"Kar vemo, je omejeno, in kar ne vemo, je neskončno"

Pierre-Simon Laplace (1749-1827), francoski znanstvenik

Brezmejna ljubezen, brezmejna sreča, ogromen prostor, permafrost, brezmejni ocean in celo neskončna lekcija. V vsakdanjem življenju stvari in pojave pogosto imenujemo neskončni, pogosto pa niti ne pomislimo na pravi pomen tega pojma. Medtem so teologi, filozofi in drugi največji umi človeštva že od najstarejših časov poskušali razumeti njegov pomen. In le matematiki so najdlje napredovali v poznavanju tega, kar se imenuje neskončnost.

Kaj je neskončnost?

Veliko tega, kar vidimo okoli sebe, zaznavamo kot neskončnost, v resnici pa se izkažejo za precej končne stvari. Takole včasih razlagajo otrokom, kako velika je neskončnost: "Če zbereš eno zrno peska vsakih sto let na ogromni plaži, bo trajalo večno, da zbereš ves pesek na plaži." Toda v resnici število zrn peska ni neskončno. Fizično jih je nemogoče prešteti, vendar lahko z zaupanjem trdimo, da njihovo število ne presega vrednosti, ki je enaka razmerju med maso Zemlje in maso enega zrna peska.

Ali drug primer. Mnogi ljudje mislijo, da če stojite med dvema ogledaloma, se bo odsev ponovil v obeh ogledalih, šel v daljavo, postajal čedalje manjši, zato je nemogoče določiti, kje se konča. Aja, to ni neskončnost. Kaj se v resnici dogaja? Nobeno ogledalo ne odbije 100 % svetlobe, ki pade nanj. Zelo kakovostno ogledalo bo odsevalo 99 % svetlobe, vendar bo po 70 odbojih ostalo le 50 % svetlobe, po 140 odbojih bo ostalo le 25 % svetlobe in tako naprej, dokler svetlobe ni premalo. Poleg tega je večina ogledal ukrivljenih, zato se številni odsevi, ki jih vidite, končajo za vogalom.

Poglejmo, kako matematika obravnava neskončnost. To se zelo razlikuje od koncepta neskončnosti, ki ste ga že srečali in zahteva malo domišljije.

Neskončnost v matematiki

Pri matematiki se razlikuje potencial in ažurno Neskončnost.

Ko pravijo, da je določena vrednost neskončno potencialno, pomenijo, da jo je mogoče neomejeno povečati, torej vedno obstaja potencialna možnost njenega povečanja.

Koncept dejanske neskončnosti pomeni neskončno količino, ki že resnično obstaja »tukaj in zdaj«. Naj to razložimo na primeru običajne DIRECT linije.

Primer 1

Potencialna neskončnost pomeni, da obstaja ravna črta in jo je mogoče nenehno podaljševati (na primer z uporabo segmentov nanjo). Upoštevajte, da tukaj ni poudarek na dejstvu, da je črta neskončna, temveč na dejstvu, da se lahko nadaljuje neomejeno.

Dejanska neskončnost pomeni, da celotna neskončna črta že obstaja v sedanjem času. Toda težava je v tem, da nobena živa oseba ni videla neskončne ravne črte in je fizično ne zmore! Eno je, če lahko neskončno podaljšujemo ravno črto, in povsem drugo je dejansko ustvariti neskončno ravno črto. To je zelo subtilna razlika in razlikuje potencialno neskončnost od dejanske neskončnosti. Uf! Obravnavanje teh neskončnosti zahteva veliko domišljije! Poglejmo si še en primer.

Primer 2

Recimo, da se odločite sestaviti niz naravnih števil: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...

V nekem trenutku ste dosegli zelo veliko število n in mislite, da je to največje število. V tem trenutku tvoj prijatelj pravi, da ga nič ne stane, če k tvoji številki n dodaš 1 (eno) in dobiš še večje število k = n + 1. Potem ti, rahlo ranjen, razumeš, da te nič ne more preprečiti pri dodajanju k številko k ena in dobimo število k+1. Ali je število takih korakov vnaprej omejeno? št. Seveda vi in ​​vaš prijatelj morda nimate dovolj moči, časa na nekem koraku m, da bi naredili naslednji korak m + 1, vendar lahko vi ali nekdo drug to serijo gradite naprej. V tem primeru dobimo koncept potencialne neskončnosti.

Če vam s prijateljem uspe zgraditi neskončno vrsto naravnih števil, katerih elementi so prisotni hkrati, bo to dejanska neskončnost. Toda dejstvo je, da nihče ne more zapisati vseh številk - to je neizpodbitno dejstvo!

Strinjam se, da je potencialna neskončnost za nas bolj razumljiva, saj si jo je lažje predstavljati. Zato so stari filozofi in matematiki priznavali le potencialno neskončnost in odločno zavračali možnost delovanja z dejansko neskončnostjo.

