Lecția abstractă
profesori Matematică
Mbou Sosh №2 G. Vorsma
Kisel Larisa Alekseevna.
Subiect: "Ecuația pătrată redusă. Teorema Vieta "
Scopul lecției:Introducerea conceptului de redus ecuația pătrată., Teoreme Vieta și teorema inversă la ea.
Sarcini:
Educational:
Introduceți conceptul unei ecuații patrate date,
Ieșire formula rădăcină a ecuației pătrate de bază,
Formulați și dovediți teorema Vieta,
Formulați și dovediți teorema, teorema inversă a lui Vieta,
Învățați elevilor să rezolve ecuațiile patrate date folosind teorema, teorema inversă a Vietei.
În curs de dezvoltare:
dezvoltarea gândirii logice, a memoriei, a atenției, a competențelor educaționale generale, a competențelor de comparare și rezumare;
Educational:
educație de muncă grea, asistență reciprocă, cultură matematică.
Tipul lecției: O lecție educațională cu un material nou.
Echipament: Material algebra ed. Alimova și colab., Notebook, material de distribuție, prezentare la lecție.
Planul lecției.
Lecție de scenă
Conținut (țintă)
Timp (min)
Verificarea temelor
Muncă de verificare
Dezbaterea, răspunsurile la întrebări.
Studierea unui nou material
Formarea cunoștințelor de referință, formularea regulilor, rezolvarea sarcinilor, analiza rezultatelor, răspunsurile la întrebările studenților.
Asimilarea materialului studiat prin aplicarea la rezolvarea sarcinilor prin analogie sub controlul profesorului.
Însumând lecția
Evaluarea cunoștințelor celor care au răspuns studenților. Verificați cunoașterea și înțelegerea formulării regulilor prin metoda sondajului frontal.
Teme pentru acasă
Familiarizarea studenților cu conținutul sarcinii și obținerea explicațiilor necesare.
Sarcini suplimentare
Sarcini multiple pentru a asigura dezvoltarea studenților.
În timpul cursurilor.
Ora de organizare. Stabilind scopul lecției. Crearea de condiții favorabile pentru activități de succes. Motivația învățăturilor.
Verificați-vă temele. Frontal, verificarea individuală și corectarea cunoștințelor și abilităților studenților.
Ecuația
Numărul de rădăcini
Profesor: Cum, fără a rezolva o ecuație pătrată, determină numărul rădăcinilor sale? (RĂSPUNSURI STUDENT)
Verificare. Răspunsuri la întrebări.
Textul lucrărilor de verificare:
Opțiunea numărul 1.
Decideți ecuațiile:
DAR) 
,
B) 
Are:
O singură rădăcină
Două rădăcini diferite.
Opțiunea numărul 2.
Decideți ecuațiile:
DAR) 
,
B) 
2. Se potrivește valoarea parametrului A, în care ecuația 
Are:
O singură rădăcină
Două rădăcini diferite.
Lucrările de verificare se efectuează pe foi separate, renunță la un profesor de testare.
După punerea lucrării, soluția este afișată pe ecran.
Studierea unui nou material.
4.1. Francois Viet. - matematicianul francez din secolul al XVI-lea. El a fost avocat, mai târziu - un consilier al împăraților francezi din Heinrich III și Heinrich II.
Odată ce a reușit să descifreze o scrisoare spaniolă foarte dificilă interceptată de franceză. Inchiziția aproape că l-au ars pe foc, acuzându-se la coluziune cu diavolul.
Francois Vieta se numește "tatăl algebrei contemporane alvenei"
Cum sunt rădăcinile pătratului trotellen și coeficienții săi p și Q? Răspunsul la această întrebare dă teorema, care poartă numele "tatălui algebrei", matematica franceză F. Viet, pe care o vom studia astăzi.
Faimoasa teoremă a fost publicată în 1591.
4.2. Formulăm definiția ecuației patrate date.
Definiție. Ecuația de vizualizare pătrată 
numit cele de mai sus.
Aceasta înseamnă că ecuația mai veche a coeficientului este egală cu cea.
Exemplu. .
Orice ecuație pătrată 
pot fi date minții . Pentru a face acest lucru, este necesar să împărțiți ambele părți ale ecuației.
de exemplu, Ecuația 7x 2 - 12x + 14 \u003d 0 diviziune cu 7 este dată minții
X 2 - 12 / 7x + 2 \u003d 0
4.3. Îndepărtați formula rădăcinilor ecuației pătrate date.
a, B, C
a \u003d 1, B \u003d P, C \u003d Q
Decideți ecuația x 2 - 14x - 15 \u003d 0 (elevul decide la bord)
Întrebări:
Denumiți coeficienții P și Q (-14, -15);
Înregistrați formula rădăcină a ecuației pătrate de bază;
Găsiți rădăcinile acestei ecuații (x 1 \u003d 15, x 2 \u003d -1)
4.4. Formulați și dovediți teorema Vieta.
În cazul în care rădăcinile ecuației , Formulele sunt valabile, adică Suma rădăcinilor ecuației patrate este egală cu cel de-al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu un membru liber.
După aceea, profesorul conduce dovada teoremei. Apoi, împreună cu studenții, face o concluzie.
Exemplu. 
. p \u003d -5, q \u003d 6.
Înseamnă numere și numere
pozitiv. Este necesar să găsiți două numere pozitive ale căror muncă
În mod egal 6, iar cantitatea este 5. \u003d 2, \u003d 3 - rădăcinile ecuației.
4.5. Aplicarea teoremei vietorie .
Cu ea, puteți:
Găsiți suma și produsul rădăcinilor ecuației pătrate, fără a rezolva,
Știind una dintre rădăcini, găsiți un altul
Determină rădăcinile ecuației,
Alegeți rădăcinile ecuației fără ao rezolva.
4.6. Formulăm teorema teoremei inverse ale lui Vieta.
Dacă numerele p, Q, și cei care satisfac ratele, - rădăcinile ecuației pătrate .
Dovada teoremei, teorema inversă a Vietei, se face în casă pentru a studia independent cu studenți puternici.
4.7. Luați în considerare soluția de sarcină 5 pe pagina tutorialului 125.
Fixarea materialului studiat
№ 450 (1)
№ 451 (1, 3, 5) - oral
№ 452 (oral)
№ 455 (1,3)
№ 456 (1, 3)
Însumând lecția.
Raspunde la intrebari:
Cuvânt teorema Vieta.
De ce aveți nevoie de teorema Vieta?
Cuvânt teorema inversă a teoremei Vieta.
Teme pentru acasă.
§29 (înainte de sarcina 6), nr. 450 (2,4,6); 455 (2.4); 456 (2,4,6).
Sarcini suplimentare.
Nivelul A.
Găsiți suma și produsul rădăcinilor ecuației:
2. Folosind teorema, teorema inversă a Vietei, face o ecuație pătrată, ale căror rădăcini sunt egale cu 2 și 5.
Nivelul B.
1. Se potrivesc cuantumul și produsul rădăcinilor ecuației:
2. Folosind teorema, teorema inversă a Vietei, face o ecuație pătrată, ale căror rădăcini sunt egale și.
Nivelul S.
1. dezasamblați dovada teoremei, teorema inversă a lui Vieta
2. Decideți ecuația și verificați teorema, teorema inversă a Vieta:
Schema de abstracție a lecției
Etape de lucru
Stadiul conținutului
Organizarea timpului, inclusiv:
scopul obiectivului care ar trebui realizat de studenți în această etapă a lecției (care ar trebui să fie făcut de studenți va fi de a lucra în lecție)
descrierea metodelor de organizare a studenților în stadiul inițial al lecției, atitudinea studenților pe activități educaționale, subiectul și tema lecției (luând în considerare caracteristicile reale ale clasei cu care lucrează profesorul)
Cerințele programului pentru formarea matematică a studenților pe această temă constă în introducerea conceptului unei ecuații patrate date, teorema Vieta și inversul teoremei (din programul de instituții de învățământ general).
Elevii din clasa a VIII-a sunt copii de adolescență, care se caracterizează prin instabilitatea atenției. Cel mai bun mod Pentru a organiza atenția este de a organiza activități educaționale, astfel încât elevii să nu aibă nici un timp, nici dorința, nici ocazia de a fi distrași de mult timp.
