Свойства на права линия в евклидова геометрия.
Можете да начертаете безкрайно много прави линии през всяка точка.
През всяка две несъвпадащи точки може да се проведе една права линия.
Две несъответстващи прави линии в равнината или се пресичат в една точка, или са
паралелен (следва от предишния).
В триизмерното пространство има три възможности за взаимно положение на две прави линии:
- прави линии се пресичат;
- правите линии са успоредни;
- прави линии се пресичат.
Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система, права линия
се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).
Общо уравнение на права линия.
Определение... Всяка права линия в равнина може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред
Ax + Wu + C = 0,
с постоянен А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича често срещани
уравнение на права линияВ зависимост от стойностите на константите А, Би Свъзможни са следните специални случаи:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- правата линия минава през началото
. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста Ох
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU
. B = C = 0, A ≠ 0- правата линия съвпада с оста OU
. A = C = 0, B ≠ 0- правата линия съвпада с оста Ох
Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми, в зависимост от даденото
начални условия.
Уравнение на права линия по точка и нормален вектор.
Определение... В декартова правоъгълна координатна система, вектор с компоненти (A, B)
перпендикулярна на права линия, дадена от уравнението
Ax + Wu + C = 0.
Пример... Намерете уравнението на права линия, преминаваща през точка А (1, 2)перпендикулярна на вектора (3, -1).
Решение... При A = 3 и B = -1 съставяме уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C
заместим координатите на дадената точка А в получения резултат.Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно
С = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.
Уравнение на права линия, преминаваща през две точки.
Нека са дадени две точки в пространството M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,
преминавайки през тези точки:
Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде приравнен на нула. На
равнина, уравнението на правата линия, написано по -горе, е опростено:
ако x 1 ≠ x 2и x = x 1, ако x 1 = x 2 .
Фракция = kНаречен наклон направо.
Пример... Намерете уравнението на права линия, преминаваща през точките A (1, 2) и B (3, 4).
Решение... Прилагайки горната формула, получаваме:
Уравнение на права линия по точка и наклон.
Ако общото уравнение на права линия Ax + Wu + C = 0въведете формата:
и посочете 
, тогава полученото уравнение се нарича
уравнение на права линия с наклон k.
Уравнение на права линия по точка и вектор на посоката.
По аналогия с абзаца, разглеждащ уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата
права линия през точка и насочващ вектор на права линия.
Определение... Всеки ненулев вектор (α 1, α 2)чиито компоненти отговарят на условието
Аα 1 + Вα 2 = 0Наречен насочващ вектор на права линия.
Ax + Wu + C = 0.
Пример... Намерете уравнението на права линия с вектор на посоката (1, -1) и преминаващ през точка A (1, 2).
Решение... Уравнението на необходимата права линия ще се търси под формата: Ax + By + C = 0.Според определението,
коефициентите трябва да отговарят на условията:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. A = B.
Тогава уравнението на права линия има вида: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.
при x = 1, y = 2получаваме C / A = -3, т.е. необходимо уравнение:
x + y - 3 = 0
Уравнение на права линия в сегменти.
Ако в общото уравнение на прави Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:
или къде
Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на точката на пресичане
прав с ос О,но б- координатата на точката на пресичане на правата линия с оста OU.
Пример... Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия в сегменти.
С = 1, а = -1, b = 1.
Нормално уравнение на права линия.
Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделете по номер 
който се нарича
нормализиращ фактор, тогава получаваме
xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на линията.
Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.
R- дължината на перпендикуляра, паднала от началото на права линия,
но φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ох.
Пример... Дадено е общото уравнение на права линия 12x - 5y - 65 = 0... Необходимо е да се напишат различни типове уравнения
тази права линия
Уравнението на тази линия в сегменти:
Уравнение на тази права с наклон: (разделете на 5)
Уравнение на права линия:
cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; р = 5.
Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение в сегменти, например прави линии,
успоредни на осите или преминаващи през началото.
Ъгълът между прави линии в равнината.
Определение... Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, след това остър ъгъл между тези линии
ще бъде дефиниран като
Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2... Две прави линии са перпендикулярни,
ако k 1 = -1 / k 2 .
Теорема.
Директен Ax + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални
А 1 = λА, В 1 = λВ... Ако също С 1 = λС, тогава правите линии съвпадат. Координати на точката на пресичане на две линии
се намират като решение на системата от уравнения на тези прави линии.
