ევკლიდეს გეომეტრიაში სწორი ხაზის თვისებები.
თქვენ შეგიძლიათ უსასრულოდ ბევრი სწორი ხაზი დახაზოთ ნებისმიერ წერტილში.
ერთი სწორი ხაზის დახატვა შესაძლებელია ნებისმიერი ორი შეუსაბამო წერტილის საშუალებით.
სიბრტყეზე ორი შეუსაბამო სწორი ხაზი ან კვეთს ერთ წერტილს, ან არის
პარალელურად (მიჰყვება წინადან).
სამგანზომილებიან სივრცეში, სამი სწორი ხაზის ფარდობითი პოზიციის სამი ვარიანტია:
- სწორი ხაზები იკვეთება;
- სწორი ხაზები პარალელურია;
- სწორი ხაზები იკვეთება.
პირდაპირ ხაზი- პირველი რიგის ალგებრული მრუდი: დეკარტეს კოორდინატთა სისტემაში, სწორი ხაზი
მოცემულია სიბრტყეზე პირველი ხარისხის განტოლებით (წრფივი განტოლება).
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.
განმარტება... თვითმფრინავზე ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება მიეცეს პირველი რიგის განტოლებას
Ax + Wu + C = 0,
მუდმივთან ერთად ა, ბარ არის ნულის ტოლი ერთდროულად. ამ პირველი რიგის განტოლებას ეწოდება საერთო
სწორი ხაზის განტოლება.მუდმივთა ღირებულებების მიხედვით ა, ბდა თანშესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- სწორი ხაზი გადის საწყისზე
. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად ოჰ
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად OU
. B = C = 0, A ≠ 0- სწორი ხაზი ემთხვევა ღერძს OU
. A = C = 0, B ≠ 0- სწორი ხაზი ემთხვევა ღერძს ოჰ
სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით, მოცემულიდან გამომდინარე
საწყისი პირობები.
სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და ნორმალური ვექტორის გასწვრივ.
განმარტება... დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში, ვექტორი კომპონენტებით (A, B)
განტოლებით მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად
Ax + Wu + C = 0.
მაგალითი... იპოვნეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის წერტილში A (1, 2)პერპენდიკულარულად ვექტორზე (3, -1).
გამოსავალი... A = 3 და B = -1, ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას: 3x - y + C = 0. კოეფიციენტის საპოვნელად
ჩაანაცვლებს მოცემული წერტილის კოორდინატებს გამომხატველ გამოხატულებაში. ვიღებთ: 3 - 2 + C = 0, შესაბამისად
C = -1. სულ: საჭირო განტოლება: 3x - y - 1 = 0.
ორ წერტილზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.
მოდით ორი წერტილი მოცემული იყოს სივრცეში M 1 (x 1, y 1, z 1)და M2 (x 2, y 2, z 2),მაშინ სწორი ხაზის განტოლება,
გადის ამ წერტილებში:
თუ რომელიმე მნიშვნელი ნულის ტოლია, შესაბამისი მრიცხველი ნულის ტოლი უნდა იყოს. Ზე
თვითმფრინავი, ზემოთ დაწერილი სწორი ხაზის განტოლება გამარტივებულია:
თუ x 1 ≠ x 2და x = x 1, თუ x 1 = x 2 .
ფრაქცია = kდაურეკა ფერდობზე პირდაპირ.
მაგალითი... იპოვეთ A (1, 2) და B (3, 4) წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.
გამოსავალი... ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ:
სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და ფერდობის მიხედვით.
თუ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება Ax + Wu + C = 0ფორმაში მოყვანა:
და დანიშნოს 
, შემდეგ მიღებული განტოლება ეწოდება
კ ხაზის სწორი ხაზის განტოლება.
სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და მიმართულების ვექტორის გასწვრივ.
აბზაცის ანალოგიით ნორმალური ვექტორის მეშვეობით სწორი ხაზის განტოლების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ამოცანა
სწორი ხაზი წერტილის გავლით და სწორი ხაზის ვექტორი.