Galilejev paradoks

Leta 1638 je veliki Galileo postavil vprašanje: "Neskončno veliko - ali je vedno enako neskončno veliko? Ali pa lahko obstajajo večje in manjše neskončnosti?"

Oblikoval je postulat, ki je kasneje postal znan kot "Galilejev paradoks": naravnih števil je toliko, kolikor je kvadratov naravnih števil, to je v nizu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... enako število elementov koliko je v nizu 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ...

Bistvo paradoksa je naslednje.

Nekatera števila so natančni kvadrati (torej kvadrati drugih številk), na primer: 1, 4, 9 ... Druge številke niso natančni kvadrati, na primer 2, 3, 5 ... Torej bi moralo biti natančnejše kvadrati in navadna števila skupaj, kot le popolni kvadrati. Prav? Prav.

Toda po drugi strani: za vsako število obstaja natančen kvadrat, in obratno - za vsak natančen kvadrat obstaja cel kvadratni koren, torej mora biti enako število natančnih kvadratov in naravnih števil. Prav? Prav.

Galilejevo razmišljanje je prišlo v nasprotju z nespornim aksiomom, da je celota večja od katerega koli lastnega dela. Ni znal odgovoriti, katera neskončnost je večja - prva ali druga. Galileo je verjel, da se je v nečem zmotil ali pa takšne primerjave niso uporabne za neskončnosti. Pri slednjem je imel prav, kajti tri stoletja pozneje je Georg Cantor dokazal, da je »aritmetika neskončnega drugačna od aritmetike končnega«.

Preštevne neskončnosti: del je enak celoti

Georg Kantor(1845-1918), ustanovitelj teorije množic, je začel uporabljati dejansko neskončnost v matematiki. Priznal je, da neskončnost obstaja naenkrat. In ker obstaja neskončno nizov in vse naenkrat, potem lahko z njimi izvajate matematične manipulacije in jih celo primerjate. Ker sta besedi "število" in "kvantiteta" neprimerni v primeru neskončnosti, je uvedel izraz "moč". Za standard je Kantor vzel neskončna naravna števila, ki so dovolj za preračun česar koli, je to množico imenoval štetna, njeno moč pa je moč štetje množice in jo začel primerjati s potencami drugih množic.

Dokazal je, da ima množica naravnih števil toliko elementov kot množica sodih števil! Pravzaprav pišemo drug pod drugim:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

Na prvi pogled se zdi očitno, da je v prvem nizu dvakrat več številk kot v drugem. Toda po drugi strani je jasno, da je tudi drugo zaporedje štetno, saj katero koli njegovo število VEDNO ustreza natanko eni številki prvega zaporedja. In obratno! Torej drugega zaporedja ni mogoče izčrpati pred prvim. Zato so ti sklopi enakovredni! Podobno je dokazano, da je množica kvadratov naravnih števil (iz Galileovega paradoksa) štetna in enakovredna množici naravnih števil. Iz tega sledi, da so vse štetne neskončnosti enakovredne.

Izkazalo se je zelo zanimivo: množica sodih števil in množica kvadratov naravnih števil (iz Galileovega paradoksa) sta del množice naravnih števil. Vendar so enako močni. Zato JE DEL ENAK CELOTI!

Nešteto neskončnosti

Toda vsake neskončnosti ni mogoče prešteti tako, kot smo to storili s sodimi števili in kvadrati naravnih števil. Izkazalo se je, da je nemogoče šteti točke na segmentu, realna števila (izražena z vsemi končnimi in neskončnimi decimalnimi ulomki), celo vsa realna števila od 0 do 1. V matematiki pravijo, da je njihovo število nešteto.

Razmislite o tem na primeru zaporedja ulomnih števil. Ulomna števila imajo lastnost, ki je nimajo cela števila. Med dvema zaporednima celima številkama ni drugih celih števil. Na primer, nobeno drugo celo število ne bo "prilegalo" med 8 in 9. Če pa naboru celih številk dodamo ulomka, to pravilo ne bo več veljalo. Da, številka

bo med 8 in 9. Podobno lahko najdete številko med poljubnima številkama A in B:

Ker se to dejanje lahko ponavlja neomejeno, lahko trdimo, da bo med katerima koli realnima številoma vedno neskončno veliko drugih realnih števil.

Tako je neskončnost realnih števil nešteta, neskončnost naravnih števil pa je štetja. Te neskončnosti niso enakovredne, toda iz neštetega niza realnih števil lahko vedno izberemo štetni del, na primer naravna ali soda števila. Zato je nešteta neskončnost močnejša od štetne neskončnosti.

