilizează formula numită, utilizând metoda care a primit numele "Izolarea unei cantități pătrate complete (diferență)". Cu referire la ecuația pătrată dată cu denumirile introduse anterior, aceasta înseamnă următoarele:

Notă: Dacă ați observat această formulă coincide cu "rădăcinile unei ecuații patrate" propuse în secțiunea "Rădăcinile unei ecuații patrate date", care, la rândul său, pot fi obținute din formula generală (1) prin înlocuirea egalității A \u003d 1. Acest fapt nu este doar o coincidență: metoda descrisă, producând, totuși, unele raționamente suplimentare pot, de asemenea, să retragă și formula generală, precum și să demonstreze proprietățile discriminatorului.

VI Calea. Folosind teorema directă și inversă Vieta

Teorema directă a vinului (vezi mai jos în secțiunea de același nume) și teorema inversă la acesta vă permite să rezolvați ecuațiile de mai sus pe cale orală, fără a recurge la calcule suficient de voluminoase conform formulei (1).

Conform teoremei inverse, orice pereche de numere (număr) (DisplayStyle X_ (1), X_ (2)) x 1, x 2 fiind soluția sub sistemul de ecuații, sunt rădăcini ale ecuației

În general, adică pentru o ecuație pătrată neexcinată axa 2 + bx + c \u003d 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Alegerea numerelor orale care satisfac aceste ecuații vor ajuta teorema directă. Cu aceasta, puteți defini semnele rădăcinilor, fără a cunoaște rădăcinile însele. Pentru a face acest lucru, fiți ghidat de regulă:

1) Dacă membrul liber este negativ, rădăcinile au un semn diferit, iar cel mai mare modul din rădăcini este semnul opus semnului celui de-al doilea coeficient al ecuației;

2) Dacă un membru gratuit este pozitiv, ambele rădăcini au același semn, și acesta este un semn opus semnului celui de-al doilea coeficient.

Vii cale. Metoda "Reduce"

Așa-numita metodă "tranzit" permite reducerea soluției dorite și impasibile față de tipul divizării lor la coeficientul de rang înalt al ecuațiilor pentru a rezolva soluțiile date cu întregii coeficienți. Este după cum urmează:

Mai mult, ecuația este rezolvată pe cale orală descrisă în metodă, apoi reveniți la variabila originală și găsiți rădăcinile ecuațiilor (DisplayStyle Y_ (1) \u003d AX_ (1)) y. 1 \u003d AX. 1 și y. 2 \u003d AX. 2 . (DisplayStyle Y_ (2) \u003d AX_ (2))

Sensul geometric

Diagrama funcției patrate este parabola. Soluțiile (rădăcinile) ecuației pătrate se numesc abscoarcerea punctelor de trecere a parabolei cu axa Abscisa. Dacă parabola, descrisă de o funcție patratic, nu se intersectează cu axa Abscisa, ecuația nu are rădăcini reale. Dacă parabola se intersectează cu o axă Abscisa la un moment dat (în partea de sus a parabolei), ecuația are o singură rădăcină reală (de asemenea, că ecuația are două rădăcini coincidente). Dacă parabola este traversă axa Abscisa în două puncte, ecuația are două rădăcini reale (vezi imaginea din dreapta.)

Dacă coeficientul (DisplayStyle a) a. Pozitiv, ramurile parabolice sunt îndreptate și dimpotrivă. Dacă coeficientul AfișajStyle b)benching (cu DisplayStyle A) a., cu un negativ dimpotrivă), partea de sus a parabolei se află în jumătatea planului stâng și invers.

Utilizarea ecuațiilor pătrate în viață

Ecuația pătrată este larg răspândită. Se folosește în multe calcule, structuri, sport, precum și în jurul nostru.

Luați în considerare și prezentați câteva exemple de aplicare a ecuației pătrate.

Sport. Sărituri în înălțime: Când rulați un jumper pentru atingerea maximă clară a repulsiei și a planului de zbor ridicat, sunt utilizate calculele asociate parabolei.

De asemenea, astfel de calcule sunt necesare în aruncare. Gama obiectului depinde de ecuația pătrată.