განმარტება... ყველა ნულოვანი ვექტორი (α 1, α 2)რომლის კომპონენტები აკმაყოფილებენ პირობას
Аα 1 + Вα 2 = 0დაურეკა სწორი ხაზის ვექტორი.
Ax + Wu + C = 0.
მაგალითი... იპოვეთ სწორი ხაზის განტოლება მიმართულების ვექტორით (1, -1) და A წერტილში გავლით (1, 2).
გამოსავალი... საჭირო სწორი ხაზის განტოლება იძებნება სახით: ცული + By + C = 0.განმარტების თანახმად,
კოეფიციენტები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს:
1 * A + (-1) * B = 0, ე.ი. A = B.
შემდეგ სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა: Ax + Ay + C = 0,ან x + y + C / A = 0.
საათზე x = 1, y = 2ჩვენ ვიღებთ C / A = -3, ე.ი. საჭირო განტოლება:
x + y - 3 = 0
სეგმენტებში სწორი ხაზის განტოლება.
თუ სწორი ხაზის საერთო განტოლებაში Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, მაშინ, -C გაყოფით, ვიღებთ:
ან სად
კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა იმაში მდგომარეობს, რომ კოეფიციენტი a არის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი
პირდაპირ ღერძით ოჰ,მაგრამ ბ- სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი ღერძთან OU
მაგალითი... მოცემულია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება x - y + 1 = 0.იპოვეთ ამ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.
С = 1, a = -1, b = 1.
ნორმალური ხაზის ნორმალური განტოლება.
თუ განტოლების ორივე მხარე Ax + Wu + C = 0რიცხვის გაყოფა 
რომელსაც ქვია
ნორმალიზების ფაქტორი, შემდეგ მივიღებთ
xcosφ + ysinφ - p = 0 -წრფის ნორმალური განტოლება.
ნორმალიზების ფაქტორის ± ნიშანი უნდა შეირჩეს ისე, რომ μ * C< 0.
რპერპენდიკულარული სიგრძე დაეცა წარმოშობიდან პირდაპირ ხაზამდე,
მაგრამ φ - კუთხე, რომელიც ჩამოყალიბებულია ამ პერპენდიკულარულად, ღერძის პოზიტიური მიმართულებით ოჰ
მაგალითი... მოცემულია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება 12x - 5y - 65 = 0... საჭიროა სხვადასხვა სახის განტოლების დაწერა
ეს სწორი ხაზი.
ამ ხაზის განტოლება სეგმენტებში:
ამ ხაზის განტოლება ფერდობთან: (გაყავით 5 -ზე)
სწორი ხაზის განტოლება:
cos φ = 12/13; ცოდვა φ = -5/13; p = 5.
უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა სწორი ხაზი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებით სეგმენტებში, მაგალითად, სწორი ხაზები,
ღერძების პარალელურად ან გადის საწყისზე.
სიბრტყეზე სწორი ხაზების კუთხე.
განმარტება... თუ ორი ხაზია მოცემული y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, შემდეგ მწვავე კუთხე ამ ხაზებს შორის
განისაზღვრება როგორც
ორი ხაზი პარალელურია თუ k 1 = k 2... ორი სწორი ხაზი პერპენდიკულარულია,
თუ კ 1 = -1 / კ 2 .
თეორემა.
პირდაპირი Ax + Wu + C = 0და A 1 x + B 1 y + C 1 = 0პარალელურია, როდესაც კოეფიციენტები პროპორციულია
А 1 = λА, В 1 = λВ... თუ ასევე С 1 = λС, მაშინ სწორი ხაზები ემთხვევა. ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები
გვხვდება ამ სწორი ხაზების განტოლებათა სისტემის ამონახსნად.
სწორი ხაზის განტოლება მოცემულ წერტილში გადის მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად.