Teorija relativnosti obravnava prostor in čas kot eno samo tvorbo, tako imenovani "prostor - čas", v katerem ima časovna koordinata enako pomembno vlogo kot prostorska. Zato lahko v najbolj splošnem primeru z vidika teorije relativnosti govorimo le o končnosti ali neskončnosti tega posebnega združenega »prostor-časa«. Potem pa vstopimo v tako imenovani štiridimenzionalni svet, ki ima prav posebne geometrijske lastnosti, ki se najbolj razlikujejo od geometrijskih lastnosti tridimenzionalnega sveta, v katerem živimo.

In neskončnost oziroma končnost štiridimenzionalnega »prostora – časa« še vedno ne pove nič ali skoraj nič o prostorski neskončnosti Vesolja, ki nas zanima.

Po drugi strani pa štiridimenzionalni "prostor-čas" teorije relativnosti ni le priročen matematični aparat. Odraža dobro opredeljene lastnosti, odvisnosti in pravilnosti resničnega Vesolja. In zato smo pri reševanju problema neskončnosti prostora z vidika teorije relativnosti prisiljeni upoštevati lastnosti "prostora-časa". A. Friedman je že v dvajsetih letih sedanjega stoletja pokazal, da v okviru teorije relativnosti ločena postavitev vprašanja prostorske in časovne neskončnosti Vesolja ni vedno možna, ampak le pod določenimi pogoji. Ti pogoji so: homogenost, torej enakomerna porazdelitev snovi v vesolju, in izotropnost, torej enake lastnosti v kateri koli smeri. Samo v primeru homogenosti in izotropije se en sam "prostor-čas" razcepi na "homogen prostor" in univerzalni "svetovni čas".

Toda, kot smo že omenili, je resnično Vesolje veliko bolj zapleteno kot homogeni in izotropni modeli. In to pomeni, da se štiridimenzionalni svet teorije relativnosti, ki ustreza resničnemu svetu, v katerem živimo, v splošnem primeru ne razdeli na "prostor" in "čas". Zato, tudi če lahko s povečanjem natančnosti opazovanj izračunamo povprečno gostoto (in s tem lokalno ukrivljenost) za našo galaksijo, za kopico galaksij, za območje vesolja, dostopno opazovanjem, to še ne bo rešitev vprašanja prostorskega obsega vesolja kot celote.

Zanimivo je, mimogrede, omeniti, da se lahko nekatere regije prostora dejansko izkažejo za končne v smislu zaprtosti. In ne samo prostor Metagalaksije, ampak tudi katero koli območje, v katerem so dovolj močne mase, ki povzročajo močno ukrivljenost, na primer prostor kvazarjev. Toda, ponavljamo, to še vedno ne pove ničesar o končnosti ali neskončnosti vesolja kot celote. Poleg tega je končnost ali neskončnost prostora odvisna ne le od njegove ukrivljenosti, temveč tudi od nekaterih drugih lastnosti.

Tako v sedanjem stanju splošne teorije relativnosti in astronomskih opazovanj ne moremo dobiti dovolj popolnega odgovora na vprašanje prostorske neskončnosti Vesolja.

Pravijo, da je slavni skladatelj in pianist F. Liszt eno od svojih klavirskih del priskrbel s takšnimi navodili za izvajalca: "hitro", "še hitreje", "čim prej", "še hitreje" ...

Ta zgodba nehote pride na misel v povezavi s preučevanjem vprašanja neskončnosti vesolja. Že iz zgoraj povedanega je očitno, da je ta problem izjemno kompleksen.

Pa vendar je še vedno neizmerno težje ...

Pojasniti pomeni reducirati na znano. Ta tehnika se uporablja v skoraj vseh znanstvenih študijah. In ko poskušamo rešiti problem geometrijskih lastnosti Vesolja, si prizadevamo tudi te lastnosti zmanjšati na znane pojme.

Lastnosti vesolja tako rekoč "preizkušajo" trenutno obstoječe abstraktne matematične koncepte neskončnosti. Toda ali te predstavitve zadostujejo za opis vesolja kot celote? Težava je v tem, da so se razvili večinoma neodvisno, včasih pa povsem neodvisno od problemov preučevanja Vesolja, vsekakor pa na podlagi preučevanja omejenega prostora prostora.

Tako se rešitev vprašanja resnične neskončnosti Vesolja spremeni v nekakšno loterijo, pri kateri verjetnost dobitka, torej naključno naključje vsaj dokaj velikega števila lastnosti resničnega Vesolja z eno od formalno izpeljanih standardov neskončnosti, je zelo majhna.

Osnova sodobnih fizikalnih idej o vesolju je tako imenovana posebna teorija relativnosti. Po tej teoriji prostorska in časovna razmerja med različnimi resničnimi predmeti okoli nas niso absolutna. Njihov značaj je v celoti odvisen od stanja gibanja danega sistema. Torej, v gibljivem sistemu se hitrost časovnega toka upočasni in vse dolžinske lestvice, t.j. dimenzije podaljšanih predmetov se zmanjšajo. In to zmanjšanje je močnejše, višja je hitrost gibanja. Ko se približamo svetlobni hitrosti, ki je največja možna hitrost v naravi, se vse linearne lestvice neomejeno zmanjšujejo.

