"Konstruksi geometris dengan sirkulasi dan penggaris. Penelitian tentang "bangunan geometris dengan bantuan garis dua sisi" bangunan apa yang dapat dibuat menggunakan penggaris

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" Alt \u003d "(! Lang:\u003e Building dengan geometri penguasa dan sirkulasi">!}

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" Alt \u003d "(! Lang:\u003e Bangun segmen yang sama dengan tugas ini"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/178794035_43037194035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" Alt \u003d "(! Lang:\u003e Bangun sudut sama dengan ini, pertimbangkan segitiga"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_43037194035_430371946.pdf-4.jpg" Alt \u003d "(! Lang:\u003e Building Angle Basector Tugas ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/178794035_43037194035_430371946.pdf-img/178794035_43037194035_430371946.pdf-5.jpg" Alt \u003d "(! Lang:\u003e Building Straighted Line Tugas yang tegak lurus"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_43037194035_430371946.pdf-6.jpg" Alt \u003d "(! Lang:\u003e Bangun tengah-tengah tugas segmen ú membangun bagian tengahnya."> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Institusi Pendidikan Anggaran Kota

rata-rata sekolah yang komprehensif №34 dengan studi mendalam tentang item individu

Bagian Manusia, Fisika dan Matematika

"Konstruksi geometris dengan sirkulasi dan penguasa"

Dilakukan: Siswa 7 "A" kelas

Batischeva victoria.

Pemimpin: Kolovskaya v.v.

Voronezh, 2013.

3. Bangun sudut yang sama dengan ini.

P keliling lingkaran sewenang-wenang dengan pusat di bagian atas sudut tertentu (Gbr. 3). Biarkan B dan C - titik persimpangan keliling dengan sisi sudut. Radius AV akan melakukan lingkaran dengan pusat pada titik titik O-start oleh semi-bypass ini. Titik persimpangan lingkaran ini dengan semi-bye ini kami menunjukkan 1 . Kami menggambarkan lingkaran dengan pusat dengan 1 dan Gbr. 3.

jari-jari pesawat. Titik dalam 1. persimpangan lingkaran yang dibangun dalam setengah-pesawat yang ditentukan terletak di sisi sudut yang diinginkan.

6. Membangun garis lurus tegak lurus.

Kami melaksanakan lingkaran dengan jari-jari sewenang-wenang dengan pusat di titik O Gbr.6. Lingkaran melintasi langsung di titik A dan B. Dari titik A dan B kita melaksanakan lingkaran dengan jari-jari AB. Biarkan merindukan C - titik persimpangan dari lingkaran ini. Poin A dan kami mendapat langkah pertama, ketika membangun lingkaran dengan jari-jari sewenang-wenang.

Pass langsung yang diinginkan melalui poin C dan O.

Gbr.6.

Tugas Terkenal

1. Tugas Brahmagupta.

Bangun segiempat yang tertulis di empat sisi. Salah satu solusi menggunakan lingkaran Apollonia. Kami akan memecahkan masalah Apollonia, menggunakan analogi antara tiga gandum dan segitiga. Ketika kita menemukan lingkaran, bertuliskan segitiga: kita membangun titik persimpangan bisection, menghilangkan tegak lurus di sisi segitiga, dasar tegak lurus (titik persimpangan tegak lurus terhadap sisi yang dihilangkan) dan beri kami tiga poin berbaring di lingkaran yang diinginkan. Kami melaksanakan lingkaran melalui tiga poin ini - keputusan sudah siap. Kami juga melanjutkan tugas Apollonia.

2. Tugas apollonia.

Bangun dengan sirkulasi dan penguasa lingkaran mengenai tiga kalangan data. Menurut legenda, tugas diformulasikan oleh Apollonia Perga sekitar 220 SM. e. Dalam buku "Sentuhan", yang hilang, tetapi dipulihkan pada 1600 oleh Francois Viet, "Gallic Apollonia," sebagai sezaman memanggilnya.

Jika tidak ada kalangan yang ditentukan terletak di dalam yang lain, maka tugas ini memiliki 8 solusi yang jauh berbeda.

Membangun poligon yang tepat.

P

ravil (atau sama sisi ) segi tiga - ini adalah poligon kanandengan tiga pihak, yang pertama dari poligon kanan. Segala sesuatupesta segitiga kanan sama satu sama lain, dan semuasudut 60 °. Untuk membangun segitiga sama sisi, Anda perlu membagi lingkaran menjadi 3 bagian yang sama. Untuk melakukan ini, perlu untuk melakukan busur dengan jari-jari R dari lingkaran ini hanya dari satu ujung diameter, kami memperoleh divisi pertama dan kedua. Divisi ketiga adalah pada ujung diameter yang berlawanan. Dengan menghubungkan titik-titik ini, kita mendapatkan segitiga sama sisi.

Hexagon kanan bisabangun dengan sirkulasi dan penguasa. Di bawahmetode konstruksi ditampilkan Melalui divisi lingkaran pada 6 bagian. Gunakan kesetaraan sisi-sisi radius hexagon kanan dari lingkaran yang dijelaskan. Dari ujung yang berlawanan dari salah satu diameter melingkar, mereka menggambarkan busur dengan jari-jari R. Poin persimpangan dari busur ini dengan lingkaran tertentu memisahkannya menjadi 6 bagian yang sama. Secara konsisten dengan menghubungkan poin yang ditemukan, segi enam yang benar diperoleh.

Membangun Pentagon yang tepat.

P
ravil Pentagon bisadibangun dengan sirkulasi dan penggaris, atau memasangnya menjadi yang diberikanlingkaran, atau konstruksi berdasarkan sisi yang ditentukan. Proses ini dijelaskan oleh EUClidedi "awal" -nya sekitar 300 SM. e.

Berikut adalah salah satu metode untuk membangun Pentagon yang tepat dalam lingkaran tertentu:

Membangun lingkaran tempat Pentagon akan bertulis dan menunjuk pusatnya sebagaiHAI. . (Ini adalah lingkaran hijau dalam skema yang tepat).

Pilih titik di lingkaranSEBUAH. yang akan menjadi salah satu puncak Pentagon. Bangun langsungHAI. danSEBUAH. .

Membangun tegak lurus langsung untuk mengarahkanOA. melewati titikHAI. . Menunjukkan salah satu persimpangannya dengan lingkaran seperti titikDgn B. .

Membangun poinC. di tengah masing-masingHAI. danDgn B. .

C. melalui titikSEBUAH. . Tunjukkan persimpangannya dengan garis lurus. (di dalam lingkaran awal) sebagai titikD. .

Habiskan lingkaran dengan pusatSEBUAH. melalui titik D, persimpangan lingkaran ini dengan tanda asli (lingkaran hijau) sebagai titikE. danF. .

Habiskan lingkaran dengan pusatE. melalui titikSEBUAH. G. .

Habiskan lingkaran dengan pusatF. melalui titikSEBUAH. . Menunjukkan persimpangan lainnya dengan lingkar awal sebagai titikH. .

Membangun Pentagon yang tepatAEGHF. .

Tugas yang tidak berselungkup

Tiga tugas konstruksi berikut dimasukkan kembali ke zaman kuno:

Trizcinasi sudut - Membagi sudut sewenang-wenang menjadi tiga bagian yang sama.