განმარტება... ხაზი წერტილიდან M 1 (x 1, y 1)და ხაზის პერპენდიკულარულად y = kx + b
წარმოდგენილია განტოლებით:
მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
თეორემა... თუ ქულა მოცემულია M (x 0, y 0),შემდეგ მანძილი პირდაპირ ხაზამდე Ax + Wu + C = 0განსაზღვრულია როგორც:
მტკიცებულება... დაე წერტილი M 1 (x 1, y 1)- პერპენდიკულარული ბაზა დაეცა წერტილიდან მმოცემულისთვის
სწორი ხაზი. შემდეგ მანძილი წერტილებს შორის მდა მ 1:
(1)
კოორდინატები x 1და 1 -ზეშეიძლება ნაპოვნი განტოლებათა სისტემის გამოსავალი:
სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 0 პერპენდიკულარულად
მოცემული სწორი ხაზი. თუ ჩვენ სისტემის პირველ განტოლებას ვაქცევთ ფორმას:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 0 + 0 + C = 0,
შემდეგ, გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ:
ამ გამონათქვამების ჩანაცვლება განტოლებაში (1), ჩვენ ვიპოვით:
თეორემა დამტკიცებულია.
მიენიჭა ორი ქულა M 1 (x 1, y 1)და M 2 (x 2, y 2)... ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას ფორმით (5), სადაც კჯერ კიდევ უცნობი კოეფიციენტი:
მას შემდეგ, რაც წერტილი მ 2ეკუთვნის მოცემულ სწორ ხაზს, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (5): ამის გამოხატვა და ჩანაცვლება განტოლებაში (5), ჩვენ ვიღებთ საჭირო განტოლებას:
თუკი 
ეს განტოლება შეიძლება დაიწეროს დამახსოვრებისთვის უფრო მოსახერხებელი ფორმით:
(6)
მაგალითი.ჩაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის M 1 (1.2) და M 2 (-2.3) წერტილებში
გამოსავალი. 
... პროპორციის თვისების გამოყენებით და აუცილებელი გარდაქმნების განხორციელებით, ჩვენ ვიღებთ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას:
კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის
განვიხილოთ ორი ხაზი ლ 1და ლ 2:
ლ 1:,, და
ლ 2: , ,
φ არის კუთხე მათ შორის (). სურათი 4 გვიჩვენებს :.
 |
აქედან 
, ან
ფორმულის (7) გამოყენებით, შეიძლება განისაზღვროს ერთ -ერთი კუთხე სწორ ხაზებს შორის. მეორე კუთხე არის.
მაგალითი... ორი სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით y = 2x + 3 და y = -3x + 2. იპოვეთ კუთხე ამ ხაზებს შორის.
გამოსავალი... განტოლებებიდან ჩანს, რომ k 1 = 2, და k 2 = -3. ამ მნიშვნელობების ფორმულაში შეცვლა (7), ჩვენ ვპოულობთ
... ამრიგად, კუთხე ამ ხაზებს შორის ტოლია.
ორი სწორი ხაზის პარალელიზმისა და პერპენდიკულურობის პირობები
თუ პირდაპირ ლ 1და ლ 2პარალელურია, მაშინ φ=0 და tgφ = 0... ფორმულადან (7) გამომდინარეობს, რომ, საიდან k 2 = k 1... ამრიგად, ორი სწორი ხაზის პარალელიზმის პირობაა მათი ფერდობების ტოლობა.
თუ პირდაპირ ლ 1და ლ 2პერპენდიკულარულია, მაშინ φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. 
... ამრიგად, ორი სწორი ხაზის პერპენდიკულურობის პირობა ის არის, რომ მათი ფერდობები სიდიდით ორმხრივია და ნიშნით საპირისპირო.
მანძილი წერტილიდან ხაზამდე
თეორემა. თუ მოცემულია წერტილი M (x 0, y 0), მაშინ მანძილი პირდაპირ ხაზამდე Ax + Vy + C = 0 განისაზღვრება, როგორც
მტკიცებულება. მოდით წერტილი M 1 (x 1, y 1) იყოს პერპენდიკულარული ფუძე M წერტილიდან გადმოცემულ სწორ ხაზზე. შემდეგ მანძილი M და M 1 წერტილებს შორის:
კოორდინატები x 1 და y 1 შეიძლება აღმოჩნდეს განტოლებათა სისტემის ამონახსნად:
სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 0 მოცემულ სწორხაზოვან პერპენდიკულარულად.