Če pa so vsaj nekatere geometrijske lastnosti prostora odvisne od narave gibanja referenčnega okvirja, torej relativne, imamo pravico postaviti vprašanje: ali nista pojma končnosti in neskončnosti tudi relativna? Navsezadnje so tesno povezani z geometrijo.

V zadnjih letih je znani sovjetski kozmolog A. L. Zelmapov preučeval ta radovedni problem. Uspelo mu je odkriti dejstvo, na prvi pogled precej neverjetno. Izkazalo se je, da je prostor, ki je končen v fiksnem referenčnem okviru, hkrati lahko neskončen glede na premikajoči se referenčni okvir.

Morda se ta sklep ne bo zdel tako presenetljiv, če se spomnimo zmanjšanja obsega v gibljivih sistemih.

Priljubljena predstavitev kompleksnih problemov sodobne teoretične fizike je zelo težka, saj v večini primerov ne dopuščajo vizualnih razlag in analogij. Kljub temu bomo zdaj poskušali dati eno analogijo, vendar z njeno uporabo ne bomo poskušali pozabiti, da je zelo približna.

Predstavljajte si, da vesoljsko plovilo pelje mimo Zemlje s hitrostjo, ki je enaka recimo dvema tretjinama svetlobne hitrosti – 200.000 km/s. Potem je treba v skladu s formulami teorije relativnosti opaziti prepolovitev vseh lestvic. To pomeni, da bodo z vidika astronavtov, ki so na ladji, vsi segmenti na Zemlji postali polovico krajši.

Zdaj si predstavljajmo, da imamo ravno črto, čeprav zelo dolgo, a še vedno končno, in jo merimo z neko enoto dolžinskega merila, na primer meter. Za opazovalca v vesoljski ladji, ki se giblje s hitrostjo, ki se približuje svetlobni, se bo naš referenčni merilnik skrčil na točko. In ker je tudi na končni črti neskončno število točk, bo za opazovalca na ladji naša črta postala neskončno dolga. Približno enako se bo zgodilo glede na obseg površin in volumnov. Posledično lahko končna področja prostora v gibljivem referenčnem okviru postanejo neskončna.

Še enkrat ponavljamo - to nikakor ni dokaz, ampak le precej groba in daleč od popolne analogije. Vendar daje nekaj idej o fizičnem bistvu pojava, ki vas zanima.

Spomnimo se, da se v gibljivih sistemih ne zmanjša le lestvica, ampak se tudi upočasni tok časa. Iz tega sledi, da se lahko trajanje obstoja nekega predmeta, ki je glede na fiksni (statičen) koordinatni sistem končen, izkaže za neskončno dolgo v premikajočem se referenčnem sistemu.

Tako iz del Zelmanova izhaja, da sta lastnosti "končnosti" in "neskončnosti" prostora in časa relativni.

Vseh teh, na prvi pogled, precej "ekstravagantnih" rezultatov seveda ni mogoče šteti za vzpostavitev nekaterih splošnih geometrijskih lastnosti resničnega Vesolja.

Toda zahvaljujoč njim je mogoče narediti izjemno pomemben sklep. Tudi z vidika teorije relativnosti je koncept neskončnosti vesolja veliko bolj zapleten, kot se je zdelo prej.

Zdaj obstajajo vsi razlogi za pričakovati, da če se kdaj ustvari teorija, ki je bolj splošna od teorije relativnosti, se bo v okviru te teorije vprašanje neskončnosti vesolja izkazalo za še bolj zapleteno.

Ena od glavnih določil sodobne fizike, njen temeljni kamen, je zahteva po tako imenovani invariantnosti fizikalnih trditev glede na transformacije referenčnega okvira.

Invariant pomeni "ne spreminja". Da bi bolje razumeli, kaj to pomeni, vzemimo za primer nekaj geometrijskih invariant. Torej so krogi s središči v izhodišču pravokotnega koordinatnega sistema rotacijske invariante. S kakršnim koli vrtenjem koordinatnih osi glede na izvor se takšni krogi spremenijo vase. Ravne črte, pravokotne na os "OY", so invariante transformacij prenosa koordinatnega sistema vzdolž CRS "OX".

Toda v našem primeru govorimo o invariantnosti v širšem pomenu besede: vsaka izjava ima fizični pomen le, kadar ni odvisna od izbire referenčnega okvira. V tem primeru je treba referenčni sistem razumeti ne le kot koordinatni sistem, ampak tudi kot način opisa. Ne glede na to, kako se način opisovanja spreminja, mora fizična vsebina preučevanih pojavov ostati nespremenjena, nespremenljiva.