Уравнение на права линия, преминаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия.
Определение... Линия през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярно на линията y = kx + b
се представя с уравнението:
Разстояние от точка до линия.
Теорема... Ако се даде точка M (x 0, y 0),след това разстоянието до права линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:
Доказателство... Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, паднала от точката Мза даденост
права. След това разстоянието между точките Ми М 1:
(1)
Координати x 1и в 1може да се намери като решение на системата от уравнения:
Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, преминаваща през дадена точка M 0, перпендикулярна на
дадена права линия. Ако преобразуваме първото уравнение на системата във формата:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
след това, решавайки, получаваме:
Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:
Теоремата е доказана.
Като се имат предвид две точки M 1 (x 1, y 1)и M 2 (x 2, y 2)... Записваме уравнението на права линия под формата (5), където квсе още неизвестен коефициент:
От точката М 2принадлежи на дадена права линия, тогава нейните координати удовлетворяват уравнение (5) :. Изразявайки това и замествайки го в уравнение (5), получаваме необходимото уравнение:
Ако 
това уравнение може да бъде пренаписано във форма, по -удобна за запомняне:
(6)
Пример.Запишете уравнението на права линия, преминаваща през точките M 1 (1,2) и M 2 (-2,3)
Решение. 
... Използвайки свойството на пропорцията и извършвайки необходимите трансформации, получаваме общото уравнение на правата линия:
Ъгъл между две прави линии
Помислете за два реда l 1и l 2:
l 1: , , и
l 2: , ,
φ е ъгълът между тях (). Фигура 4 показва :.
 |
Оттук 
, или
Използвайки формула (7), може да се определи един от ъглите между правите линии. Вторият ъгъл е.
Пример... Две прави линии са дадени от уравненията y = 2x + 3 и y = -3x + 2. намерете ъгъла между тези линии.
Решение... От уравненията се вижда, че k 1 = 2 и k 2 = -3. замествайки тези стойности във формула (7), намираме
... По този начин ъгълът между тези линии е равен.
Условия за паралелност и перпендикулярност на две прави линии
Ако направо l 1и l 2са успоредни, значи φ=0 и tgφ = 0... от формула (7) следва, че откъде k 2 = k 1... По този начин условието за паралелност на две прави линии е равенството на техните наклони.
Ако направо l 1и l 2са перпендикулярни, тогава φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. 
... По този начин условието за перпендикулярност на две прави линии е, че техните наклони са реципрочни по величина и противоположни по знак.
Разстояние от точка до линия
Теорема. Ако е дадена точка M (x 0, y 0), тогава разстоянието до прави Ax + Vy + C = 0 се определя като
Доказателство. Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, паднал от точка M върху дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:
Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:
Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, преминаваща през дадена точка M 0, перпендикулярна на дадена права линия.
Ако преобразуваме първото уравнение на системата във формата:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
след това, решавайки, получаваме:
Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:
Теоремата е доказана.
Пример.Определете ъгъла между правите линии: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.
Пример.Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.
Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно правите линии са перпендикулярни.
Пример.Дадени са върховете на триъгълника A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, извлечена от върха C.
Намираме уравнението на страната AB :; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Изискваното уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
k =. Тогава y =. Защото височината преминава през точка C, тогава нейните координати отговарят на това уравнение: откъдето b = 17. Общо :.
Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.
Разстоянието от точка до права линия се определя от дължината на перпендикуляра, паднал от точка към права линия.
Ако линията е успоредна на проекционната равнина (h | | P 1), след това, за да се определи разстоянието от точката НОнаправо зе необходимо да се спусне перпендикуляра от точката НОна хоризонтала з.
Помислете за по -сложен пример, когато правата линия заема обща позиция. Нека е необходимо да се определи разстоянието от точката Мнаправо нообща позиция.
Задачата за определяне разстояние между успоредни линиирешен подобно на предишния. Точка се взема на една права линия, перпендикуляр се спуска от нея на друга права линия. Дължината на перпендикуляра е равна на разстоянието между успоредните линии.
Крива от втори редсе нарича права, определена от уравнение от втора степен спрямо текущите декартови координати. В общия случай Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
където A, B, C, D, E, F са реални числа и поне едно от числата A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.