თუ ჩვენ სისტემის პირველ განტოლებას ვაქცევთ ფორმას:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 0 + 0 + C = 0,
შემდეგ, გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ:
ამ გამონათქვამების ჩანაცვლება განტოლებაში (1), ჩვენ ვიპოვით:
თეორემა დამტკიცებულია.
მაგალითი.განსაზღვრეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.
მაგალითი.აჩვენეთ, რომ სწორი ხაზები 3x - 5y + 7 = 0 და 10x + 6y - 3 = 0 პერპენდიკულარულია.
ჩვენ ვპოულობთ: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, შესაბამისად, სწორი ხაზები პერპენდიკულარულია.
მაგალითი.მოცემულია სამკუთხედის წვერები A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). იპოვნეთ სიმაღლის განტოლება, რომელიც ამოღებულია C წვეროდან.
ჩვენ ვპოულობთ AB მხარის განტოლებას :; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
სიმაღლის საჭირო განტოლებაა: Ax + By + C = 0 ან y = kx + b.
k =. შემდეგ y =. რადგანაც სიმაღლე გადის C წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას: საიდანაც b = 17. სულ :.
პასუხი: 3x + 2y - 34 = 0.
მანძილი წერტილიდან პირდაპირ ხაზამდე განისაზღვრება პერპენდიკულარული სიგრძით წერტილიდან პირდაპირ ხაზზე.
თუ ხაზი პროექციის სიბრტყის პარალელურია (თ | | პ 1), შემდეგ წერტილიდან მანძილის დასადგენად მაგრამპირდაპირ თაუცილებელია პერპენდიკულარულად დაწევა წერტილიდან მაგრამჰორიზონტალურზე თ.
განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, როდესაც სწორი ხაზი იკავებს ზოგად პოზიციას. დაე აუცილებელი იყოს წერტილიდან მანძილის განსაზღვრა მპირდაპირ მაგრამზოგადი პოზიცია.
ამოცანის განსაზღვრის მანძილი პარალელურ ხაზებს შორისგადაწყდა ანალოგიურად წინა. წერტილი აღებულია ერთ სწორ ხაზზე, პერპენდიკულარულად იშლება მისგან მეორე სწორ ხაზზე. პერპენდიკულარული სიგრძე ტოლია პარალელურ ხაზებს შორის მანძილის.
მეორე რიგის მრუდიეწოდება წრფე, რომელიც განისაზღვრება მეორე ხარისხის განტოლებით ნათესავი ამჟამინდელი კარტეზიული კოორდინატების მიმართ. ზოგად შემთხვევაში, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
სადაც A, B, C, D, E, F რეალური რიცხვებია და რიცხვიდან ერთი მაინც A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.
წრე
წრის ცენტრისიბრტყეში წერტილების ლოკაცია თანაბარი მანძილია სიბრტყის წერტილიდან (a, b).
წრე მოცემულია შემდეგი განტოლებით:
სადაც x, y არის წრის თვითნებური წერტილის კოორდინატები, R არის წრის რადიუსი.
წრეწირის განტოლება
1. არ არსებობს ტერმინი x, y
2. თანაბარი კოეფიციენტები x 2 და y 2
ელიფსი
ელიფსიეწოდება სიბრტყის წერტილების ლოკუსი, რომელთაგან თითოეული მანძილის ჯამს ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან ეწოდება კერები (მუდმივი მნიშვნელობა).