Zlahka je videti, da to stanje nima le čisto fizičnega, temveč tudi temeljnega filozofskega pomena. Odraža željo znanosti po razjasnitvi resničnega, resničnega poteka pojavov in izključitvi vseh izkrivljanj, ki jih lahko v ta potek vnese sam proces znanstvenega raziskovanja.

Kot smo videli, iz del A. L. Zelmanova izhaja, da tako neskončnost v prostoru kot neskončnost v času ne izpolnjujeta zahteve po invariantnosti. To pomeni, da koncepti časovne in prostorske neskončnosti, ki jih trenutno uporabljamo, ne odražajo v celoti resničnih lastnosti sveta okoli nas. Zato je očitno že sama formulacija vprašanja neskončnosti vesolja kot celote (v prostoru in času), s sodobnim razumevanjem neskončnosti, brez fizičnega pomena.

Prejeli smo še en prepričljiv dokaz, da so »teoretični« koncepti neskončnosti, ki jih je doslej uporabljala znanost o vesolju, zelo, zelo omejeni. Na splošno je bilo to mogoče ugibati že prej, saj je resnični svet vedno veliko bolj zapleten kot katerikoli "model" in lahko govorimo le o bolj ali manj natančnem približevanju realnosti. Toda v tem primeru je bilo še posebej težko tako rekoč na oko oceniti, kako pomemben je bil dosežen približek.

Zdaj se vsaj obeta pot. Očitno je naloga predvsem razviti sam koncept neskončnosti (matematično in fizično), ki temelji na preučevanju resničnih lastnosti vesolja. Z drugimi besedami: "preizkušanje" ne vesolja na teoretične ideje o neskončnosti, ampak obratno, te teoretične ideje na resnični svet. Le tak način raziskovanja lahko pripelje znanost do pomembnega uspeha na tem področju. Nobeno abstraktno logično sklepanje in teoretični zaključki ne morejo nadomestiti dejstev, pridobljenih iz opazovanj.

Verjetno je treba najprej na podlagi preučevanja resničnih lastnosti vesolja razviti invariantni koncept neskončnosti.

In na splošno očitno ni takšnega univerzalnega matematičnega ali fizičnega standarda neskončnosti, ki bi lahko odražal vse lastnosti resničnega Vesolja. Ko se znanje razvija, se bo število vrst neskončnosti, ki jih poznamo, neomejeno povečevalo. Zato je verjetno, da na vprašanje, ali je vesolje neskončno, nikoli ne bomo odgovorili s preprostim da ali ne.

Na prvi pogled se morda zdi, da v zvezi s tem preučevanje problema neskončnosti vesolja na splošno izgubi kakršen koli pomen. Vendar, prvič, ta problem se v takšni ali drugačni obliki na določenih stopnjah sooča z znanostjo in ga je treba rešiti, in drugič, poskusi njegovega reševanja vodijo do številnih plodnih odkritij na poti.

Na koncu je treba poudariti, da je problem neskončnosti vesolja veliko širši od vprašanja njegovega prostorskega obsega. Najprej lahko govorimo ne samo o neskončnosti "v širino", ampak, tako rekoč, "v globini". Z drugimi besedami, treba je dobiti odgovor na vprašanje, ali je prostor neskončno deljiv, neprekinjen, ali so v njem nekateri minimalni elementi.

Trenutno se je ta problem že pojavil pred fiziki. Resno se obravnava vprašanje možnosti tako imenovane kvantizacije prostora (pa tudi časa), torej selekcije v njem določenih »elementarnih« celic, ki so izjemno majhne.

Prav tako ne smemo pozabiti na neskončno raznolikost lastnosti Vesolja. Konec koncev je vesolje najprej proces, katerega značilnost sta neprekinjeno gibanje in nenehni prehodi snovi iz enega stanja v drugo. Zato je neskončnost Vesolja tudi neskončna raznolikost oblik gibanja, vrst snovi, fizikalnih procesov, odnosov in interakcij ter celo lastnosti določenih predmetov.

Ali neskončnost obstaja?

V zvezi s problemom neskončnosti vesolja se poraja na videz nepričakovano vprašanje. Ali ima sam koncept neskončnosti resničen pomen? Ali ni to le pogojna matematična konstrukcija, ki ji v resničnem svetu sploh nič ne ustreza? Podobnega stališča so imeli nekateri raziskovalci v preteklosti, zagovornike pa ima tudi danes.

Toda podatki znanosti pričajo, da pri preučevanju lastnosti resničnega sveta v vsakem primeru naletimo na tisto, kar lahko imenujemo fizična ali praktična neskončnost. Na primer, srečamo se s tako velikimi (ali tako majhnimi), da se z določenega vidika ne razlikujejo od neskončnosti. Te količine presegajo kvantitativno mejo, preko katere morebitne nadaljnje spremembe v njih nimajo več opaznega vpliva na bistvo obravnavanega procesa.