Dengan kata lain, perlu untuk membangun trisektri sudut - sinar yang membagi sudut menjadi tiga bagian yang sama. P. L. Vanzel terbukti pada tahun 1837 bahwa tugas itu hanya dapat dipecahkan ketika, misalnya, sebuah trisection dilakukan untuk sudut α \u003d 360 ° / n, asalkan bilangan bulat n dibagi dengan 3. Namun, dalam pers dari waktu ke waktu Metode yang diterbitkan (salah) untuk implementasi Tristion sudut sirkulasi dan penguasa.

Menggandakan Kuba. - tugas antik klasik untuk membangun sirkulasi dan garis kubus Rib, yang volumenya dua kali lipat dari kubus yang ditentukan.

Dalam simbol modern, tugas dikurangi menjadi pemecahan persamaan. Semuanya bermuara pada masalah panjang pemotongan. P. Vanzel terbukti pada tahun 1837 bahwa tugas ini tidak dapat diselesaikan dengan bantuan sirkulasi dan penggaris.

Lingkaran quadrature. - Tugas yang terdiri dalam menemukan konstruksi dengan bantuan sirkulasi dan aturan alun-alun sama di area lingkaran ini.

Seperti yang Anda ketahui, dengan bantuan sirkulasi dan penguasa, Anda dapat melakukan semua 4 tindakan aritmatika dan ekstraksi akar kuadrat; Ini mengikuti bahwa kuadratur lingkaran dimungkinkan dalam hal itu dan hanya jika dengan bantuan sejumlah terbatas tindakan tersebut dapat dibangun panjang panjang π. Dengan demikian, ketidakmampuan tugas ini mengikuti dari nonalgracy (transendensi) dari angka π, yang dibuktikan pada tahun 1882 oleh Lindeman.

Lain yang diketahui tidak larut dengan bantuan sirkulasi dan tugas penguasa -membangun segitiga pada tiga panjang besectris yang telah ditentukan .

Selain itu, tugas ini tetap tidak sulit bagi bahkan jika ada hal yang tepat.

Hanya di abad XIX terbukti bahwa ketiga tugas tidak larut ketika hanya menggunakan bundar dan penggaris. Kemungkinan pembangunan sepenuhnya diselesaikan dengan metode aljabar berdasarkan teori Galois.

Apakah kamu tahu itu ...

(Dari sejarah konstruksi geometris)

Setelah dalam pembangunan poligon yang tepat menginvestasikan makna mistis.

Jadi, para pythagor, pengikut ajaran agama dan filosofis, didirikan oleh Pythagore, dan tinggal di yunani kuno (V.I-i. V. eksplosif Bc. eh), poligon bintang yang dibentuk oleh diagonal Pentagon yang tepat diambil sebagai tanda persatuannya.

Aturan konstruksi geometris yang ketat dari beberapa poligon kanan ditetapkan dalam buku "Awal" dari matematika Yunani kuno Euclide, yang hidup diAKU AKU AKU di. Bc Untuk memenuhi konstruksi ini, Euclium menawarkan hanya menggunakan penggaris dan sirkulasi, yang pada saat itu tanpa perangkat engsel dari kombinasi kaki (batasan seperti itu dalam alat adalah persyaratan matematika antik).

Poligon yang tepat telah banyak digunakan dalam astronomi antik. Jika EUClide adalah pembangunan tokoh-tokoh ini pada sudut pandang matematika, kemudian untuk astronom Yunani kuno, Claudia Ptolemeus (sekitar 90 - 160 g. E.) Ternyata diperlukan sebagai bantu Saat memecahkan tugas astronomi. Jadi, dalam buku pertama "Almagesty", seluruh pasal kesepuluh dikhususkan untuk pembangunan lima dan sepuluh-korugal.

Namun, selain makalah ilmiah murni, pembangunan poligon yang tepat adalah bagian integral dari buku-buku untuk pembangun, pengrajin, seniman. Kemampuan untuk menggambarkan angka-angka ini telah lama diperlukan dalam arsitektur, dan dalam perhiasan, dan dalam seni visual.

Dalam "Sepuluh Buku tentang Arsitektur" dari Arsitek Romawi Vitruvia (tinggal di sekitar 63 -14. SM) dikatakan bahwa tembok kota harus memiliki jenis poligon yang tepat, dan menara benteng "harus dilakukan putaran atau poligonal, untuk segi empat, dihancurkan oleh pengepungan senjata. "

Tata letak kota sangat tertarik dengan Vitruvia, yang percaya bahwa perlu merencanakan jalan-jalan sehingga angin utama tidak bertiup. Diasumsikan bahwa angin ini delapan dan bahwa mereka meniup arah tertentu.

Dalam Epoch Renaissance, pembangunan poligon yang tepat, dan khususnya Pentagon, bukanlah permainan matematika sederhana, tetapi merupakan prasyarat yang diperlukan untuk membangun benteng.

Hexagon yang benar adalah subjek studi khusus tentang astronom dan matematika Great Jerman Johann Kepler (1571-1630), yang ia ceritakan tentang bukunya "Hadiah Tahun Baru, atau Kepingan Salju Heksagonal". Dia berpendapat tentang alasan mengapa kepingan salju memiliki bentuk heksagonal, dia mencatat, khususnya, berikut ini: "... Pesawat dapat ditutupi tanpa celah hanya dengan angka-angka berikut: segitiga setara, kotak dan hexagons yang sama. Di antara angka-angka ini, segi enam yang benar mencakup area terbesar "

Di sebagian besar ilmuwan terkenal yang terlibat dalam konstruksi geometris, ada artis dan matematika Jerman yang hebat Albrecht Dürer (1471 -1528), yang mendedikasikan mereka sebagai bagian penting dari bukunya "Panduan ...". Dia mengusulkan aturan untuk membangun poligon yang tepat dari 3. 4, 5 ... 16 sisi. Metode membagi lingkaran yang diusulkan oleh Durer tidak bersifat universal, dalam setiap kasus tertentu, penerimaan individu digunakan.

Durer menggunakan metode untuk membangun poligon yang tepat dalam praktik artistik, misalnya, ketika menciptakan jenis ornamen dan pola yang berbeda untuk parket. Sketsa pola-pola tersebut dibuat untuk mereka selama perjalanan ke Belanda, di mana lantai parket bertemu di banyak rumah.

Durer adalah ornamen dari poligon kanan, yang terhubung ke cincin (cincin enam segitiga sama sisi, empat segi empat, tiga atau enam hexagon, empat belas tujuh, empat octagons).

Kesimpulan

Begitu,konstruksi geometris - Ini adalah cara untuk menyelesaikan masalah di mana jawabannya diperoleh secara grafis. Konstruksi melakukan alat menggambar dengan akurasi maksimum dan keakuratan pekerjaan, karena kebenaran solusi tergantung pada hal ini.

Berkat pekerjaan ini, saya bertemu sejarah sirkulasi, lebih detail dengan aturan untuk implementasi konstruksi geometris, menerima pengetahuan baru dan menerapkannya dalam praktik.
Memecahkan tugas untuk membangun sirkulasi dan penggaris - waktu yang berguna yang memungkinkan yang baru untuk melihat sifat-sifat yang terkenal dari bentuk geometris dan elemen-elemennya.Dalam tulisan ini, tugas-tugas paling aktual yang terkait dengan konstruksi geometris dengan bundar dan penguasa dipertimbangkan. Tugas utama dipertimbangkan dan keputusan mereka diberikan. Tugas-tugas ini memiliki minat praktis yang signifikan, enshrine pengetahuan yang diperoleh pada geometri dan dapat digunakan untuk kerja praktis.
Dengan demikian, tujuan pekerjaan tercapai, tugas yang ditetapkan dipenuhi.