კანონიკური ელიფსის განტოლება:
X და y ეკუთვნის ელიფსს.
a - ელიფსის ნახევრად ძირითადი ღერძი
ბ - ელიფსის ნახევრად უმნიშვნელო ღერძი
ელიფსას აქვს სიმეტრიის 2 ღერძი OX და OY. ელიფსის სიმეტრიის ღერძი არის მისი ღერძი, მათი გადაკვეთის წერტილი არის ელიფსის ცენტრი. ღერძი, რომელზეც ფოკუსები მდებარეობს, ეწოდება კეროვანი ღერძი... ელიფსის გადაკვეთის წერტილი ღერძებთან არის ელიფსის წვერო.
შეკუმშვის (გაჭიმვის) თანაფარდობა: ε = ს / ა- ექსცენტრულობა (ახასიათებს ელიფსის ფორმას), რაც უფრო მცირეა ის, მით უფრო ნაკლებია ელიფსი წაგრძელებული ფოკალური ღერძის გასწვრივ.
თუ ელიფსის ცენტრები არ არის C ცენტრში (α, β)
ჰიპერბოლა
ჰიპერბოლაეწოდება სიბრტყის წერტილების ლოკუსი, მანძილების სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება კერები, არის მუდმივი მნიშვნელობა ნულის გარდა.
კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება
ჰიპერბოლას აქვს სიმეტრიის 2 ღერძი:
a არის სიმეტრიის ნამდვილი ნახევარაქსია
ბ - სიმეტრიის წარმოსახვითი ნახევარაქსია
ჰიპერბოლას ასიმპტოტები:
პარაბოლა
პარაბოლაეწოდება სიბრტყის წერტილების ლოკუსს, რომელიც დაშორებულია მოცემული F წერტილიდან, ეწოდება ფოკუსს და მოცემულ სწორ ხაზს, რომელსაც ეწოდება directrix.
კანონიკური პარაბოლას განტოლება:
Y 2 = 2px, სადაც p არის მანძილი ფოკუსიდან პირდაპირ მიმართულებამდე (პარაბოლის პარამეტრი)
თუ პარაბოლის მწვერვალი C (α, β), მაშინ პარაბოლის განტოლება (y-β) 2 = 2p (x-α)
თუ ფოკუსური ღერძი მიიღება ორდინატის ღერძად, მაშინ პარაბოლას განტოლება მიიღებს ფორმას: x 2 = 2qу
ეს სტატია ცხადყოფს სიბრტყეზე მდებარე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების წარმოებას. მოდით გამოვიტანოთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში. ჩვენ ნათლად ვაჩვენებთ და გადავწყვეტთ რამდენიმე მაგალითს, რომელიც დაკავშირებულია მასალასთან.
სანამ მოცემულ ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას მივიღებთ, აუცილებელია გავამახვილოთ ყურადღება რამდენიმე ფაქტზე. არსებობს აქსიომა, რომელიც ამბობს, რომ თვითმფრინავზე ორი არა-დამთხვევითი წერტილის საშუალებით შესაძლებელია სწორი ხაზის დახატვა და მხოლოდ ერთი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიბრტყის ორი მოცემული წერტილი განისაზღვრება ამ წერტილებით გამავალი სწორი ხაზით.
თუ სიბრტყე განსაზღვრულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემით Oxy, მაშინ მასში გამოსახული ნებისმიერი სწორი ხაზი შეესაბამება სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებას. ასევე არსებობს კავშირი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორთან.ეს მონაცემები საკმარისია იმისათვის, რომ მოხდეს მოცემული ორი წერტილიდან გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.
განვიხილოთ მსგავსი პრობლემის გადაჭრის მაგალითი. აუცილებელია შევადგინოთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ არათანმიმდევრულ წერტილში M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2), რომლებიც დეკარტის კოორდინატთა სისტემაშია.
სიბრტყეზე სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებაში, რომელსაც აქვს ფორმა x - x 1 ax = y - y 1 ay, მითითებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O xy სწორი ხაზით, რომელიც კვეთს მას კოორდინატებთან ერთად M 1 (x 1, y 1) მეგზური ვექტორით a → = (ცული, ay).
აუცილებელია შევადგინოთ a სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) კოორდინატებით.