Tako neskončnost nesporno obstaja objektivno. Poleg tega tako v fiziki kot v matematiki skoraj na vsakem koraku srečamo koncept neskončnosti. To ni nesreča. Obe vedi, predvsem fizika, kljub navidezni abstraktnosti številnih določil v končni analizi vedno izhajata iz realnosti. To pomeni, da ima narava, Vesolje dejansko nekaj lastnosti, ki se odražajo v konceptu neskončnosti.

Celoto teh lastnosti lahko imenujemo prava neskončnost Vesolja.

Neskončnost je abstrakten koncept, ki se uporablja za opis ali označevanje nečesa neskončnega ali neomejenega. Ta koncept je pomemben za matematiko, astrofiziko, fiziko, filozofijo, logiko in umetnost.

Tukaj je nekaj neverjetnih dejstev o tem zapletenem konceptu, ki lahko preseneti vsakogar, ki matematike ne pozna preveč.

Simbol neskončnosti

Neskončnost ima svoj poseben simbol: ∞. Simbol ali lemniskat je leta 1655 uvedel duhovnik in matematik John Wallis. Beseda "lemniscate" izvira iz latinske besede lemniscus, kar pomeni "trak".

Wallis je morda zasnoval simbol neskončnosti na rimski številki 1000, ob kateri so Rimljani poleg številke označevali »nešteto«. Možno je tudi, da simbol temelji na omegi (Ω ali ω), zadnji črki grške abecede.

Zanimivo dejstvo je, da se je koncept neskončnosti pojavil in je bil uporabljen že dolgo preden ga je Wallis podelil s simbolom, ki ga uporabljamo še danes.

V četrtem stoletju pred našim štetjem je džainsko matematično besedilo, imenovano Surya Prajnapti Sutra, razdelilo vsa števila v tri kategorije, od katerih je bila vsaka razdeljena na tri podkategorije. V teh kategorijah so bila določena našteta, neštetna in neskončna števila.

Aporia Zeno

Zenon iz Eleje, rojen približno v petem stoletju pr. e., je bil znan po paradoksih ali aporijah, vključno s konceptom neskončnosti.

Od vseh Zenonovih paradoksov sta najbolj znana Ahil in želva. V aporiji želva izzove grškega junaka Ahila in ga povabi na dirko. Želva trdi, da bo zmagal v dirki, če mu bo Ahil dal prednost tisoč korakov. Po paradoksu bo v času, ko Ahil preteče celotno razdaljo, želva naredila še sto korakov v isto smer. Medtem ko Ahil teče še sto korakov, ima želva čas, da naredi še deset in tako naprej v padajočem vrstnem redu.

Na preprostejši način se paradoks obravnava takole: poskusite prečkati sobo, če je vsak naslednji korak polovica prejšnjega. Čeprav vas vsak korak približa robu sobe, do njega pravzaprav nikoli ne boste prišli oziroma ga boste, ampak bo naredil neskončno število korakov.

Po eni od sodobnih interpretacij ta paradoks temelji na napačni predstavi o neskončni deljivosti časa in prostora.

Število pi je primer neskončnosti

Pi je odličen primer neskončnosti. Matematiki uporabljajo simbol za pi, ker je nemogoče zapisati celotno število. Pi je sestavljen iz neskončnega števila številk. Pogosto se zaokroži na 3,14 ali celo 3,14159, a ne glede na to, koliko števk je zapisano za decimalno vejico, je nemogoče priti do konca števila.

Izrek o neskončni opici

Drug način razmišljanja o neskončnosti je, da razmislimo o izreku o neskončni opici. V skladu z izrekom, če opici daš pisalni stroj in neskončno veliko časa, bo sčasoma opica lahko natisnila Hamleta ali katero koli drugo delo.

Medtem ko mnogi ljudje jemljejo izrek kot dokaz prepričanja, da nič ni nemogoče, ga matematiki vidijo kot dokaz, da je določen dogodek nemogoč.

Fraktali in neskončnost

Fraktal je abstraktni matematični predmet, ki se uporablja v matematiki in umetnosti, najpogosteje modelira naravne pojave. Fraktal je zapisan kot matematična enačba. Če pogledamo fraktal, lahko opazimo njegovo kompleksno strukturo v katerem koli obsegu. Z drugimi besedami, fraktal se neskončno povečuje.

Kochova snežinka je zanimiv primer fraktala. Snežinka je videti kot enakostranični trikotnik, ki tvori zaprto krivuljo neskončne dolžine. S povečanjem krivulje je na njej vidnih vse več podrobnosti. Proces povečevanja krivulje se lahko nadaljuje neskončno število krat. Čeprav ima Kochova snežinka omejeno območje, jo omejuje neskončno dolga črta.

Neskončnost v različnih velikostih

Neskončnost je brezmejna, vendar je merljiva, čeprav primerjalna. Pozitivna števila (večja od 0) in negativna števila (manj kot 0) se ponašajo z neskončnimi nizi številk enake velikosti. Kaj se zgodi, če združite oba sklopa? Dobili boste dvakratno velikost kompleta. Ali drug primer - vsa soda števila (obstaja jih neskončno število). In vendar je le polovica neskončnega števila vseh celih števil. Še en primer, samo dodajte eno v neskončnost. Naučite se števila 1, ki je večje od neskončnosti.

Kozmologija in neskončnost

Kozmologi preučujejo vesolje, ni presenetljivo, da ima koncept neskončnosti zanje pomembno vlogo. Ali ima vesolje meje ali je neskončno?

To vprašanje še vedno ostaja neodgovorjeno. Naše vesolje se širi, a kje? In kje je meja te širitve? Tudi če ima fizično vesolje meje, imamo še vedno teorijo multiverzuma, ki upošteva obstoj neskončnega števila vesolj, ki imajo lahko drugačne zakone fizike od naših.

Deljenje z ničlo

Delitev z nič ne obstaja. To je nemogoče, vsaj v navadni matematiki ne. V matematiki, ki smo je vajeni, ena, deljena z nič, ni mogoče določiti. To je napaka. Vendar to ni vedno tako. V razširjeni teoriji kompleksnih števil delitev ena z nič ne povzroči neizogibnega kolapsa in je določena z neko obliko neskončnosti. Z drugimi besedami, matematika je drugačna in ni vsa omejena na pravila iz učbenikov.

V vsakdanjem življenju se mora človek najpogosteje ukvarjati s končnimi količinami. Zato je zelo težko vizualizirati neomejeno neskončnost. Ta koncept je zavit v halo skrivnosti in nenavadnosti, ki se meša s spoštovanjem do vesolja, katerega meje je skoraj nemogoče določiti.

Prostorska neskončnost sveta spada med najbolj zapletene in kontroverzne znanstvene probleme. Starodavni filozofi in astronomi so poskušali to vprašanje rešiti z najpreprostejšimi logičnimi konstrukcijami. Za to je bilo dovolj domnevati, da je mogoče doseči domnevni rob vesolja. Če pa v tem trenutku iztegnete roko, se meja premakne za določeno razdaljo. To operacijo je mogoče ponoviti neštetokrat, kar dokazuje neskončnost vesolja.

Težko si je predstavljati neskončnost vesolja, a nič manj težko je, kako bi lahko izgledal omejen svet. Tudi za tiste, ki v študiju kozmologije niso zelo napredni, se v tem primeru poraja naravno vprašanje: kaj je onkraj meja vesolja? Vendar takšno razmišljanje, zgrajeno na zdravi pameti in svetovnih izkušnjah, ne more služiti kot trdna podlaga za stroge znanstvene zaključke.

Sodobne ideje o neskončnosti vesolja

Sodobni znanstveniki, ki raziskujejo več kozmoloških paradoksov, so prišli do zaključka, da je obstoj končnega vesolja načeloma v nasprotju z zakoni fizike. Svet zunaj planeta Zemlje očitno nima meja niti v prostoru niti v času. V tem smislu neskončnost nakazuje, da niti količine snovi v vesolju niti njegovih geometrijskih dimenzij ni mogoče izraziti niti z največjim številom ("Evolucija vesolja", I.D. Novikov, 1983).

Tudi če upoštevamo hipotezo, da je vesolje nastalo pred približno 14 milijardami let kot posledica tako imenovanega velikega poka, lahko to pomeni le, da je v teh izjemno oddaljenih časih svet šel skozi drugo stopnjo naravne preobrazbe. Na splošno se neskončno Vesolje nikoli ni pojavilo med začetnim potiskom ali nerazložljivim razvojem nekega nematerialnega predmeta. Predpostavka o neskončnem vesolju odpravlja hipotezo o božanskem ustvarjanju sveta.

Leta 2014 so ameriški astronomi objavili rezultate najnovejše raziskave, ki potrjujejo hipotezo o obstoju neskončnega in ravnega vesolja. Znanstveniki so z visoko natančnostjo izmerili razdaljo med galaksijami, ki se nahajajo na razdalji več milijard svetlobnih let druga od druge. Izkazalo se je, da se te ogromne vesoljske zvezdne kopice nahajajo v krogih s konstantnim polmerom. Kozmološki model, ki so ga zgradili raziskovalci, posredno dokazuje, da je vesolje neskončno tako v prostoru kot v času.