Dalam tugas-tugas konstruksi, kami akan mempertimbangkan pembangunan bentuk geometris, yang dapat dilakukan dengan menggunakan penggaris dan sirkulasi.

Menggunakan garis yang dapat Anda habiskan:

sewenang-wenang lurus;

sewenang-wenang lurus, melewati titik ini;

langsung melewati data dua titik.

Dengan bantuan sirkulasi, Anda dapat menggambarkan keliling jari-jari ini dari pusat ini.

Lingkaran dapat menunda segmen pada langsung ini dari titik ini.

Pertimbangkan tugas utama untuk membangun.

Tugas 1. Bangun segitiga dengan pihak-pihak ini A, B, C (Gbr.1).

Keputusan. Dengan bantuan garis, kami melakukan arbitrer langsung dan mengambil titik sewenang-wenang dari solusi melingkar di atasnya, sama dengan, menggambarkan lingkaran dengan pusat dan radius a. Biarkan c - titik persimpangannya dengan garis lurus. Solusi melingkar sama dengan C, menggambarkan lingkaran dari tengah, dan larutan melingkar, sama dengan B - lingkaran dari pusat C. Biarkan titik persimpangan lingkaran ini. Segitiga ABC memiliki pihak yang setara dengan A, B, C.

Komentar. Agar tiga pemotongan lurus lurus untuk berfungsi sebagai segitiga, perlu bahwa yang lebih besar dari mereka kurang dari jumlah dua lainnya (dan< b + с).

Tugas 2.

Keputusan. Sudut ini dengan vertex A dan balok Ω ditunjukkan pada Gambar 2.

Kami melakukan lingkaran sewenang-wenang dengan pusat di bagian atas sudut. Biarkan B dan C adalah titik persimpangan keliling dengan sisi sudut (Gbr. 3, a). Radius AV akan melakukan lingkaran dengan pusat pada titik awal balok ini (Gbr. 3, b). Titik persimpangan lingkaran ini dengan balok ini dilambangkan dengan 1. Kami menggambarkan lingkaran dengan pusat dengan 1 dan jari-jari pesawat. Poin in 1 persimpangan dua lingkaran terletak di sisi sudut yang diinginkan. Ini mengikuti dari kesetaraan δ abc \u003d δ s 1 s 1 (tanda ketiga dari kesetaraan segitiga).

Tugas 3. Membangun breakect dari sudut ini (Gbr. 4).

Keputusan. Dari titik dan sudut ini, seperti dari pusat, kita melaksanakan lingkaran radius sewenang-wenang. Biarkan B dan C - titik persimpangannya dengan sisi sudut. Dari titik-titik dan dengan jari-jari yang sama, kami menggambarkan lingkaran. Biarkan d menjadi titik persimpangan mereka, berbeda dari A. Ray AD membagi sudut dan setengahnya. Ini mengikuti dari kesetaraan Δ ABD \u003d Δ ACD (tanda ketiga dari kesetaraan segitiga).

Tugas 4. Melakukan tegak lurus tengah ke segmen ini (Gbr. 5).

Keputusan. Solusi sirkulasi yang sewenang-wenang tetapi sama (1/2 AB) menggambarkan dua busur dengan pusat-pusat pada titik A dan B, yang berpotongan bersama pada beberapa titik C dan D. CD langsung akan menjadi tegak lurus yang diinginkan. Memang, seperti yang dapat dilihat dari konstruksi, masing-masing poin C dan D sama-sama dihapus dari A dan B; Akibatnya, poin-poin ini harus terletak di tengah tegak lurus terhadap segmen AV.

Tugas 5. Pisahkan segmen ini menjadi dua. Itu diselesaikan dengan cara yang sama seperti tugas 4 (lihat Gambar 5).

Tugas 6. Melalui titik ini, habiskan garis lurus, tegak lurus dengan langsung ini.

Keputusan. Dua kasus dimungkinkan:

1) Poin ini terletak pada baris ini (Gbr. 6).

Dari titik tentang jari-jari sewenang-wenang, lingkaran yang melintasi lurus A pada titik A dan V. Dari titik A dan pada radius yang sama melakukan lingkaran. Biarkan 1 menjadi titik persimpangan mereka, berbeda dari O. Kami mendapatkan OO 1 ⊥ AB. Bahkan, titik O dan O 1 sama dengan ujung-ujung segmen AB dan, oleh karena itu, terletak tegak lurus di segmen ini.

Akademi Ilmu Pengetahuan Schoolchildren Kecil Krimea

"Pencari"

Bagian "Matematika"

Geometris dibangun dengan garis dua sisi

Saya sudah melakukan pekerjaan tapi

_____________

Mahasiswa kelas

Penasihat ilmiah

Pengantar ................................................. .......................... .. ....3

I. Konstruksi geometris di pesawat .................. ... 4

I.1. Aksioma umum geometri konstruktif. Aksioma instrumen matematika .............................................. ..............................................4.

I.2. ……………………….....5

I.3. Konstruksi geometris satu lineup ..................................... 7

SAYA..4. Tugas utama untuk membangun garis dua sisi .................. ..8

I.5. Memecahkan berbagai tugas untuk bangunan ....................................... 12

I.6. Membangun garis satu sisi ....................................... ..... 20.

I.7. Interchangeability dari garis dua sisi dengan sirkulasi dan penggaris .... 21

Kesimpulan ................................................. ........................... 24.

Daftar referensi yang digunakan .............................................. .... .25.

pengantar

Untuk tugas-tugas untuk konstruksi cara terbatas termasuk tugas untuk membangun hanya sirkulasi dan penggaris, yang dipertimbangkan dalam program sekolah. Apakah mungkin untuk memecahkan masalah untuk membangun hanya satu baris? Seringkali, tidak ada sirkulasi yang ada, dan penguasa selalu dapat ditemukan.

Tugas untuk membangun geometri adalah bagian yang menarik. Bunga di dalamnya disebabkan oleh keindahan dan kesederhanaan konten geometris. Relevansi pertimbangan tugas-tugas ini meningkat karena fakta bahwa ia menemukan penggunaan dalam praktik. Kemampuan untuk menggunakan satu baris untuk menyelesaikan tugas-tugas yang dipertimbangkan dalam pekerjaan ini sangat penting dalam kegiatan praktis, karena Secara konstan kami dihadapkan dengan tugas-tugas untuk membagi segmen menjadi dua, untuk menggandakan segmen ini, dll.

Dalam makalah ini, tugas utama untuk konstruksi, yang didukung dengan memecahkan lebih banyak tugas yang kompleks.

Sebagai pengalaman menunjukkan, tugas-tugas untuk konstruksi yang menarik, berkontribusi pada aktivasi aktivitas mental. Ketika mereka diputuskan, pengetahuan tentang sifat-sifat tokoh-tokoh ini digunakan secara aktif, kemampuan untuk berdebat, keterampilan konstruksi geometris sedang ditingkatkan. Akibatnya, kemampuan struktural berkembang, yang merupakan salah satu tujuan mempelajari geometri.

Hipotesis: Semua tugas untuk bangunan, yang diselesaikan dengan menggunakan sirkulasi dan penggaris, dapat diselesaikan hanya dengan bantuan jalur dua arah.

Objek Studi: Tugas untuk Bangunan dan Penguasa Bilateral.

TUJUAN PENELITIAN: Buktikan bahwa semua tugas untuk bangunan dapat diselesaikan hanya dengan bantuan garis dua sisi.

Tugas untuk penelitian: belajar landasan teori solusi untuk tugas-tugas konstruksi; Pecahkan tugas utama untuk membangun dengan bantuan jalur dua arah; Buat contoh tugas konstruksi yang lebih kompleks; Sistematisasikan materi teoritis dan praktis.

I. Konstruksi geometris di pesawat

I.1. Aksioma umum geometri konstruktif. Aksioma instrumen matematika

Untuk geometri konstruktif, perlu untuk memiliki tujuan matematika yang akurat dan untuk matematika. deskripsi lengkap dari alat. Deskripsi seperti itu diberikan dalam bentuk aksioma. Aksioma ini dalam bentuk matematika abstrak mengekspresikan sifat-sifat alat gambar nyata yang digunakan untuk konstruksi geometris.

Alat konstruksi geometris yang paling umum adalah:aturan (satu sisi) , kompas , bilateral. aturan (dengan tepi paralel) dan beberapa lainnya.

A. Penguasa Axiom.

Penguasa memungkinkan konstruksi geometris berikut untuk melakukan:
a) Bangun segmen yang menghubungkan dua poin yang dibangun;

b) Membangun lurus, melewati dua titik yang dibangun;

c) Bangun balok keluar dari titik yang dibangun dan melewati titik bawaan lainnya.

B. Lingkaran Acceioma.

Sirkulor memungkinkan konstruksi geometris berikut untuk melakukan:
a) Bangun lingkaran jika pusat lingkaran dan segmen dibangun sama dengan radius lingkaran (atau ujungnya);

V. Garis bilateral aksioma.

Penguasa bilateral memungkinkan Anda untuk:

a) melakukan salah satu konstruksi yang tercantum dalam Axiom A;

b) Di setiap titik semi yang ditentukan oleh garis yang dibangun, membangun garis lurus, sejajar dengan garis lurus ini dan lewat darinya pada kejauhantapi dimana tapi - Memperbaiki untuk segmen baris ini (lebar garis);

c) Jika dua titik A dan B dibangun, lalu instal apakah akan ada lebih dari beberapa segmen tetaptapi (Lebar garis), dan jika AB\u003etapi , kemudian bangun dua pasang garis lurus paralel lewat, masing-masing melalui titik A dan B dan menyampaikan satu dari yang lain pada kejauhantapi .

Selain alat yang terdaftar, dimungkinkan untuk menggunakan alat lain untuk konstruksi geometris: sudut arbitrer, karbon, penggaris dengan tanda, sepasang sudut lurus, berbagai perangkat untuk menggambar kurva khusus, dll.

I.2. Prinsip umum memecahkan tugas untuk membangun

Tugas untuk membangun Adalah bahwa angka tertentu diperlukan untuk membangun alat yang ditentukan jika beberapa angka lain diberikan dan beberapa rasio ditunjukkan antara elemen-elemen tokoh yang diinginkan dan elemen-elemen dari angka ini.

Setiap angka yang memenuhi kondisi tugas disebutdengan keputusan Tugas ini.

Mencari solusi Tugas untuk konstruksi berarti menguranginya menjadi jumlah terbatas konstruksi utama, I.E., menunjukkan urutan akhir dari konstruksi utama, setelah pelaksanaannya angka yang diinginkan akan dianggap sebagai geometri konstruktif yang dibangun karena aksioma. Daftar konstruksi utama yang diizinkan, dan, oleh karena itu, jalannya memecahkan masalah, secara signifikan tergantung pada alat mana yang digunakan untuk konstruksi.

Pecahkan tugas bangunan - jadi temukan semua solusinya .

Definisi terakhir membutuhkan beberapa penjelasan. Angka yang memenuhi kondisi tugas mungkin berbeda dalam bentuk atau dimensi dan posisi di pesawat. Perbedaan dalam posisi di pesawat diterima atau tidak diperhitungkan tergantung pada kata-kata tugas itu sendiri pada konstruksi, pada apakah itu menyediakan atau tidak menyediakan masalah tugas, lokasi tertentu dari angka yang diinginkan mengenai apa pun angka data.

Jika suatu solusi telah ditemukan, maka di masa depan dibiarkan menggunakan keputusan ini "secara keseluruhan", mis., Tanpa memotongnya pada konstruksi utama.

Ada sejumlah tugas desain geometris sederhana yang sering dimasukkan sebagai komponen komponen Dalam memecahkan tugas yang lebih kompleks. Kami akan menyebutnya tugas geometris dasar untuk konstruksi. Daftar tugas dasarnya adalah, tentu saja, bersyarat. Jumlah tugas dasar biasanya sebagai berikut:

Pembagian segmen ini menjadi dua.

Divisi sudut ini menjadi dua.

Membangun segmen langsung ini sama dengan ini.

Bangun sudut sama dengan ini.

Konstruksi garis lurus yang melewati titik ini adalah paralel dengan garis ini.

Pembangunan garis lurus melewati titik ini dan tegak lurus dengan garis ini.

Divisi segmen dalam hal ini.

Membangun segitiga menurut tiga pihak ini.

Membangun segitiga di samping dan dua sudut yang berdekatan.

Membangun segitiga pada dua sisi dan sudut di antara mereka.

Dalam menyelesaikan setiap tugas yang sulit, pertanyaan itu muncul bagaimana cara mencari cara untuk mengatasi masalah untuk mendapatkan semua solusi untuk masalah untuk mengetahui kondisi untuk memecahkan masalah, dll. Oleh karena itu, ketika memecahkan tugas struktural, a Skema solusi digunakan terdiri dari empat tahap berikut:

1) analisis;
2) Konstruksi;
3) Bukti;
4) Studi.

I.3. Konstruksi geometris satu baris

Kami akan mempertimbangkan penguasa dari dua sudut pandang: sebagai penggaris dan sebagai garis dua sisi.

1. Penguasa bilateral Lebar tapi Kami akan memanggil penguasa dengan tepi paralel yang terletak di kejauhan tapi Dari satu sama lain, memberikan kesempatan untuk membangun langsung:

a) sewenang-wenang lurus;

b) Lurus, melewati dua set atau diperoleh dalam proses memecahkan masalah poin;

c) paralel lurus, masing-masing melewati salah satu titik, jarak antara yang lebihtapi (Dalam hal ini, konstruksi garis ada di posisi ini sehingga pada masing-masing dari dua ujung paralelnya ternyata menjadi salah satu dari dua titik data, kami akan, dalam hal ini, kami akan berbicara tentang membangun langsung).

Lebar garis dalam konstruk ini dianggap konstan, dan oleh karena itu, dalam proses memecahkan tugas tertentu, akan diperlukan untuk melakukan konstruksi langsung dari relatif beberapa poinTAPI dan DI , maka Anda perlu membuktikan bahwa panjangnyaAU. Panjangnya tapi .

Intinya akan dipertimbangkan dibangun jika itu adalah salah satu data atau persimpangan dua garis lurus yang dibangun; Pada gilirannya, kita akan mempertimbangkan yang dibangun langsung jika melewati buatan atau data titik.

Menggunakan garis dua sisi, Anda dapat membangun yang berikut.

a) Melalui dua titik apa pun, Anda dapat menghabiskan langsung, apalagi, hanya satu.

b) Apa pun yang langsung, di pesawat ada persis dua lurus, sejajar dengannya dan jauh dari itusEBUAH. .

c) dua poin A dan dengan tapi Anda dapat menghabiskan dua pasang paralel lurus; dengan AV \u003d tapi Anda dapat menghabiskan sepasang garis lurus paralel, jarak antara yang samatapi .

Jika satu, dua, tiga poin diberikan, maka Anda tidak dapat membangun poin baru

(Gambar 1);

jika empat poin diberikan, beberapa tiga di antaranya (atau keempatnya) berbaring pada satu garis lurus, maka tidak ada poin lain untuk dibangun (Gbr.2);

jika ada empat poin yang tergeletak di bagian atas jajaran genjang, Anda hanya dapat membangun satu titik - pusatnya. (Gbr.3).

Mengambil hal di atas, pertimbangkan secara terpisah tugas yang diselesaikan dengan garis dua arah.

SAYA..4. Tugas utama untuk membangun garis dua sisi

1
. Bangun ABS sudut BISTECT.

Keputusan: (Gbr. 4)

tapi  (DI C.) I. dgn B.  (AV), dan  dgn B. = D. .

Kami mendapatkan B. D. - Bissectris.  ABC.

Memang diterima oleh

konstruksi Paralelogram adalah

bergemuruh, karena ketinggiannya sama. DID. –

diagonal belah ketupat, adalah bisector ABC. Gbr.4.

2
. Menggandakan sudut abc ini

Keputusan : (Gbr. 5) a) tapi  (AV),

tapi  (DI C.)= D. , melalui titik-titik dan D.

dgn B. langsung;

b) melalui titik masuk danD. m.  dgn B.

langsung,dgn B. Ç a \u003d. F. .

Menerima Ð AU. F. = 2 Ð ABC. .

Gbr.5.

3 . Untuk ini langsung m N. Di dalam

titik dan habiskan tegak lurus

Keputusan : (Gbr.6)

1) (AA 1) || (Bb 1) || (SS 1) -

langsung (B. (M. N.),

DARI Î (M. N.)); 2) Melalui A dan di

m. || n. - Seiring

m. Ç (SS 1) \u003d D. .

Kami mendapatkan (A. D. )  (M. N. ).

Gbr.6.

4
. Melalui titik ini tidak berbaring

ini langsung Melakukan tegak lurus.

untuk Ini langsung.

Keputusan: Melalui poin ini

dua melintasi ini

aV lurus, dan dua kali sudut yang dihasilkan

segitiga berdekatan dengan ini

lurus.  OA. N. = 2  HAI.

Ov N. = 2  Ov (Gbr. 7).

Gbr.7.

5. Bangun titik, simetris ini, relatif terhadap langsung ini.

Keputusan: lihat tugas 4. (titik titik simetrisN.. Gbr.7)

6. Habiskan Lurus paralel yang diberikan

p
m. M. N. , melalui titik A, bukan

milik Langsung M. N. .

Solusi 1: (Gbr. 8)

1) (AA 1) || (Bb 1) || (Ss 1) || (DD 1 ) || (QC 1) -

– langsung, (sa)Ç (BB 1) \u003d C 2;

2) (dari 2k) Ç (DD 1 ) = F. .

(TAPI F. ) - garis lurus yang diinginkan.

Angka 8.

Solusi 2. . Gambar 8 1 diberi nomor

urutan langsung,

yang 1, 2 dan 3 paralel

konstruksi langsung;

(TAPI F.) || (M. N.).

Gbr.8 1.

7
. Pisahkan segmen ini AB menjadi dua.

Solusi 1. (Gbr. 9) (hanya untuk kasus ketika garis lebar kurang dari panjang segmen ini). Menghabiskan dua pasang paralel langsung

akhir dari segmen ini, dan kemudian diagonal

belah ketupat yang dihasilkan. O - Av tengah.

Ara. sembilan.

Solusi 2. (Gbr. 9, a)

1) A. || (Sebuah band dgn B. || (AV) - langsung;

2) (Ar), (AR)Ç A \u003d C, (AR) Ç dgn B. = D. ;

3) (D. DI) Ç A \u003d M, (SV) Ç dgn B. = N. ;

4) (m N. ) Ç (AV) \u003d k;

5) (D. UNTUK) Ç (TAPI N. ) = F. ;

6) (dalam F. ) Ç dgn B. = D. 1, (dalam F. ) Ç A \u003d c 1;

7) (D. DI ) Ç (TAPI D. 1) \u003d x,

(Ac 1) Ç (Sv) \u003d Dgn zat.

8) (x Dgn zat) Ç (AV) \u003d oh. Kami mendapatkan JSC \u003d S.

Gbr.9, A.

Solusi 3. .( Ara. 9, b)

Seperti yang diketahui , Di trebak tengah

alasan, titik persimpangan

diagonal dan titik persimpangan

kontinuasi pihak sampingan

berbaring di satu garis lurus.

1) m. || (AV) - langsung;

2) S. Î m. , D. Î m. (Ac) Ç (DI D. ) = UNTUK; Gbr. 9, B.

3) (SV) Ç (TAPI D. ) = F. ; 4) (untuk F. ) Ç (AV) \u003d oh. Kami mendapatkan JSC \u003d S.

I.5. Memecahkan berbagai tugas untuk membangun

Dalam memecahkan tugas-tugas berikut untuk hanya membangun garis dua sisi, konstruksi langsung paralel langsung dan tujuh tugas dasar digunakan.

1. Setelah titik ini, habiskan dua garis lurus yang saling tegak lurus.

R. mengukur: Potong titik ini

dua lurus sewenang-wenang,

dan kemudian - BISTECT

sudut yang berdekatan. (Gbr.10)

Gbr.10.

2. Dan memotong A. D. Ini panjang a.

Bangun segmen yang panjangnya sama.

R.
permintaan : Mari kita belanjakan m.  tapi dan h. || m. melalui

titik A. f. || (TAPI D. ) , k. || (IKLAN) secara langsung.

Kami akan menghabiskan AV dan AC, di mana di \u003df.  m. ,

c \u003d. m.  k. . Dalam metode yang terkenal

kami membagi AV dan speaker menjadi dua dan

kami melaksanakan median segitiga

ABC. Menurut properti median

segitiga, O. D. = - isked.

potong (Gbr. 11)

Ara. sebelas

3. Membangun segmen yang panjangnya

sama dengan perimeter segitiga ini.

Keputusan: (Gbr. 12). Bangun BISTECT.

dua sudut eksternal segitiga dan kemudian

H tops. DI Mari kita habiskan tegakulasi

ke bisector ini.

. \u003d A +. dgn B. + S.

Gbr.12.

4. Dan panjangnya a. Membangun segmen panjang 2A, 3A.

R. mengukur: (Gbr. 13)

1m. N.) || (AV) dan (m 1 N. 1 ) || (M. N.) || (M 2. N. 2 ) –

Langsung;

2) (CA) dan (SV) melalui A dan V.

Segmen A 1 in 1 dan 2 in 2, yang diinginkan.

Solusi lain untuk tugas ini bisa

dapatkan dari menyelesaikan tugas 7.

Ara. 13.

5. Pada tanggal langsung diberikan dua segmen, panjangnya a dan dgn B. . Membangun segmen yang panjangnya sama dengan + dgn B. , dgn B. - Tapi, ( sEBUAH. + dgn B. ) / 2 dan ( dgn B. - sEBUAH. )/2 .

Keputusan: dan untuk sEBUAH. + dgn B. (Gbr. 14, a)

Gbr.14, A.

b) untuk ( sEBUAH. + dgn B.) / 2 (Gbr.14, b)

1) (A 1 in 1) || (Dan 2 in 2) || (AV) - langsung;

2) M. Î (A 2 in 2), (mx) Ç (A 1 in 1) \u003d N.(M. H.) Ç (A 1 in 1) \u003d P.;

3) (Py) Ç (A 2 in 2) \u003d L., (Lz. ) Ç (A 1 in 1) \u003d HAI,

Kita mendapatkan: N. HAI. = Np. + Po =
.

Ara. 14, B.

c) untuk. dgn B. - Tapi (Gbr. 14, C)

Ara. 14, B.

c) untuk. ( dgn B. - sEBUAH. )/2 (Gbr. 14, D)

Ara. 14, G.

6
. Membangun pusat keliling ini.

Keputusan : (Gbr.15) Mari kita habiskan langsung

lingkaran berpotongan pada titik A dan B;

Matahari  AB, di mana C adalah titik persimpangan

dengan lingkaran.

Melalui titik dengan berbicara secara paralel

s. Lurus D.; DARID. Melintasi lingkaran

pada titikD..

KoneksiD. dengan dan dan dengan s, kita dapatkan

titik yang diinginkan adalah pusat lingkaran. Ara. limabelas

Solusi 2: (Gbr. 16) Kami membangun dua akord paralel menggunakan garis dua sisi.IKLAN danBc . Kita mendapatkan trapeecy keseimbanganABCD.. Biarkan menjadiK. danP. - persimpangan mahal ..AC danBD , Abdi danDC. . Lalu lurusP. K. Itu melewati tengah pangkalan trapezium tegak lurus bagi mereka, yang berarti melewati tengah lingkaran ini. Dengan membangun hal yang sama secara langsung, kita akan menemukan pusat lingkaran.

Ara. enambelas

7. Negara Arc Dana. Membangun pusat lingkaran

Keputusan . (Gbr. 17) Kami mencatat tentang busur ini tiga poin A, B dan C. Kami akan meletakkan garis ke ujung segmen AB dan lingkari tepinya. Kami mendapat dua paralel lurus. Dengan mengubah posisi garis, kami akan memiliki dua garis lurus paralel. Kami memperoleh berlian (paralelogram dengan ketinggian yang sama). Salah satu diagonal belah ketupat - tengah tegak lurus terhadap segmen tersebutAbdi Karena diagonal Roma terletak di tengah tegak lurus terhadap diagonal lain. Demikian pula, kami membangun tengah tegak lurus terhadap segmen tersebutAC . Titik persimpangan tegak lurus tengah yang dibangun adalah pusat lingkaran yang diinginkan.

Ara. 17.

8. Dana Cut Ab, non-paralel langsung L dan Point M di atasnya. Dengan garis dua sisi yang sama, bangun titik persimpangan garis lurus L dengan lingkaran radius AB dengan pusat M.

Keputusan: (Gbr.18)

Segitiga sejatiABM. Hingga Paralelogram.Abnm. . Kami membangun BISTECT MT danNONA. Sudut antara.M N. dan langsungl. . Mari kita menggambarN. Direct, Parallel dengan BISTECT INI:. || NONA., Nr. || Mt.. MT.│ NONA. Sebagai bistek sudut yang berdekatan. Itu berarti. │ Mt, itu, dalam segitigaNmq. BISSESTRIX adalah ketinggian, oleh karena itu, segitiga adalah sebelumnya:Mq. = M N.. Demikian pula,Bapak. = M N.. Poin. Q.danR. Unting.

Ara. delapan belas

9. Dana lurus l dan segmen OA, paralel l. Dengan bantuan satu garis bilateral, bangun titik persimpangan L langsung dengan lingkaran jari-jari OA dengan pusat O.

Keputusan: (Gbr. 19, a)

Mari kita habiskan lurusl. 1 , paralel untuk mengarahkanOA. dan jarak jauh darinyasEBUAH. . Ambil langsungl. Titik arbitrer.Dgn B. . Biarkan menjadiDgn B. 1 - titik persimpangan langsung. danl. 1 . Mari kita menggambarDgn B. 1 Langsung, paralel.Abdi ; Ini langsung melintasi lurusOA. Pada titikSEBUAH. 1 . Habiskan sekarang melalui poinHAI. danSEBUAH. 1 sepasang garis lurus paralel, jarak antara yang samasEBUAH. (Pasangan langsung bisa dua); biarkan menjadiX. danX. 1 - Titik persimpangan langsung melewati titikHAI. , dengan lurusl. danl. 1 . SebagaiOA. 1 = LEMBU. 1 dan δ.OA. 1 X. 1 ∆ Ox. , lalu oa \u003d oh, titikX. diinginkan.

Demikian pula, kami membangun titik kedua melintasi keliling dan titik langsungY. (Gbr.18, b).

Ara. 18, A.

Ara. 18, B.

I.6.Membangun Penguasa Satu Sisi

Dgn zat
lihat, pertimbangkan Kasus Khusus: Biarkan P Dot,Q., R. 1 danQ. 1 . Dan mereka berbaring di puncak trapezium.

1. Pisahkan segmen R. Q. Popolam.

Keputusan ditunjukkan pada Gambar 19

Poin yang diberikan p,Q., R. 1 danQ. 1 dan garis lurus paralel

R.Q., R. 1 Q. 1 . Kami akan menghabiskan R.Q. 1  Q.R. 1 \u003d B. , Pp. 1  Qq 1 \u003d A.

Hubungkan titik A dan v. Av R.Q. = F. - Pertengahan.

potong R.Q..

Ara. sembilan belas

2. Pemotongan dua kali lipat R. 1 Q. 1.

R.
permintaan Menunjukkan pada Gambar 20. Membangun

titikF. - Midt dari segmen pQ. dan hubungkan

dariQ. 1. R. 1 Q. . 1 \u003d M. Kami akan pegang PM. RM. R. 1 Q. 1 = R.

persamaanRQ. dan R. 1 Q. 1 ini mengikuti dari kesamaan

segitiga RM.F. dan R.M.Q. 1 ,

F.M.Q. dan R. 1 M.Q. 1 , dan kesetaraanF. dan..

Ara. dua puluh

3
. Bangun panjang n.  R. 1 Q. 1 .

m. – 1 Segmen yang sama dengan R.Q. 2 , Q. 2 Q. 3, … Q. m. -1 Q. m.

Kemudian bangun (Pp. 1 ) I.Q. m. Q. 1 dan terhubung

titik persimpangan mereka dan dengan poin

Q. 2 , Q. 3, … Q. m. Diperolehm. -1 langsung

bonekaR. 1 Q. 1 padam. sama Bagian.

Untukm. = 4 Solusinya ditunjukkan pada Gambar 22

Gbr.22.

I.7. Interchangeability dari garis dua sisi dengan sirkulasi dan penggaris

Kami membuktikan bahwa garis bilateral dipertukarkan dengan sirkulasi dan penggaris. Untuk melakukan ini, kami membuktikan pernyataan berikut:

Persetujuan 1: Semua konstruksi dilakukan dengan menggunakan sirkulasi dan penguasa dilakukan dengan menggunakan garis dua sisi.

Sejak saat membangun sirkulasi dan penguasa, penguasa menghabiskan langsung melalui dua titik, dan sirkulasi membangun lingkaran (menemukan pluralitas poin yang sama-sama dari ini), maka semua konstruksi sirkulasi dan garis dikurangi menjadi Konstruksi persimpangan dua Langsung, dua lingkaran dan lingkaran dengan garis lurus.

Persimpangan dua arahan menggunakan baris dapat dibangun.

Melintasi lingkaran dan lurus (Gbr.23):

Bangunan: Biarkan itu diberikan segmen AB - jari-jari lingkaran, lurusl. , Circle Center Oh, lalu:

1) Kami melakukan OS ||l. , OS \u003d AB.

2) Kami melakukan OS ||k. dan remote pada a.

3) MelakukanOD., OD. l. = D.; OD. k) oleh konsekuensi dari teorema Falez

4) oleh hukum transitivitas persamaan

5) MempertimbangkanOmqe.. Omqe. - Paralelogram, sejak Ohm ||EQ. Dan oe ||MC. (sisi garis paralel). Kami membuktikan bahwa itu adalah belah ketupat.

5.1) melakukanQz Oc. danQg. DI., kemudianQg. = Qz = sEBUAH..

5.2)  Omq. =  Rqm. (Bohong);  Os \u003dDI.Sebagaimana diminta untuk membuktikan.

Menyeberangi dua lingkaran: Demikian pula.

Persetujuan 2: Semua konstruksi dilakukan dengan menggunakan garis dua sisi dilakukan dengan menggunakan sirkulasi dan penggaris.

Untuk melakukan ini, buat konstruksi, standar untuk garis dua sisi dengan sirkulasi dan penggaris.

1) Langsung untuk dua poin dengan mudah dibangun menggunakan penggaris.

2) Membangun langsung, sejajar dengan ini dan jarak jauh dari itu:

2.1) Biarkan itu diberikank. dan panjang pemotongansEBUAH..

2.2) Bangun straight sewenang-wenangdgn B. k., biarkan.k. dgn B.= Dgn B..

2.3) pada.dgn B. Di kedua sisi titikDgn B. pada Direct.dgn B. Menyanyikan panjang panjangsEBUAH., biarkan intinyaC. danD..

2.4) melalui titikC. Membangun lurusc. k..

2.5) melalui titikD. Membangun lurusd. k..

2.6) Lurusc. dand. -Yoish, sejakBc danBD samasEBUAH. Dengan konstruksi dan sama dengan jarak antara lurusk. Dan lurus

3) Konstruksi langsung, sejajar antara diri mereka sendiri dan melewati dua titik, dan jarak antara jarak antara yang sama dengan segmen ini:

3.1) Biarkan titikSEBUAH. danDgn B. dan panjang pemotongansEBUAH..

3.2) Bangun lingkaran dengan pusat pada titikSEBUAH. dan jari-jarisEBUAH..

3.3) Kami berturut-turut untuk lingkar ini melalui titikDgn B.; singgung seperti itu jikaDgn B. terletak di luar lingkaran (jikaAbdi> sEBUAH.), sendirian jikaDgn B. terletak pada lingkaran (jikaAbdi= sEBUAH.) tidak ada jikaDgn B. terletak di dalam lingkaran (Abdi< sEBUAH.). Tangen ini adalah salah satu yang diinginkan; Masih menghabiskan waktuSEBUAH. Langsung, sejajar dengannya.

3.4) Karena salah satu radius lingkar tegak lurus langsung sebagai garis singgung, yang kedua juga tegak lurus (karena mereka paralel), oleh karena itu, jarak antara mereka sama dengan jari-jari, yang sama dengan konstruksisEBUAH.Apa yang harus didapat.

Dengan demikian, kami telah membuktikan interchangeability dari garis dan sirkulasi dua sisi dan penguasa.

Kesimpulan: Garis bilateral dapat dipertukarkan dengan sirkulasi dan penggaris.

Kesimpulan

Jadi, pertanyaan tentang kemungkinan menggunakan satu baris untuk menyelesaikan tugas klasik untuk dibangun dengan sirkulasi dan penggaris dianggap dan diselesaikan. Ternyata tugas konstruksi dapat diselesaikan dengan menggunakan satu baris dengan tepi paralel. Ketika memecahkan tugas yang lebih kompleks, itu harus mengandalkan lebih lanjut tentang apa yang disebut konstruksi dasar yang dipertimbangkan dalam pekerjaan ini.

Aplikasi langsung dari bahan yang dinyatakan mungkin tidak hanya dalam pelajaran matematika, di kelas-kelas lingkaran matematika, tetapi juga dalam kegiatan praktis.

Daftar literatur bekas

Aliyev A.v. Konstruksi geometris. Matematika di sekolah. 1978 No. 3.

Glaser G.i. Sejarah matematika di sekolah. M., Pencerahan. 1981.

Depima i.ya. Di belakang halaman buku teks matematika. M .. Enlightenment. 1989.

Elena Sch. Di jejak Pythagora. M., Detgiz. 1961.

Kamus ensiklopedis matematika muda. M., pedagogi. 1985.

Contoh

Memisahkan segmen menjadi dua

Tugas untuk BISTECTION.. Dengan bantuan sirkulasi dan penguasa, membagi segmen ini Abdi menjadi dua bagian yang sama. Salah satu solusi ditunjukkan pada Gambar:

Lingkaran melingkar dengan pusat di titik-titik SEBUAH. dan Dgn B. radius Abdi.
Kami menemukan titik persimpangan P. dan Q. Dua lingkaran yang dibangun (busur).
Demi baris kita melaksanakan segmen atau garis melewati titik-titik P. dan Q..
Temukan segmen tengah segmen Abdi - titik persimpangan Abdi dan Pq.

Definisi formal

Dalam tugas-tugas untuk konstruksi, set semua titik pesawat, set semua bidang langsung dan set semua lingkaran pesawat, di atas mana operasi berikut diizinkan:

Pilih titik dari berbagai titik:
1. titik arbitrer.
2. titik sewenang-wenang pada lurus
3. titik sewenang-wenang pada lingkar yang diberikan
4. titik persimpangan dua langsung yang ditentukan
5. poin persimpangan / sentuhan dari lingkar lurus dan diberikan lingkar
6. titik persimpangan / sentuhan dua lingkaran yang ditentukan
"Melalui penguasa»Alokasikan garis lurus semua langsung:
1. sewenang-wenang lurus
2. sewenang-wenang lurus, melewati titik yang ditentukan
3. langsung, melewati dua setpoint
"Melalui bundar»Alokasikan lingkaran dari berbagai kalangan:
1. lingkaran sewenang-wenang
2. lingkaran sewenang-wenang dengan pusat pada titik tertentu
3. lingkaran sewenang-wenang dengan jari-jari sama dengan jarak antara dua titik yang ditentukan
4. lingkaran dengan pusat pada titik tertentu dan dengan jari-jari sama dengan jarak antara dua titik yang ditentukan

Dalam kondisi tugas, beberapa poin diatur. Diperlukan menggunakan jumlah akhir operasi dari antara operasi yang diizinkan di atas untuk membangun serangkaian poin dalam rasio yang diberikan dengan set sumber.