ხაზს a აქვს მიმართულების ვექტორი M 1 M 2 coord კოორდინატებით (x 2 - x 1, y 2 - y 1), რადგან ის კვეთს M 1 და M 2 წერტილებს. ჩვენ მივიღეთ საჭირო მონაცემები კანონიკური განტოლების შესაცვლელად მიმართულების ვექტორის M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) და წერტილების კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1) მათზე დაწოლილი და M 2 (x 2, y 2). ჩვენ ვიღებთ განტოლებას ფორმით x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ან x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.
გამოთვლების შემდეგ, ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს სიბრტყეზე, რომელიც გადის ორ წერტილში კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2). ჩვენ ვიღებთ განტოლებას ფორმით x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ ან x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ.
მოდით უფრო ახლოს განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითის გადაწყვეტა.
მაგალითი 1
ჩამოწერეთ 2 მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება კოორდინატებით M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
გამოსავალი
კანონიკური განტოლება ორ ხაზზე გადაკვეთილი კოორდინატებით x 1, y 1 და x 2, y 2 იღებს ფორმას x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. პრობლემის პირობით, ჩვენ გვაქვს x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. ჩაანაცვლეთ რიცხვითი მნიშვნელობები განტოლებაში x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. აქედან ვიღებთ, რომ კანონიკური განტოლება იღებს სახეს x - ( - - 5) 1 - ( - 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
პასუხი: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა სხვა სახის განტოლებით, მაშინ დასაწყისისთვის შეგიძლიათ გადახვიდეთ კანონიკურზე, რადგან უფრო ადვილია მისგან სხვაზე მოსვლა.
მაგალითი 2
O x y კოორდინატთა სისტემაში წერტილების გავლით სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების შედგენა M 1 (1, 1) და M 2 (4, 2).
გამოსავალი
პირველ რიგში, თქვენ უნდა ჩაწეროთ მოცემული სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში. ჩვენ ვიღებთ ფორმის განტოლებას x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 x - 1 3 = y - 1 1.
მოდით მივიყვანოთ კანონიკური განტოლება საჭირო ფორმაში, შემდეგ ვიღებთ:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
პასუხი: x - 3 y + 2 = 0.
ასეთი ამოცანების მაგალითები განხილული იყო სასკოლო სახელმძღვანელოებში ალგებრის გაკვეთილებზე. სკოლის პრობლემები გამოირჩეოდა იმით, რომ ცნობილი იყო ფერდობზე სწორი ხაზის განტოლება, რომელსაც აქვს ფორმა y = k x + b. თუ თქვენ უნდა იპოვოთ k ფერდობის მნიშვნელობა და რიცხვი b, რომლისთვისაც y = kx + b განტოლება განსაზღვრავს ხაზს O xy სისტემაში, რომელიც გადის M 1 (x 1, y 1) და M 2 წერტილებში x 2, y 2), სადაც x 1 ≠ x 2. როდესაც x 1 = x 2 , მაშინ ფერდობი იღებს უსასრულობის მნიშვნელობას, ხოლო სწორი ხაზი М 1 М 2 განისაზღვრება ფორმის x - x 1 = 0 ზოგადი არასრული განტოლებით .
რადგან ქულები მ 1და მ 2არიან სწორ ხაზზე, მაშინ მათი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას y 1 = k x 1 + b და y 2 = k x 2 + b. აუცილებელია ამონახსნების სისტემის ამოხსნა y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b k და b.
ამისათვის იპოვეთ k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ან k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
K და b– ის ასეთი მნიშვნელობებით, მოცემულ ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება იღებს შემდეგ ფორმას y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ან y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
ასეთი უზარმაზარი ფორმულების ერთდროულად გახსენება არ იმუშავებს. ამისათვის თქვენ უნდა გაზარდოთ გამეორებების რაოდენობა პრობლემის გადაწყვეტაში.