Pe baza scopului lecției de mai sus, soluționarea următoarelor sarcini:
a) Educație: introducerea conceptului unei ecuații patrate date, teorema Vietei și inversul teoremei.
b) dezvoltarea: dezvoltarea gândirii logice, a memoriei, a atenției, a competențelor educaționale generale, a competențelor de comparare și rezumare;
c) Educație: Îmbunătățirea muncii dure, asistență reciprocă, cultura matematică.
Pentru ca studenții să perceapă lecția ca un segment logic finit, holistic, limitat în timp al procesului educațional, începe cu stabilirea sarcinilor și se încheie cu însumarea și stabilirea sarcinilor în următoarele lecții.
Studiul studenților cu privire la materialul specificatinclusiv:
definiția obiectivelor pe care profesorul le pune studenților în această etapă a lecției (ce rezultat ar trebui să fie realizat de studenți);
determinarea obiectivelor și obiectivelor pe care profesorul dorește să le atingă în această etapă a lecției;
o descriere a metodelor care contribuie la soluționarea obiectivelor și a sarcinilor;
descrierea criteriilor de realizare a obiectivelor și obiectivelor acestei etape a lecției;
determinarea posibilelor acțiuni ale profesorului în cazul în care el sau studenții nu reușesc să-și atingă obiectivele;
descrierea metodelor de organizare a activităților comune ale studenților, ținând cont de caracteristicile clasei, cu care lucrează profesorul;
o descriere a metodelor de motivare (stimularea) activității educaționale a studenților în timpul unui sondaj;
descrierea metodelor și criteriilor de evaluare a răspunsurilor studenților în timpul unui sondaj.
În prima etapă, verificarea frontală, individuală și corectarea cunoștințelor și abilităților studenților. În acest caz, soluționarea ecuațiilor pătrate și stabilirea determinării numărului de rădăcini de către discriminatorul său. Se efectuează tranziția la definiția ecuației patrate date.
În a doua etapă, sunt luate în considerare ecuațiile a două specii. Astfel încât elevii nu sunt obosiți de muncă monotonă, se aplică diferite forme de muncă și sarcini, sarcinile mai incluse nivel inalt (cu un parametru).
Lucrările orale ale studenților se suportă cu scris, care trebuie să justifice alegerea unei soluții de ecuație pătrată, analiza soluției ecuației
Una dintre tehnicile suportului pedagogic este de a folosi ca claritate tehnologia Informatieicare ajută elevii la diferite niveluri de pregătire asimilate cu ușurință materiale, astfel încât momentele individuale ale lecției sunt efectuate folosind prezentarea (arătând soluția muncă independentă, întrebări, teme)
Studierea noului material educațional. Această etapă sugerează:
prezentarea principalelor prevederi ale noului material educațional, care trebuie să fie stăpânită de studenți;
descrierea formelor și a metodelor de prezentare (depunere) a noului material educațional;
descrierea principalelor forme și metode de organizare a activităților individuale și de grup ale studenților, luând în considerare caracteristicile clasei în care lucrează profesorul;
descrierea criteriilor de determinare a nivelului de atenție și de interes al studenților la materialul educațional al profesorului expus;
descrierea metodelor de motivare (stimulative) Activitatea educațională a studenților în timpul dezvoltării noului material educațional
Determinarea ecuației patrate date este dată. Profesorul, împreună cu studenții, formulele rădăcinii ecuației pătrate, sunt conștiente de semnificația materialului educațional al lecției. Analiza textului și dovada teoremei Vieta are loc și în colaborare cu studenții
Această lucrare consolidând, de asemenea, studiul unui nou material.
Metode:
vizual
practic;
verbal;
căutare parțială
Consolidarea materialelor educaționaleasumat:
stabilirea unui scop educațional specific în fața studenților (care rezultatul ar trebui să fie realizat de studenți în această etapă a lecției);
definirea obiectivelor și obiectivelor pe care profesorul le stabilește în fața lecției;
descrierea formularelor și metodelor de realizare a obiectivelor în timpul consolidării unui nou material educațional, ținând seama de caracteristicile individuale ale studenților cu care lucrează profesorul.
descrierea criteriilor, permițând determinarea gradului de învățare pentru a învăța un nou material educațional;
o descriere a posibilelor modalități și metode de răspuns în situațiile în care profesorul determină că o parte din studenți nu a stăpânit noul material educațional.
Consolidarea materialului educațional are loc atunci când răspund la întrebări și în lucrul cu manualul:
Analiza numărului de sarcină 5 la pagina 125;
Rezolvarea exercițiului
№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) - oral, 452 (oral);
455 (1,3); 456 (1, 3)
De-a lungul lecției, există o activitate ridicată a studenților, profesorul are capacitatea de a intervieva toți elevii de clasă și de mai multe ori.
Rezultatul lecției sub formă de sondaj frontal al studenților pe probleme este rezumată:
Ce ecuații sunt numite prezentate?
Este posibil să faceți o ecuație pătrată convențională?
Înregistrați formula rădăcină a ecuației pătrate de bază
Cuvânt teorema Vieta.
Care este suma și produsul rădăcinilor ecuației:
Sarcina la domiciliuinclusiv:
stabilirea obiectivelor muncii independente pentru studenți (care ar trebui făcute de studenți în timpul îndeplinirii temelor);
definirea obiectivelor pe care profesorul dorește să le atingă prin solicitarea sarcinii de origine;
definirea și explicarea studenților în criteriile de lucru de succes.
În temele se presupune că elevii lucrează în conformitate cu capacitățile lor. Studenții de forță lucrează independent și la sfârșitul lucrării au posibilitatea de a verifica corectitudinea soluțiilor lor, făcându-le cu decizii înregistrate la consiliul de administrație la începutul următoarei lecții. Alți studenți pot obține sfaturi de la colegii lor de clasă sau profesori. Elevii slabi lucrează, bazându-se pe exemple, folosesc soluții de ecuații dezasamblate în clasă. Astfel, condițiile sunt create pentru a lucra la diferite niveluri de complexitate.
În continuarea subiectului "Decizia ecuațiilor", materialul acestui articol vă va prezenta în ecuații pătrate.
Luați în considerare totul în detaliu: esența și înregistrarea ecuației pătrate, stabilesc termenii însoțiți, vom analiza schema pentru soluționarea ecuațiilor incomplete și complete, să vă familiarizați cu formula de rădăcini și discriminanți, să stabilească legături între rădăcini și coeficienți, Și, desigur, oferim o soluție vizuală de exemple practice.
Yandex.rtb r-a-339285-1
Ecuația pătrată, tipurile sale
Definiție 1.Ecuația patrată - Aceasta este ecuația înregistrată ca a · x 2 + b · x + c \u003d 0Unde X. - variabilă, A, B și C. - Unele numere, în timp ce a.nici un zero.
Adesea, ecuațiile pătrate sunt numite și numele ecuațiilor de gradul doi, deoarece, în esență, ecuația pătrată este ecuația algebrică a gradului al doilea.
Dăm un exemplu pentru a ilustra o definiție dată: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0, etc. - Acestea sunt ecuații pătrate.
Definiția 2.
Numerele A, B și C. - Aceștia sunt coeficienții ecuației pătrate a · x 2 + b · x + c \u003d 0, cu coeficientul A. Se numește primul sau mai în vârstă sau coeficientul la X2, B - cel de-al doilea coeficient sau coeficientul când X., dar C. Apelați membru gratuit.
De exemplu, într-o ecuație pătrată 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Coeficientul de rang înalt este de 6, al doilea coeficient este − 2 și membrul liber este egal − 11 . Acordați atenție faptului că atunci când coeficienții B.și / sau c sunt negative, apoi se utilizează o scurtă forma de înregistrare a vizualizării. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, dar nu 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.
De asemenea, clarificăm acest aspect: dacă coeficienții A. și / sau B. egal 1 sau − 1 , apoi participarea explicită la înregistrarea ecuației pătrate, acestea nu pot fi luate, care se explică prin caracteristicile înregistrării acestor coeficienți numerici. De exemplu, într-o ecuație pătrată Y 2 - Y + 7 \u003d 0 Coeficientul de rang înalt este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .
Ecuații pătrate specificate și necăsătorite
Prin valoarea primului coeficient, ecuațiile pătrate sunt împărțite în cele de mai sus și neplătite.
Definiția 3.
Ecuația pătrată redusă - Aceasta este o ecuație pătrată în care coeficientul mai vechi este egal cu 1. Pentru alte valori ale coeficientului mai vechi, ecuația pătrată este nevalidă.
Dăm exemple: ecuații pătrate x 2 - 4, x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 sunt prezentate în fiecare dintre care coeficientul mai vechi este 1.
9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - o ecuație patrată integrală, unde primul coeficient este diferit de 1 .
Orice ecuație pătrată nepermisă este posibilă transformarea într-o ecuație dată dacă este împărțită atât de la ambele părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația inteligentă specificată sau să nu aibă rădăcini deloc.
Considerarea unui exemplu specific ne va permite să demonstrăm în mod clar tranziția de la o ecuație patrată integrală la cea dată.
Exemplul 1.
Ecuația este setată 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Este necesar să se convertească ecuația inițială în formularul de mai sus.
Decizie
Schema specificată de mai sus este separată de ambele părți ale ecuației inițiale asupra coeficientului de rang înalt 6. Apoi primim: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3Și acest lucru este același cu: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 Și mai departe: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. De aici: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. Astfel, se consideră că este specificată o ecuație.
Răspuns: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.
Ecuații pline și incomplete pătrate
Întoarceți-vă la definiția ecuației pătrate. În ea am clarificat acest lucru A ≠ 0.. O astfel de condiție este necesară pentru ecuația a · x 2 + b · x + c \u003d 0 Era exact pătrat pentru că A \u003d 0. Este, în esență, convertit în ecuație liniară b · x + c \u003d 0.
În cazul în care coeficienții B. și C.egal cu zero (care este posibil, atât individual, cât și împreună), ecuația pătrată se numește incompletă.
Definiție 4.
Ecuație pătrată incompletă - o ecuație pătrată a · x 2 + b · x + c \u003d 0,unde cel puțin unul dintre coeficienți B.și C.(sau ambele) este zero.
Ecuația plină de pătrat - o ecuație pătrată în care toți coeficienții numerici nu sunt zero.
Ne răsfățim de ce tipurile de ecuații pătrate sunt prezentate exact numele.
Pentru ecuația B \u003d 0 pătrată ia punctul de vedere A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0că același lucru este acela a · x 2 + c \u003d 0. Pentru C \u003d 0. Ecuația pătrată este înregistrată ca A · x 2 + B · x + 0 \u003d 0Care este echivalent a · x 2 + b · x \u003d 0. Pentru B \u003d 0. și C \u003d 0. Ecuația va lua vederea A · x 2 \u003d 0. Ecuațiile pe care le-am primit sunt diferite de ecuația plină de pătrat în faptul că părțile lor stângi nu sunt conținute nici o componentă din variabila x sau un membru liber sau ambele simultan. De fapt, acest fapt a fost adresat numele unui astfel de tip de ecuații - incomplete.
De exemplu, x 2 + 3, x + 4 \u003d 0 și - 7, x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 sunt ecuații pătrate complete; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - Ecuații incomplete pătrate.
Decizia ecuațiilor incomplete pătrate
Definiția de mai sus face posibilă distingerile următoarelor tipuri de ecuații pătrate incomplete:
- A · x 2 \u003d 0, această ecuație corespunde coeficienților B \u003d 0. și c \u003d 0;
- a · x 2 + c \u003d 0 pentru b \u003d 0;
- a · x 2 + b · x \u003d 0 la c \u003d 0.
Luați în considerare decizia fiecărui tip de ecuație pătrată incompletă.
Soluția ecuației A · x 2 \u003d 0
După cum sa menționat mai sus, ecuația corespunde coeficienților B. și C.egală cu zero. Ecuația A · x 2 \u003d 0 Este posibil să convertiți ecuația la echivalentul acesteia x 2 \u003d 0pe care le primim, împărtășim ambelor părți ale ecuației sursei pentru numărul A.nu egale cu zero. Evident faptul că rădăcina ecuației x 2 \u003d 0 acesta este zero deoarece 0 2 = 0 . Alte rădăcini, această ecuație nu are, care este explicată prin proprietățile gradului: pentru orice număr P,nu egală cu zero, inegalitatea credincioasă P 2\u003e 0Ce urmează atunci când P ≠ 0. egalitate P 2 \u003d 0nu vor fi atinse niciodată.
Definiție 5.
Astfel, pentru o ecuație pătrată incompletă a · x 2 \u003d 0 există singura rădăcină x \u003d 0..
Exemplul 2.
De exemplu, rezolvăm o ecuație pătrată incompletă - 3 · x 2 \u003d 0. Este echivalent cu ecuația x 2 \u003d 0, singura lui rădăcină este x \u003d 0., Atunci ecuația inițială are singura rădăcină - zero.
Pe scurt, decizia este formată astfel:
- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.
Soluția ecuației A · x 2 + C \u003d 0
În coadă - soluția ecuațiilor pătrate incomplete, unde B \u003d 0, C ≠ 0, adică ecuațiile formei a · x 2 + c \u003d 0. Transformăm această ecuație efectuată termenul de la o parte a ecuației la altul, schimbând semnul la opusul și împărțirea ambelor părți ale ecuației la număr, nu egale cu zero:
- transfer C. în partea dreaptă, care dă ecuația A · x 2 \u003d - C;
- Împărțim ambele părți ale ecuației A., Am ajuns în capăt x \u003d - c a.
Transformările noastre sunt echivalente, respectiv, ecuația rezultată este echivalentă și cu sursa, iar acest fapt face posibilă încheierea rădăcinilor ecuației. Din ce înseamnă sensul A. și C.valoarea expresiei depinde - C A: Poate avea un semn minus (Să spunem dacă A \u003d 1. și C \u003d 2., apoi - C A \u003d - 2 1 \u003d - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă A \u003d - 2 și C \u003d 6., apoi - C A \u003d - 6 - 2 \u003d 3); Nu este zero deoarece C ≠ 0.. Să trăim mai detaliat în situațiile în care - c a< 0 и - c a > 0 .
În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Egalitatea P 2 \u003d - C A nu poate fi adevărată.
Toate, atunci când - C A\u003e 0: amintiți rădăcina pătrată și va fi evidentă că ecuația X 2 \u003d - C A va fi numărul - C A, din moment ce - C A 2 \u003d - C a. Nu este dificil să înțelegeți că numărul este - C A este, de asemenea, rădăcina ecuației X 2 \u003d - C A: într-adevăr, - - C A 2 \u003d - Ca.
Alte ecuații rădăcini nu vor avea. Putem demonstra folosind metoda urâtă. Pentru a începe cu, setați denumirile găsite deasupra rădăcinilor ca X 1. și - x 1.. Voi sugera că ecuația X 2 \u003d - C A este, de asemenea, rădăcină X 2.care diferă de rădăcini X 1. și - x 1.. Știm asta, înlocuind în loc de ecuație X. Rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică echitabilă.
Pentru X 1. și - x 1. Noi scriem: X 1 2 \u003d - C A, și pentru X 2. - X2 2 \u003d - Ca. Bazându-se pe proprietățile egalității numerice, reluați o egalitate corectă de la altul, ceea ce ne va da: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Utilizați proprietățile acțiunilor cu numere pentru a rescrie cea mai recentă egalitate ca (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Se știe că lucrarea a două numere este zero atunci și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. De la a spus că rezultă asta x 1 - x 2 \u003d 0 și / sau x 1 + x 2 \u003d 0că același lucru x 2 \u003d x 1 și / sau x 2 \u003d - x 1. A existat o contradicție evidentă, deoarece la început sa convenit că rădăcina ecuației X 2. difera de X 1. și - x 1.. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini, cu excepția lui X \u003d - C A și X \u003d - - C a.
Rezumează tot raționamentul de mai sus.
Definiția 6.