Solusi untuk masalah konstruksi berisi tiga bagian penting:

Deskripsi metode membangun set yang diberikan.
Bukti bahwa set yang dibangun oleh metode yang dijelaskan memang dalam rasio yang diberikan dengan set asli. Biasanya bukti konstruksi dibuat sebagai bukti teorema yang biasa berdasarkan aksioma dan teorema lain yang terbukti.
Analisis metode yang dijelaskan untuk membangun untuk penerapannya opsi yang berbeda kondisi awal, serta untuk keunikan atau ketidakpatuhan larutan yang diperoleh dengan metode yang dijelaskan.

Tugas Terkenal

Tugas Apollonia tentang konstruksi lingkaran yang berkaitan dengan tiga set lingkaran. Jika tidak ada kalangan yang ditentukan terletak di dalam yang lain, maka tugas ini memiliki 8 solusi yang jauh berbeda.
Tugas Brahmagupta tentang pembangunan quadrangle tertulis di empat sisi.

Membangun poligon yang tepat

Geometer antik dikenal cara untuk membangun hak n."Alasan untuk, dan.

Mungkin dan bangunan yang mustahil

Semua konstruksi tidak lebih dari solusi persamaan, dan koefisien persamaan ini dikaitkan dengan panjang segmen yang ditentukan. Oleh karena itu, lebih mudah untuk berbicara tentang pembangunan angka - solusi grafis dari persamaan tipe tertentu. Dalam kerangka persyaratan di atas, konstruksi berikut dimungkinkan:

Konstruksi solusi persamaan linear.
Konstruksi solusi persamaan persegi.

Dengan kata lain, dimungkinkan untuk membangun hanya angka yang sama dengan ekspresi aritmatika menggunakan akar kuadrat dari angka awal (panjang segmen). Sebagai contoh,

Variasi dan generalisasi

Membangun dengan sirkulasi tunggal. Oleh Teorema Mora - Masteroni, dengan bantuan sirkulasi tunggal, Anda dapat membangun bentuk apa pun yang dapat dibangun dengan sirkulasi dan penggaris. Pada saat yang sama, langsung dianggap dibangun jika dua titik ditentukan di atasnya.
Membangun dengan satu baris. Mudah untuk melihat bahwa dengan bantuan satu baris Anda hanya dapat melakukan konstruksi invarian secara proyektif. Secara khusus, tidak mungkin untuk menghancurkan segmen menjadi dua bagian yang sama, atau menemukan pusat lingkaran yang ditarik. Tetapi jika ada lingkaran yang telah ditentukan pada pesawat dengan pusat yang ditandai menggunakan penggaris, konstruksi yang sama dapat dilakukan sebagai sirkulasi dan penggaris (Teorema Poncel - Steiner ( inggris)), 1833. Jika ada dua SERF di telepon, maka bangun dengan itu setara dengan konstruksi menggunakan sirkulasi dan penggaris (langkah penting dalam bukti ini adalah Napoleon ini).
Membangun dengan disabilitas dengan disabilitas. Dalam tugas-tugas semacam ini, alat-alat (berbeda dengan pengaturan masalah klasik) dianggap tidak ideal, tetapi terbatas: langsung melalui dua titik menggunakan garis dapat dilakukan hanya jika jarak antara titik-titik ini tidak melebihi beberapa nilai; Radius lingkaran yang dilakukan dengan sirkulasi dapat dibatasi dari atas, dari bawah, atau pada saat yang sama dari atas, dan di bawah.
Bangunan dengan origami datar. Lihat Peraturan Situs

Lihat juga

Program geometri dinamis memungkinkan Anda untuk membangun dengan sirkulasi dan penggaris di komputer.

Catatan

literatur

A. Adler. Teori konstruksi geometris / terjemahan dari Jerman M. fihtendulz. - edisi ketiga. - L.: StockedGiz, 1940. - 232 p.
I. I. Alexandrov. Kumpulan tugas geometris untuk bangunan. - Edisi ethnamed. - m.: StockedGiz, 1950. - 176 p.
B. I. Argunov, M. B. Balk . - edisi kedua. - m.: Stockedgiz, 1957. - 268 p.
A. M. VORONETS. Geometri melingkar. - M.-L.: Onti, 1934. - 40 s. - (perpustakaan populer dalam matematika di bawah edisi umum L. A. lysterynik).
V. A. GALEL. Tugas Tidak Berelolasi untuk Konstruksi // Pendingin. - 1999. - № 12. - P. 115-118.
V. A. KIRICHENKO. Konstruksi melingkar dan aturan dan teori Galois // Sekolah Musim Panas "Matematika Modern". - Dubna, 2005.
Yu. I. Mannin Buku IV. Geometri // Ensiklopedia Matematika SD. - m.: fizmatgiz, 1963. - 568 p.
Yu. Petersen. Metode dan teori pemecahan tugas geometris untuk konstruksi. - m.: Tipografi E. Lisner dan Yu. Roman, 1892. - 114 p.
V. V. Prasolov Tiga tugas konstruksi klasik. Menggandakan Kuba, sudut trizsection, kuadratur lingkaran. - m.: Sains, 1992. - 80 s. - (kuliah populer dalam matematika).
I. Steiner. Konstruksi geometris dilakukan dengan menggunakan garis lurus dan lingkaran tetap. - m.: StockedGiz, 1939. - 80 s.
Kursus opsional dalam matematika. 7-9 / SOST. I. L. Nikolskaya. - m.: Pencerahan, 1991. - P. 80. - 383 p. - ISBN 5-09-001287-3.

Foundation Wikimedia. 2010.

Perhatikan apa itu "Bangunan dengan sirkulasi dan penguasa" dalam kamus lain:

Penguasa - Dapatkan kupon kerja akademik untuk diskon dan penguasa yang menguntungkan atau menguntungkan untuk membeli dengan pengiriman gratis untuk dijual di Sevenplings

Bagian geometri Euclidean, yang diketahui dari zaman kuno. Dalam tugas-tugas, operasi berikut dimungkinkan: tandai titik sewenang-wenang pada pesawat, arahkan pada salah satu baris yang dibangun atau titik persimpangan dua baris yang dibangun. Dengan bantuan ... ... Wikipedia

Bangunan dengan sirkulasi dan geometri Euclidean bagian penguasa, yang diketahui dari zaman kuno. Dalam tugas-tugas untuk membangun operasi berikut adalah mungkin: tandai titik sewenang-wenang pada pesawat, arahkan pada salah satu baris yang dibangun atau titik ... ... Wikipedia

SUT., S., UDR. dibandingkan. Sering morfologi: (tidak) Apa? Membangun apa? Bangunan, (lihat) Apa? Membangun daripada? Membangun apa? tentang bangunan; M N. apa? Membangun, (tidak) Apa? Konstruksi, apa? Bangunan, (lihat) Apa? Bangunan, apa? ... ... Kamus Dmitrieva.