მაგალითი 3
ჩამოწერეთ სწორი ხაზის განტოლება ფერდობზე, რომელიც გადის წერტილებში კოორდინატებით M 2 (2, 1) და y = k x + b.
გამოსავალი
პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულას ფერდობზე, რომელსაც აქვს ფორმა y = k x + b. კოეფიციენტებმა k და b უნდა მიიღონ ისეთი მნიშვნელობა, რომ ეს განტოლება შეესაბამება სწორ ხაზს, რომელიც გადის ორ წერტილში კოორდინატებით M 1 ( - 7, - 5) და M 2 (2, 1).
ქულები მ 1და მ 2განლაგებულია სწორ ხაზზე, მაშინ მათმა კოორდინატებმა უნდა შეცვალონ განტოლება y = k x + b ჭეშმარიტი თანასწორობა. აქედან ვიღებთ, რომ - 5 = k ( - 7) + b და 1 = k 2 + b. შეუთავსეთ განტოლება სისტემაში - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b და ამოხსენით.
ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 კკ = 2 3 ⇔ ბ = - 5 + 7 2 3 კ = 2 3 ⇔ ბ = - 1 3 კ = 2 3
ახლა მნიშვნელობები k = 2 3 და b = - 1 3 შეიცვალა y = k x + b განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ იმას, რომ მოცემული წერტილების გავლით საჭირო განტოლება იქნება y განტოლება y = 2 3 x - 1 3.
ხსნარის ეს მეთოდი წინასწარ განსაზღვრავს დიდი დროის დაკარგვას. არსებობს გზა, რომლის საშუალებითაც ამოცანა წყდება სიტყვასიტყვით ორ საფეხურზე.
ჩვენ ვწერთ M 2 (2, 1) და M 1 ( - 7, - 5) გავლით ხაზის კანონიკურ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფორმა x - ( - 7) 2 - ( - 7) = y - ( - 5 ) 1 - ( - - 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6.
ჩვენ ახლა მივმართავთ განტოლებას ფერდობზე. ჩვენ ვიღებთ რომ: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
პასუხი: y = 2 3 x - 1 3.
თუ სამგანზომილებიან სივრცეში არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O xyz ორი მოცემული არა დამთხვევითი წერტილით კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), სწორი ხაზი M 1 M 2, აუცილებელია ამ სწორი ხაზის განტოლების მიღება.
ჩვენ გვაქვს ფორმალური x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az და პარამეტრული განტოლებები ფორმის x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ შეუძლია განსაზღვროს O x y z კოორდინატთა სისტემაში წრფე, რომელიც გადის კოორდინატების მქონე წერტილების გავლით (x 1, y 1, z 1) მიმართულების ვექტორით a → = (ax, ay, az).
სწორი M 1 M 2 აქვს ფორმის ვექტორი M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), სადაც ხაზი გადის M1 წერტილში (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), შესაბამისად კანონიკური განტოლება შეიძლება იყოს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ან x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, თავის მხრივ პარამეტრული x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ან x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.
განვიხილოთ ფიგურა, რომელიც აჩვენებს სივრცეში მოცემულ 2 წერტილს და სწორი ხაზის განტოლებას.
მაგალითი 4
დაწერეთ სამგანზომილებიანი სივრცის O xyz მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში განსაზღვრული სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში კოორდინატებით M 1 (2, - 3, 0) და M 2 (1, - 3, - 5) რა
გამოსავალი
აუცილებელია კანონის განტოლების პოვნა. ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სამგანზომილებიან სივრცეზე, ეს ნიშნავს, რომ როდესაც სწორი ხაზი გადის მოცემულ წერტილებში, სასურველი კანონიკური განტოლება მიიღებს სახეს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...
ჰიპოთეზით, ჩვენ გვაქვს, რომ x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. აქედან გამომდინარეობს, რომ აუცილებელი განტოლებები შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
x - 2 1 - 2 = y - ( - 3) - 3 - ( - 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
პასუხი: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
თუ თქვენ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, გთხოვთ აირჩიოთ იგი და დააჭირეთ Ctrl + Enter