Ecuație pătrată incompletă a · x 2 + c \u003d 0 Echivalent cu ecuația X 2 \u003d - C A, care:
- nu va avea rădăcini atunci când - c a< 0 ;
- vor exista două rădăcini x \u003d - C A și X \u003d - - C A cu - C A\u003e 0.
Dăm exemple de ecuații de rezolvare a · x 2 + c \u003d 0.
Exemplul 3.
Ecuația pătrată este specificată 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Este necesar să se găsească decizia.
Decizie
Transferăm un membru gratuit în partea dreaptă a ecuației, atunci ecuația va lua forma 9 · x 2 \u003d - 7.
Împărțim ambele părți ale ecuației obținute 9
, ajunge la x 2 \u003d - 7 9. În partea dreaptă, vedem un număr cu un semn minus, ceea ce înseamnă: ecuația specificată nu are rădăcini. Apoi, ecuația originală pătrată incompletă 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Nu vor avea rădăcini.
Răspuns: ecuația 9 · x 2 + 7 \u003d 0nu are rădăcini.
Exemplul 4.
Este necesar să rezolvăm ecuația - x 2 + 36 \u003d 0.
Decizie
Mișcăm 36 în partea dreaptă: - X 2 \u003d - 36.
Am împărțit ambele părți − 1
, obține X 2 \u003d 36. În partea dreaptă - un număr pozitiv, de aici putem concluziona că
x \u003d 36 sau
X \u003d - 36.
Scoateți rădăcina și scrieți rezultatul final: o ecuație pătrată incompletă - x 2 + 36 \u003d 0 Are două rădăcini x \u003d 6. sau x \u003d - 6.
Răspuns: x \u003d 6. sau x \u003d - 6.
Soluția ecuației A · x 2 + B · x \u003d 0
Vom examina cel de-al treilea tip de ecuații pătrate incomplete când C \u003d 0.. Pentru a găsi o decizie a unei ecuații pătrate incomplete a · x 2 + b · x \u003d 0, Folosim metoda de descompunere pe multiplicatori. Răspândit pe multiplicatori ai polinomului, care este în partea stângă a ecuației, făcând un multiplicator general pentru paranteze X.. Acest pas va oferi o oportunitate de a converti ecuația originală a pătratului incomplet la echivalentul x · (a · x + b) \u003d 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu totalitatea ecuațiilor x \u003d 0. și A · x + b \u003d 0. Ecuația A · x + b \u003d 0 Liniar și rădăcina ei: X \u003d - B A.
Definiție 7.
Astfel, o ecuație incompletă pătrată a · x 2 + b · x \u003d 0 vor avea două rădăcini x \u003d 0. și X \u003d - B A.
Fixați materialul printr-un exemplu.
Exemplul 5.
Este necesar să se găsească soluția ecuației 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.
Decizie
Să conducem X. Pentru paranteze și obțineți ecuația X · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x \u003d 0. și 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Acum este necesar să se rezolve ecuația liniară rezultată: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.
Rezolvarea pe scurt a ecuației de a scrie astfel:
2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0
x \u003d 0 sau 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0
x \u003d 0 sau x \u003d 3 3 7
Răspuns: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.
Discriminant, formula rădăcină a ecuației pătrate
Pentru a găsi o soluție de ecuații pătrate, există o formulă pentru rădăcini:
Definiția 8.
x \u003d - B ± D 2 · A Unde D \u003d b 2 - 4 · A · C - așa-numitul discriminant al unei ecuații pătrate.
Înregistrarea X \u003d - B ± D 2 · A În esență înseamnă că X1 \u003d - B + D 2 · A, X2 \u003d - B - D 2 · A.
Va fi util să înțelegem modul în care a fost derivată formula specificată și cum să o aplicați.
Ieșirea rădăcinilor ecuației pătrate
Să fim provocați să rezolvăm ecuația pătrată a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Efectuați o serie de transformări echivalente:
- am împărțit ambele părți ale ecuației pentru numărul a.În afară de zero, obținem ecuația pătrată redusă: X2 + B A · x + C A \u003d 0;
- evidențiați pătratul complet în partea stângă a ecuației primite:
x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2,2 · A · x + B2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA \u003d x + B2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA .
După aceasta, ecuația va lua forma: X + B2 · A 2 - B2 · A 2 + C A \u003d 0; - acum este posibil să faceți transferul ultimilor doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul la opusul, după care obținem: X + B2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
- În cele din urmă, transformăm expresia înregistrată în partea dreaptă a ultimei egalități:
B 2 · A 2 - C A \u003d B2 4 · A 2-C A \u003d B2 4 · A 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.
Astfel, am ajuns la ecuația X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, echivalență echivalentă sursă a · x 2 + b · x + c \u003d 0.
Am înțeles soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (decizia ecuațiilor pătrate incomplete). Experiența dobândită face posibilă încheierea cu privire la rădăcinile ecuației X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:
- la B 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- pentru B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0, ecuația are forma X + B2 · A 2 \u003d 0, apoi X + B2 · A \u003d 0.
Prin urmare, singura rădăcină X \u003d - B 2 · A este evidentă;
- pentru B 2 - 4 · A · C 4 · A 2\u003e 0, acesta va fi corect: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 sau X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · A 2, care este același ca X + - B2 · A \u003d B2-4 · A · C 4 · A 2 sau X \u003d - B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, adică. Ecuația are două rădăcini.
Este posibil să se concluzioneze că prezența sau absența rădăcinilor ecuației X + B2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 · A · C 4 · A 2, înregistrate pe partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este setat de numărul numărătorului (denominator 4 · A 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică un semn de exprimare B 2 - 4 · A · C. Această expresie B 2 - 4 · A · C Numele este discriminanța unei evacuări pătrate și este definită ca desemnare a literei D. Aici puteți înregistra esența discriminatorului - prin valoarea sa și semnul se încheie dacă ecuația pătrată va avea rădăcini valide și, dacă este, care este numărul de rădăcini - unul sau două.
Revenind la ecuația X + B2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2. Îl rescriu folosind denumirea discriminantă: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.
Vom formula din nou concluzii:
Definiția 9.
- pentru D.< 0 Ecuația nu are rădăcini valide;
- pentru D \u003d 0. Ecuația are singura rădăcină x \u003d - B 2 · A;
- pentru D\u003e 0. Ecuația are două rădăcini: X \u003d - B2 · A + D 4 · A 2 sau X \u003d - B2 · A - D 4 · A 2. Aceste rădăcini bazate pe proprietățile radicalilor pot fi scrise în forma: X \u003d - B2 · A + D 2 · A Or - B 2 · A - D 2 · a. Și când dezvăluim modulele și dau fracțiile denominatorului comun, obținem: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A.
Astfel, rezultatul raționamentului nostru a fost eliminarea formulării rădăcinilor ecuației pătrate:
x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, discriminator D. Calculată prin formula D \u003d b 2 - 4 · A · C.
Aceste formule fac posibilă când este discriminată este mai mare pentru a determina atât rădăcinile valide. Când discriminatorul este zero, utilizarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătrate. În cazul în care discriminatorul este negativ, încercând să folosească formula rădăcină a ecuației pătrate, ne vom confrunta cu nevoia de a îndepărta rădăcina pătrată de la numărul negativ, care ne va conduce dincolo de numerele reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătrată nu va fi rădăcini valide, dar o pereche de rădăcini conjugate cuprinzător, determinată de aceleași formule de rădăcină obținute de noi.
Algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate pe formulele de root
Este posibil să rezolvăm ecuația pătrată, imediat ciclarea formulării rădăcinilor, dar practic ei fac, dacă este necesar, găsiți rădăcini complexe.
În masa principală a cazurilor, este de obicei implicată pentru căutarea unor rădăcini necomplexe, dar valabile ale ecuației pătrate. Apoi, în mod optim înainte de a utiliza formulele rădăcinilor ecuației pătrate, determinați mai întâi discriminatorul și asigurați-vă că nu este negativ (în caz contrar, concluzionăm că ecuația nu are rădăcini valide) și apoi continuați să calculați valoarea rădăcinilor.
Argumentele de mai sus furnizează capacitatea de a formula un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătrate.
Definiția 10.