Astronomie. Traiectoria mișcării planetelor poate fi găsită folosind o ecuație pătrată.

Aeronavă care zboară. Scoateți aeronava componenta principală a zborului. Este nevoie de un calcul pentru rezistența mică și accelerarea decolării.

De asemenea, ecuațiile pătrate sunt folosite în diverse discipline economice, în programe de procesare a sunetului, grafică video, vector și raster.

Concluzie

Ca urmare a lucrării făcute, sa dovedit că ecuațiile pătrate au atras oamenii de știință în vremuri străvechi, le-au întâlnit deja atunci când rezolvă anumite sarcini și au încercat să le rezolve. Având în vedere diverse moduri de a rezolva ecuațiile pătrate, am ajuns la concluzia că nu toate sunt simple. În opinia mea, cel mai mult cea mai buna cale Soluțiile de ecuații pătrate sunt o soluție prin formule. Formulele sunt ușor de amintit, această metodă este universală. Ipoteza că ecuațiile sunt utilizate pe scară largă în viața și matematica confirmată. După ce am studiat subiectul, am învățat foarte mult fapte interesante Pe ecuații pătrate, utilizarea, aplicarea, speciile, soluțiile. Și voi fi fericit să le continuu să le studiez. Sper că acest lucru mă va ajuta să trec examenele.

Lista literaturii utilizate

Materiale de site:

Wikipedia.

Open lecție.rf.

Director de matematică elementară profitabilă M. YA.

Ecuații patrate. Informații generale.

ÎN ecuație pătrată. Acesta trebuie să fie prezent în piață (de aceea se numește

"Pătrat"). În afară de el, în ecuația poate fi (și nu poate fi!) Pur și simplu X (în primul grad) și

numărul doar (dick gratuit). Și nu ar trebui să existe IC-uri într-o diplomă, mai mult.

Ecuația algebrică a formei generale.

unde x. - variabilă liberă, a., b., c. - coeficienți și a.≠0 .

de exemplu:

Expresie Apel pătrat trichlen..

Elementele ecuației pătrate au nume proprii:

· Apelați coeficientul primului sau superior,

· Apelați cel de-al doilea sau coeficient când

· Apelați membru gratuit.

Ecuație pătrată completă.

În aceste ecuații pătrate, în partea stângă există un set complet de membri. X pătrat cu

coeficient dar, X în primul grad cu coeficientul b. și gratuit membru din. ÎNcoeficienții CE

trebuie să fie diferită de zero.

Incomplet Se numește o astfel de ecuație pătrată în care cel puțin unul dintre coeficienți, cu excepția

senior (fie al doilea coeficient, fie un membru gratuit) este zero.

Să presupunem asta b. \u003d 0, - primul grad va dispărea. Se pare, de exemplu:

2x 2 -6x \u003d 0,

Etc. Și dacă ambele coeficienți sunt b. și c. egal zero, este încă mai simplu, de exemplu:

2x 2 \u003d 0,

Rețineți că X este prezent în pătrat în toate ecuațiile.

De ce dar Nu poate fi zero? Atunci IX va dispărea în piață, iar ecuația va deveni liniar .

Și este deja rezolvată destul de diferit ...

Primul nivel

Ecuații patrate. Ghidul exhaustiv (2019)

În ceea ce privește "ecuația pătrată", cheia este cuvântul "pătrat". Aceasta înseamnă că variabila trebuie să fie prezentă în ecuația (aceeași IX) în piață și nu ar trebui să existe IC-uri în al treilea (și mai mare) grad.

Soluția multor ecuații este redusă la rezolvarea ecuațiilor precis pătrate.

Să învățăm cum să determinăm că avem o ecuație pătrată, și nu oricare altul.

Exemplul 1.

Fiecare membru al ecuației pe numitor și dominat

Transferați totul în stânga și plasat membrii în ordinea descrescătoare a gradelor de ICA

Acum puteți spune cu încredere că această ecuație este pătrată!

Exemplul 2.

Internă stânga și dreapta pe:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătrat!

Exemplul 3.

Doming toate pe:

Infricosator? Al patrulea și al doilea grad ... Cu toate acestea, dacă înlocuim, atunci vom vedea că avem o ecuație simplă pătrată:

Exemplul 4.