Кръг
Център на кръгаДали мястото на точките в равнината е на равно разстояние от точката на равнината C (a, b).
Кръгът се определя от следното уравнение:
Където x, y са координатите на произволна точка на окръжността, R е радиусът на окръжността.
Уравнение за обиколка
1. Няма термин с x, y
2. Равни коефициенти при x 2 и y 2
Елипса
Елипсасе нарича местоположението на точките в равнина, сумата от разстоянията на всяка от които от две дадени точки на тази равнина се нарича фокуси (постоянна стойност).
Канонично елипсово уравнение:
X и y принадлежат към елипса.
а - полу -голяма ос на елипсата
b - полу -малка ос на елипсата
Елипсата има 2 оси на симетрия OX и OY. Осите на симетрия на елипсата са нейните оси, точката на тяхното пресичане е центърът на елипсата. Оста, върху която са разположени фокусите, се нарича фокусна ос... Точката на пресичане на елипсата с осите е върхът на елипсата.
Съотношение на компресия (разтягане): ε = s / a- ексцентричност (характеризира формата на елипсата), колкото е по -малка, толкова по -малко елипсата е удължена по фокалната ос.
Ако центровете на елипсата не са в центъра на C (α, β)
Хипербола
Хиперболасе нарича местоположението на точките в равнината, абсолютната стойност на разликата в разстоянията, всяка от които от две дадени точки на тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност, различна от нула.
Канонично уравнение на хипербола
Хиперболата има 2 оси на симетрия:
a е реалната полуос на симетрията
b - въображаема полуос на симетрия
Асимптоти на хипербола:
Парабола
Параболасе нарича местоположението на точките в равнината, равноотдалечени от дадена точка F, наречено фокус и дадена права линия, наречена директриса.
Канонично уравнение на парабола:
Y 2 = 2px, където p е разстоянието от фокуса до директрисата (параметър парабола)
Ако върхът на параболата C (α, β), тогава уравнението на параболата (y-β) 2 = 2p (x-α)
Ако фокалната ос се вземе като оста на ординатите, уравнението на парабола ще приеме формата: x 2 = 2qу
Тази статия разкрива извеждането на уравнението на права линия, преминаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система, разположена на равнина. Нека изведем уравнението на права линия, преминаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система. Ще покажем ясно и ще решим няколко примера, свързани с разглеждания материал.
Преди да получите уравнението на права линия, преминаваща през две дадени точки, е необходимо да обърнете внимание на някои факти. Има аксиома, която казва, че чрез две несъвпадащи точки на равнината е възможно да се начертае права и само една. С други думи, две дадени точки на равнината са дефинирани от права линия, преминаваща през тези точки.
Ако равнината е зададена от правоъгълна координатна система Oxy, тогава всяка права линия, изобразена в нея, ще съответства на уравнението на права линия в равнината. Съществува и връзка с вектора на посоката на правата линия.Тези данни са достатъчни, за да се направи уравнението на права линия, преминаваща през две дадени точки.
Нека разгледаме пример за решаване на подобен проблем. Необходимо е да се състави уравнение на права линия, преминаваща през две несъвпадащи точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), които са в декартовата координатна система.
В каноничното уравнение на права линия на равнина, която има формата x - x 1 ax = y - y 1 ay, е посочена правоъгълна координатна система O xy с права линия, която се пресича с нея в точка с координати M 1 (x 1, y 1) с водещ вектор a → = (ax, ay).
Необходимо е да се състави каноничното уравнение на правата а, която преминава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2).
Линията a има вектор на посоката M 1 M 2 → с координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), тъй като пресича точки M 1 и M 2. Получихме необходимите данни, за да преобразуваме каноничното уравнение с координатите на вектора на посоката M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1 (x 1, y 1) лежи върху тях и M 2 (x 2, y 2). Получаваме уравнение от формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Помислете за фигурата по -долу.
Следвайки изчисленията, пишем параметричните уравнения на права линия на равнина, която преминава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2). Получаваме уравнение от вида x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Нека разгледаме по -отблизо решението на няколко примера.