V stiku z

Ali obstaja neskončnost

Ali je vesolje neskončno, in če je odgovor pritrdilen, potem "to ne more biti." In če ne, kaj je na drugi strani? In kdo obožuje pravljice o omejenemrazdelilniki brez roba, kot je krogla - naj misel pošlje pravokotno na rob.kaj je tam? Ali kdo. Izmišljena neskončnost ni tako prodorna, ampak tudimestoma nerazumljivo. Georg Kantor. Neskončna primerjava. Kontinuum. NaNa kvadratu je toliko točk, kolikor jih je na odseku črte.

Cvrč pekoč občutek prostorske večnosti je šokanten, dokler težave nebesnega cesarstva zaznavajo črevesje in ne um. Nato prodoren klic neizčrpnost” postopoma zastane in se človek, ki se opeče nad resničnostjo, skriva v izmišljenem svetu. Še vedno ni dovolj dobro za skrivanje.

V svetu idej se neskončnost pojavlja v drugačni obliki. V kakšnem smislu obstaja naravna vrsta? Kot potekajoči proces ali kot zaključen? Ali so naravna števila potencialno konstruirana ali so že na voljo? Problem na začetku

diši po sholastiki. Ni važno, se zdi. Nobenih posledic ni.

Posledice pa so ogromne. Alternativno dobimo dva različna matematika. Eden je konstruktiven, ne dopušča realizacije neskončnosti v vsej njeni neizmernosti. Drugi je navaden, vsejed.

Manjše težave zaradi prisotnosti neskončnosti se pojavijo že v osnovni

situacije tipa, kjer prisotnost korespondence ena proti ena n ↔ n^2 spodbuja idejo, da obstaja toliko celih števil, kot je njihovih kvadratov. Primer je že dolgo na robu, vendar v svoji najpreprostejši obliki odraža prisotnost problema. Konec koncev se izkaže, da če mi nekdo vsak dan vzame 10 rubljev in mi da enega, potem bomo, ko bo postopek končan, odpuščeni. Kajti, če se je serija že zgodila, sem n-ti rubelj dobil n-ti dan. Paradoks seveda ni vreden niti prekleto, saj se proces nikoli ne bo končal, razmišlja petošolka.

Kaj pa p/q ulomki? Vsi so "že tam" na segmentu. Tukaj so, ni jih treba dodajati enega za drugim. Torej - " past končne velikosti za neskončnost". malo

denarnico, kamor so postavljeni vsi ulomki. In koren iz dveh, tako kot neskončnost, zaradi neskončnosti decimskega ulomka. Zato ima teorija množic vse razloge, da neskončnost obravnava kot " dano". Druga stvar je, da so za to danost naložene določene zahteve, tako da ni protislovij.

Toda takoj, ko nekaj priznaš, se začnejo težave. Infinity roj in z

jih je treba nekako obvladati. To je bilo storjeno Georg Kantor ki je ustvaril teorijo množic. Revolucija, ki se je zgodila, potrjuje dobro znano tezo » resnica se rodi kot krivoverstvo in umre kot banalnost". Glavne ideje so danes na voljo vsem. AMPAK " potem"nemogoče

nikomur ni bilo treba razlagati. Intuicija se je uprla. Zdaj se je bolezen ukoreninila, zmedenost je usahnila.

Kantor je kot osnovo za preučevanje množic postavil orodje korespondence ena proti ena. Nabori X, Y so enakovredni, če je mogoče vzpostaviti medsebojno korespondenco med njihovimi elementi.

Ekvivalentna relacija refleksno in prehodno, ki vam omogoča, da razbijete vse

postavi v ekvivalenčne razrede. Ekvivalenčni razred množice X imenujemo njena kardinalnost in je označen kot |X|. Kompleti so razvrščeni po kardinalnosti z uporabo naravnega trika.

Množice, ki so enakovredne naravnim številom, se imenujejo štetne. Vsako zaporedje je štetno. Upoštevanje decimalnih ulomkov se sooča z novim pojavom. Množica takšnih številk (kontinuum) se izkaže za nešteto.

Zgodovinski poskus ugotovitve, da imata segment in kvadrat x različne kardinalnosti, je bil zelo boleč. Izkazalo se je, da sta enaka. Svet še ni bil deležen takšnega pretresa od Galilejevih časov, ko je bilo odkrito, da vsa telesa padajo z enakim

pospešek.

Kakorkoli že, neskončnost si je priborila mesto pod soncem. Brez nje bi vse v matematiki »mirilo«. Ja ~ splača se - v konstruktivni matematiki, kjer ne paše - navadno. Enakosti in neenakosti konstruktivnih števil se najpogosteje ne preverjajo, zaporedja se nimajo kam zbližati, meje ne obstajajo, kontinuiteta je le sanje in na splošno se vse sesuje. Grozna slika. Obseg katastrofe je celo težko oceniti. Zato je neskončnost skoraj tako uporabna kot "ena". Druga plat kovanca, nekako. Nekakšna posoda za "kar se ne zgodi".