Pentru a rezolva o ecuație pătrată a · x 2 + b · x + c \u003d 0, este necesar:
- conform formulei D \u003d b 2 - 4 · A · C găsiți valoarea discriminatorului;
- cu D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- la d \u003d 0 găsiți singura rădăcină a ecuației conform formulei X \u003d - B 2 · A;
- pentru d\u003e 0, determinați cele două rădăcini valide ale ecuației pătrate conform formulei X \u003d - B ± D 2 · a.
Rețineți că atunci când discriminanța este zero, puteți utiliza Formula X \u003d - B ± D 2 · A, va da același rezultat ca formula X \u003d - B 2 · a.
Luați în considerare exemplele.
Exemple de soluții de ecuații pătrate
Prezentăm soluția de exemple la valori diferite ale discriminatorului.
Exemplul 6.
Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.
Decizie
Noi scriem coeficienții de număr al ecuației pătrate: a \u003d 1, b \u003d 2 și C \u003d - 6. Apoi, acționăm pe algoritm, adică. Vom proceda la calcularea discriminatorului, pentru care vom înlocui coeficienții A, B și C. În formula discriminatorului: D \u003d B2-4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.
Deci, am obținut d\u003e 0, și acest lucru înseamnă că ecuația inițială va avea două rădăcini valide.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină X \u003d - B ± D 2 · A și, substituirea valorilor corespunzătoare, obținem: X \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Simplificăm expresia rezultată, făcând un multiplicator pentru semnul rădăcinii, urmat de tăierea fracțiunii:
x \u003d - 2 ± 2 · 7 2
x \u003d - 2 + 2,7 2 sau x \u003d - 2 - 2 · 7 2
x \u003d - 1 + 7 sau x \u003d - 1 - 7
Răspuns: X \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.
Exemplul 7.
Este necesar să rezolvăm ecuația pătrată - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.
Decizie
Determinați discriminatorul: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Cu această valoare discriminantă, ecuația inițială va avea doar o singură rădăcină definită de formula X \u003d - B 2 · a.
x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5
Răspuns: X \u003d 3, 5.
Exemplul 8.
Este necesar să rezolvăm ecuația 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0
Decizie
Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a \u003d 5, b \u003d 6 și c \u003d 2. Folosim aceste valori pentru a găsi un discriminator: d \u003d b 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4,5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Discriminanța calculată este negativă, astfel, ecuația inițială pătrată nu are rădăcini valide.
În cazul în care sarcina este de a specifica rădăcinile complexe, aplicați formula rădăcină, efectuarea de acțiuni cu numere complexe:
x \u003d - 6 ± 4 2 · 5,
x \u003d - 6 + 2 · I 10 sau x \u003d - 6 - 2 · I 10,
x \u003d - 3 5 + 1 5 · I sau x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.
Răspuns: Nu există rădăcini valide; Rădăcinile complexe sunt după cum urmează: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.
ÎN programul școlii În mod standard, nu există nicio cerință de a căuta rădăcini complexe, deci dacă în timpul soluției, discriminatorul este definit ca negativ, răspunsul este înregistrat imediat că nu există rădăcini valide.
Formula rădăcini pentru al doilea coeficienți
Formula rădăcinilor X \u003d - B ± D 2 · A (D \u003d B 2 - 4 · A · C) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compactă, permițând găsirea de soluții de ecuații pătrate cu un coeficient chiar la x (sau cu un coeficient de tip 2, de exemplu, 2,3 sau 14 · LN 5 \u003d 2,7 · LN 5). Arătăm cum este afișată această formulă.
Să fim sarcina de a găsi soluția ecuației pătrate a · x 2 + 2 · N · x + c \u003d 0. Acționăm asupra algoritmului: Determinați Discriminanța D \u003d (2,N) 2-4 · A · C \u003d 4,2-4 · A · C \u003d 4 · (n2 - a · C) și apoi utilizați Formula rădăcină:
x \u003d -2 · N ± 2 · A, x \u003d - 2 ± ± 4 · N2 - A ± 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 2 N 2 - A · C 2 · A, X \u003d - N ± N2 - A · CA.
Lăsați expresia N2 - A · C să fie indicată ca D 1 (uneori D "). Apoi formula rădăcinilor ecuației pătrate luate în considerare cu cel de-al doilea coeficient 2 · n va lua forma:
x \u003d - N ± D 1a, unde D 1 \u003d N2 - A · C.
Este ușor de văzut că d \u003d 4 · d 1 sau d 1 \u003d d 4. Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminator. Este evident că semnul D 1 este același cu semnul D, ceea ce înseamnă că semnul D 1 poate servi, de asemenea, ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor ecuației pătrate.
Definiția 11.
Astfel, pentru a găsi soluția ecuației pătrate cu al doilea coeficient 2 · n, este necesar:
- găsiți D 1 \u003d N2 - A · C;
- cu d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- pentru D 1 \u003d 0, determinați singura rădăcină a ecuației conform formulei X \u003d - N A;
- pentru D 1\u003e 0, determinați cele două rădăcini valide conform formulei X \u003d - N ± D 1a.
Exemplul 9.
Este necesar să se rezolve ecuația pătrată 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.
Decizie
Al doilea coeficient al ecuației specificate poate fi reprezentat ca 2 · (- 3). Apoi rescrieți ecuația pătrată specificată ca 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, unde a \u003d 5, n \u003d - 3 și c \u003d - 32.
Calculăm cea de-a patra parte a discriminatorului: D 1 \u003d N2 - A · C \u003d (- 3) 2-5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Valoarea obținută pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini valide. Le definim în funcție de formula de rădăcină corespunzătoare:
x \u003d - N ± 1 A, X \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,
x \u003d 3 + 13 5 sau x \u003d 3 - 13 5
x \u003d 3 1 5 sau x \u003d - 2
Ar fi posibil să se facă calcule și de formula obișnuită a rădăcinilor ecuației pătrate, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.
Răspuns: x \u003d 3 1 5 sau x \u003d - 2.
Simplificarea speciilor de ecuații pătrate
Uneori este posibilă optimizarea tipului de ecuație sursă, care va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.
De exemplu, o ecuație pătrată 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 este în mod clar mai convenabil pentru rezolvarea de 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.
Mai des simplificarea speciilor de ecuație pătrată este efectuată de multiplicarea sau împărțirea ambelor părți într-un fel de număr. De exemplu, am arătat o înregistrare simplificată a ecuației 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, obținută prin împărțirea ambelor părți cu 100.
O astfel de conversie este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătrate nu sunt numere reciproc simple. Apoi, de obicei, împărțind ambele părți ale ecuației cu cel mai mare divizor comun al valorilor absolute ale coeficienților săi.
De exemplu, utilizați o ecuație pătrată 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Definim nodul valorilor absolute ale coeficienților săi: noduri (12, 42, 48) \u003d nod (nod (12, 42), 48) \u003d nod (6, 48) \u003d 6. Vom împărți cele două părți ale ecuației pătrate originale la 6 și obținem ecuația pătrată echivalentă 2 · x 2 - 7, x + 8 \u003d 0.
Multiplicarea ambelor părți ale ecuației pătrate este de obicei scăpată de coeficienții fracționați. În același timp înmulțită cu cel mai mic numitor general multiplu al coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătrate este de 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 multiplicați de la NOC (6, 3, 1) \u003d 6, atunci se va înregistra într-o formă mai simplă X 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.
În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scapă de minus la primul coeficient al ecuației pătrate, schimbând semnele fiecărui membru al ecuației, care se realizează prin multiplicarea (sau diviziunile) ambelor părți ale 1. De exemplu, de la o ecuație pătrată - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, puteți merge la versiunea simplificată 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.
Comunicarea între rădăcini și coeficienți
Formula rădăcinilor ecuațiilor pătrate X \u003d - B ± D 2 · Un deja cunoscut de noi exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi numerici. Bazându-se pe această formulă, avem posibilitatea de a stabili alte dependențe între rădăcini și coeficienți.
Cele mai renumite și aplicabile sunt formulele teoremei Vieta:
x 1 + x 2 \u003d - B A și X2 \u003d C A.
În special, pentru ecuația pătrată redusă, cantitatea de rădăcini este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este gratuit. De exemplu, în conformitate cu specia ecuației pătrate 3 · x 2 - 7, x + 22 \u003d 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este de 7 3, iar produsul rădăcinilor este de 22 3.
De asemenea, puteți găsi o serie de alte link-uri între rădăcinile și coeficienții ecuației pătrate. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor ecuației pătrate poate fi exprimată prin coeficienți:
x 1 2 + X22 \u003d (x 1 + x2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - BA2 - 2 · CA \u003d B2 A 2 - 2 · CA \u003d B 2 - 2 · A · ca 2.
Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER
În acest articol vom examina decizia ecuațiilor incomplete pătrate.
Dar mai întâi repetăm \u200b\u200bce ecuații se numesc pătrat. Ecuația formei ah 2 + bx + c \u003d 0, în care x este o variabilă și coeficienții A, B și cu unele numere și ≠ 0, numite pătrat. Așa cum vedem coeficientul de la X2 nu este zero și, prin urmare, coeficienții de la x sau membru gratuit pot fi zero, în acest caz obținem o ecuație pătrată incompletă.
Ecuațiile incomplete pătrate sunt trei specii:
1) Dacă b \u003d 0, c ≠ 0, apoi ah 2 + c \u003d 0;
2) Dacă b ≠ 0, c \u003d 0, apoi ah 2 + bx \u003d 0;
3) Dacă b \u003d 0, c \u003d 0, apoi ah 2 \u003d 0.
- Să înțelegem cum să rezolvăm ecuațiile formularului AH 2 + C \u003d 0.
Pentru a rezolva ecuația prin amânarea unui membru gratuit cu partea dreaptă a ecuației, ajungem
aH 2 \u003d -C. Deoarece a ≠ 0, atunci am împărțit ambele părți ale ecuației la A, apoi x 2 \u003d -C / A.
Dacă -S / A\u003e 0, ecuația are două rădăcini
x \u003d ± √ (-C / a).
Dacă -C / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Să încercăm să găsim exemplele cum să rezolvați astfel de ecuații.
Exemplul 1.. Decideți ecuația 2x 2 - 32 \u003d 0.
Răspuns: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.
Exemplul 2.. Decideți ecuația 2x 2 + 8 \u003d 0.
Răspuns: Ecuația soluțiilor nu are.
- Vom înțelege cum să rezolvăm ecuații ale formei ah 2 + bx \u003d 0.
Pentru a rezolva ecuația ah 2 + bx \u003d 0, vom descompune-o pe multiplicatori, adică vom aduce la paranteze x, vom obține x (AH + B) \u003d 0. Produsul este zero, dacă cel puțin unul din multiplicatori este zero. Apoi sau x \u003d 0, sau ah + b \u003d 0. Rezolvarea ecuației Ah + B \u003d 0, obținem ah \u003d - B, unde x \u003d - b / a. Ecuația formei ah 2 + bx \u003d 0, are întotdeauna două rădăcini x 1 \u003d 0 și x 2 \u003d - b / a. Vedeți cum arată ca o soluție la soluția ecuațiilor acestei specii. 
Asigurați-vă cunoștințele pe un exemplu specific.
Exemplul 3.. Rezolvarea ecuației 3x 2 - 12x \u003d 0.
x (3x - 12) \u003d 0
x \u003d 0 sau 3x - 12 \u003d 0
Răspuns: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.
- A treia ecuații ah 2 \u003d 0 Rezolvat foarte simplu.
Dacă ah 2 \u003d 0, apoi x 2 \u003d 0. Ecuația are două rădăcini egale x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.
Pentru claritate, ia în considerare schema. 
Vom fi convinși când exemplul de eșantionare 4 că ecuațiile acestei specii sunt rezolvate foarte simplu.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 7x 2 \u003d 0.
Răspuns: x 1, 2 \u003d 0.
Nu este întotdeauna posibil să înțelegeți imediat ce fel de ecuație pătrată incompletă trebuie să rezolvăm. Luați în considerare următorul exemplu.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația
Multiplicați ambele părți ale ecuației pe un numitor comun, adică la 30
Socil.
5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.
Recunoașterea parantezelor
25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.
Să dăm ceva asemănător
Transfer 99 din partea stângă a ecuației în dreapta, schimbând semnul la opusul
Răspuns: Nu există rădăcini.
Am dezmembrat cât de incomplete sunt soluționate ecuațiile pătrate. Sper că acum nu veți avea dificultăți în sarcini similare. Aveți grijă atunci când determinați tipul de ecuație pătrată incompletă, atunci veți reuși.
Dacă aveți întrebări despre acest subiect, înscrieți-vă pentru lecțiile mele, rezolvăm problemele împreună.
site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.
În societatea modernă, capacitatea de a efectua acțiuni cu ecuațiile care conțin variabila ridicată în piață poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizat pe scară largă în practică în evoluțiile științifice și tehnice. Dovada acestui lucru poate servi designul vaselor marine și fluviale, aeronavelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, traiectoriile mișcării diferitelor corpuri, inclusiv obiectele spațiale. Exemple cu o soluție de ecuații pătrate sunt utilizate nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe de zi cu zi. Acestea pot fi necesare în campanii turistice, în sport, în magazinele comerciale și în alte situații foarte frecvente.
Ne rupem expresia pe componentele multiplicatorilor
Gradul de ecuație este determinat de valoarea maximă a gradului în variabilă, care conține această expresie. În cazul în care acesta este 2, atunci o astfel de ecuație este doar chemată pătrată.
Dacă limba formulelor exprimă, atunci expresiile indicate, indiferent de modul în care arată, pot fi întotdeauna cauzate de forma atunci când partea stângă a expresiei constă din trei termeni. Dintre acestea: AX 2 (adică variabila ridicată într-un pătrat cu coeficientul său), BX (necunoscut fără un pătrat cu coeficientul său) și C (componentă liberă, care este numărul obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care nu există nici o componentă a termenilor, cu excepția axului 2, se numește o ecuație pătrată incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de sarcini, valoarea variabilelor în care este ușor de găsit, ar trebui luată în considerare în primul rând.
Dacă expresia apare în formular se uită în așa fel încât două, mai precis, axa 2 și bx, expresia de pe expresia de pe partea dreaptă, este mai ușor de găsit o variabilă pentru paranteze. Acum, ecuația noastră va arăta astfel: x (ax + b). Apoi, devine evident că sau x \u003d 0 sau sarcina este redusă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: AX + B \u003d 0. A dictat una dintre proprietățile de multiplicare. Regula spune că produsul a doi factori dă ca rezultat al 0 numai dacă unul dintre ei este zero.
Exemplu
x \u003d 0 sau 8x - 3 \u003d 0
Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.
Ecuațiile de acest tip pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care a început mișcarea dintr-un anumit punct adoptat la începutul coordonatelor. Aici, înregistrarea matematică ia următoarea formă: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Înlocuirea valorilor necesare, echivalând partea dreaptă 0 și găsirea unor posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul creșterii corpului până la cădere, precum și multe alte valori. Dar vom vorbi mai târziu.
Descompunerea expresiei asupra multiplicatorilor
Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea sarcinilor specificate și în cazuri mai complexe. Luați în considerare exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătrate de acest tip.
X 2 - 33x + 200 \u003d 0
Acest triplu patrat este complet. Pentru a începe cu, transformăm expresia și descompun-o pentru multiplicatori. Acestea sunt obținute două: (X-8) și (X-25) \u003d 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.
Exemple cu soluționarea ecuațiilor pătrate în clasa 9 permit această metodă să găsească o variabilă în expresii nu numai a doua, ci chiar și a treia și a patra ordine.
De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Cu descompunerea părții drepte a multiplicatorilor cu o variabilă, acestea sunt obținute trei, adică (x + 1), (x-3) și ( X + 3).
Ca rezultat, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -unu; 3.
Extrage rădăcină pătrată
Un alt caz al ecuației incomplete a celei de-a doua ordine este expresia, în limba literelor prezentate în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele Axului 2 și C. Aici, pentru valoarea variabilei, membrul liber este transferat în partea dreaptă și apoi o rădăcină pătrată este extrasă din ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat faptul că, în acest caz, rădăcinile ecuației de obicei două. O excepție poate fi egală numai cu egalitatea, în general care nu conține termenul C, în cazul în care variabila este zero, precum și opțiunile pentru expresiuni, când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, soluțiile nu există deloc, deoarece acțiunea de mai sus nu poate fi produsă cu rădăcini. Trebuie luate în considerare exemple de soluții de ecuații pătrate de acest tip.
În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi -4 și 4.
Calculul unui teren de teren
Nevoia de astfel de calcule a apărut în antichitate profundă, deoarece dezvoltarea matematicii în multe privințe în acele vremuri îndepărtate se datorează necesității de a determina cea mai mare precizie a zonei și a perimetrului terenurilor.
Exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătrate elaborate pe baza sarcinilor de acest tip ar trebui să fie luate în considerare.
Deci, să spunem că există un teren dreptunghiular, lungimea căreia este de 16 metri mai mult decât lățimea. Ar trebui să se găsească o lungime, lățime și perimetru al site-ului, dacă se știe că zona sa este egală cu 612 m 2.
Pornind o chestiune, mai întâi face ecuația necesară. Denotă de x lățimea site-ului, apoi lungimea sa va fi (x + 16). Din scris rezultă că zona este determinată de expresia X (X + 16), care, în funcție de starea problemei noastre, este de 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.
Soluția ecuațiilor pătrate complete și această expresie este tocmai aceia, nu poate fi efectuată în același mod. De ce? Deși partea stângă a acestuia conține încă doi factori, produsul nu este deloc egal cu 0, astfel încât alte metode sunt folosite aici.
Discriminator
În primul rând, vom produce transformările necesare, atunci aspect Această expresie va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat, în care A \u003d 1, B \u003d 16, C \u003d -612.
Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătrate prin intermediul discriminatorului. Aici calcule necesare Produs conform schemei: D \u003d B 2 - 4AC. Această valoare auxiliară nu face doar posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația a doua comenzi, determină numărul opțiuni posibile. În cazul d\u003e 0, există două; Când D \u003d 0, există o singură rădăcină. În cazul D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Despre rădăcini și formula lor
În cazul nostru, discriminatorul este: 256-4 (-612) \u003d 2704. Acest lucru sugerează că există răspunsul din sarcina noastră. Dacă știți, K, soluția de ecuații pătrate trebuie să fie continuată utilizând formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.
Aceasta înseamnă că, în cazul prezentat: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. A doua versiune din această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în valori negative, înseamnă X (adică lățimea site-ului) este de 18 m. De aici, calculează lungimea: 18 + 16 \u003d 34 și perimetrul 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).
Exemple și obiective
Continuăm să studiem ecuațiile pătrate. Exemple și o soluție detaliată a mai multor dintre aceștia vor fi administrate în continuare.
1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1
Transferim totul în partea stângă a egalității, vom face o transformare, adică obținem forma ecuației numită standard și o egalizăm cu zero.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0
După pliere, definim discriminatorul: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Deci, ecuația noastră va avea două rădăcini. Calculăm-le în funcție de formula de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele este de 4/3, iar al doilea.
2) Acum dezvăluie ghicitul unui alt fel.
Aflați, există vreo rădăcină aici x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, oferim un polinom pentru familiaritatea adecvată și calculul discriminatorului. În exemplul specificat, soluția ecuației pătrate nu este necesară, deoarece esența sarcinii nu este deloc acest lucru. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d 4, ceea ce înseamnă că nu există nici o rădăcină.
Teorema Vieta.
Ecuațiile pătrate sunt soluționate convenabil prin formulele de mai sus și discriminante atunci când rădăcina pătrată este extrasă din ultima valoare. Dar nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține variabile în acest caz. Exemplu: Soluții de ecuații pătrate pe teorema Vieta. Ea este numită după care a trăit în secolul al XVI-lea în Franța și a făcut o carieră strălucită datorită talentului său matematic și curți. Portretul se poate observa în articol.
Modelul pe care notatul faimosul francez a fost după cum urmează. El a dovedit că rădăcinile ecuației în cantitate sunt numeric egale cu -p \u003d b / a, iar produsul lor corespunde cu Q \u003d C / A.
Acum, luați în considerare sarcinile specifice.
3x 2 + 21x - 54 \u003d 0
Pentru simplitate, transformăm expresia:
x 2 + 7x - 18 \u003d 0
Folosim teorema Vieta, ne va da următoarele: cantitatea de rădăcini este -7 și munca lor -18. De aici, obținem că rădăcinile ecuațiilor sunt numere -9 și 2. După ce au făcut o verificare, asigurați-vă că aceste valori ale variabilelor sunt într-adevăr potrivite în expresie.
Graficul și ecuația parabolei
Concepte Funcția patratic și ecuațiile pătrate sunt strâns legate. Exemple de acest lucru au fost deja prezentate mai devreme. Acum luați în considerare câteva ghicitori matematice puțin mai mult. Orice ecuație a tipului descris poate fi imaginată. O dependență similară trasă sub forma unui grafic se numește parabola. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.
Orice parabolă are un vârf, adică punctul din care ies ramurile sale. În cazul în care un\u003e 0, ei lasă ridicat în infinit și când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Imaginile vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv pătrate. Această metodă este numită grafică. Iar valoarea variabilei X este coordonatul Abscisa la punctele în care graficul graficului trece de la 0X. Coordonatele vârfurilor pot fi găsite conform unei singure formule x 0 \u003d -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată la ecuația inițială a funcției, puteți învăța Y 0, adică a doua coordonată a vârfului de pearabol aparținând axei ordonate.
Traversând ramurile parabolei cu axa Abscisa
Exemple cu soluții de ecuații pătrate sunt foarte mult, dar există modele generale. Ia în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x la A\u003e 0 este posibilă numai dacă 0 primește valori negative. Și pentru A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. În caz contrar D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Potrivit graficului, parabolele pot fi definite și rădăcini. Opusul este, de asemenea, adevărat. Asta este, dacă obțineți o imagine vizuală a unei funcții patrate, nu este ușor, puteți echivala partea dreaptă a expresiei la 0 și rezolvați ecuația obținută. Și cunoașterea punctelor de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construim un program.
Din istorie
Cu ajutorul ecuațiilor care conțin variabila ridicată în piață, în vechile zile nu numai că a făcut calcule matematice și a determinat zona de figuri geometrice. Calcule similare ale vechiului au fost necesare pentru descoperiri mari în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a compila prognozele astrologice.
Pe măsură ce cifrele științifice moderne sugerează, printre primele soluții de ecuații pătrate, locuitorii Babilonului au luat-o. Sa întâmplat în patru secole înainte de debutul epocii noastre. Desigur, calculele lor în rădăcină diferă de acum adoptate și s-au dovedit a fi mult primitive. De exemplu, matematicienii mezopotamian nu aveau nicio idee despre existența unor numere negative. Străinii aveau și alte subtilități de la cei care cunosc orice student al timpului nostru.
Poate că au fost angajați oameni de știință mai devreme din Babilon, soluția de ecuații pătrate, un salvie de India Budhoyama. Sa întâmplat în aproximativ opt secole înainte de epoca lui Hristos. Adevărat, ecuația ordinii a doua, metodele de rezolvare pe care le-a condus a fost cea mai simultană. În plus față de el, astfel de întrebări au fost interesate de matematicienii vechi și chinezi. În Europa, ecuațiile pătrate au început să rezolve numai la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în munca lor atât de mari oameni de știință ca Newton, Descartes și multe altele.
Cu acest program matematic puteți rezolvați ecuația pătrată.
Programul nu numai că dă sarcina de răspuns, ci și afișează procesul de soluție în două moduri:
- cu ajutorul discriminatorului
- Utilizarea teoremei Vieta (dacă este posibil).
Mai mult, răspunsul este de ieșire precis, nu aproximativ aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\), răspunsul este de ieșire în acest formular:
Acest program poate fi util pentru studenții de licee din școlile de învățământ general atunci când se pregătesc pentru teste și examene, atunci când verificați cunoștințele înainte de examen, părinții pentru monitorizarea soluției multor probleme în matematică și algebră. Sau poate că sunteți prea scump să angajați un tutore sau să cumpărați noi manuale? Sau doriți doar să vă faceți temele în matematică sau algebră cât mai posibil? În acest caz, puteți utiliza, de asemenea, programele noastre cu o soluție detaliată.