Se pare că este, dar să ne uităm cu atenție. Transferați totul în stânga:

Vezi, a scăzut - și acum este o ecuație liniară simplă!

Încercați acum să determinați care dintre următoarele ecuații sunt pătrate și care nu:

Exemple:

Răspunsuri:

1. pătrat;
2. pătrat;
3. nu pătrat;
4. nu pătrat;
5. nu pătrat;
6. pătrat;
7. nu pătrat;
8. pătrat.

Matematica împărtășește convențional toate ecuațiile pătrate pe tipul:

• Ecuații pline de pătrat. - Ecuațiile în care coeficienții și, precum și un membru gratuit nu sunt egali cu zero (ca în exemplul). În plus, printre ecuațiile complete pătrate alocă prezentat - Acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplu este nu numai completă, ci și dată!)

• Ecuații incomplete pătrate - ecuațiile în care coeficientul și membrul liber este zero:

  Incomplet, deoarece acestea nu au un fel de articol. Dar ecuația ar trebui să fie întotdeauna prezentă în piață! În caz contrar, nu va fi pătrat, ci o altă ecuație.

De ce ați venit cu o astfel de diviziune? Se pare că există x în piață și bine. O astfel de diviziune se datorează metodelor de soluții. Luați în considerare fiecare dintre ele în detaliu.

Decizia ecuațiilor incomplete pătrate

Pentru a începe cu, ne vom opri la rezolvarea ecuațiilor pătrate incomplete - sunt mult mai simple!

Ecuațiile incomplete pătrate sunt tipuri:

1. În această ecuație, coeficientul este egal.
2. În această ecuație, un membru gratuit este egal.
3. În această ecuație, coeficientul și elementul liber sunt egale.

1. și. După cum știm cum să extragem o rădăcină pătrată, să explicăm din această ecuație

Expresia poate fi negativă și pozitivă. Numărul ridicat în pătrat nu poate fi negativ, deoarece cu multiplicarea a două numere negative sau două numere pozitive - rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, astfel încât dacă, ecuația nu are soluții.

Și dacă primești două rădăcini. Aceste formule nu trebuie să memoreze. Principalul lucru pe care ar trebui să-l cunoașteți și să vă amintiți întotdeauna că este posibil să nu fie mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Decideți ecuația

Acum rămâne de a fi eliminat din partea stângă și dreaptă. La urma urmei, îți amintești cum să extragă rădăcini?

Răspuns:

Nu uitați niciodată de rădăcini cu un semn negativ!

Exemplul 6:

Decideți ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Decideți ecuația

Oh! Piața numărului nu poate fi negativă, ceea ce înseamnă ecuația

fără rădăcini!

Pentru astfel de ecuații în care nu există rădăcini, matematica a venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris ca:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătrată are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am îndepărtat rădăcina.
Exemplul 8:

Decideți ecuația

Voi rezuma parantezele:

În acest fel,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătrate incomplete (deși sunt toate simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Aici vom face fără exemple.

Rezolvarea ecuațiilor pline pătrate

Vă reamintim că ecuația plină de pătrat este ecuația ecuației în care

Soluția de ecuații pătrate complete este un pic mai complicată (foarte ușor) decât cea de mai sus.

Tine minte, orice ecuație pătrată poate fi rezolvată cu ajutorul discriminatorului! Chiar incomplet.

Restul căilor o vor ajuta să o facă mai rapidă, dar dacă aveți probleme cu ecuațiile pătrate, pentru a începe, soluția este numită cu ajutorul discriminatorului.

1. Soluția ecuațiilor pătrate cu ajutorul discriminatorului.

Soluția de ecuații pătrate în acest fel este foarte simplă, principalul lucru este să ne amintim secvența de acțiuni și câteva formule.

Dacă, ecuația are o atenție deosebită acordarea unui pas. Discriminanța () ne indică numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci formula este redusă la. Astfel, ecuația va avea o singură rădăcină.
• Dacă nu vom putea extrage rădăcina de la discriminator în pas. Acest lucru indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să luăm în considerare câteva exemple.

Exemplul 9:

Decideți ecuația

Pasul 1 Ne uităm.

Pasul 2.

Noi găsim discriminator:

Deci, ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10:

Decideți ecuația

Ecuația este prezentată într-o formă standard, deci Pasul 1 Ne uităm.

Pasul 2.

Noi găsim discriminator:

Deci, ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Decideți ecuația

Ecuația este prezentată într-o formă standard, deci Pasul 1 Ne uităm.

Pasul 2.

Noi găsim discriminator:

Nu va putea extrage rădăcina de la discriminator. Rădăcinile ecuației nu există.

Acum știm cum să scriem astfel de răspunsuri corect.

Răspuns:Fără rădăcini

2. Soluția ecuațiilor pătrate utilizând teorema Vieta.

Dacă vă amintiți, adică un astfel de tip de ecuații numite prezentate (când coeficientul A este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema Vieta:

Suma rădăcinilor specificat Ecuația pătrată este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Exemplul 12:

Decideți ecuația

Această ecuație este potrivită pentru rezolvarea utilizării teoremei Vieta, deoarece .

Cantitatea rădăcinilor ecuației este egală, adică Obținem prima ecuație:

Și lucrarea este:

De asemenea, vom decide sistemul:

• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Decideți ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Decideți ecuația

Ecuația este dată și, prin urmare,:

Răspuns:

Ecuații patrate. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătrată?

Cu alte cuvinte, ecuația pătrată este ecuația speciei în care necunoscutul este un număr și.

Numărul este numit bătrân sau primul coeficient Ecuația pătrată - al doilea coeficient, dar - membru gratuit.

De ce? Pentru că dacă ecuația devine imediat liniară, pentru că dispărea.

În același timp și poate fi zero. În acest scaun, ecuația este numită incompletă. Dacă toate componentele sunt în vigoare, adică ecuația este completă.

Soluții de diferite tipuri de ecuații pătrate

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătrate incomplete:

Pentru a începe, vom analiza metodele de soluții ale ecuațiilor pătrate incomplete - ele sunt mai ușoare.

Puteți selecta tipul de astfel de ecuații:

I. În această ecuație, coeficientul și membrul liber sunt egale.

II. În această ecuație, coeficientul este egal.

III. În această ecuație, un membru gratuit este egal.

Luați în considerare acum soluția fiecăruia dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Numărul ridicat în pătrat nu poate fi negativ, deoarece înmulțind două numere negative sau două numere pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. Prin urmare:

dacă ecuația nu are soluții;

dacă am învățat două rădăcini

Aceste formule nu trebuie să memoreze. Principalul lucru de reținut că nu este mai puțin.

Exemple:

Soluții:

Răspuns:

Nu uitați niciodată de rădăcini cu un semn negativ!

Piața numărului nu poate fi negativă, ceea ce înseamnă ecuația

nu există rădăcini.

Pentru a înregistra pe scurt faptul că sarcina nu are soluții, utilizați o pictogramă de setare goală.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Voi rezuma fabrica pentru paranteze:

Produsul este zero, dacă cel puțin unul dintre multiplicatori este zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătrată are două rădăcini: și.

Exemplu:

Decideți ecuația.

Decizie:

Răspândiți partea stângă a ecuației din fabrică și găsiți rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pline de pătrat:

1. Discriminanța

Rezolvarea ecuațiilor pătrate în acest mod ușor, principalul lucru este amintirea secvenței de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătrată poate fi rezolvată cu ajutorul discriminatorului! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina de la discriminator în formula rădăcină? Dar discriminatorul poate fi negativ. Ce să fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminanța ne indică numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă ecuația are o rădăcină:
• Dacă, ecuația are aceeași rădăcină și, de fapt, o singură rădăcină:

  Astfel de rădăcini sunt numite duble.

• Dacă rădăcina discriminatorului nu este îndepărtată. Acest lucru indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce este posibil la un număr diferit de rădăcini? Să ne întoarcem la sensul geometric al ecuației pătrate. Graficul funcției este parabola:

Într-un caz particular, care este o ecuație pătrată. Și acest lucru înseamnă că rădăcinile ecuațiilor pătrate sunt punctele de intersecție cu axa Abscisa (axa). Parabola nu poate traversa axa deloc sau o încrucișă într-una (când partea de sus a parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, un coeficient este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și dacă este în jos.

Exemple:

Soluții:

Răspuns:

Răspuns:.

Răspuns:

Deci, nu există soluții.

Răspuns:.

2. Teorema Vieta.

Teorema lui Vieta este foarte ușor de utilizat: trebuie doar să ridicați astfel de numere, despre care produsul este egal cu un membru liber al ecuației, iar suma este al doilea coeficient luat cu semnul opus.

Este important să vă amintiți că teorema Vieta poate fi utilizată numai în a redus ecuațiile pătrate ().

Luați în considerare câteva exemple:

Exemplu numărul 1:

Decideți ecuația.

Decizie:

Această ecuație este potrivită pentru rezolvarea utilizării teoremei Vieta, deoarece . Coeficienții rămași:; .

Valoarea rădăcinilor ecuației este:

Și lucrarea este:

Vom selecta astfel de perechi de numere, din care produsul este egal și verifică dacă suma lor este egală:

• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Astfel, rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns:; .

Exemplu numărul 2:

Decizie:

Vom selecta astfel de perechi de numere care sunt date în lucrare și apoi vom verifica dacă suma lor este egală:

Și: în cantitatea pe care o dau.

Și: în cantitatea pe care o dau. Pentru a obține suficient doar pentru a schimba semnele celor presupuse rădăcini: și, pentru că lucrarea.

Răspuns:

Exemplu numărul 3:

Decizie:

Membru gratuit al ecuației este negativ, ceea ce înseamnă produsul rădăcinilor - un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă unul dintre rădăcini este negativ, iar celălalt este pozitiv. Prin urmare, cantitatea de rădăcini este egală diferențele dintre modulele lor.

Vom selecta astfel de perechi de numere care sunt date în muncă și diferența dintre care este egală cu:

și: Diferența lor este egală - nu este adecvată;

și: - Nu este potrivit;

și: - Nu este potrivit;

Și: - Potrivit. Rămâne doar să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor ar trebui să fie egală, atunci un negativ ar trebui să fie un modul rădăcină mai mic :. Verifica:

Răspuns:

Exemplu numărul 4:

Decideți ecuația.

Decizie:

Ecuația este dată și, prin urmare,:

Membrul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o singură rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Vom selecta astfel de perechi de numere, din care produsul este egal și apoi definim ce rădăcini ar trebui să aibă un semn negativ:

Evident, numai rădăcinile sunt potrivite pentru prima condiție și:

Răspuns:

Exemplu numărul 5:

Decideți ecuația.

Decizie:

Ecuația este dată și, prin urmare,:

Cantitatea rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece munca lor este pozitivă, înseamnă atât rădăcini cu un semn minus.

Vom selecta astfel de perechi de numere, din care produsul este:

Evident, rădăcinile sunt numere și.

Răspuns:

Sunt de acord, este foarte convenabil - să inventați rădăcini pe cale orală, în loc să luați în considerare acest nediscriminant. Încercați să utilizați cât mai mult teorema Vietei.

Dar teorema Vieta este necesară pentru a facilita și a accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a vă ajuta să o utilizați, trebuie să aduceți măsuri la automatism. Și pentru asta, calomnia mai multe tocuri de exemple. Dar nu o scalare: discriminatorul nu poate fi folosit! Numai teorema Vieta:

Soluții de sarcini pentru lucrări independente:

Sarcina 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Pe teorema Vieta:

Ca de obicei, începem selecția lucrării:

Nu se potrivește deoarece suma;

: Suma - ceea ce aveți nevoie.

Răspuns:; .

Sarcina 2.

Și din nou, teorema noastră preferată Vieta: în cantitatea ar trebui să se dovedească, iar lucrarea este egală.

Dar, deoarece nu ar trebui să fie, dar, schimbați semnele rădăcinilor: și (în suma).

Răspuns:; .

Sarcina 3.

Hmm ... și unde este ceea ce?

Este necesar să se transfere toți termenii într-o singură parte:

Cantitatea rădăcinilor este egală, lucrarea.

Deci, opriți-vă! Ecuația nu este dată. Dar teorema Vieta se aplică numai în ecuațiile de mai sus. Deci, mai întâi trebuie să aduceți ecuația. Dacă nu lucrați, aruncați această idee și decideți într-un mod diferit (de exemplu, prin discriminator). Permiteți-mi să vă reamintesc că aduceți ecuația pătrată - înseamnă a face un coeficient de rang înalt la:

Excelent. Apoi, cantitatea de rădăcini este egală și lucrarea.

Aici este mai ușor să luați simplu: la urma urmei, un număr simplu (îmi pare rău pentru tautologie).

Răspuns:; .

Sarcina 4.

Membru gratuit este negativ. Ce e special în asta? Și faptul că rădăcinile vor fi semne diferite. Și acum în timpul selecției, nu verificăm cantitatea de rădăcini, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală și lucrarea.

Deci, rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele cu un minus. Teorema Vieta ne spune că cantitatea de rădăcini este egală cu cel de-al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Deci, minus va fi la o rădăcină mai mică: și, din moment ce.

Răspuns:; .

Sarcina 5.

Ce trebuie făcut mai întâi? DREPT, Aduceți ecuația:

Din nou: selectăm multiplicatorii numărului, iar diferența acestora ar trebui să fie egală:

Rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele cu un minus. Ce? Suma lor ar trebui să fie egală, înseamnă că minus va fi rădăcină mai mare.

Răspuns:; .

Voi rezuma:

1. Teorema Vieta este utilizată numai în ecuațiile patrate date.
2. Folosind teorema Vieta puteți găsi rădăcinile de selecție, oral.
3. Dacă ecuația nu este dată sau nu există o pereche adecvată de multiplicatori ai unui membru liber, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini întregi și este necesar să se rezolve o altă metodă (de exemplu, prin discriminanță).

3. Metoda de alocare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii cuprinzând un necunoscut, să prezinte sub forma componentelor multiplicării abreviare a sumei sumei sau a diferenței, după înlocuirea variabilelor, poate fi reprezentată o ecuație sub formă de ecuație de tip pătrat incompletă .

De exemplu:

Exemplul 1:

Decideți ecuația :.

Decizie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Decideți ecuația :.

Decizie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nimic nu reamintește? Acesta este discriminatorul! Asta e, formula discriminatorului și a primit.

Ecuații patrate. Pe scurt despre principalul lucru

Ecuația patrată- Aceasta este ecuația speciei, unde - necunoscutul, - coeficienții ecuației pătrate, este un membru gratuit.

Ecuația plină de pătrat - Ecuația în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuația pătrată redusă - Ecuația în care coeficientul, adică :.

Ecuație pătrată incompletă - Ecuația în care coeficientul și membrul liber este zero:

• dacă coeficientul, ecuația este:,
• dacă un membru liber, ecuația are forma:,
• dacă, ecuația are forma :.

1. Algoritmul Rezolvarea ecuațiilor incomplete pătrate

1.1. O ecuație incompletă pătrată a speciei unde:

1) Exprimați necunoscutul:

2) Verificarea semnului expresiei:

• dacă ecuația nu are soluții,
• dacă, ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație incompletă pătrată a speciei unde:

1) Voi rezuma fabrica pentru paranteze:

2) Produsul este zero, dacă cel puțin unul dintre multiplicatori este zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3 O ecuație pătrată incompletă a speciei, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină :.

2. Algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor pline de pătrat ale speciilor în care

2.1. Soluție cu ajutorul discriminatorului

1) Dăm ecuația cu formularul standard :,

2) Calculați discriminatorul conform formulei: care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Găsiți rădăcinile ecuației:

• dacă ecuația are o rădăcină care se află în formula:
• dacă ecuația are rădăcina, care este prin formula:
• dacă, ecuația nu are rădăcini.

2.2. Soluție utilizând teorema Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătrate reduse (ecuația formei, unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, adică. , dar.

2.3. Rezolvarea unei metode complete de alocare pătrată