Пример 1
Запишете уравнението на права линия, преминаваща през 2 дадени точки с координати M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Решение
Каноничното уравнение за права линия, пресичаща се в две точки с координати x 1, y 1 и x 2, y 2, има формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. По условието на задачата имаме, че x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Заместете числови стойности в уравнението x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Оттук получаваме, че каноничното уравнение приема формата x - ( - 5) 1 - ( - 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Отговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Ако трябва да решите проблем с различен вид уравнение, тогава за начало можете да преминете към каноничното, тъй като е по -лесно да преминете от него към всяко друго.
Пример 2
Съставете общото уравнение на правата линия, преминаваща през точките с координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) в координатната система O x y.
Решение
Първо, трябва да запишете каноничното уравнение на дадена права линия, която преминава през две дадени точки. Получаваме уравнение от вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1.
Нека приведем каноничното уравнение в необходимата форма, тогава получаваме:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Отговор: x - 3 y + 2 = 0.
Примери за такива задачи бяха разгледани в учебниците по уроци по алгебра. Училищните проблеми се отличаваха с това, че беше известно уравнението на права линия с наклон, което има формата y = k x + b. Ако трябва да намерите стойността на наклона k и числото b, за което уравнението y = kx + b определя права в системата O xy, която преминава през точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 ( x 2, y 2), където x 1 ≠ x 2. Когато x 1 = x 2 , тогава наклонът приема стойността на безкрайността, а правата М 1 М 2 се определя от общо непълно уравнение от формата x - x 1 = 0 .
Защото точките М 1и М 2са на права линия, тогава техните координати удовлетворяват уравнението y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Необходимо е да се реши системата от уравнения y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b за k и b.
За да направите това, намерете k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
При такива стойности на k и b уравнението на правата линия, преминаваща през дадените две точки, приема следния вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Спомнянето на такъв огромен брой формули наведнъж няма да работи. За да направите това, трябва да увеличите броя на повторенията в решения на проблеми.
Пример 3
Запишете уравнението на права линия с наклона, преминаващ през точките с координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.
Решение
За да решим проблема, използваме формулата с наклона, който има формата y = k x + b. Коефициентите k и b трябва да приемат такава стойност, че това уравнение съответства на права линия, преминаваща през две точки с координати M 1 ( - 7, - 5) и M 2 (2, 1).
Точки М 1и М 2са разположени на права линия, тогава техните координати трябва да обърнат уравнението y = k x + b истинско равенство. От това получаваме, че - 5 = k ( - 7) + b и 1 = k 2 + b. Комбинирайте уравнението в системата - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решете.
При заместване получаваме
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Сега стойностите k = 2 3 и b = - 1 3 са заместени в уравнението y = k x + b. Получаваме, че необходимото уравнение, преминаващо през дадените точки, ще бъде уравнение от вида y = 2 3 x - 1 3.
Този метод на решение предопределя загубата на много време. Има начин, по който задачата се решава буквално на две стъпки.
Пишем каноничното уравнение на линията, преминаваща през M 2 (2, 1) и M 1 ( - 7, - 5), която има формата x - ( - 7) 2 - ( - 7) = y - ( - 5 ) 1 - ( - 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6.
Сега се обръщаме към уравнението в наклона. Получаваме, че: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Отговор: y = 2 3 x - 1 3.
Ако в триизмерно пространство има правоъгълна координатна система O xyz с две дадени несъвпадащи точки с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), права линия M 1 M 2, е необходимо да се получи уравнението на тази права линия.
Имаме тези канонични уравнения от формата x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az и параметрични уравнения от формата x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ са в състояние да определят линия в координатната система O x y z, преминаваща през точки с координати (x 1, y 1, z 1) с вектор на посоката a → = (ax, ay, az).
Прав M 1 M 2 има вектор на посоката от вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), където линията преминава през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), следователно каноничното уравнение може да бъде от вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, от своя страна параметрично x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Помислете за фигура, която показва 2 дадени точки в пространството и уравнението на права линия.
Пример 4
Напишете уравнението на права линия, определена в правоъгълна координатна система O xyz на триизмерно пространство, преминаваща през две дадени точки с координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5) .
Решение
Необходимо е да се намери каноничното уравнение. Тъй като говорим за триизмерно пространство, това означава, че когато права линия минава през дадени точки, желаното канонично уравнение ще приеме формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...
По хипотеза имаме, че x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. От това следва, че необходимите уравнения могат да бъдат записани, както следва:
x - 2 1 - 2 = y - ( - 3) - 3 - ( - 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Отговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter