Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ ուղիղ գծի հատկությունները:
Anyանկացած կետի միջոցով կարող եք անսահման շատ ուղիղ գծեր գծել:
Մեկ ուղիղ գիծ կարելի է գծել ցանկացած երկու չհամընկնող կետերի միջով:
Երկու անհամապատասխան ուղիղ գծեր հարթության վրա կամ հատվում են մեկ կետում, կամ գտնվում են
զուգահեռ (հետևում է նախորդին):
Եռաչափ տարածության մեջ երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.
- ուղիղ գծերը հատվում են;
- ուղիղ գծերը զուգահեռ են;
- ուղիղ գծերը հատվում են:
Ուղիղ գիծ- առաջին կարգի հանրահաշվական կորը ՝ քարտեզյան կոորդինատային համակարգում, ուղիղ գիծ
հարթության վրա տրված է առաջին աստիճանի հավասարմամբ (գծային հավասարում):
Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը:
Սահմանում... Ինքնաթիռի ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարման միջոցով
Ax + Wu + C = 0,
հաստատունով Ա, Բհավասար չեն զրոյի միաժամանակ: Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է սովորական
ուղիղ գծի հավասարումը:Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, Բեւ ՀԵՏհնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծը անցնում է ծագման միջով
. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Ըստ + C = 0)- առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ Օհ
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ OU
. B = C = 0, A ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ OU
. A = C = 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օհ
Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով ՝ կախված տվյալ տվյալներից
նախնական պայմանները:
Ուղիղ գծի հավասարումը կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով:
Սահմանում... Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ՝ բաղադրիչներով վեկտոր (A, B)
ուղղահայաց հավասարման կողմից տրված ուղիղ գծին
Ax + Wu + C = 0:
Օրինակ... Գտիր կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը Ա (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).
Լուծում... A = 3 և B = -1 դեպքում մենք կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը ՝ 3x - y + C = 0. Գ գործակիցը գտնելու համար
ստացված արտահայտության մեջ փոխարինի՛ր տվյալ կետի կոորդինատները: Մենք ստանում ենք ՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար
C = -1: Ընդհանուր `պահանջվող հավասարումը` 3x - y - 1 = 0:
Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:
Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)եւ M2 (x 2, y 2, z 2),ապա ուղիղ գծի հավասարումը,
անցնելով այս կետերով.
Եթե հայտարարներից որեւէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասարվի զրոյի: Վրա
հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.
եթե x 1 ≠ x 2եւ x = x 1, եթե x 1 = x 2 .
Մաս = կկանչեց թեքություն ուղիղ.
Օրինակ... Գտեք A (1, 2) և B (3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:
Լուծում... Կիրառելով վերը նշված բանաձևը ՝ մենք ստանում ենք.
Ուղիղ գծի հավասարումը կետի և թեքության վրա:
Եթե ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը Ax + Wu + C = 0բերել ձևին.
և նշանակել 
, ապա ստացված հավասարումը կոչվում է
ուղիղ գծի հավասարումը k թեքությամբ:
Ուղիղ գծի հավասարումը կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով:
Պարբերության համեմատությամբ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջոցով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը
ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ ուղիղ վեկտոր:
Սահմանում... Յուրաքանչյուր ոչ զրո վեկտոր (α 1, α 2)որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը
Аα 1 + Вα 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի վեկտոր:
Ax + Wu + C = 0:
Օրինակ... Գտեք ուղիղ գծի հավասարումը ՝ ուղղության վեկտորով (1, -1) և անցնելով A կետով (1, 2):
Լուծում... Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը կփնտրվի հետևյալ տեսքով. Կացին + Ըստ + C = 0:Ըստ սահմանման ՝
գործակիցները պետք է համապատասխանեն հետևյալ պայմաններին.
1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.
Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումը ձև ունի. Ax + Ay + C = 0,կամ x + y + C / A = 0:
ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C / A = -3, այսինքն ՝ պահանջվող հավասարումը.
x + y - 3 = 0
Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում:
Եթե Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ, ապա, բաժանելով -C, ստանում ենք.
կամ որտեղ
Գործակիցների երկրաչափական իմաստն այն է, որ a գործակիցը խաչմերուկի կետի կոորդինատն է
ուղիղ առանցքով Օ ,,բայց բ- առանցքի հետ ուղիղ գծի հատման կետի կոորդինատը OU
Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում:
C = 1 ,, a = -1, b = 1:
Ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը:
Եթե հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել թվի վրա 
որը կոչվում է
նորմալացման գործոն, ապա մենք ստանում ենք
xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարումը.
Նորմալացնող գործոնի նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ μ * C< 0.
Ռ- ուղղահայացի երկարությունը ծագումից իջել է ուղիղ գծի,
բայց φ - այս ուղղահայացով ձևավորված անկյունը առանցքի դրական ուղղությամբ Օհ
Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0... Պահանջվում է գրել տարբեր տեսակի հավասարումներ
այս ուղիղ գիծը:
Այս գծի հավասարումը հատվածներում:
Այս գծի հավասարումը թեքությամբ: (բաժանեք 5 -ի)
Ուղիղ գծի հավասարումը:
cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5:
Պետք է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չի կարող հավասարությամբ ներկայացվել հատվածներում, օրինակ ՝ ուղիղ,
առանցքներին զուգահեռ կամ ծագման միջով անցնող:
Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:
Սահմանում... Եթե տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա սուր անկյուն այս գծերի միջեւ
կսահմանվի որպես
Երկու տող զուգահեռ է, եթե k 1 = k 2... Երկու ուղիղ ուղղահայաց են,
եթե k 1 = -1 / k 2 .
Թեորեմ.
Ուղղակի Ax + Wu + C = 0եւ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ են, երբ գործակիցները համաչափ են
А 1 = λА, В 1 = λВ... Եթե նույնպես С 1 = λС, ապա ուղիղները համընկնում են: Երկու տողերի հատման կետի կոորդինատները
գտնվում են որպես այս ուղիղ գծերի հավասարումների համակարգի լուծում:
Տրված ուղիղ գծի հավասարումը տվյալ ուղղագծին ուղղահայաց:
Սահմանում... Տողից կետ M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց ուղիղ գծին y = kx + b
ներկայացված է հավասարմամբ.
Հեռավորությունը կետից տող:
Թեորեմ... Եթե միավոր տրվի M (x 0, y 0),հեռավորությունը ուղիղ գծի վրա Ax + Wu + C = 0սահմանված է ՝
Ապացույց... Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- ուղղահայաց հիմքը ընկել է կետից Մտրվածի համար
ուղիղ գիծ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը Մեւ Մ 1:
(1)
Կոորդինատներ x 1եւ 1 -ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.
Համակարգի երկրորդ հավասարումն է M 0 ուղղահայաց տվյալ կետից անցնող ուղիղ գծի հավասարումը
տրված ուղիղ գիծ: Եթե համակարգի առաջին հավասարումը փոխակերպենք ձևի.
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + ըստ 0 + C = 0,
ապա, լուծելով, մենք ստանում ենք.
Այս արտահայտությունները փոխարինելով հավասարման (1) ՝ մենք գտնում ենք.
Թեորեմն ապացուցված է:
Հաշվի առնելով երկու միավոր M 1 (x 1, y 1)եւ M 2 (x 2, y 2)... Մենք ուղիղ գծի հավասարումը գրում ենք (5) տեսքով, որտեղ կդեռ անհայտ գործակից.
Քանի որ կետը Մ 2պատկանում է տրված ուղիղ գծին, ապա նրա կոորդինատները բավարարում են հավասարմանը (5). Արտահայտվելով դրանից և փոխարինելով հավասարման (5) ՝ մենք ստանում ենք պահանջվող հավասարումը.
Եթե 
այս հավասարումը կարող է վերաշարադրվել անգիր սովորելու համար ավելի հարմար ձևով.
(6)
Օրինակ.Գրի՛ր M 1 (1.2) և M 2 (-2.3) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը
Լուծում. 
... Օգտագործելով համամասնության հատկությունը և կատարելով անհրաժեշտ փոխակերպումները, մենք ստանում ենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.
Անկյուն երկու ուղիղ գծերի միջև
Հաշվի առեք երկու տող լ 1եւ լ 2:
լ 1:,, և
լ 2: , ,
φ դա նրանց միջև եղած անկյունն է (): Նկար 4 -ը ցույց է տալիս.
 |
Այստեղից 
, կամ
Օգտագործելով բանաձևը (7), կարելի է որոշել ուղիղ գծերի միջև եղած անկյուններից մեկը: Երկրորդ անկյունն է.
Օրինակ... Երկու ուղիղ գծեր տրվում են y = 2x + 3 և y = -3x + 2 հավասարումներով: գտնել անկյունը այս գծերի միջև:
Լուծում... Հավասարումներից երեւում է, որ k 1 = 2, իսկ k 2 = -3: Այս արժեքները փոխարինելով բանաձևով (7), մենք գտնում ենք
... Այսպիսով, այս գծերի միջև ընկած անկյունը հավասար է:
Երկու ուղիղ գծերի զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանները
Եթե ուղիղ լ 1եւ լ 2ուրեմն զուգահեռ են φ=0 եւ tgφ = 0... բանաձևից (7) հետևում է, որ որտեղից k 2 = k 1... Այսպիսով, երկու ուղիղ գծերի զուգահեռացման պայմանը նրանց թեքությունների հավասարությունն է:
Եթե ուղիղ լ 1եւ լ 2ուղղահայաց են, ուրեմն φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. 
... Այսպիսով, երկու ուղիղ գծերի ուղղահայացության պայմանն այն է, որ դրանց թեքությունները մեծությամբ փոխադարձ են և նշանով հակառակ:
Հեռավորությունը կետից տող
Թեորեմ. Եթե տրված է M կետը (x 0, y 0), ապա հեռավորությունը մինչև ուղիղ գծի Ax + Vy + C = 0 որոշվում է որպես
Ապացույց. Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղիղ գծի վրա ընկած ուղղահայացության հիմքը: Հետո M և M 1 կետերի միջև հեռավորությունը.
Որպես հավասարումների համակարգի լուծում կարելի է գտնել x 1 և y 1 կոորդինատները.
Համակարգի երկրորդ հավասարումն է ուղիղ գծի հավասարումը տվյալ կետից Մ 0 ուղղահայաց տվյալ ուղիղին:
Եթե համակարգի առաջին հավասարումը փոխակերպենք ձևի.
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + ըստ 0 + C = 0,
ապա, լուծելով, մենք ստանում ենք.
Այս արտահայտությունները փոխարինելով հավասարման (1) ՝ մենք գտնում ենք.
Թեորեմն ապացուցված է:
Օրինակ.Որոշի՛ր ուղիղ գծերի անկյունը ՝ y = -3x + 7; y = 2x + 1:
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4:
Օրինակ. Showույց տվեք, որ 3x - 5y + 7 = 0 եւ 10x + 6y - 3 = 0 ուղիղ գծերը ուղղահայաց են:
Մենք գտնում ենք ՝ k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, հետևաբար, ուղիղները ուղղահայաց են:
Օրինակ.Տրված են A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) եռանկյան գագաթները: Գտեք C գագաթից քաշված բարձրության հավասարումը:
Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը .; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Բարձրության պահանջվող հավասարումը հետևյալն է ՝ Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b:
k = = Հետո y =. Որովհետեւ բարձրությունը անցնում է C կետով, ապա նրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը. որտեղից b = 17. Ընդհանուր `.
Պատասխան ՝ 3x + 2y - 34 = 0:
Կետից ուղիղ հեռավորությունը որոշվում է կետից ուղիղ ընկած ուղղահայացի երկարությամբ:
Եթե գիծը զուգահեռ է պրոյեկցիոն հարթությանը (ժ | | P 1), ապա կետից հեռավորությունը որոշելու համար ԲԱՅուղղել ժանհրաժեշտ է ուղղահայացը իջեցնել կետից ԲԱՅհորիզոնականում ժ.
Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ, երբ ուղիղ գիծը զբաղեցնում է ընդհանուր դիրք: Թող անհրաժեշտ լինի որոշել կետից հեռավորությունը Մուղղել բայցընդհանուր դիրքորոշում:
Որոշելու խնդիրը հեռավորությունը զուգահեռ գծերի միջևլուծվել է նախորդի նմանությամբ: Մի ուղիղ գծի վրա կետ է վերցվում, դրանից ուղղահայացը իջնում է մյուս ուղիղի: Ուղղահայացի երկարությունը հավասար է զուգահեռ գծերի միջև եղած հեռավորությանը:
Երկրորդ կարգի կորըկոչվում է գիծ, որը որոշվում է երկրորդ աստիճանի հավասարումով `համեմատած ընթացիկ դեկարտյան կոորդինատների հետ: Ընդհանուր դեպքում Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
որտեղ A, B, C, D, E, F իրական թվերն են և A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 թվերից առնվազն մեկը:
Շրջանակ
Շրջանակի կենտրոնԱրդյո՞ք հարթության կետերի տեղանքը հավասար հեռավորության վրա է C հարթության (a, b) կետից:
Շրջանակը տրված է հետևյալ հավասարմամբ.
Որտեղ x, y- ը շրջանագծի կամայական կետի կոորդինատներն են, R- ը `շրջանագծի շառավիղը:
Շրջանակի հավասարումը
1. x, y տերմին չկա
2. Հավասարաչափ գործակիցներ x 2 և y 2 -ում
Էլիպս
Էլիպսկոչվում է հարթության կետերի լոկուս, որոնցից յուրաքանչյուրի հեռավորության գումարը այս հարթության երկու տրված կետերից կոչվում է ֆոկուսներ (հաստատուն արժեք):
Կանոնական էլիպսի հավասարում.
X և y պատկանում են էլիպսին:
a - էլիպսի կիսախոշոր առանցք
բ - էլիպսի կիսափոքր առանցք
Էլիպսն ունի OX և OY համաչափության 2 առանցք: Էլիպսի համաչափության առանցքները նրա առանցքներն են, դրանց հատման կետը ՝ էլիպսի կենտրոնը: Այն առանցքը, որի վրա գտնվում են շեշտադրումները, կոչվում է կիզակետային առանցք... Էլիպսի առանցքների հետ հատման կետը էլիպսի գագաթն է:
Սեղմման (ձգվող) հարաբերակցությունը. ε = ս / ա- էքսցենտրիկություն (բնութագրում է էլիպսի ձևը), որքան փոքր է այն, այնքան քիչ է էլիպսը երկարաձգվում առանցքային առանցքի երկայնքով:
Եթե էլիպսի կենտրոնները C- ի կենտրոնում չեն (α, β)
Հիպերբոլա
Հիպերբոլակոչվում է հարթության կետերի տեղ, հեռավորությունների տարբերության բացարձակ արժեք, որոնցից յուրաքանչյուրը այս հարթության երկու տրված կետերից, որոնք կոչվում են օջախներ, զրոյից տարբերվող հաստատուն արժեք է:
Կանոնական հիպերբոլայի հավասարում
Հիպերբոլան ունի համաչափության 2 առանցք.
a- ն համաչափության իրական կիսաակիսն է
բ - սիմետրիայի երևակայական կիսաաքսիս
Հիպերբոլայի ասիմպտոմներ.
Պարաբոլա
Պարաբոլակոչվում է հարթության կետերի լոկուս, որը գտնվում է F- ի տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա, որը կոչվում է կիզակետ և տրված ուղիղ գիծ, որը կոչվում է ուղղագիծ:
Կանոնական պարաբոլայի հավասարում.
Y 2 = 2px, որտեղ p- ը կենտրոնից մինչև ուղիղ ուղղություն (պարաբոլայի պարամետր) հեռավորությունն է
Եթե պարաբոլայի գագաթը C (α, β), ապա պարաբոլայի հավասարումը (y-β) 2 = 2p (x-α)
Եթե կիզակետային առանցքը ընդունվում է որպես օրդինատային առանցք, ապա պարաբոլայի հավասարումը կստանա հետևյալ տեսքը ՝ x 2 = 2qу
Այս հոդվածը բացահայտում է հարթության վրա գտնվող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարման ածանցումը: Եկեք ստանանք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը: Մենք հստակ ցույց կտանք և կլուծենք ընդգրկված նյութի հետ կապված մի քանի օրինակ:
Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ստանալուց առաջ անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել որոշ փաստերի: Կա մի աքսիոմա, որն ասում է, որ հարթության վրա երկու չհամընկնող կետերի միջոցով հնարավոր է գծել ուղիղ գիծ և միայն մեկը: Այլ կերպ ասած, հարթության երկու տրված կետերը սահմանվում են այս կետերով անցնող ուղիղ գծով:
Եթե հարթությունը նշված է Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով, ապա դրանում պատկերված ցանկացած ուղիղ գիծ կհամապատասխանի հարթության ուղիղ գծի հավասարմանը: Կապ կա նաև ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի հետ: Այս տվյալները բավարար են երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը կազմելու համար:
Եկեք դիտարկենք նմանատիպ խնդրի լուծման օրինակ: Անհրաժեշտ է կազմել ուղիղ գծի հավասարում, որն անցնում է երկու ոչ համընկնող M 1 (x 1, y 1) և M 2 (x 2, y 2) կետերով, որոնք գտնվում են Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում:
Ինքնաթիռի ուղիղ գծի կանոնական հավասարման մեջ, որն ունի x - x 1 ax = y - y 1 ay ձև, նշվում է ուղիղ գծով O xy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որը նրա հետ հատվում է կոորդինատներով մի կետում: M 1 (x 1, y 1) ուղեցույց վեկտորով a → = (կացն, այ):
Անհրաժեշտ է կազմել a ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը, որն անցնում է երկու կետով ՝ M 1 (x 1, y 1) և M 2 (x 2, y 2) կոորդինատներով:
A տողն ունի ուղղության վեկտոր M 1 M 2 coord կոորդինատներով (x 2 - x 1, y 2 - y 1), քանի որ հատում է M 1 և M 2 կետերը: Մենք ստացանք անհրաժեշտ տվյալները կանոնական հավասարումը փոխակերպելու համար ուղղության վեկտորի M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) և M 1 կետերի կոորդինատների հետ (x 1, y 1) նրանց վրա պառկած և M 2 (x 2, y 2): Մենք ստանում ենք x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 կամ x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 ձևի հավասարում:
Հաշվի առեք ստորև բերված պատկերը:
Հաշվարկներից հետո մենք գրում ենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ հարթության վրա, որն անցնում է երկու կետով ՝ M 1 (x 1, y 1) և M 2 (x 2, y 2) կոորդինատներով: Մենք ստանում ենք x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ կամ x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y ձևի հավասարում: 2 + (y 2 - y 1) λ.
Եկեք ավելի սերտ նայենք մի քանի օրինակների լուծմանը:
Օրինակ 1
Գրիր 2 տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 կոորդինատներով:
Լուծում
Երկու կետերում հատվող ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը x 1, y 1 և x 2, y 2 ընդունում է x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ձևը: Խնդրի պայմանով մենք ունենք, որ x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6: Փոխարինեք թվային արժեքները x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 հավասարման մեջ: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ կանոնական հավասարումը ստանում է x - ( - - 5) 1 - ( - - 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ձևը:
Պատասխան ՝ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6:
Եթե ձեզ անհրաժեշտ է լուծել խնդիրը այլ տեսակի հավասարումների միջոցով, ապա նախ կարող եք գնալ կանոնականին, քանի որ դրանից ավելի հեշտ է գալը մյուսին:
Օրինակ 2
O x y կոորդինատային համակարգում գծեք կետերի միջով անցնող ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը:
Լուծում
Նախ, անհրաժեշտ է գրել տվյալ ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը, որն անցնում է տվյալ երկու կետերով: Մենք ստանում ենք x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 ձևի հավասարում:
Եկեք կանոնական հավասարումը բերենք պահանջվող ձևին, այնուհետև ստանում ենք.
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Պատասխան. x - 3 y + 2 = 0:
Նման առաջադրանքների օրինակներ հաշվի են առնվել հանրահաշվի դասերի դպրոցական դասագրքերում: Դպրոցական խնդիրները առանձնանում էին նրանով, որ լանջով ուղիղ գծի հավասարումը ՝ y = k x + b ձևով, հայտնի էր: Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել k թեքության արժեքը և b թիվը, որի համար y = kx + b հավասարումը սահմանում է O xy համակարգում մի տող, որն անցնում է M 1 (x 1, y 1) և M 2 ( x 2, y 2), որտեղ x 1 ≠ x 2: Երբ x 1 = x 2 , ապա թեքությունը վերցնում է անվերջության արժեքը, իսկ М 1 М 2 ուղիղը որոշվում է x - x 1 = 0 ձևի ընդհանուր թերի հավասարումով: .
Քանի որ միավորները Մ 1եւ Մ 2գտնվում են ուղիղ գծի վրա, ապա դրանց կոորդինատները բավարարում են y 1 = k x 1 + b և y 2 = k x 2 + b հավասարումը: Անհրաժեշտ է լուծել y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b հավասարումների համակարգը k- ի և b- ի համար:
Դա անելու համար գտեք k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 կամ k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2:
K- ի և b- ի նման արժեքներով տրված երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը վերցնում է հետևյալ ձևը y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 կամ y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2:
Նման հսկայական քանակությամբ բանաձևեր միանգամից հիշելը չի աշխատի: Դա անելու համար դուք պետք է ավելացնեք խնդրի լուծման կրկնությունների թիվը:
Օրինակ 3
Մ 2 (2, 1) և y = k x + b կոորդինատներով կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը գրի՛ր:
Լուծում
Խնդիրը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք թեքությամբ բանաձեւը, որն ունի y = k x + b ձեւ: K և b գործակիցները պետք է ունենան այնպիսի արժեք, որ այս հավասարումը համապատասխանի M 1 ( - 7, - 5) և M 2 (2, 1) կոորդինատներով երկու կետով անցնող ուղիղ գծին:
Միավորներ Մ 1եւ Մ 2գտնվում են ուղիղ գծի վրա, ապա դրանց կոորդինատները պետք է հակադարձեն y = k x + b հավասարության ճշմարտությունը: Դրանից մենք ստանում ենք, որ - 5 = k ( - 7) + b և 1 = k 2 + b: Համակցիր հավասարումը համակարգի մեջ `5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b և լուծիր:
Փոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Այժմ k = 2 3 և b = - 1 3 արժեքները փոխարինվում են y = k x + b հավասարման մեջ: Մենք ստանում ենք, որ տվյալ կետերով անցնող պահանջվող հավասարումը կլինի y = 2 3 x - 1 3 ձևի հավասարում:
Լուծման այս մեթոդը կանխորոշում է շատ ժամանակի վատնումը: Կա մի եղանակ, որով խնդիրը լուծվում է բառացիորեն երկու քայլով:
Մենք գրում ենք M 2 (2, 1) և M 1 ( - 7, - 5) միջով անցնող տողի կանոնական հավասարումը, որն ունի x - ( - 7) 2 - ( - 7) = y - ( - 5) ձևը: ) 1 - ( - 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6:
Այժմ մենք դիմում ենք լանջի հավասարմանը: Մենք ստանում ենք. X + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3:
Պատասխան ՝ y = 2 3 x - 1 3:
Եթե եռաչափ տարածության մեջ կա O xyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ `երկու տրված ոչ համընկնող կետերով M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2) կոորդինատներով, ուղիղ գիծ M 1 M 2, անհրաժեշտ է ստանալ այս ուղիղ գծի հավասարումը:
Մենք ունենք այդ կանոնական հավասարումները x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az և x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + ձևի պարամետրային հավասարումներ: az λ կարողանում են սահմանել O x y z կոորդինատային համակարգում տող, որն անցնում է կոորդինատներ ունեցող կետերով (x 1, y 1, z 1) ուղղության վեկտորով a → = (ax, ay, az):
Ուղիղ M 1 M 2 ունի M 1 M 2 form = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ձևի ուղղության վեկտոր, որտեղ տողը անցնում է M 1 կետով (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), հետևաբար կանոնական հավասարումը կարող է լինել x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 կամ x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, իր հերթին պարամետրական x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ կամ x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Դիտարկենք մի գործիչ, որը ցույց է տալիս տարածության 2 տրված կետեր և ուղիղ գծի հավասարություն:
Օրինակ 4
Գրիր եռաչափ տարածության O xyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանված ուղիղ գծի հավասարումը ՝ անցնելով երկու տրված կետերով M 1 (2, - 3, 0) և M 2 (1, - 3, - 5) կոորդինատներով: .
Լուծում
Անհրաժեշտ է գտնել կանոնական հավասարումը: Քանի որ մենք խոսում ենք եռաչափ տարածության մասին, դա նշանակում է, որ երբ ուղիղ գիծն անցնում է տվյալ կետերով, ցանկալի կանոնական հավասարումը կստանա x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...
Ըստ վարկածի, մենք ունենք, որ x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5: Այստեղից հետևում է, որ անհրաժեշտ հավասարումները կարող են գրվել հետևյալ կերպ.
x - 2 1 - 2 = y - ( - 3) - 3 - ( - 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Պատասխան ՝ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5:
Եթե տեքստում սխալ եք նկատում, խնդրում ենք ընտրել այն և սեղմել Ctrl + Enter