Astfel, puteți efectua propria instruire și / sau instruirea fraților sau surorilor mai tineri, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor rezolvate crește.
Dacă nu sunteți familiarizați cu regulile de a intra într-un polinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ei.
Reguli de intrare polinomice pătrate
Ca o variabilă poate fi orice scrisoare latină.
De exemplu: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\), etc.
Numerele pot intra în întregime sau fracționate.
Mai mult, numerele fracționate pot fi administrate nu numai sub formă de zecimal, ci și sub forma unei fracții obișnuite.
Regulile de introducere a fracțiilor zecimale.
În fracțiunile zecimale, partea fracțională a întregului poate fi separată ca punct și virgulă.
De exemplu, puteți introduce fracțiuni zecimale ca acesta: 2.5x - 3.5x ^ 2
Reguli pentru intrarea în fracțiuni obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și o întreagă parte a fracției.
Numitorul nu poate fi negativ.
La intrarea într-o fracțiune numerică, numitorul separat de numitor al mărcii de fisiune: /
Întreaga parte este separată de semnul Fraray Ampersand: &
Intrare: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultat: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)
Când intri în expresie puteți utiliza paranteze. În acest caz, la rezolvarea ecuației pătrate, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2 (Y - 1) (Y + 1) - (5Y-10 & 1/2)
Decide
Se constată că unele scripturi necesare pentru rezolvarea acestei sarcini nu sunt încărcate, iar programul nu poate funcționa.
Este posibil să aveți ADBLOCK inclus.
În acest caz, deconectați-l și actualizați pagina.
Pentru a face soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiunile, cum să activați JavaScript în browser-ul dvs.
pentru că Dorind să rezolve sarcina este foarte mult, cererea dvs. este în linie.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Te rog asteapta Sec ...
daca tu a observat o greșeală în rezolvarePuteți scrie despre el în formularul de feedback.
Nu uita specificați ce sarcină Voi decideți și ce introduceți în câmp.
Jocurile noastre, puzzle-uri, emulatori:
Un pic de teorie.
Ecuația pătrată și rădăcinile sale. Ecuații incomplete pătrate
Fiecare dintre ecuații
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
Are apariția
\\ (Ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
unde x este variabilă, numere A, B și C.
În prima ecuație a \u003d -1, b \u003d 6 și c \u003d 1,4, în cel de-al doilea A \u003d 8, B \u003d7 și C \u003d 0, în al treilea A \u003d 1, B \u003d 0 și C \u003d 4/9. Aceste ecuații sunt numite ecuații pătrate..
Definiție.
Ecuația pătrată. Ecuația formei axului 2 + BX + C \u003d 0, unde X este variabila, A, B și C sunt unele numere și \\ (A \\ Neq 0 \\).
Numerele A, B și C sunt coeficienții ecuației pătrate. Numărul A se numește primul coeficient, numărul B este al doilea coeficient și numărul C - un membru gratuit.
În fiecare dintre ecuațiile formularului axei 2 + BX + C \u003d 0, unde \\ (A \\ Neq 0 \\), cel mai mare grad de variabilă X - pătrat. Prin urmare, numele: ecuația pătrată.
Rețineți că ecuația pătrată este numită și ecuația gradului al doilea, deoarece partea stângă are un polinom al doilea grad.
Ecuația pătrată în care coeficientul de la X2 este 1, numit având în vedere ecuația pătrată. De exemplu, ecuațiile pătrate date sunt ecuații
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)
Dacă în axul de ecuație pătrat 2 + bx + c \u003d 0, cel puțin unul dintre coeficienții B sau C este zero, atunci se numește o astfel de ecuație ecuație pătrată incompletă. Deci, ecuațiile -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 sunt ecuații pătrate incomplete. În primul dintre ele b \u003d 0, în al doilea c \u003d 0, în al treilea b \u003d 0 și c \u003d 0.
Ecuațiile incomplete pătrate sunt trei specii:
1) AX 2 + C \u003d 0, unde \\ (C \\ Neq 0 \\);
2) AX 2 + BX \u003d 0, unde \\ (b \\ neq 0 \\);
3) AX 2 \u003d 0.
Luați în considerare soluția ecuațiilor fiecărei specii.
Pentru a rezolva o ecuație pătrată incompletă a formularului Ax 2 + C \u003d 0, cu \\ (C \\ Neq 0 \\), acesta este transferat membrului său liber în partea dreaptă și face ambele părți ale ecuației pe:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ dreaptarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)
Deoarece \\ (C \\ Neq 0 \\), atunci \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)
Dacă \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), ecuația are două rădăcini.
Dacă \\ (- Frac (C) (a), pentru a rezolva o ecuație incompletă a formularului axul 2 + bx \u003d 0, cu \\ (b \\ neq 0 \\), ei refuză partea stângă la multiplicatori și să primească ecuația
\\ (X (ax + b) \u003d 0 \\ dreapta \\ stânga \\ (\\ începe (matrice) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\ Dreapta \\ stânga \\ (\\ începe (Matrice) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\)
Deci, o ecuație incompletă pătrată a formularului Ax 2 + BX \u003d 0 cu \\ (B \\ Neq 0 \\) are întotdeauna două rădăcini.
O ecuație pătrată incompletă a formularului axul 2 \u003d 0 este echivalentă cu ecuația x 2 \u003d 0 și, prin urmare, are singura rădăcină 0.
Formula rădăcină a ecuației pătrate
Luați în considerare modul în care s-au rezolvat ecuațiile pătrate în care atât coeficienții cu un membru necunoscut, cât și cel liber, sunt diferiți de zero.
Squație Square Square în general Și, ca urmare, obținem formula rădăcină. Apoi, această formulă poate fi utilizată la rezolvarea oricărei ecuații pătrate.
Resisister Square Ecuație AX 2 + BX + C \u003d 0
Separând ambele părți ale acestuia pe A, obținem echivalentul ecuației pătrate prezentate
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)
Transformăm această ecuație, subliniind pătratul Bounced:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2- \\ stânga (\\ frac (b) (2a) \\ dreapta) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ dreaptaRrow \\)
Expresia ghidată este numită ecuația pătratică discriminantă AX 2 + BX + C \u003d 0 ("Discriminant" în latină este un distinctor). Acesta este notat de litera D, adică.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)
Acum, folosind desemnarea discriminatorului, rescrie formula pentru rădăcinile ecuației pătrate:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (d)) (2a) \\), unde \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)
Este evident că:
1) Dacă d\u003e 0, ecuația pătrată are două rădăcini.
2) Dacă d \u003d 0, ecuația pătrată are o rădăcină \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Dacă d este, în funcție de valoarea discriminantă, ecuația pătrată poate avea două rădăcini (cu d\u003e 0), o rădăcină (la d \u003d 0) sau să nu aibă rădăcini (cu D, când rezolvați ecuația pătrată Această formulă, este recomandabilă să se aplice în felul următor:
1) Calculați discriminanța și comparați-o cu zero;
2) Dacă discriminatorul este pozitiv sau egal cu zero, utilizați formula rădăcină, dacă discriminatorul este negativ, apoi scrieți rădăcinile.
Teorema Vieta.
Axa de ecuație pătrată prezentată 2 -7x + 10 \u003d 0 are rădăcini 2 și 5. Cantitatea rădăcinilor este de 7, iar produsul este 10. Vedem că cantitatea rădăcinilor este egală cu cel de-al doilea coeficient luat cu opusul semn, și produsul rădăcinilor este egal cu un membru gratuit. O astfel de proprietate are o ecuație pătrată având o rădăcină.
Suma rădăcinilor ecuației pătrate prezentate este egală cu cel de-al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu un membru gratuit.
Acestea. Teorema Vieta susține că rădăcinile X1 și X2 din ecuația patratului sau X 2 + Px + Q \u003d 0 au o proprietate:
\\ (\\ stânga \\ (\\ început (matrice) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d Q \\ capătul (matrice) \\ dreapta. \\)